Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố" cung cấp cho người học các kiến thức: Phép thử, biến cố, các loại biến cố; mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố; định nghĩa xác suất; các công thức xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 1 - ThS. Nguyễn Phương (2014)
- Chương 1:
BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG
Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 17 tháng 2 năm 2014
1
- 1 Phép thử, biến cố, các loại biến cố
2 Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố
Quan hệ tương đương
Tổng hai biến cố
Tích hai biến cố
Biến cố đối lập
3 Định nghĩa xác suất
Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa theo thống kê
Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn
4 Các công thức xác suất
Công thức cộng
Xác suất có điều kiện
Công thức nhân
Công thức xác suất đầy đủ
Công thức xác suất Bayes
Công thức Bernoulli
2
- Phép thử, biến cố, các loại biến cố
Phép thử
- Phép thử là một thí nghiệm/thực nghiệm để nghiên cứu một đối tượng
hay một hiện tượng nào đó.
- Một phép thử mà ta chưa biết kết quả nào xảy ta được gọi là phép thử
ngẫu nhiên.
Biến cố
- Một phép thử có thể có nhiều kết quả có thể xảy ra.
- Mỗi kết quả có thể xảy ra hay không xảy ra của phép thử được gọi là biến
cố.
- Các kết quả đơn giản nhất có thể xảy ra của phép thử được gọi là biến cố
sơ cấp.
- Tập hợp tất cả biến cố sơ cấp được gọi là không gian mẫu của phép thử.
- Biến cố là tập con của không gian mẫu, chứa các biến cố sơ cấp.
- Biến cố xảy ra khi và chỉ khi một biến cố sơ cấp thuộc nó xảy ra.
3
- Phép thử, biến cố, các loại biến cố
Phân loại biến cố
- Biến cố chắc chắn: biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử, được
ký hiệu là Ω.
- Biến cố không thể: biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép
thử, được ký hiệu là ∅.
- Biến cố ngẫu nhiên: biến cố có thể xảy ra, có thể không xảy ra khi thực
hiện phép thử, thường dùng các chữ in hoa đầu bảng Alphabet, chẳng
hạn A, B, . . . , A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn để ký hiệu cho biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ
Tung một con xúc xắc 6 chấm.
- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ.
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 7.
- C là biến cố xuất hiện mặt 7 chấm.
Ví dụ
Kiện hàng có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Lấy ra 5 sản phẩm để kiểm tra.
Cho ví dụ biến cố ngẫu nhiên, biến cố không thể, biến cố chắc chắn.
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Quan hệ tương đương
Quan hệ tương đương
Hai biến cố A và B được gọi là tương đương, ký hiệu là A = B, nếu A xảy ra
thì B xảy ra và ngược lại nếu B xảy ra thì A cũng xảy ra.
Ví dụ
Lấy ngẫu nhiên từ một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ ra 3 bi để kiểm tra.
Gọi A là biến cố có 3 bi xanh, B là biến cố không có bi đỏ.
Khi đó, A = B.
5
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố
Tổng hai biến cố
Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A + B hoặc A ∪ B, biến cố
này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra.
Nhận xét: A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra.
Ví dụ
Tung một con xúc xắc và xem mặt nào xuất hiện. Gọi C là biến cố xuất hiện
mặt chẵn.
- B là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm
- A là biến cố xuất hiện mặt 6 chấm
- D là biến cố xuất hiện mặt 2 chấm hoặc 4 chấm.
Hỏi: C = A + B? C = A + D?
Ví dụ
Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú. A là biến cố người thứ nhất bắn trúng. B
là biến cố người thứ hai bắn trúng. Hãy nêu ý nghĩa của C với C = A + B .
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tổng hai biến cố
Tổng n biến cố
Tổng của n biến cố A1 , A2 , . . . , An là một biến cố, kí hiệu A1 + A2 + · · · + An
hoặc A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất 1 trong n
biến cố A1 , A2 , . . . , An xảy ra.
Nhận xét: A1 + A2 + · · · + An xảy ra ⇔ A1 xảy ra hoặc A2 xảy ra hoặc . . .
hoặc An xảy ra.
Ví dụ
Có 3 thợ săn cùng bắn một con thú.
- A là biến cố người thứ nhất bắn trúng
- B là biến cố người thứ hai bắn trúng
- C là biến cố người thứ ba bắn trúng
- D là biến cố con thú bị trúng đạn
Hãy biểu diễn D theo A, B, C.
