Sai lầm thường gặp khi giải phương trình, bất phương trình một ẩn quy về bậc hai: Bài tập nghiên cứu khoa học

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

Ở Ầ M Đ U

1. Lý do ch n đ tài:

ố

ữ

ở

ọ

ộ

ả

ọ ư

ự

ẩ

ọ ề ế ề ọ ườ ộ ầ ớ ng THPT, ph n l n h c sinh đ u mong mu n mình có m t ki n Trong nhà tr ữ th cứ toán v ng ch c. B i vì có th nói Toán h c là m t trong nh ng công c ch ụ ủ ắ ể ề ả ọ ố ế t các môn h c khác. Nó có kh năng giúp các em y u, n n t ng giúp các em h c t ể ậ ệ ấ phát tri n năng l c và ph m ch t trí tu nh : T duy, tính chính xác, suy lu n ẽ ặ logic ch t ch .

ự ậ

ế

ọ

ợ

ừ ự ế th c t ấ ậ

ứ

ế

ạ ị ắ

ủ

ứ

ế

ả

qua ti p xúc v i các em h c sinh trong đ t th c t p này, ọ ụ ể ả i b m c ph i

ế i toán c a các em l

ộ ố

ả ọ

ầ

ớ ấ Xu t phát t ả b n thân em nh n th y tuy các em ti p thu nhanh các ki n th c Toán h c c th ề ạ ố là các ki n th c v đ i s . Song quá trình gi ế ế ẫ m t s sai l m, d n đ n k t qu h c toán không cao.

ộ

ự ậ

ầ

ọ

ố

ạ ố

ng g p c a mình trong khi gi

i c b n th

ườ ứ ề

Là m t sinh viên đang th c t p, mong mu n ph n nào giúp các em h c sinh ặ ủ ạ ả ỗ ơ ả ậ nh n ra các l i toán đ i s . Em m nh “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp khi gi¶i ph¬ng ạ d n đi sâu vào nghiên c u đ tài: tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mét Èn quy vÒ bËc hai”

ụ

ứ

2. M c đích nghiên c u: ậ

ằ

ầ

ườ

ọ ố

ạ ố

ả

ặ ủ ự

ơ ữ

Nh m giúp h c sinh nh n ra các sai l m th gi

ọ i toán đ i s , giúp các em h c t

t môn toán và có s say mê gi

ng g p c a mình trong quá trình ả i toán h n n a.

ạ

ứ

ươ

ớ

ứ ố ượ ng, ph m vi nghiên c u: 3. Đ i t ạ ố ộ ố ứ ố ượ + Đ i t ng nghiên c u: M t s bài toán đ i s . ượ ạ + Ph m vi nghiên c u: Các bài toán không v

t quá ch

ng trình l p 11.

ệ

ầ

ắ

ả

ọ

ả

i toán

ứ ụ 4. Nhi m v nghiên c u: ộ ố ử

ấ

ắ

ả

ọ

Nêu và phân tích m t s sai l m mà h c sinh hay m c ph i trong khi gi ầ ạ ố ề đ i s . Đ xu t cách s a sai l m mà h c sinh m c ph i đó.

ng pháp nghiên c u:

ứ ề ỹ

ứ ỏ

ề

ấ

ậ

ộ

ươ ng pháp quan sát, ph ng v n v trình đ nh n th c v k năng gi

ả i

ệ ở

ữ

ớ

ướ

ng pháp t ng k t kinh nghi m, rút kinh nghi m

nh ng l p tr

ớ c v i

ổ ậ ợ

ả

5. Các ph ươ + Ph ủ ọ toán c a h c sinh. ươ + Ph ữ nh ng khó khăn, thu n l

ế i khi gi

ệ i toán.

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

Ộ

N I DUNG

Ậ

I. C S LÝ LU N:

Ơ Ở ọ

ọ

ấ

ậ

ổ

ưở

ộ ụ ụ

ế ệ

ề

ể

nh h

ủ

ế

ầ

ả

ầ

ớ

ọ ố ơ

ươ

ọ

ng pháp h c t

ọ Toán h c là m t môn khoa h c quan tr ng nh t trong các b c ph thông, nó ả ọ ng và ph c v nhi u cho các môn h c khác. Vì th vi c phát tri n tìm tòi ạ ố ệ ọ ra các sai l m c a các h c sinh l p 10 trong vi c gi t và i toán đ i s là c n thi quan tr ng giúp các em có ph t h n cho môn Toán nói riêng và các môn khác nói chung.

