BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I

y

x

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1.

11.

2

 1

y

 

2.

2

y

 

y

12.

y

 

3.

2

2

4

4

y   1  x   x

2 2 2 x 2 x y

4.

13. 

 1

  y x

 0  y cos 2 y sin   y y 1 sin cos x cos 1  sin x  2 2    y xy x 1 2 1 

 y    y  0  1 y   x

14.

5.

y

6.

2 1

   

x

4

y

2

2

y   y    1 y 1 2 y 1 1 x   y e  x y  1 y   4 x   y

2

2

2 x e dx

8.

   1

 y dy

2

y y

  2 xy dx 2 y dx

15. 16. y 17.  y e dy 18. 2

 0

 2 yx dy  x dy

2

    y 2 y x y  x    0  y  0  

  x

dx

2

9.

2

19.

7.  1  

2 x y

2

xy

x

2

y

2

x

2

dy

0

xy 

m

2

2

x

    y

y

 1  2    1 1   2 x   2  1 x 1 xy 2

20.

y

   1

10.

p

 y

 x

y

x

x n 

y 

2

2 x y

2 y dx

x    2 y   1  dy dx x  x

ydx xdy    x

1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 21.

dy

3

y

x

4

6

dx

x

 0

y x

xy

   y

xe

22.

2

y

x

  

y

y

   x

  0

32. 2 y 33.  2 34. 

xyy  

xy

 

y

23.

35.

2

2

2

  y  dy  4

  1 dx xy 2

2

2

y x 2

   y

x y

 0

2

 xy y 2 y 2 

36.

2

2

 cos ln   xyy 3 2 

x

   y xy  x x

2

y

)

  xyy 2 

 0

 x

2

2

  y

dy

4

 0

  x   0

x 2

2 x xy ) 2

2 x dy )

 2 y dy  y

x

xy

   y

x

y

39.

 ln

 x

x

  y

dx

4

x

2

y

dy

3

 0

24. 2 25.  26. 27. (3 28.  29.  2

 1

x

y

cos

dx

x

cos

dy

0

y x

y x

 40.  

  

y

 

sin

y

30.

, với

 1

xy

 

y x y

ln

x

,

y

31.

 e

y x   1 ln y

  2   1

2

x

xy

x

x

y

 

2

xy

xe

43.

2 arctan  xy 2

   y 2  y x )

2 2 )

(1

x

x dx y  37.  x x 38.  y  dy y   y dx  dx 2    2 xy  x ( y  2 xy   0 yy  22  y 0 2 (  y y   2 y dx

1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. 42.   (1

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

1

2

2

y

 

y

,

y

53.

 1

  1

2 x

3 2 x

x

y

sin 2

xy

   y

54. 2

  x x y   x y 2   0

 1 x 

  1 cos     y y

cot x 1 sin y

ye 2

1  

x

4

y

2

x

1

  x

0

x  3

1   x y

1 2xy y

y y (

1)

3

x

x

 

x

xy

44.  x 1 45.  y 46.  47.  48.  49. y

x tan

 55. x 2 1 56. xy 57. 

thỏa mãn điều

1  

50.

2

2 sin    y 2   y x cos y kiện y(0)=0.

2

y

y

x

1

  y

arcsin

x

58.

thỏa mãn

3 2 

y    0 y

y điều kiện y(0) =0.

2

xe ,

  0

51. ye 52. 

xy

y

xdy

x   xdy   x y   1 2  x   y y  y dx

 xy dx

2

2 x y

y

2

xy

y

69.  70. 2

(coi x = x(y))

   y 2   y y ay 2 3 x y

71.

y

xy

 

 ' 2

y

 y x 2

3

1  xy y   tan y  x cos y

72.

y

3 sin  1 y

2

y

y

 

y

y

73.

x 2 cos     2 2 y y y x x y   x  y  2

   1 2

xy

 y dx

2x y

 

y

 sin  e  x 2 dy 2( 1)    2 y y x x  0

1.4 Giải các phương trình Becnuli 2 ln 59. x y 3 60.   x 1 3 61.  y  62. 63.  x 64.  x e 65. y 66.  67.

xyy

y

74. 75.

2 2 x cos 4 y  y x ( là tham số)

ydx

2

xdy

dy

68.

thỏa mãn

y x 2 y   .

điều kiện

2 cos  0y

2

y x 2 x 22   x 2     y x 2  

1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần 2

2

83.

 x y

 1

x

ydy

x 2 1

x

 x dy

 . 0

y cos sin x  dx  sin x  y cos  0

4

2 2 x y dy

x y

x y

dy

0

dx

1

x

e

e

thỏa mãn

2

xy

dy

76. 77.  78.

 0

x y

  

  

   

x

2 x ln  3  . 0

x e ydy 2

 84.    điều kiện y(0) = 2.

2

2

2

2

 x x    2 2 

2 y dx  cos

 1

y

dx

1

3

y

dy

 0

85. 