7
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố
Tích hai biến cố
Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu AB hoặc A ∩ B, biến cố
này xảy ra khi và chỉ khi cả 2 biến cố A, B xảy ra.
Nhận xét: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra.
Ví dụ
Có 2 thợ săn cùng bắn một con thú.
- A là biến cố người thứ nhất bắn trật.
- B là biến cố người thứ hai bắn trật.
Hãy nêu ý nghĩa của C với C = AB.
8
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố
Tích n biến cố
Tích của n biến cố A1 , A2 , . . . , An là một biến cố, kí hiệu A1 A2 . . . An hoặc
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An , biến cố này xảy ra khi và chỉ khi cả n biến cố
A1 , A2 , . . . , An xảy ra.
Nhận xét: A1 A2 · · · An xảy ra ⇔ A1 xảy ra và A2 xảy ra và . . . và An xảy ra.
Ví dụ
Kiểm tra chất lượng n sản phẩm. Ai là biến cố sản phẩm thứ i là sản phẩm
tốt. Hãy biểu diễn biến cố sau theo các Ai :
- C là biến cố tất cả các sản phẩm đều tốt
- D là biến cố có ít nhất một sản phẩm tốt
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố
Biến cố xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu A, B không thể đồng thời
xảy ra, tức là AB = ∅.
Biến cố xung khắc từng đôi
Các biến cố A1 , A2 , . . . , An được gọi là xung khắc từng đôi nếu không có bất
kỳ 2 biến cố nào trong n biến cố A1 , A2 , . . . , An đồng thời xảy ra, tức là bất kỳ
2 trong n biến cố này xung khắc với nhau.
Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ các biến cố Ai , i = 1, n được gọi là hệ đầy đủ nếu chúng xung khắc từng đôi
một và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra trong một phép thử. Nghĩa là
i) Xung khắc từng đôi 1 i.e Ai Aj = ∅ với mọi i , j.
ii) A1 + . . . + An = Ω
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Tích hai biến cố
Ví dụ
Khi kiểm tra 5 sản phẩm, biến cố "có 1 phế phẩm" và biến cố"có 2 phế phẩm"
là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ
Hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ.Lẫy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 bi. Gọi
Ai , (i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi xanh trong 3 bi lấy ra.
- A0 , A1 , A2 là các biến cố xung khắc từng đôi, nhưng không là hệ đầy đủ..
- A0 , A1 , A2 , A3 là hệ đầy đủ.
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập
Biến cố đối lập
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nếu A xảy ra thì B không xảy ra và A
không xảy ra thì B xảy ra. Khi đó, B được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
¯
Biến cố đối lập của biến cố A kí hiệu là A.
Nhận xét:
- AA = ∅, tức là hai biến cố đối lập thì xung khắc nhau.
- A + A = Ω.
Ví dụ
Một xạ thủ bắn 1 viên đạn vào bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng. Khi
¯ là biến cố xạ thủ bắn không trúng, tức là A
đó, A ¯ là biến cố xạ thủ bắn trật.
Ví dụ
Một xạ thủ bắn 5 viên đạn vào bia. Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trật. Khi đó,
¯ là biến cố xạ thủ bắn không trật, tức là A
A ¯ là biến cố xạ thủ bắn trúng ít
nhất 1 viên.
- Mối quan hệ và các phép toán giữa các biến cố Biến cố đối lập
Ví dụ
Kiểm tra 3 sản phẩm do một nhà máy sản xuất.Gọi Ai là biến cố sản phẩm
thứ i hỏng.
Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai :
i) A là biến cố cả 3 sản phẩm đều hỏng.
ii) B là biến cố cả 3 sp đều không hỏng.
iii) C là biến cố có 1 sp bị hỏng.
iv) D là biến cố có 1 sp không bị hỏng.
v) E là biến cố có ít nhất 1 sp bị hỏng.
vi) F là biến cố có ít nhất 2 sp bị hỏng.
13
- Định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển về xác suất
Định nghĩa
Xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), là tỷ số giữa số trường hợp thuận lợi
cho A và số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử.
số trường hợp thuận lợi đối với A nA
P(A) = =
số trường hợp có thể N
Ví dụ
Gieo 1 con xúc sắc cân đối. Tính xác suất
i) Xuất hiện mặt 6 chấm.
ii) Xuất hiện mặt có số chấm chia hết 3.