Ộ

II. N I DUNG CHÍNH: ề Đ tài g m 02 ph n:

ồ ươ ả ầ A. Sai l m khi gi i ph ả ấ ầ i b t ph B. Sai l m khi gi ẽ ư ỗ

ườ

ộ

ọ

ả

ờ

ầ ạ ố ướ ạ i toán đ i s d

ng m c ph i trong i đúng cho

ắ i gi

ầ ạ ố ng trình đ i s . ạ ố ươ ng trình đ i s . ầ Trong m i ph n em s đ a ra m t sai l m mà h c sinh th ụ i d ng các bài toán ví d . Kèm theo đó là các l gi các ví d đó.ụ

ộ

ầ

Phân tích n i dung các ph n:

Ầ A. SAI L M KHI GI

ƯƠ ươ

ả

Ạ Ố NG TRÌNH Đ I S : ườ ươ

ủ

ươ

ọ ng trình h c sinh th ươ ng trình t ng đ ầ

ộ ố ế ạ

i đ ứ

ế

ổ

ả

ạ

ẩ ủ ấ

ễ ươ

ổ ả

ể

ng. Do đó khi gi

i ph

ươ ng đ ặ

ụ ụ ể

ộ ố

ệ ọ

ệ

ấ

Ả I PH ắ ả ng hay m c ph i m t s sai i các ph Trong khi gi ư ầ ế ừ ặ ổ ươ ắ ng. Đ t th a, hay thi u các l m nh quy t c bi n đ i ph ẫ ể ả ượ ế ệ ề ng trình d n đ n sai l m không th gi đi u ki n c a ph c. Bên c nh đó ể ệ ả ủ ậ ầ ộ ố còn m t s sai l m do h u qu c a vi c bi n đ i các bi u th c không đúng khi ạ ố ươ ữ gi ng trình đ i s . i nh ng ph ế ế Khi làm các phép bi n đ i ta d vi ph m các tiêu chu n c a các phép bi n ệ ổ ươ ng trình ta có th làm xu t hi n nghi m đ i t ạ ngo i lai ho c làm m t nghi m. Sau đây là m t s ví d c th minh h a.

f x g x = ( ). ( ) 0

Ạ 1. D NG 1:

ụ

ọ

Ví d minh h a:

0 = ho c ặ f x ( ) g x ( )

ả

ươ

Bài 1: Gi

i ph

ng trình:

(*)

- - 6 = 0 + - x x x 2 x 3 2

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

ườ

ầ + Sai l m th

ặ ng g p:

(*) (cid:0)

= (cid:0) x = - - � x - = x x x 6 0 ( + 3)( 2) 0 � (cid:0) 3 = - (cid:0) x 2

x = -

ệ

ạ

22 x

nên

là nghi m ngo i lai.

+ Nguyên nhân sai l m:ầ x = - V i ớ ứ ẫ thì m u th c 2 ả ờ i đúng là: + L i gi

- = x+ 3 2 0

(*)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) - 6 0 x 2 3 =�(cid:0) x 3 = - x � x � - = x + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x � - =�۹ �� x 2 3 2 0 (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 1 2 (cid:0)

ệ - + x

ươ ả

22( x

ng trình:

(*)

- x

ậ V y ph Bài 2: Gi ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

(*)

x = -

ệ

ạ

3x = ng trình đã cho có 1 nghi m: = i ph 6) 0 ườ = (cid:0) x 2 (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x 2 = (cid:0) � � � x (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x + x ( 3)( = 2) 0 (cid:0) - = x 2 0 - + = 2 x x 6 0 (cid:0) 3 = - (cid:0) x 2

vô nghĩa nên

là nghi m ngo i lai.

2x -

(*)

+ Nguyên nhân sai l m:ầ x = - V i ớ thì căn th c ứ 2 ả ờ i đúng: + L i gi - = x 0 2 - + = x

ậ

ệ

(cid:0) = (cid:0) x 2 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2 - (cid:0) (cid:0) � � � (cid:0) x + x 3)( = 2) 0 (cid:0) (cid:0) x 6 0 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ( x 2 (cid:0) (cid:0) x (cid:0)

V y ph

ng trình có 2 nghi m:

ế

ậ

K t lu n:

2 0 ươ x = và 2 3x = .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) f x (cid:0) (cid:0) (cid:0)

]

;

(cid:0) (cid:0) = ( ) 0 [ x D g x ( ) (cid:0) (cid:0) f x (cid:0) f x g x = (cid:0) 0 = (cid:0) ( ). ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = ( ) 0 g x ( ) 0 f x ( ) g x ( ) (cid:0) g x ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

]

(cid:0)

[ x D f x ( )

ề

ậ

ị Bài t p đ ngh :

(cid:0) (cid:0)

ả

ươ

Bài 1: Gi

i ph

ng trình:

ả

ươ

Bài 2: Gi

i ph

ng trình:

4 1 + - 0 - - x x = 4 - = - 2 x + x x 3 + x 2 + x 2 5 x 1 5 3 3 5

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

ả

ươ

Bài 3: Gi

i ph

ng trình:

+ x x + x ( 1) 2

ả

ươ

Bài 4: Gi

i ph

ng trình:

+ + x x x ( 2) + - = x 2 2 + = 3 4 0

j j=

[

]

[

]

Ạ 2. D NG 2:

ụ

f x ( ) g x ( )

Ví d minh h a: ả

ng trình:

(*)

2 4

i ph ườ

ọ Bài 1: Gi ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

- - x x + = x 2 3 10

(*)

vô nghĩa.