3  21

 x y  y sin x  dx  0  x y

2

2

3 2 x  3 y 

 y dx  3 xy dx  3  2 y dx  x dy sin   2  x y dx

y 

2

xy  1 cos 2sin

sin

cos

1

dx

1 y

x y

y 2 x

y x

  

x

79. e 80.  81.     82.

cos

sin

dy

0

x

sin

 cos

x

y

sin

 0

cos  3 x dy  x y  2  dx  0 x sin y y x y  e x   e cos  0

 y dy  y dy

1 x

y x

x 2 y

x y

1 2 y

  

  

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

2

 86.   87.  88.      y dx sin   y dx

2

2

4

3

(thừa

 a x x dx

93. 

89.

23 (1 ln )  x

y dx

2

y

dy

x y

  

cos

x

sin

y

y

cos

0

94. 

 y dy

 y dx

dx

2 sin 2

x

y

   y x

 số tích phân) x  y sin y  .(thừa số tích phân)

   90.

2

a

0

2

x

cos 2

y

    x dy

2 2 x 

2

số 2

y x   xdy ydx  

để là vi phân

2

hằng   x dx ay

ln 

2

  1 cos 2sin

vi

2

2

2

y cos xdy sin 2 x  y  2 dx  dy y x sin y

2

y

cos 2

ln

 y dx

trình   x dx ay

   x sin 2 xdy cos 0

95. Tìm   1 toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải phân phương   với a  y 1 tìm được.

2 sin 2

y

x

dy

0

2 2 y

x y

  

  

xy

.

1 'y

  1 e y .y 2 

3' 

y

 91.    92.

1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. 97.

y .

2   y x   y

y

, coi x là hàm, y là biến.  y

cos

y

98. 99.

.

e  1

22  y

xy

y

104.

 . 1

y y

 

 xy 2

y

 '

y

3 '

105.

102.

  x

1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100.  .  y sin 3 2 101.  y y  1 2  y ln

xy 2  2 y x y  y   y

y

xy

.

2

2

2

y

x

 y y

2

2 y y

y

114.

yy x

2   2  

103. Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 106. 107.

 thoả mãn các điều

y



y

2

y

y

115. 116.

2

 y e    1y y 

yy

khi khi

y  y

y y

 . 0  . 0

x x   1 0

 x y

2 1     y 1 4 y kiện ban đầu:  2 0 ,   0,  1  2 2  y

a) b) 108.  1 109.

.

2

   y  y   ay

117. 118. 2 119.  120.

  1 y 2     1 y xy y 2    1x x y 2 

110.



y y

yy



yy

2  y

111.

dạng

thuần

2

2

x

1

x

2

nhất,  yy

112.

.

   y xy 2y     yy  yy    x y xy

121. 122. 123. 124.



y

y

y

113.

 1

 y 1 x

1 2 x

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

3

  y cos  y y sin y  y y  y  3   y y  0    1y   1  y  2  2     y

3

2 x y

cos

 

x

2

x

2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125.

, biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần

 y nhất tương ứng là y1 = x2



y

y

  y

126. Giải phương trình

biết một nghiệm riêng của phương

2 x

cot gx x

trình vi phân thuần nhất tương ứng

y 1

sin x x

2



x

x

y

2

y

1

biết một nghiệm

 

 1

y 1

1 x

x 2



 0y2

nếu biết một nghiệm của nó có

127. Giải phương trình vi phân: 128. Giải phương trình vi phân 

  y1

dạng đa thức.

2



2

x

y

2

x

y

2

y

x

x

 biết nó có hai

129. Giải phương trình vi phân 

 1

2

2

 1 x

nghiệm riêng

y

e

130. Xác định hằng số  sao cho

là nghiệm riêng của phương trình vi

2

x  x  1 1   y 1 y 2 4 2  2 2x

phân   y 4



xy

2

y

xy

cot

 131. Giải phương trình

biết một nghiệm riêng của phương

trình vi phân thuần nhất tương ứng

y 1

x sin x x

3

2 x y

 

xy

  ' y

4

x

132. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương

trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x

2

xy

 

x

133. Giải phương trình

y

 '

y

 

y

  x

1

134. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của

y ' x 

1

x

1 

1

x

x

e

y 1

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 2



x

ln

x

y

xy

0

y

135. Giải phương trình

  , biết một nghiệm riêng có dạng '

 1

y

x  ,

là hằng số.

2

2

 xy   4 2 x y 0  . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình.

  ' 2 1

 x y

'

x

136. Tìm nghiệm riêng của phương trình  y 0,

1

y

e

thỏa mãn

  1

2

    2 2 x x y x y   0

  , biết một nghiệm riêng của nó là  1

riêng là

 x

  1 y 137. Giải phương trình   y 1

y 21,

y

 

y

'

138. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương

2 2

1

x

x 

x trình vi phân thuần nhất tương ứng là



2

x

y

4

x

 ' 8

y

0

 , biết một nghiệm riêng có

1 2  1 y  1 1  y 2

 1

139. Giải phương trình  ,ax e 

y

dạng

 

  

 '

y

y

y

140. Tìm nghiệm riêng của phương trình

thỏa mãn

2 2

x 

1

x

x

y

22,

y

2000

x

  3

 ' 1005

2 2 1  , biết một nghiệm riêng của nó là 1y

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

4

  ' 2    2 2 2 x x y x y y   , biết nó có hai nghiệm

3

 ' 2

cos

 

xy

2

y

x

141. Giải phương trình

2 x x y phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là

x

, biết một nghiệm riêng của 1y

142. Giải phương trình  1

2

phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là

x

 

 '

y

y

y

143. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của

2

2

2

2  x

x x

2 

1

1

x

1y 1  x 1 phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là 1y

  x y  2 xy  ' 2 y x  , biết một nghiệm riêng của

144. Giải phương trình

, biết một nghiệm riêng của phương trình

y   y   ' y 2 x

vi phân thuần nhất tương ứng là

xe 2 x xe x

2

2

 y 1

145. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân  

biết rằng nó có hai nghiệm riêng

 1 x 2 ,

  4 12 xy   2 3 y x x 

 y 1

2



y

y

y

x

161.

 2sin ln

1 2 x

y y

 . 0

y

0

 y  x  6 xy 2 1

 4

. y

 4cos ln 1

y

y

3

2

2

y

   . 12 y 0  y 13     2   y y y 18 9   4 y  .   y   6

    5

  7

1 x ln  x t 2  162.   x 1 

t

x

 x y .

    1    ln 1

3

3

y

y

y

 x

y 



cos

2

4

y

y

e

y

163. Dùng phép biến đổi hàm

  . 0 y   4  . 0 x 2

2

x

.

x

   y  x

z 2 x để giải phương trình vi phân: 2 2 x x y

.

x



 cos

x

x

e

y

164.

 x e 3 2   y 2 . 4cos 2sin  x x 3 . sin  nx x x sin sin 2

y    y 3    y 2   n y    y

y y y y

  xy 4    2 y

2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146. 147. 148. 149. 150. 151. 152. 153. 154. 155.

.

3

x

2

x

2 x e y

bằng

165.

y

 

2

y

4

2 x e

156.

có nghiệm riêng

x

2

*

x

y

e

.



   sin  1x  e e

t   x

 y  đổi biến  y y

x

  e  e   y y  e 2

166. 167.

3



 x e 

x

 1x  cos

y

 y

sin

x

0

 đặt t

168.

q

py

0x 

0

0 ,

 giới nội q

x y cos = sinx   y 5

y

x

169. 2

.

158.

y

   y

170.

py

q

x

y

 

4

y

x  2 4

171.

29 sin  x 1 sin  

 2 x e

0,

p

0

q

.

  y  2 y  2 y 

172.



 2

ln

y

x

x

159.

x

e

xe x 

173.

bằng phép đổi

 y  xy

 2 xy  hàm z

xy .

  y  2 y   y  cos x

 1

157. Với những giá trị nào của p và q thì tất cả các nghiệm của phương trình.   y  p p q  thì tất cả các nghiệm của , ?  phương trình   là  y 0 những hàm tuần hoàn của x  2 xy  x y . ln x  t 2  160.   x 1 2 

x

t

 x 4 2   . 1

       8 8 4 y y x y

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

5

  ln 2

2

2

x

tan

x

y

cos

x

0

y

y

y

e

cos

 dùng t =

174.

5 

xy

6

y

0

182. 183.

x  bằng biến đổi

y

x

y

x

5

sin 3

x

2

  y y sinx   y 2 

 

2(1

x

(

175. 176.

 2 x y x y

4

y

e

x

  1 x 2

e

4    4 t e   y  4 

4

y

8

y

e

lnx sin 2

x

184. 185.

4

x



xy 2) ) x y bằng phép đổi hàm z x y y 3

2

y

y  xy 2

177.

 y



2 x y

2

xy

0

178.

 bằng phép

186.

xe  y 2 x

 xe x

x

x

biến đổi x = 1/t

3sin

x

y y

xe y 2

 

  y  2 y   y sin x 

179.

e 2 cos 2

xe x

xy

x

y

180.

  bằng biến đổi

y y

   y    y    y 2    y

 sin

2 cos  x

x  x cos 2

x

187. 188. 189. 190.

x

2x y x y

  t e    y

xe

181.

  y  2 y    1 y

Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.

Giải các hệ phương trình vi phân

2

x

  y

z

  y

5cos

t

191.

196.

  x

2

y

z

2

x

y

dx dt dy dt

    

  

x

y

2

z

5

x

3

y

0

192.

  

y

x

z

3

x

  y

0

197.

  

x

y

z

2

x

y

2

x

y

193.

4

y

x

  x

z

3

x

y

198.

  y

z

194.

4

y

x

  x

y

  x

2

y

z

2

x

  y

z

195.

  

y

x

z

199.

 

x

y

z

1 2

3 2

1 2

  x

z

dx dt dy dt dx dt dy dt dx dt dy dt dx dt dy dt dz dt

                       

x

y

z

dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt dz dt dx dt dy dt dz dt

1 2

1 2

5 2

                                   

Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân

6