Bài tập chương 2

Lưu ý: N: Tập hợp số tự nhiên, Z: Tập hợp số nguyên, R: Tập hợp số thực.

Bài 2.1. Giả sử A = { 1, {1}, {2} }. Hãy chỉ ra các khẳng định đúng trong số các khẳng định sau:

a) 1 ∈ A b) {1} ∈ A c) {1} ⊂ A

d) {{1}} ⊂ A e) {{2}} ∈ A f) {2} ⊂ A

Bài 2.2. Xét 4 tập hợp con của tập hợp vũ trụ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}:

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2, 4, 8}

C = {1, 2, 3, 5, 7}; D = {2, 4, 6, 8}

Hãy xác định các tập hợp sau:

a) (A ∪ B) ∩ C b) A ∪ (B ∩ C) c) C ∪ D

d) C ∩ D e) (A ∪ B) ∩ C f) A ∪ (B ∩ C)

Bài 2.3. Cho A, B, C là các tập hợp. Chứng minh rằng:

a) A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\(A ∩ C)

b) (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B)

c) A\(A ∩ B) = (A ∪ B)\B

Bài 2.4. Cho f, g : R → R được xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + x − 1. Hãy tìm g◦f và f◦g? Bài 2.5. Xét hai ánh xạ f, g : R → R xác định bởi: f (x) = ax + b và g(x) = 1 − x + x2. Giả sử g◦f (x) = 9x2 − 9x + 3, hãy xác định a, b. Bài 2.6. Xét ánh xạ f : R → R xác định bởi f (x) = x2 − 3. Hãy tìm f (A) và f −1(A) đối với mỗi tập hợp A dưới đây:

a) A = {2, 3} b) A = {−3, −2, 2, 3}

c) A = (−3, 3) d) A = (−3, 2]

e) A = [−7, 2] f ) A = (−4, −3] ∪ [5, 6]

Bài 2.7. Với mỗi ánh xạ f : Z → Z dưới đây, hãy xác định xem nó có là đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh không? Trong trường hợp nó là song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược?

a) f (x) = x + 7 b) f (x) = 2x − 3 c) f (x) = −x + 5

e) f (x) = x2 e) f (x) = x2 + x

f) f (x) = x3 Bài 2.8. Các câu hỏi tương tự như trong bài tập 2.6 nhưng f bây giờ là một ánh xạ f : R → R

Bài 2.9. Với mỗi ánh xạ f : A → B dưới đây, cho biết nó có đơn ánh, toàn ánh hoặc song ánh không? Trong trường hợp nó là song ánh, hãy tìm ánh xạ ngược?

a) A = B = R, f (x) = x + 7

b) A = B = R, f (x) = x2 + 2x − 3

c) A = [4, 9], B = [21, 96], f (x) = x + 7

d) A = R, B = (0, +∞), f (x) = 2x+1

e) A = B = N, f (x) = x(x + 1)