= (cid:0) x 3 - - - � � x + = x x x x 2 3 4 10 + 7 = 12 0 � (cid:0) = (cid:0) x 4

ả

+ Nguyên nhân sai l m:ầ 3x = thì căn th cứ 3 V i: ớ 10 3x = là nghi m ngo i lai. ệ Nên: ờ + L i gi

i đúng:

x - ạ

(*)

3 (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) + = x x 2 3 10 � =� x 4 4 - (cid:0) (cid:0) x � x 3 4 10 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ậ

ươ

V y ph

ng trình có 1 nghi m:

ả

10 3 x = =�(cid:0) x � = �(cid:0) x x ệ

ng trình:

(*)

i ph ườ

Bài 2: Gi ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

x x 3 + = - 4 7

(*)

+ Nguyên nhân sai l m:ầ

(cid:0) + 11 85 = (cid:0) x 2 (cid:0) + = - - - � � � � x x x x x 3 7 (4 ) - = x 7 3 + 8 16 + = x 11 9 0 (cid:0) - 11 85 = (cid:0) x (cid:0) 2

ả ủ

ế

ươ

V i ớ

thì 4

mà v ph i c a (*)

ng trình (*)

+ 11 85 (cid:0) = 0x- x (cid:0) 0 nên ph

không nh n ậ

làm nghi m.ệ

ờ

ả

+ L i gi

i đúng:

2 + 11 85 = x 2

(*)

ế

ậ

(cid:0) (cid:0) x 4 (cid:0) (cid:0) + (cid:0) 11 85 - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) = 4 11 85 (cid:0) = � � � � x 2 x �(cid:0) x 0 + = - - 2 x 7 (4 ) + = x 11 9 0 (cid:0) 4 � � x 3 � x � � x � (cid:0) - 11 85 (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2

2.2. K t lu n: [

= (cid:0) (cid:0) f x ( ) = j j (cid:0)

]

[

]

(cid:0) f x ( ) g x ( ) (cid:0) g x ( ) [ j

]

ề

ậ

ị 2.3. Bài t p đ ngh :

(cid:0) f x D f x ( ) ( ( )) (cid:0)

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

- 2

+ - x + = 12 + x = + x x x 23 x 22 1

ả ả ả

ươ ươ ươ

Bài 1: Gi Bài 2: Gi Bài 3: Gi

i ph i ph i ph

ng trình: ng trình: ng trình:

ạ 3. D ng 3:

24 + + = 2 + - x x x x 3 2 6 3

ọ

ụ

.A B ; A B

ả

ươ

2 4) (

i ph

(*)

ườ

Ví d minh h a: Bài 1: Gi ầ + Sai l m th

ng trình: ặ ng g p:

+ - x x = + x ( 5) 4

(*)

2 4) (

ệ

ả

ấ

ậ

là nghi m, nghĩa là cách gi

i trên đã làm m t đi

ng trình nh n

ươ x = - ờ

ả

+ Nguyên nhân sai l m:ầ x = - Ph 4 nghi m ệ 4 + L i gi

i đúng:

(cid:0) - (cid:0) x 4 + (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) 4 0 (cid:0) 4 x 4 = - (cid:0) � � � � (cid:0) x � � x � = + - = - + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 6 (cid:0) x 4) ( 5) 1 0 x � � x ( (cid:0) (cid:0) x x = + x ( 5) 4 (cid:0) 4 - = (cid:0) x 5 1 (cid:0)

(*)

2 4) (

(cid:0) - (cid:0) x 4 + (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 4 0 (cid:0) 4 = - (cid:0) =� x 4 6 � � � x � � x � + - = - + - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 4) ( 5) 1 0 x � � x ( (cid:0) (cid:0) x x = + x ( 5) 4 (cid:0) - = (cid:0) x 5 1 (cid:0)

ả

ươ

(*)

Bài 2: Gi

i ph

ng trình:

ầ

ườ

+ Sai l m th

+ x + x 2 - = 9 ( 5) - x x 3 3

(*)

ặ ng g p: x x

+ + - - � � + x x + x x 5) ( 2 ( 3)( = 3) 2 ( 3) + x ( = 3) + x ( 5) - - x x 3 3 3 3 + + x ( 3) + + 2 = - - - - � � x x x x ( 3)(2 ( 3) ) 3) ( 5) 0 � 2 ( � � � - - x x x ( 5 3) ( 3)

- > + + x x ( 3) ( 3) - - - 3 0 + = 3 = -

[

]

� � � � x x 2( 3) + x ( = 5) 0 ( = 11) 0 =� x 3 11 - - x x ( 3) ( 3) - 3 0 = 11 0 11 x � � x � � � � x � � > x � � x � � � � = x � �

ệ

ả

ấ

ươ

ng trình có nghi m

nghĩa là cách gi

ệ i trên đã làm m t đi nghi m

ả

ờ

+ Nguyên nhân sai l m:ầ Ph x = - 3 + L i gi

i đúng:

x = - 3

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

(*)

+ (cid:0) = 0 (cid:0) - (cid:0) + + + - - - - � � x + x x x 2 - = 3 ( 5) + 3 ( = 5) 0 = + x 3 ( 5) 0 � 2 � x x � � �(cid:0) 2 � (cid:0) - - - x ( x ( 3) 3) x ( x ( 3) 3) x ( x ( 3) 3) (cid:0) (cid:0) 3 3 x + (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x x 3 3

ế

ậ

K t lu n:

(cid:0) (cid:0) 0 + = (cid:0) �(cid:0) x x 3 0 (cid:0) (cid:0) - - - x + x ( = 5) � 3 0 3 (cid:0)� = � = - - - 3) x x v��i x - < v��i x ) ( 5) 3 0 11 = - x � � x � (cid:0) (cid:0) (cid:0) � 2( � (cid:0) � (cid:0) �� 2(3 > x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0)

ậ

ề

(cid:0) A (cid:0) Ne�u A, B >0 (cid:0) A B (cid:0) A B Ne�u A, B 0 . (cid:0) = A (cid:0) ; B = . (cid:0) B - A - B (cid:0) - A (cid:0) (cid:0) Ne�u A, B 0 . (cid:0) Ne�u A, B <0 - B (cid:0)

- - + x x 1)(4 = x ) 5

ươ ươ

ị Bài t p đ ngh : ả Bài 1: Gi ả Bài 2: Gi

i ph i ph

ng trình: ng trình:

+ + 1 + 4 + = + x ( + - x x x x 1)( ( 2) 4

ả

ươ

Bài 3: Gi

i ph

ng trình:

3 + + - - x x ( 1) 4 6. 0 - x x 2 = 2

ạ 4. D ng 4:

ụ

+ = f x ( ) g x ( ) h x ( )

ng trình:

(*)

- x x - + 1 - = x 2 2 3

ươ i ph ặ ườ ng g p: x 3 2 3

- �

ọ Ví d minh h a: ả Bài 1: Gi ầ + Sai l m th - = - + x x 1 2 - + - + 3 x

(*)

(***)

ổ ệ

ả

ả ế (**) sang (***) là phép bi n đ i h qu không ph i

ế

ờ

+ Nguyên nhân sai l m:ầ ổ ừ ế ế Phép th bi n đ i t ươ ổ ươ là phép bi n đ i t ng. ả + L i gi

ng đ i đúng:

= 3 - - - - � x x x x x x 2 3 1 1. - + 3 2( 1 2) 2 3 (**) (cid:0) (cid:0) 1 (cid:0) - + - - - 2 = x =� (cid:0) x � x x x x 2 3 3 1. - = 3 x 2. 2 3 2 3 (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) 3 2

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

3 x ( 2 - + 3 x

= x

(*)

- - � x ( 3) = 3 2) 3 - + x 1 - + - - - - � x x x x 2 3 3 1. 2.( 1 2) 2 3

3 2. 2

ươ

ấ

ậ

ươ

ệ

ử ạ

i vào ph

ỏ ng trình th y th a mãn. V y ph

ng trình đã cho có 3 nghi m:

Th l x =

(cid:0) (cid:0) = x 1 (cid:0) - + - - � x x - = x x x 2 3 3 3 2 3 2 = � (cid:0) (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) 3 2

ả

ng trình:

x - = x 3 ; x=2 ; x= 1 2 - + 1 2 1 1 (1)

3 3x-2+3

i ph Bài 2: Gi ườ ầ + Sai l m th - + 3 1 ( 2 (1)

3 1

- - - - � � )=1 x x x x 2 1

3 (2x-1)(x-1)=(1-x)

ươ ặ ng g p: = 3 x 1) - = - x

3 1 2

- - - � � � x x x x x 1 1 1) 1 = ( 1) 0 (2

- + 3 .( x 1 2 1 - + 1)( = (cid:0) x - - -

(

� � x x x x

) 1

) - + x 1

) = 1

0 � (cid:0) =

( � 2 �

ế

ả

� � (cid:0) x 1 0

ổ là phép bi n đ i h qu không ph i là phép bi n đ i

ổ ệ x =

ệ

ạ

x 2 - + 1

ng nên xu t hi n nghi m ngo i lai:

