BÀI TẬP CHUỖI SỐ,
CHUỖI LŨY THỪA
Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG.HCM
1 - BÀI TẬP CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA
2 - BÀI TẬP CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA
Đây là tài liệu được mình tổng hợp từ nhiều nguồn khác nhau trên các trang mạng. Là một
số bài tập về chuỗi số, chuỗi lũy thừa cơ bản (không sử dụng kiến thức VCB, VCL) trong
học phần Vi tích phân 1B dành cho sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên. Dưới đây
là các bài tập và lời giải, về phần lí thuyết, các bạn xem lại trong giáo trình Vi tích phân 1.
Cảm ơn rất nhiều!
Lưu ý: Đây chỉ là lời giải tham khảo, sinh viên nên trình bày theo yêu cầu của giảng viên
giảng dạy trên lớp.
I. Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số.
1)
Ta có: ;
Xét:
Do đó hai chuỗi và có cùng tính chất (cùng hội tụ hoặc cùng phân kì).
Mà hội tụ (vì là chuỗi hình học có ).
Nên chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2).
2)
Số hạng tổng quát của chuỗi là .
Xét , do đó không thể có , nghĩa là điều kiện cần để chuỗi hội tụ
không thỏa.
Vậy chuỗi phân kì.
3)
Ta có:
Xét
Vậy chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.
4)
Số hạng tổng quát:
3 - BÀI TẬP CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA
Ta có: .
Mà chuỗi hội tụ nên chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 1).
Suy ra hội tụ.
5)
Ta có: ; .
Xét:
Do đó hai chuỗi và có cùng tính chất (cùng hội tụ hoặc cùng phân kì).
Mà là chuỗi Dirichlet có nên chuỗi hội tụ.
Nên chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2).
6)
Ta có: ; .
Xét:
Mà chuỗi hội tụ nên chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2).
7)
, .
4 - BÀI TẬP CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA
Vậy chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn d’Alembert.
8)
Ta có: ; .
Xét:
Do đó hai chuỗi và có cùng tính chất (cùng hội tụ hoặc cùng phân kì).
Mà là chuỗi Dirichlet có nên chuỗi phân kì.
Nên chuỗi phân kì (theo tiêu chuẩn so sánh 2).
9)
Chuỗi có số hạng tổng quát .
Ta có: .
Mà là chuỗi Dirichlet có nên chuỗi hội tụ.
10)
,
Vậy chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn d’Alembert.
11)
5 - BÀI TẬP CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA