Cực trị địa phương và khai triển Taylor
Lê Đức Hưng
Bộ Môn Giải Tích, ĐH KHTN, Khoa Toán-Tin Học
Ngày 26 tháng 05 năm 2022
Nhắc lại: Hàm ngược
Giả sử ta có trường vectơ f:Rn→Rnkhả vi liên tục trong một tập mở
nào đấy chứa avà detJf(a)=0. Khi đó, tồn tại một tập mở Vchứa a
và tập mở Wchứa f(a)sao cho ánh xạ f:V→Wcó ánh xạ ngược liên
tục f−1:W→Vkhả vi đối với mọi y∈Wvà thỏa mãn hệ thức:
f−1′(y) = 1
f′(f−1(y))
và Jf−1(y) = (Jf(f−1(y)))−1.
Ví dụ
Cho (u=f(x,y) = xcosy
v=g(x,y) = xsiny
Chứng minh rằng tồn tại hàm ngược (x,y) = h(u,v)trong lân cận nào
đó của điểm (x0,y0) = (2,0). Tính Jh(u0,v0)với (u0,v0)ứng với (x0,y0).
Ví dụ
Cho (u=f(x,y) = xcosy
v=g(x,y) = xsiny
Chứng minh rằng tồn tại hàm ngược (x,y) = h(u,v)trong lân cận nào
đó của điểm (x0,y0) = (2,0). Tính Jh(u0,v0)với (u0,v0)ứng với (x0,y0).
Ta tính định thức của ma trận Jacobi:
detJ(f,g)(2,0) = det ∂f
∂x∂f
∂y
∂g
∂x∂g
∂y!(2,0)
= detcosy−xsiny
siny x cosy(2,0)
= det1 0
0 2
=2.
Theo Định lý hàm ngược, tồn tại h(u,v) = (x,y)trong lân cận của điểm
(2,0).
Khi đó, ma trận Jacobi của hàm ngược hđược tính bằng
Jh(u0,v0) = (J(f,g)(x0,y0))−1=1
22 0
0 1=1 0
01
2.
