ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
HOÀNG HẢI MINH
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102
Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn
Hà Nội - 2015
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015
Học viên
Hoảng Hải Minh
Mục lục
Chương1.Mộtsốkiếnthứcchuẩnbị................................. 6
1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Toántửquạt................................................... 7
1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Xấp xỉ Yosida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach . .
10
1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh . . 33
2.1. Nghiệmđịaphương........................................... 34
2.1.1. Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Hệđộnglực................................................... 38
2.2.1. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
LỜI MỞ ĐẦU
Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường được
quan tâm nhất hiện nay. Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo tồn nguồn tài
nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá thể cây, cây trong
một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống
rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời tiết cùng với những tương tác giữa
các hệ thống nêu trên,...
Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt được
những kết quả quan trọng. Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình
toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu
một khu vực khoảng (100m3tới 300m3) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho
mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983,
hai tác giả M.Ya. Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán
học về rừng trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mô hình
đó sau này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky,
V. N. Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự phát
triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái
sinh.
Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn loài và
giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng thành. Có ba
yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và hạt giống trong không
khí. Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện quá trình phát triển của hệ
rừng như sau:
∂u
∂t=β δ w−γ(v)u−f u trong Ω×(0,∞),
∂v
∂t=f u −hv trong Ω×(0,∞),
∂w
∂t=d∆w−βw+αvtrong Ω×(0,∞),
u(x,0) = u0(x),v(x,0) = v0(x),w(x,0) = w0(x)trong Ω,
(0.1)
trong đó Ωlà khu vực rừng có thể phát triển (Ω⊂R2là một miền hai chiều bị chặn).
Các hàm u(x,t)và v(x,t)lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại
một vị trí x∈Ωvà tại thời điểm t∈[0,∞). Hàm w(x,t)là mật độ hạt trong không
khí tại x∈Ωvà tại t∈[0,∞). Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển
3
của các cây non và các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện động lực của
các hạt trong không khí; d>0là hằng số khuếch tán của hạt, và α>0và β>0
lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0<δ≤1là
tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v)>0là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng
thành v,f>0là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h>0là tỉ lệ
chết của cây trưởng thành. Hàm γ(v)xác định bởi γ(v) = a(v−b)2+c, với a>0,
b>0và c>0. Với w, một số điều kiện biên được đặt trên biên ∂Ω. Các hàm giá
trị ban đầu không âm u0(x)≥0,v0≥0và w0≥0được lấy trong Ω.
Mô hình (0.1) đã được một số tác giả nghiên cứu. Với điều kiện biên Neuman
hoặc Dirichlet đặt lên w, các tác giả L. H. Chuan, A. Yagi và T. Shirai trong [3] và
[5] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sự
tồn tại hàm Lyapunove cho hệ (0.1).
Tuy nhiên, mô hình trên có vẻ chưa đầy đủ. Các nghiệm dừng u,vcủa bài toán
(0.1) có giá hoàn toàn trong Ω. Tuy nhiên đối với rừng tự nhiên do sự khuếch tán,
mật độ hạt bên ngoài biên tự nhiên vẫn dương. Một số kết quả tính toán cũng chỉ
ra một số nghiệm dừng của hệ (0.1) có mật độ cây ở miền bên ngoài biên của rừng
dương.
Hai tác giả A. Yagi và M. Primicerio vào năm 2014 trong [7] đã đưa ra hình
động học rừng điều chỉnh sau:
∂u
∂t=β δ (w−w∗)+−γ(v)u−f u trong Ω×(0,∞),
∂v
∂t=f u −hv trong Ω×(0,∞),
∂w
∂t=d∆w−βw+α˜vtrong R2×(0,∞),
u(x,0) = u0(x),v(x,0) = v0(x),w(x,0) = w0(x)trong Ωvà R2.
(0.2)
Ở đây, w∗>0là một số cho trước và ký hiệu (w−w∗)+là phần dương của w−w∗,
với w≥w∗,(w−w∗)+=w−w∗và với w<w∗,(w−w∗)+=0. Vì thế, w∗là mật
độ tối thiểu của hạt trên mặt đất, mật độ tối thiểu này là cần thiết để cây mọc lên.
Giờ đây hàm wlà mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn R2. Và ˜vký
hiệu hàm mở rộng của vtừ L∞(Ω)tới L∞(R2),˜v(x) = v(x)với x∈Ωvà ˜v(x) = 0
với x∈R2\Ω.
Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) đã cải thiện hai khía cạnh. Khía cạnh
đầu tiên, mở rộng miền xác định wthành toàn không gian R2vì wbiểu thị mật độ
hạt trong không khí và hạt có thể phân tán xa hơn so với biên của Ω. Một cách tự
nhiên, ta không còn cần phải quan tâm tới các điều kiện biên trên w. Khía cạnh
4