Bài tập và gợi ý trả lời
1
BÀI 4: NGHIÊN CỨU THỐNG KÊ CÁC MỨC ĐỘ
CỦA HIỆN TƯỢNG KINH TẾ - XÃ HỘI
Câu 1.
Có thông tin về độ tuổi của 36 triệu phú ở Mỹ như sau:
31
64
39
66
68
45
60
54
53
79
75
47
74
59
64
48
69
71
71
42
39
57
55
61
79
48
68
67
42
79
38
48
77
52
52
66
Yêu cầu:
a. Xây dựng bảng tần số phân bố với 6 tổ có khoảng cách tổ bằng nhau.
b. Tính tuổi bình quân của các triệu phú trên theo hai cách:
- Từ tài liệu ban đầu
- Từ tài liệu phân tổ
So sánh hai kết quả trên và cho biết kết quả nào chính xác hơn.
c. Tính trung vị về tuổi của các triệu phú trên.
Gợi ý làm bài
a. Xây dựng bảng tần số phân bố với 6 tổ có khoảng cách tổ bằng nhau.
Xác định khoảng cách tổ
8
6
3179
minmax
n
xx
h
Độ tuổi
31-39
39-47
47-55
55-63
63-71
71-79
b. Tính tuổi bình quân của các triệu phú trên theo hai cách:
- Từ tài liệu ban đầu
- Từ tài liệu phân tổ
So sánh hai kết quả trên và cho biết kết quả nào chính xác hơn.
Tuổi bình quân tính từ tài liệu ban đầu:
53,58
36
2107
n
x
xi
Tuổi bình quân tính từ tài liệu đã phân tổ:
59
36
2124
i
ii
f
fx
x
Như vậy chúng ta thấy kết quả tính tuổi bình quân từ số liệu ban đầu khác với kết quả tính từ
tài liệu đã được phân tổ, sự khác biệt này là do trong trường hợp phân tổ có khoảng cách tổ,
chúng ta lấy trị số giữa làm lượng biến đại diễn cho tổ đó, tuy nhiên trong thực tế nếu trong
Bài tập và gợi ý trả lời
2
mỗi tổ các đơn vị không phân phối đều thì sẽ dẫn đến trị số giữa không hoàn toàn đại diện
cho lượng biến của tổ đó.
c. Tính trung vị về tuổi của các triệu phú trên.
Trước hết sắp xếp các đơn vị theo một trật tự, chúng ta biết tổng số đơn vị là 36, như vậy đơn vị ở
giữa là đơn vị thứ 18 và thứ 19, trung vị được tính bằng trung bình của 2 lượng biến ở giữa.
5,59
2
6059
21918 xx
Me
Câu 2.
Một nhà nghiên cứu xã hội học đã nghiên cứu tình trạng tội phạm ở một địa phương. Sau khi thu
thập tài liệu, ông đã tính được tỷ lệ phần trăm tội phạm so với năm liền trước như sau (tốc độ
phát triển):
Năm
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Tốc độ phát triển (%)
96
105
110
103
106
95
Yêu cầu:
a. Tính tốc độ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2006-2009.
b. Tính tốc độ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2005-2010.
c. Ông ta đã tìm thêm được một tài liệu cho biết rằng, trong những năm trước đây, từ 2001 đến
2004, tốc độ phát triển tội phạm trung bình là 102% một năm. Hãy tính tốc độ phát triển
trung bình về số lượng tội phạm của địa phương trong giai đoạn 2001-2010.
Gợi ý làm bài:
a. Tính tốc độ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2006-2009.
Trong trường hợp này dùng bình quân nhân giản đơn về tốc độ phát triển trong 4 năm. Công
thức như sau:
0597,106,103,110,105,1...... 4
21 ni
nnxxxxx
b. Tính tốc độ phát triển trung bình về số lượng tội phạm trong các năm 2005-2010.
Cũng tương tự như câu a, chúng ta tính bình quân nhân giản đơn của 6 năm.
0236,195,006,103,110,105,196,0...... 6
21 ni
nnxxxxx
Hoặc chúng ta có thể tính theo công thức số bình quân nhân gia quyền, có 4 năm có tốc độ
phát triển là 1,0597 (tính ở câu a) và 1 năm có tốc độ phát triển là 0,96 và 1 năm có tốc độ
phát triển là 0,95.
0236,195,00597,196,0...... 64
21 21 ii
inff
i
ff
n
ff xxxxx
c. Ông ta đã tìm thêm được một tài liệu cho biết rằng, trong những năm trước đây, từ 2001 đến
2004, tốc độ phát triển tội phạm trung bình là 102% một năm. Hãy tính tốc độ phát triển
trung bình về số lượng tội phạm của địa phương trong giai đoạn 2001-2010.
Chúng ta sử dụng công thức số bình quân nhân gia quyền của 10 năm, 4 năm (‘2001-2004)
có tốc độ phát triển là 102%, và 6 năm (2005-2010) có tốc độ phát triển là 102,36% (tính ở
câu b).
0221,10236,102,1...... 10 64
21 21 ii
inff
i
ff
n
ff xxxxx
Bài tập và gợi ý trả lời
3
Câu 3.
