Bài tập chương 1
Bài 1.1. Gọi P, Q, R là các mệnh đề:
P:= “Bình đang học Toán”
Q:= “Bình đang học Tin học”
R:= “Bình đang học Anh văn”
Hãy viết lại các mệnh đề dưới đây dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các
phép toán
a)Bình đang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin học
b)Bình đang học Toán và Tin học nhưng không học cùng một lúc Tin học và
Anh văn
c)Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán
d)Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán
e)Bình không học Tin học lẫn Anh văn nhưng đang học Toán
Bài 1.2. Phủ định các mệnh đề sau
a)Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài
b) 15 chia hết cho 3nhưng không chia hết cho 4
c)Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình
thoi
d)Nếu An không đi làm ngày mai thì sẽ bị đuổi việc
e)Mọi tam giác đều có các góc bằng 60 độ
Bài 1.3. . Gọi P, Q, R là các mệnh đề sau:
P:ABC là tam giác cân
Q:ABC là tam giác đều
R:Tam giác ABC có ba góc bằng nhau
Hãy viết các mệnh đề sau theo ngôn ngữ thông thường
a)Q→P
b)¬P→Q
1
c)P∧ ¬Q
d)R→P
Bài 1.4. Hãy kiểm tra các suy luận sau
p→q
¯q
¯r
∴p∨r
p→(q→r)
¯q→¯p
p
∴r
p∧q
p→(r∧q)
r→(s∨t)
¯s
∴t
p∨q
¯q∨r
¯r
∴q
p
¯p→q
(q∧r)→s
t→r
∴¯s→¯
t
Bài 1.5.
a)Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh
(p→q)∧¯q∧(q→r)⇔¯q∧¯p
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈N,∀y∈R,(x2+y > 5) ∨(x+y < 4)”.
Bài 1.6.
a)Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh
(p∧q∧r)⇔(p→q∨(p∧¯r))
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= ”∀x∈R,∃y∈R,(x2> y2)→(x < y)”.
Bài 1.7.
a)Chứng minh [(p→q)∧r]∧q→(¯p∧r)là hằng đúng.
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P: “∀x∈R,∃y∈R, x2−3y+ 2 ≤0”.
Bài 1.8.
a)Chứng minh [(p→q)∧q]→plà hằng đúng.
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P: “∀x∈R,∀y∈R,(x2> y2)→(x > y)”.
Bài 1.9.
ha)Cho p, q, r là các biến mệnh đề, đặt E= (p∧¯r)∨((p∧(p∨q)) →r). Hỏi Elà
hằng đúng hay hằng sai? Tại sao?
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈N,∀y∈R, x + 2y < 2hoặc x2+y6= 3”.
2
Bài 1.10.
a)Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh
(p∧q)∨r⇔(p→¯q)∧¯r
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈R,∃y∈R,(x+y= 3) ∧(x−y < 1)”.
Bài 1.11.
a)Cho p, q, r là các biến mệnh đề, đặt E=p∧¯r∧(¯r→¯p)∧(q∨r). Hỏi Elà
hằng đúng hay hằng sai? Tại sao?
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈R,∀y∈Z, x + 2y6= 3 hoặc 3x−4y6= 4”.
Bài 1.12.
a)Cho dạng mệnh đề E= [(r→p)∧q]→(¯p∨r).Tìm chân trị của qvà rbiết
rằng Eđúng, psai.
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈Z,∀y∈R, x +y6= 2 hoặc 2x−y= 1”.
Bài 1.13.
a)Cho p, q, r là các biến mệnh đề. Chứng minh
(¯p∨q)∧(p→r)⇔p→(q∧r).
b)Phủ định và tìm chân trị của mệnh đề
P= “∀x∈N,∀y∈R,(|x|=|y|)→(x=y)”.
Bài tập chương 2
Bài 2.1.
a)Cho X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.Hỏi có bao nhiêu tập hợp con Xcủa A
chứa 4phần tử và nhận 2hoặc 3làm phần tử nhỏ nhất.
b)Giải hệ thức đệ quy
xn−5xn−1+ 6xn−2=n−3với n≥2;
x0= 1;
x1= 3.
