Các tiêu chuẩn xác định chuỗi hội tụ
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, ĐH KHTN, Khoa Toán-Tin Học
Ngày 24 tháng 02 năm 2022
Tiêu chuẩn tích phân
Cho flà một hàm dương,giảm liên tục trên [1,∞), và đặt an=f(n).
Chuỗi
∞
X
n=1anlà hội tụ khi và chỉ khi tích phân
Z∞
1f(x)dx
tồn tại (nghĩa là bằng một số thực).
Chứng minh
Vì flà hàm giảm nên trên đoạn [i,i+1]thì
ai+1=f(i+1)≤f(x)≤f(i) = ai,
Chứng minh
Vì flà hàm giảm nên trên đoạn [i,i+1]thì
ai+1=f(i+1)≤f(x)≤f(i) = ai,
dẫn tới
ai+1≤Zi+1
if(x)dx≤ai.
Tổng từ itới n, ta có
n
X
i=1ai+1≤Zn+1
1f(x)dx≤n
X
i=1ai.