1 1 ệ

3 3 -2+3

3 1

- - - - � )=1 x x x x = 3 1) 2 1 1 1

+ Nguyên nhân sai l m:ầ - = Phép th ế 3 x ươ ấ ươ ng đ t ả ờ + L i gi i đúng: - + 3 � x x 1 ( 2 (1) - = - x

3 1 2

- - - - - - � � � x x x x x x x 1 1 (2 1)( = 1) (1 ) 1)( = 1) ( 1) 0

- + 3 .( x 1 2 - + x (2 = (cid:0) x 1 = - - -

(

� � x x x 0

) 1

) - + x 1

) = 1

) 1

� (cid:0) =

( � 2 �

� � (cid:0) 0

ủ ệ

ươ

ể ả

i theo cách khác nh sau:

x ng trình. 1x =

1x = là nghi m c a ph ấ ươ ệ i th y ộ ươ ng trình có m t nghi m là: ng trình (1) có th gi u

ử ạ Th l ậ V y ph ậ + Nh n xét: Ph u 2

Đ t: ặ

3 � � 3

(cid:0) (cid:0) x

v(cid:0)

ệ

= ta có h sau: 1

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) v (cid:0) - = 1 = x v

= 3 - - - - -

) 3

(

� � � v v v v 1 2 + v 1 3 v 3 2 1 1 = 3 - - v 2 1 1 - = x 1 2 �(cid:0) � - = x 1 1 ệ ươ ặ M t khác theo h ph ng trình ta có = - + = v u v 1 � � = 3 3 u v 2 �

- - - � � = � � v v = 3 x x 0 0 1

ậ

ề

0 ậ � ệ u � � u � - + = + = = 2 2 3 v v v v v ( 3 3 1x = là nghi m. V y ph ươ ệ ấ i th y - + � v 3 ử ạ Th l v 1) 1 0 ng trình có nghi m là = 1 0 1x = .

- x x 2 - = 5 3 4

ươ ươ

ị Bài t p đ ngh : ả Bài 1: Gi ả Bài 2: Gi

i ph i ph

ng trình: ng trình:

+ + 1 + x + + + = + + x x x x x 4 20 25 ( 12) (2 5)( 12)

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

Ầ

NG TRÌNH. ả

ắ

ề

ặ

ậ

ƯƠ ườ ừ ả ế

ệ ộ ố

Ả Ấ I B T PH ắ ng trình th ng m c ph i đó là quy t c ẫ ế ng. Đ t th a hay thi u đi u ki n d n ượ ữ c n a. M t s sai

i ti p đ

ế

ể

Ặ NG G P KHI GI ươ ả ấ i b t ph ươ ươ ng đ ế ứ ứ ọ

ộ ố

ườ

ắ

ộ ố ả ng hay m c ph i trong m t s ví

ƯỜ B. SAI L M TH ữ ầ Nh ng sai l m khi gi ươ ổ ấ ế ng trình t bi n đ i b t ph ầ ữ ế đ n nh ng sai l m th m trí sai đ n m c không gi ổ ầ l m còn do phép bi n đ i bi u th c không đúng. ầ Ta xét m t s sai l m mà h c sinh th ụ ụ ể d c th sau:

ạ 1. D ng 1:

ụ

ọ

Ví d minh h a:

> (cid:0) ; a b f x ( ) g x ( ) 1 f x ( ) 1 g x ( )

ả ấ

ươ

Bài 1: Gi

i b t ph

ng trình:

(*)

ầ

ườ

+ Sai l m th

ặ ng g p:

(cid:0) - + x 1 + - x x 12 1 2

(*)

2 x � �۹� � 2(

ứ

ể

ấ ế ớ và khi nhân c hai v v i bi u th c này thì d u

thì

c đ i ng

ượ ạ c l

ả i.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � x �(cid:0) x 3 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 12 0 + - 2 x x + - x + (cid:0) 1) ( 12) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x � x � x x 4 3 -� ȳ 5 2 (cid:0) x 5

+ Nguyên nhân sai l m: ầ = x+ - V i ớ x ( 4;3) 12 0 ậ ượ ổ ủ ấ c a b t ph ờ + L i gi

(*)

-� ươ ả x ng trình nh n đ i đúng: (cid:0) (cid:0) x 3 - (cid:0) 12 - x 0 0 4 2 (cid:0) - + + x 2( 1) ۳۳� �� 2 x x + - x + - x 12 + 2 x + x ( x 3 x 4)( 10 3) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 5

ả ấ

ươ

Bài 2: Gi

i b t ph

ng trình:

ầ

ườ

+ Sai l m th

ặ ng g p:

(cid:0) (*) 1 + - x 1 x 3 4 6

(cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) + - (cid:0) (cid:0)

)

(cid:0) x

( 3) 4

(*)

+ Nguyên nhân sai l m:ầ

6 0 (cid:0) x x 3 (cid:0) x + (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ( �۹۳(cid:0) x x 3 4 6 (cid:0) (cid:0) x 3 2 3 (cid:0)

ươ

ệ

V i ớ

thì

ấ và b t ph

ng trình nghi m đúng.