Ví dụ
Từ một hộp chứa 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản
phẩm. Tính xác suất lấy được 2 chính phẩm.
14
- Định nghĩa xác suất Định nghĩa theo thống kê
Định nghĩa
- Tần suất của biến cố: Nếu thực hiện phép thử n lần, trong đó biến cố A
xuất hiện nA lần thì tần suất của biến cố A, kí hiệu fn (A), là tỉ số nnA .
nA
fn (A) =
n
- Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A), P(A) = lim fn (A).
n→∞
Trong thực hành, khi n đủ lớn ta lấy P(A) ≈ fn (A).
Ví dụ
Để kiểm tra tỉ lệ phế phẩm của một container , người ta kiểm tra lần lượt
1000 sản phẩm thì thấy có 6 phế phẩm.
6
P(A) ≈ fn (A) = = 0, 6%.
1000
15
- Định nghĩa xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn
Nguyên lý xác suất nhỏ
Trong thực tế, có thể coi một biến cố có xác suất rất nhỏ bằng α (gần 0)
không xuất hiện trong một phép thử.
Như vậy, nếu trong một phép thử, biến cố xuất hiện thì ta coi xác suất xuất
hiện của nó lớn hơn α.
Nguyên lý xác suất lớn
Trong thực tế, có thể coi một biến cố có xác suất rất lớn bằng β (gần 1) nhất
định xuất hiện trong một phép thử.
Tùy từng lĩnh vực áp dụng mà α có thể được lấy là 0,05; 0,01;. . . ; β có thể
được lấy 0,95; 0,99;. . .
16
- Các công thức xác suất Công thức cộng
Công thức cộng
i) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì
P(A + B) = P(A) + P(B)
ii) Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An xung khắc từng đôi thì
P(A1 + A2 + · · · + An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · + P(An )
¯ =1
Nhận xét: P(A) + P(A)
Ví dụ
Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 4 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ hộp
đó ra 3 sản phẩm.
a) Tính xác suất có không quá 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra.
b) Tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra.
17
- Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện
Định nghĩa
Xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là
xác suất của biến cố A với điều kiện B, kí hiệu P(A|B).
Ví dụ
Một lọ có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đen. Từ lọ này lấy lần lượt ra 2 viên bi,
mỗi lần lấy một bi (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần lấy thứ hai được
viên bi trắng biết lần lấy thứ nhất đã lấy được viên bi trắng.
Ví dụ
Cho 2 hộp. Hộp 1 có 6 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B. Hộp 2 có 13 sản
phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Từ hộp 1 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm bỏ
sang hộp 2, rồi từ hộp 2 lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm ra ngoài. Tính xác suất
a. Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại A.
b. Từ hộp 2 lấy được 2 sp loại A, biết rằng sp bỏ sang từ hộp 1 là sp loại B.
18
- Các công thức xác suất Xác suất có điều kiện
Công thức
P(AB) nAB
P(A|B) = =
P(B) nB
Tính chất
i) 0 ≤ P(A|B) ≤ 1.
¯
ii) P(A|B) + P(A|B) = 1.
Ví dụ
Một nhóm 100 người (30 nữ, 70 nam) có: 20 người hút thuốc, trong đó có 5 nữ
hút thuốc. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 100 người này. Tính xác
suất:
a) Người này hút thuốc biết rằng người này là nữ.
b) Người này là nữ biết rằng người này hút thuốc.
19
- Các công thức xác suất Công thức nhân
Công thức nhân
i) Nếu A và B là 2 biến cố bất kì thì P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
ii) Nếu A và B là 2 biến cố độc lập thì P(AB) = P(A)P(B).
iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An là n biến cố bất kì thì
P(A1 A2 ...An ) = P(A1 ).P(A2 |A1 )...P(An |A1 A2 ...An−1 )
iii) Nếu A1 , A2 , . . . , An là n biến cố độc lập thì
P(A1 A2 . . . An ) = P(A1 )P(A2 ) . . . P(An )
Ví dụ
Ba người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả vào rổ. Xác suất ném trúng rổ
của từng người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất
a) Cả 3 người ném trúng rổ.
b) Cả 3 người ném trật rổ.
c) Có ít nhất một người ném trúng rổ.
d) Có 2 người ném trúng rổ.
e) Người thứ ba ném trật, biết rằng có hai người ném trúng rổ.
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
