Ví dụ 1: Cho hình chóp
SABC
có
SA ABC
, các tam giác
ABC
và
SBC
không vuông. Gọi
và
K
lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC
và
SBC
. Chứng minh rằng:
a)
AH
,
SK
,
BC
đồng quy.
b)
SC BHK
.
c)
HK SBC
.
Giải:
a) Gọi
E AH BC
, ta có:
BC AE
BC SA
BC SAE
BC SE
SE
là đường cao của
SBC
K SE
.
C
B
A
S
H
E
K
Vậy ba đường thẳng
AH
,
SK
,
BC
đồng quy tại
E
.
b) Ta có:
BH AC
BH SA
BH
SAC
BH
SC
.
Mặt khác, ta có:
BK
SC
.
Do đó
SC
BHK
.
c) Do
SC
BHK
nên
HK
SC
.
Mà
HK
BC
.
Do đó
HK
SBC
.
Ví dụ 2: Cho hình chóp
S
.
ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
,
SA
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
. Gọi
,
I
,
K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên
SB
,
SC
,
SD
.
a) Chứng minh rằng
BC
SAB
,
CD
SAD
.
b) Chứng minh rằng
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
BD
.
c) Chứng minh rằng
AH
,
AK
cùng vuông góc với
SC
. Từ đó suy ra ba thẳng
AH
,
AI
,
AK
cùng
chứa trong một mặt phẳng.
d) Chứng minh rằng
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK AI .
e) Tính diện tích tứ giác AHIK , biết SA AB a.
Mặt khác, ta có:
AC
BD
vì
ABCD
là hình vuông.
Do đó
BD
SAC
tại trung điểm
O
của
BD
.
AH SB
AH BC
AH
SBC
AH
SC
.
Chứng minh tương tự ta được
AK
SC
.
Như vậy, vì
AH
,
AI
,
AK
cùng vuông góc với
SC
nên ba đường thẳng
AH
,
AI
,
AK
cùng chứa trong
một mặt phẳng qua
A
và vuông góc với
SC
.
d) Giả sử
HK
cắt
AI
tại
E
.
Nhận xét rằng:
SAB
SAD
c
.
g
.
c
SH
SK
.
Trong
SBD
, ta có:
SH SK
SB SD
HK
BD
và
E
là trung điểm của
HK
.
Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra
HK
SAC
tại trung điểm
E
của
HK
.
B
C
A
D
O
K
H
I
E
Vậy
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn BD .
c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được:
a) Từ giả thiết SA BC .
Mặt khác, ta có: AB BC vì ABCD là hình vuông.
Suy ra BC
SAB
.
Chứng minh tương tự ta được CD
SAD
.
b) Từ giả thiết SA
ABCD
SA BD .
Vậy
SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
HK
.
Từ kết quả
HK
SAC
suy ra
HK
AI
.
e) Ta có: 1
.
S
AHIK
2
AI HK
.
Trong
SAC
vuông tại
A
, ta được:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
AI SA AC a
2
a
6
3
a
AI .
Trong
SBD
, ta được:
1
2
SH SK
SB SD
HK
là đường trung bình
2
2
a
HK .
Vậy
1 6 2
2
3
. .
AHIK
2 3 2 6
a a a
S .
Ví dụ 3: Cho
ACD
và
BCD
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
AC
AD
BC
BD
a
và
CD
2
x
. Gọi
I
,
J
theo thứ tự là trung điểm của
AB
và
CD
.
a) Chứng minh rằng
IJ
vuông góc với
AB
và
CD
.
b) Tính
AB
và
IJ
theo
a
và
x
.
c) Xác định
x
sao cho
ABC
ABD
.
S
Giải:
a) Xét
ACD
và
BCD
, ta có:
CD chung
AC AD BC BD
AJ
BJ
JAB
cân tại
J
IJ
AB
.
Xét
CAB
và
DAB
, ta có:
AB chung
AC AD BC BD
DI
CI
ICD
cân tại
I
IJ
CD
.
b) Trong
AJC
vuông tại
J
, ta có:
AJ
2
AC
2
CJ
2
a
2
x
2
AJ
a
2
x
2
.
Nhận xét rằng:
ACD BCD
ACD BCD CD
AJ CD
AJ
BCD
AJ
BJ
.
Trong
AJB
vuông cân tại
J
, ta có:
AB
AJ
22
a
2
x
2
và
2
2 2
2 2
a x
AB
IJ
.
c) Nhận xét rằng:
ABC
ABD
AB
DI AB
Do đó, để
ABC
ABD
điều kiện là:
DI
ABC
DI
CI
ICD
vuông tại đỉnh
I
CB
D
A
I
J
1
2
IJ
CD
22 2 1
.2
2 2
a x
x
a
x
3
.
Vậy với
a
x
3
thì hai mặt phẳng
ABC
và
ABD
vuông góc với nhau.
Ví dụ 4: Cho hình chóp
S
.
ABCD
có đáy
ABCD
là một hình thoi tâm
I
cạnh
a
và có
60
0
A, cạnh
6
2
a
SC và
SC
vuông góc với mặt phẳng
ABCD
.
a) Chứng minh
SBD
SAC
.
b) Trong
SCA
kẻ
IK
SA
tại
K
. Hãy tính độ dài
IK
.
c) Chứng minh B
KD
90
0
và từ đó suy ra
SAB
SAD
.
Giải:
a) Ta có:
BD AC
BD SAC
BD SC
SBD SAC
.
b) Trong
ABD
có
0
60
A nên nó là tam giác đều, do đó
BD a
,
3
2
a
AI
3
AC a
.
Trong
SAC
vuông tại
C
, ta có:
2
2
2
2 2 2
6 9
3
2 2
a a
SA SC AC a
3 2
2
a
SA .
Vì hai tam giác
AKI
và
ACS
đồng dạng nên
IK AI
SC SA
.
2
SC AI a
IK
SA
.
c) Trong
KBD
trung tuyến
KI
thỏa mãn: 1
2
KI BD
KBD
vuông tại
K
0
90
BKD .
Ta có:
SA BD
SA IK
SA KBD
SA KB
SA KD
0
, , 90
SAB SAD KB KD
SAB SAD
.
Ví dụ 5: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA SB SC AB AC a
và
2
BC a
. Tính góc giữa hai
đường thẳng
SC
và
AB
.
Giải:
Cách 1: Gọi
M
,
N
,
P
theo thứ tự là trung điểm của
SA
,
SB
,
AC
.
Khi đó, ta nhận thấy:
MP SC
MN AB
, ,
SC AB MP MN
.
A
D
B
C
S
I
K
B
C
A
S
MN
P
Trong
MNP
, ta có:
2 2 2
cos
2 .
MN MP NP
NMP
MN MP
.
Ta lần lượt có:
1
2 2
a
MN
AB
(vì
MN
là đường trung bình),
1
2 2
a
MP
SC
(vì
MP
là đường trung bình).
Trong
SBP
, theo định lý đường trung tuyến ta có:
2
2 2 22
2
SB
PB PS NP .
Nhận xét rằng:
- Vì
ABC
vuông tại
A
c
ó
AB
2
AC
2
BC
2
nên:
2 2
2 2 2 2
5
4 4
a a
PB AB AP a .
- Vì
SAC
đểu
c
ó
SA
SC
AC
a
nên
3
2
a
PS .
Do đó
3
2
a
NP
1
cos
2
NMP
N
MP
120
0
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 18001200600.