ệ

ấ

ả i trên đã làm m t nghi m. Cách gi ả ờ + L i gi i đúng:

+ > - -� x ( 3; ) x x 3 4 6 3 2

(*)

ậ

ế 1.2. K t lu n:

(cid:0) (cid:0) x 3 - - - - (cid:0) 0 0 (cid:0) + - - x x 3) x x x 4 ۳۳� + x ( 6 3)(4 3 6) x 3( 3)(4 ( 6) - < < x 3 (cid:0) 3 2

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

- - � 0 ; � 0 a � � b a b 1 > f x ( ) 1 g x ( ) 1 f x ( ) 1 > g x ( )

ả

ươ

Bài 1: Gi

i ph

ng trình:

f x ( ) g x ( ) ề f x ( ) g x ( ) ị ậ 1.3. Bài t p đ ngh : - (cid:0) - 3

ả

ươ

Bài 2: Gi

i ph

ng trình:

+ x 3 1 + x 1 2 + - 2 x x 3 (cid:0) 1 - x 4

ả

ươ

Bài 3: Gi

i ph

ng trình:

(cid:0) - 5 (cid:0) (cid:0) f x ( ) 1 + x f x ( ) 3 g x ( ) 1 + x x 2 ho c ặ g x ( )

ng trình:

(1)

22 x

ạ 2. D ng 2: ọ ụ Ví d minh h a: ả ấ i b t ph Bài 1: Gi ườ ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

- + > - x x 1 6 2

(1)

ả

ờ + L i gi

i đúng:

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 0 (cid:0) � � - - - (cid:0) x + > x x 1 ( 6 2) 2 - > x 2 3 0 (cid:0) x � � 2 � x � � x � (cid:0) x 2 � > x 3 � < - x 1 (cid:0)

(1)

ho c ặ

(cid:0) - 3 7 - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 0 (cid:0) (cid:0) � � 2 - - - (cid:0) (cid:0) x + > x x x � 2 1 ( 6 2) (cid:0) (cid:0) x + (cid:0) x 2 6 1 0 > (cid:0) x � x 3

ả

ng trình:

(*)

2 16

i ph ườ

ươ ặ ng g p:

Bài 2: Gi ầ + Sai l m th (*)

- (cid:0) - x x 2 7

4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - x 4 (cid:0) 4 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) 16 0 (cid:0) - - -

(

]

(cid:0) � � � � � � � 4 (cid:0) x , 4 (cid:0)

[ ) + � � 5,

ề

ệ

ươ

ế ng hai v là hai

5 - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 13 � � 4, � � 3 � � x � � x x 16 (2 17) - (cid:0) - (cid:0) x � � x x 16 4 + x 28 49 (cid:0) (cid:0) (cid:0) �(cid:0) x x � � x �(cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) 13 3

x (cid:0)

ể ệ

ệ

ấ

là nghi m ngo i lai.

ả

i đúng:

ế ư ầ + Nguyên nhân sai l m: ta ch a chú ý đ n đi u ki n đ bình ph ạ ệ ả ế v ph i không âm nên xu t hi n nghi m ờ + L i gi (*)

4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) �(cid:0) x x 4 x 4 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 4 (cid:0) 5 + -

)

[

ậ

ế 2.2. K t lu n:

x 16 0 � �۳�� 7 0 5, (cid:0) - (cid:0) (cid:0) + x x � x 3 28 65 0 13 � � 4, � � 3 � � x 2 (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) x 2 � � x 16 (2 17) - (cid:0) - � x � �(cid:0) x � (cid:0) (cid:0) � x � � � x x 7 2 16 4 + x 28 49 13 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

2 g x ( )

ậ

ề

�(cid:0) f x ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x ( ) 0 (cid:0) (cid:0) g x ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) g x f x ( ) �۳۳ g x ( ) ; f x ( ) g x ( ) ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) g x ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x ( ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x ( ) (cid:0)

- > - x x x 3

- - (cid:0) - x x 14 62 1

2 4 2 5 + - < + 2 x 6

ng trình: ng trình: ng trình: ng trình: ;