Bài 2.2.
a)Tìm số cách chia 15 viên bi giống nhau cho 4đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ đều
có bi và đứa lớn nhất được ít nhất 5 viên bi.
b)Cho dãy anxác định bởi: an= 4an−1−4an−2+ 4 với n≥2, a0= 1, a1= 2.
Tìm biểu thức của antheo n.
3
Bài 2.3.
a)Cho A={n∈N|10 ≤n≤89}.Hỏi có bao nhiêu tập con của Agồm 5 phần
tử, trong đó có đúng 2 phần tử có chữ số tận cùng giống nhau.
b)Cho dãy anxác định bởi: an= 5an−1−6an−2+ 2 với n≥3, a1= 1, a2= 2.
Tìm biểu thức của antheo n.
Bài 2.4.
a)Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x+y+z+t= 20,biết x≥1, y ≥
2, z ≥3, t ≥4.
b)Cho dãy anxác định bởi: an= 5an−1−6an−2+ 2 với n≥2, a0= 4, a1= 9.
Tìm biểu thức của antheo n.
Bài 2.5.
a)Cho A={1,2,3,4,5,6,7,8}.Hỏi có bao nhiêu tập con của Achứa phần tử 2
và 3.
b)Cho dãy anxác định bởi: an= 4an−1−4an−2+ 2 với n≥2, a0= 1, a1= 2.
Tìm biểu thức của antheo n.
Bài 2.6.
a)Có bao nhiêu chia 18 viên bi giống nhau cho 4đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ
đều có bi và đứa lớn nhất được ít nhất 6 viên bi.
b)Cho dãy anxác định bởi: an= 6an−1−9an−2+ 4 với n≥2, a0= 1, a1= 2.
Tìm biểu thức của antheo n.
Bài 2.7.
a)Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x+y+z+t= 16 thỏa điều kiện
2≤x≤5, y ≥1, z ≥2, t ≥3.
b)Giải hệ thức đệ quy
xn−4xn−1+ 4xn−2= 6 với n≥2;
x0= 1;
x1= 4.
Bài 2.8.
a)Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x+y+z+t= 12 thỏa điều kiện
x≥0, y ≥1, z ≥2, t ≥3.
b)Giải hệ thức đệ quy
4xn−4xn−1+xn−2= 0 với n≥2;
x0= 2;
x1= 4.
Bài 2.9.
4
a)Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1+x2+x3+x4= 8 biết
x1≥1hay x2≥2.
b)Giải hệ thức đệ quy:
xn−8xn−1+ 15xn−2= 0 với n≥2;
x0= 1;
x1= 9.
Bài 2.10.
a)Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x+y+z+t= 15 thỏa điều kiện
x≥1, y ≥2, z ≥2, t ≥3.
b)Giải hệ thức đệ quy
xn−5xn−1+ 6xn−2= 2n+ 1 với n≥2;
x0= 1;
x1= 2.
Bài tập chương 3
Bài 3.1. Cho tập A={1,2,3,4}và quan hệ ℜtrong Axác định dưới đây. Hãy xác
định xem trong từng trường hợp ℜcó các tính chất phản xạ, đối xứng, phản xứng,
bắc cầu không?
a) ℜ={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)}
b) ℜ={(1,1),(2,2),(3,3),(3,4)}
c) ℜ={(a, b)| |a−b| ≤ 2}
d) ℜ={(a, b)|hiệu a−bchia hết cho 2}
e) ℜ={(a, b)| |a−b|>3}
f) ℜ={(a, b)| |a−b|= 1}
Bài 3.2. Trên tập hợp A={−2,−1,1,2,3,4,5}. Ta xét quan hệ hai ngôi ℜnhư
sau:
xℜy⇔x−3ychẵn.
a) Chứng minh ℜlà quan hệ tương đương.
b)Tìm các lớp tương đương của [1], [2].
Bài 3.3. Trên tập hợp A={−2,−1,0,2,3}, ta xét quan hệ hai ngôi ℜnhư sau:
xℜy⇔x2−2x=y2−2y.
a) Liệt kê các phần tử của tập quan hệ ℜtrên A.
b)Tìm tập hợp Xcó vô hạn phần tử để ℜlà một quan hệ thứ tự trên X. Giải
thích?
5