Có tài liệu phân tổ lao động theo tiêu thức năng suất lao động ở 1 công ty như sau:
Năng suất lao động (kg)
Số lao động
<400
400-500
500-700
700-1000
1000-1200
1200
10
15
35
42
15
8
Hãy tính:
a. Năng suất lao động trung bình
b. Mốt về năng suất lao động
c. Số trung vị về năng suất lao động
d. Phương sai về năng suất lao động
e. Nhận xét về phân phối của số lao động theo năng suất lao động
Gợi ý làm bài:
a. Năng suất lao động trung bình
Trong trường hợp này, xi là năng suất lao động từng tổ, fi là số lao động từng tổ, ta có công
thức tính năng suất lao động bình quân như sau:
8,750
125
93850
i
ii
f
fx
x
(kg/CN)
b. Mốt về năng suất lao động
Để xác định Mốt trước hết phải xác định tổ chứa mốt (vì đây là phân tổ có khoảng cách tổ
không bằng nhau nên tổ chứa mốt là tổ có mật độ phân phối lớn nhất), như vậy tổ chức mốt
là tổ thứ 3 (có mức năng suất lao động từ 500-700).
33,583
)14,0175,0()15,0175,0(
15,0175,0
200500
)()( 11
1
(min)
MoMoMoMo
MoMo
MoMo mmmm
mm
hxMo
c. Số trung vị về năng suất lao động
Để xác định trung vị trước hết phải xác định tổ chứa trung vị (là tổ chứa đơn vị ở vị trí giữa,
vì tổng số đơn vị là 125, cho nên đơn vị ở vị trí giữa là đơn vị thứ 63) tổ chứa đơn vị thứ 63
là tổ thứ 4 (700-1000) (dựa vào tần số tích luỹ để xác định)
86,717
42
60
2
125
300700
21
(min)
Me
Me
i
MeMe f
S
f
hxMe
(kg)
d. Phương sai về năng suất lao động
Chúng ta áp dụng công thức sau:
Bài tập và gợi ý trả lời
4
e. Nhận xét về phân phối của số lao động theo năng suất lao động
Chúng ta thấy
xMeMo
đây là dãy số phân phối chuẩn lệch phải.
Câu 4.
Có tài liệu về một cơ sở sản xuất trong quí I và II, năm 2012 như sau:
Phân
xưởng
Quý I
Quý II
Chi phí sản xuất
(nghìn đồng)
Giá thành
sản phẩm
(nghìn đồng)
Sản lượng
(nghìn đồng)
Giá thành
sản phẩm
(nghìn đồng)
A
3850
35
135
40
B
7200
50
180
45
C
6300
70
120
68
Yêu cầu:
a. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong quí I/2012.
b. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong quí II/2012.
c. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong 6 tháng đầu năm 2012.
d. Xác định tỷ trọng về sản lượng của từng phân xưởng trong quý I.
Gợi ý làm bài
a. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong quí I/2012.
Lượng biến trong trường hợp này là giá thành sản phẩm từng phân xưởng, chi phí sản xuất
đóng vai trò là tổng lượng biến.
Ta có công thức:
44,50
344
17350
i
i
i
x
M
M
x
(nghìn đồng/sản phẩm)
b. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong quí II/2012.
Lượng biến trong trường hợp này là giá thành sản phẩm từng phân xưởng, sản lượng đóng
vai trò là quyền số.
Ta có công thức:
79,49
435
21660
i
ii
f
fx
x
(nghìn đồng/sản phẩm)
c. Tính giá thành trung bình của cơ sở sản xuất trong 6 tháng đầu năm 2012.
Trong trường hợp này, lượng biến giá thành sản phẩm trung bình trong từng quý, chi phí sản
xuất của các phân xưởng trong từng quý đóng vai trò là tổng lượng biến hoặc sản lượng của
các phân xưởng trong từng quý đóng vai trò là quyền số
08,50
435344
43579,4934444,50
i
ii
f
fx
x
(nghìn đồng/sản phẩm)
d. Xác định tỷ trọng về sản lượng của từng phân xưởng trong quý I.
Công thức tính tỷ trọng
)100(
i
i
iy
y
d
Phân xưởng A:
98,31100
344
110
A
d
(%)
Bài tập và gợi ý trả lời
5
Phân xưởng B:
86,41100
344
144
B
d
(%)
Phân xưởng C:
16,26100
344
90
C
d
(%)
Câu 5.
Khi nghiên cứu về thu nhập trung bình và chi tiêu trung bình của các hộ gia đình trong một địa
phương năm 2012, nguời ta thu được kết quả sau:
Chỉ tiêu
Số trung bình
(nghìn đồng)
Phương sai
Thu nhập
3500
8540
Chi tiêu
3000
4100
Yêu cầu:
a. Hãy xác định trong hai chỉ tiêu trên, chỉ tiêu nào có độ biến thiên lớn hơn.
b. Nếu biết thêm trung vị về thu nhập là 3.200 nghìn đồng. Hãy cho biết số hộ gia đình có thu
nhập lớn hơn thu nhập trung bình sẽ chiếm đa số hay thiểu số?
Gợi ý làm bài
a. Để xác định chỉ tiêu nào lớn hơn phải tính hệ số biến thiên vì đây là hai hiện tượng khác loại.
Công thức tính hệ số biến thiên:
100
x
V
Hệ số biến thiên của thu nhập:
64,2100
3500
8540
TN
V
(%)
Hệ số biến thiên của chi tiêu:
13,2100
3000
4100
CT
V
(%)
Như vậy, thu nhập biến thiên nhiều hơn so với chi tiêu.
b. Nếu Trung vị về thu nhập là 3.200 nghìn đồng, thu nhập trung bình là 3500 (nghìn đồng) như
vậy chúng ta thấy rằng
xMe
, có nghĩa là dãy số phân phối lệch phải, số hộ gia đình có thu
nhập lớn hơn thu nhập trung bình sẽ chiếm thiểu số.