ươ ươ ươ ươ g x ( ) . ( ) 0

x x x 1 - (cid:0) - 1 2 3 x 2 (cid:0) (cid:0) 2 f x x g x ( ) . ( ) 0

ng trình:

ị Bài t p đ ngh : ả ấ Bài 1: Gi i b t ph ả ấ Bài 2: Gi i b t ph ả ấ Bài 3: Gi i b t ph ả ấ i b t ph Bài 4: Gi ạ 3. D ng 3: f x ọ ụ Ví d minh h a: ả ấ i b t ph Bài 1: Gi ườ ầ + Sai l m th

- x x + (cid:0) x (2 3 1) 0 (*)

ươ ặ ng g p: x 1

(*)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - � + x x 3 2 � (cid:0) 1 0 (cid:0) x (cid:0)

ậ

ỏ

ả

nên (*) th a mãn. V y cách gi

ấ i trên đã làm m t

ả

- (2 1) 0

(*)

1 2 + Nguyên nhân sai l m:ầ + = x = thì V i ớ x x x 3 0 ươ ủ ệ nghi m c a ph ng trình. ờ i đúng: + L i gi (cid:0) (cid:0) x 1 = (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)� (cid:0) x x + (cid:0) x 3 1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 x 0 (cid:0) (cid:0) x 1 2 0 (cid:0)

- - (cid:0) x + x x (2

( 2 1) 4

) 4 3 (3

ng trình:

ả ấ i b t ph ườ

Bài 2: Gi ầ + Sai l m th -+

+ x 8 2) 0 (*)

(*)

( em xem l

i)ạ

ươ ặ ng g p: 2 3

(cid:0) x (cid:0)� � x x 3 2 0 5 1

ỏ

ả

ệ

V i ớ

thì (*) th a mãn. Cách gi

ủ ấ i trên đã làm m t nghi m c a

+ Nguyên nhân sai l m:ầ 3 x = ho c ặ 4

ả

- = x

i đúng:

1 2 ươ ng trình. ờ + L i gi

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

(*)

ủ ấ

ệ

ậ

ươ

V y nghi m c a b t ph

ng trình là:

;

ế

ậ

K t lu n:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = x x (cid:0) (cid:0) 1 2 1 2 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) = = � x x � (cid:0) (cid:0) 3 4 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 3 3 4 1 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - x + (cid:0) x 3 4 5 3 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = (cid:0) x x(cid:0) 1 1 x = ; 2 3 4 2 3

ậ

ề

(cid:0) (cid:0) f x = ( ) 0 f x = ( ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) g x � � � ( ) 0 f x g x ( ) . ( ) 0 0 (cid:0) (cid:0) � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) f x ( ) g x ( ) 0 ; (cid:0) (cid:0) f x f x ( ) 0 g x ( ) . ( ) 0 (cid:0)

2 1) ( + x

4 5) ( + x

ả ả ả

+ - (cid:0) x 12) 0 x 2 - (cid:0) ( x (2 2 3) 0 3 - - (cid:0) + x 7 2 x 2 6) ( 0

ươ ươ ươ ( ).

ng trình: ng trình: ng trình: f x (cid:0) 0 ( )

g x ( ). x 4) f x (cid:0) ( ) 0 x 5 ( ho c ặ

ng trình:

ị Bài t p đ ngh : i ph Bài 1: Gi i ph Bài 2: Gi i ph Bài 3: Gi ạ 4. D ng 4: g x ọ ụ Ví d minh h a: ả i ph Bài 1: Gi ườ ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

- - - (cid:0) x x x x ( 3 ) 2 3 2 0

(*)

+ Nguyên nhân sai l m:ầ

ả

ệ

ấ

i trên đã làm m t nghi m.

�(cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) x 3 2 0 (cid:0) (cid:0) � � � 1 2 x 2 (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) x 2 � � x ( 3 ) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � � x 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 0 (cid:0)

ệ thì (*) có nghi m đúng. Cách gi 2 ả i đúng:

x = V i ớ ờ + L i gi

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

(*)

2 x ( �� 2 x (

(cid:0) (cid:0) = - x (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) = (cid:0) (cid:0) 2 = (cid:0) x 2 (cid:0) - x - = x 2 3 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) x >� x x x 2 3 ). 2 - = x 3 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 2 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x x x 3 ). 2 3 2 0 < - x 2 (cid:0) (cid:0) x - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x - = x 3 > x 0 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) 1 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0)

ng trình:

(*)

ả ấ i b t ph ườ

Bài 2: Gi ầ + Sai l m th

ươ ặ ng g p:

- - x x (2 5) 2 + (cid:0) x 5 2 0

(*)

�(cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) + (cid:0) x 5 2 0 x x �(cid:0) - (cid:0) (cid:0) 5 2 x 2 ��۳� x 2 5 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 1 2 5 2

ả

ấ

i trên đã làm m t

+ Nguyên nhân sai l m: ầ x = ho c ặ

V i ớ

ả

nghi m.ệ ờ + L i gi

i đúng:

2 x = thì (*) có nghi m đúng. Nên cách gi ệ 1 2

(*)

ậ

ế

=�(cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x (cid:0) = (cid:0) (cid:0) x 2 (cid:0) - x 2 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) x x (2 5) 2 + = x 5 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) = + = x 5 - > > (cid:0) � � � � x x 2 5 0 (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) x x (2 5) 2 + > x 5 2 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) x + > x 2 2 0 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 1 2 5 2 > 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2 5 2 (cid:0) (cid:0) < x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 2

f x f x

4.2. K t lu n: � � � � � � � �

(cid:0) g x g x (cid:0)�� 0 f x ( ) ( ). ; ( ). f x ( ) 0 f x f x = ( ) 0 > ( ) 0 = ( ) 0 > ( ) 0 (cid:0) (cid:0) g x g x ( ) 0 ( ) 0 � � � � � � � �

- - x 2) + (cid:0) x 5 0

- + x x ( 2( x 2) 2 0

ậ ị ề 4.3. Bài t p đ ngh : ươ ả ấ i b t ph ươ ả ấ i b t ph ươ ả ấ i b t ph

Bài 1: Gi Bài 2: Gi Bài 3: Gi

ng trình: ng trình: ng trình:

3 + x x x 6 + (cid:0) x 7 + (cid:0) 5 0 (3 2 ) 18

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

Ậ

Ế

K T LU N

ố

ậ

ứ

ấ

ặ

ươ

ườ

ộ ố ộ

ấ

ươ

ả ươ

ươ ầ ấ

ng trình, b t ph ộ

ề

ậ

ọ

ề ng g p trong khi gi ng trình và b t ph

ế

ầ

ắ

ể ọ ậ ố

t, có ý nghĩa lý lu n và th c ti n sâu s c. ầ

ự ễ ọ ế

ệ

ạ

ậ

ọ

ử

ầ

ọ

ỉ

ệ ườ

ộ ể

ỏ

ụ ầ ế ủ t c a ng

ả

ứ ượ ự ẩ

ỹ ừ

ệ

ẽ

ậ

ộ

ọ Qua đ tài nghiên c u này, em mu n giúp các em h c sinh nh n ra m t s sai ầ ng trình. Mà trong b môn i ph l m th Toán ph ng trình là m t ph n r t quan tr ng. Vì v y, đ tài: ” Mét sè sai lÇm thêng gÆp khi gi¶i ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mét Èn quy vÒ bËc hai “ là c n thi ậ ả ọ t môn Toán, bên c nh vi c h c lý thuy t. H c sinh c n ph i Đ h c t p t ẽ ặ ể ế ậ bi t v n d ng đ làm bài t p. Trong quá trình làm bài t p các em h c sinh s g p ệ ấ ề ữ nhi u sai l m. Vi c ch nh s a cho h c sinh nh ng sai l m là m t công vi c r t ượ ậ ầ c i giáo viên. Qua bài t p nh này, em mong có th giúp ích đ c n thi ọ ọ ầ i Toán nói riêng và h ng thú trong h c ph n nào các em h c sinh có k năng gi ậ c s c n th n, chính t p b môn Toán nói chung. T đó các em s rèn luy n đ xác trong công vi c.ệ

Sv: Phan V¨n Léc

Bµi tËp nghiªn cøu khoa häc

ờ

ạ

ả

ứ

ậ

ỏ

ấ

ữ

ượ

ầ

ạ

ả ơ

ạ

ướ

ờ

ng THPT Xuân Hòa Phúc Yên. Đã

ỉ ả ch b o, h ậ

ữ

ầ

ủ ầ Đinh Cao Long Giáo viên d y môn Toán c a ẫ ng d n em trong th i gian em ng. Th y đã có nh ng nh n xét quý báu giúp em hoàn thành bài

i tr ứ

ả Do kh năng b n thân và do th i gian có h n nên bài t p nghiên c u này khó ế tránh kh i nh ng thi u sót. R t mong đ c th y cô giáo và các b n đóng góp thêm. Em xin trân thành c m n Th y ườ tr ự ậ ạ ườ th c t p t ậ t p nghiên c u này!

Xuân Hòa, Ngày…. tháng…. năm 2011

ự ậ Giáo sinh th c t p

Phan Văn L cộ

Ả

Ệ

CÁC TÀI LI U THAM KH O

ạ

Tác giả: Nguy n Bá Kim )

ặ

ả

ươ

Tác giả: Vũ Tu n )ấ ọ ng g p khi gi