σ
B
μ
I
TËP
CH¦¥NG
4-
TR¹NG
TH
¸I
øng suÊt
- CÁC THUY TẾ
B NỀ
4.1. Tóm t tắ lý
thuy
ế
t
1. Khái ni mệ về tr ngạ thái ứng su tấ t iạ m tộ
đi
ể
m
- N iộ l c:ự phân bố trên m tặ cắt thu cộ v tậ thể chịu
l
ự
c.
- Ứng l c:ự Hợp lực c aủ n iộ l cự trên m tặ c tắ
ngang.
- ngỨ suất: t iạ m tộ điểm trên m tộ m tặ
c
ắ
t
- Tr ngạ thái ứng suất: t iạ m tộ
đi
ể
m
- Đ nhị nghĩa tr ngạ thái ứng su tấ t iạ m tộ điểm: là t pậ h pợ t t cấ ả những
thành
ph nầ ứng su tấ trên t tấ cả các mặt đi qua điểm
đó.
- Nghiên cứu tr ngạ thái ứng su tấ t iạ m tộ điểm: tách phân tố lập phương
vô
cùng bé ch aứ điểm đang xét, biểu di nễ các thành ph nầ ngứ su tấ trên t tấ cả
các
m tặ vuông góc v iớ ba tr cụ toạ độ x, y, z. Trên m iỗ m tặ ngứ su tấ toàn
ph nầ
có
phưngơ, chiều b t kỳấ được phân tích thành ba thành ph n:ầ 1 thành phần
ứng
su
ấ
t
pháp vuông góc với m tặ c tắ và 2 thành phần ngứ suất ti pế n mằ trong
m tặ
c
ắ
t.
Ký hi uệ ngứ su t:ấ chỉ số 1 – phương pháp tuy n;ế chỉ số 2 – phương c aủ
ứ
ng
su
ấ
t
y
σ
y
τ
yz
τzy
τ
yx
τ
xy
σ
x
τ
z
x
z
z
x
τ
xz
Chín thành ph nầ ứng su tấ tác d ngụ trên 3 c pặ m tặ vuông góc v iớ ba tr cụ
t
ạ
o
thành m tộ ten-xơ h ngạ hai gọi là ten-xơ ngứ
su
ấ
t
⎡
σ
x
τ
xy
τ
xz
⎤
⎢ ⎥
Tσ
=
⎢
τ
yx
⎢
τ
zx
σ
y
τ
zy
τ
yz
⎥
σ
z
⎥
(4.1)
⎣ ⎦
Lý thuyết đàn h iồ đã chứng minh r nằg: tr ngạ thái ngứ su tấ t iạ m tộ
đi
ể
m
hoàn toàn xác đ nhị n uế bi tế được ten-xơ ngứ su tấ Tσ t iạ đi mể
đó.
2. M tặ chính, phương chính, ứng su tấ
chính
a) M tặ chính: Là m tặ không có tác d ngụ c aủ ứng suất
ti
ế
p.
τ
α
xy
b) Phương chính: là phương pháp tuy nế c aủ m tặ
chính.
c) Ứng suất chính: là ngứ su tấ pháp tác dụng trên mặt
chính.
d) Qui ước g iọ tên các ngứ su tấ
chính:
Lý thuy tế đàn h iồ đã chứng minh r ng:ằ t i 1 ạđiểm luôn t nồ t i baạ m tặ
chính
vuông góc v iớ nhau v iớ ba ngứ su tấ chính tương ngứ ký hi uệ là
σ
1
,
σ
2 , σ3
.
Theo
qui ước: σ1
≥
σ
2
≥
σ
3
3. Đ nhị luật đ iố ứng c aủ ứng su tấ ti pế: ngỨ su tấ ti pế trên hai m tặ b t ấ
kỳ
vuông góc v iớ nhau t iạ m tộ đi mể có giá trị b ngằ nhau, có chi uề cùng hướng
vào
cạnh chung ho cặ cùng đi ra kh iỏ c nhạ
chung.
τ
xy
=
τ
yx ;
τ
xz
=
τ
zx
;
τ
yz
=
τ
zy
(4.2)
4. Trạng thái ứng su tấ
phẳng
•Các thành ph nầ ngứ su tấ trên m tặ c tắ song song v iớ tr cụ z (z
là
phương chính) và có pháp tuy nế u h pợ v iớ tr cụ x m tộ góc α
Qui ước d uấ (như hình vẽ dưới
đây):
- ngỨ su tấ pháp dương khi có chi uề đi ra kh iỏ phân
tố
- ngỨ su tấ ti pế có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều
kim
đ ngồ
hồ
- Góc α dương khi quay từ tr cụ x đ nế tr cụ u theo chiều ngược chi uề
kim
đ ngồ
hồ
y
σ
y
τyx
u
σ
u
σ
σ
x
x τuv
τ
yx
τ
xy
x
σ
x
+
σ
y
σ
x
−
σ
y
σ
y
sin
2
σ
u
=+
2
σ
x
−
σ
y
cos2
α
-
τ
xy α
22
τ
uv
=
sin2α
+
τ
xy cos α
2
(4.3)
•ngỨ su tấ pháp c cự trị là các ứng su tấ
chính
1,2 0
2
⎨
σ
=
σσ
+
σ
=
x y
±
⎛
σ
x
−
σ
y
⎞
+
τ
2
(4.4)
max, min 1,2(3)
2
⎜
2
⎟
xy
⎝ ⎠
•Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với
nhau
tg
2
α
= −
2
τ
xy
=> α
= ⎧
α0trong đó α1
⎛
=
arctg
⎜
−
2
τ
xy
⎞
⎟
(4.5)
σ
x
−
σ
y
⎩
α
0
+
90
02
⎜
σ
x
−
σ
y
⎟
⎝ ⎠
•Ứng su tấ ti pế cực trị: m tặ có ứng suất tiếp c cự trị h pợ v iớ mặt
chính
góc
45
0
τ
= ±
⎛
σ
x
−
σ
y
⎞
+
τ
2
(4.6)
max,min
⎜
2
⎟
xy
⎝ ⎠
•B tấ bi nế c aủ tr ngạ thái ngứ su tấ ph ng:ẳ t ngổ các ứng su tấ pháp
trên
hai m tặ bất kỳ vuông góc v iớ nhau t iạ một điểm có giá trị không
đ iổ
σ
x
+
σ
y
=
σ
u
+
σ
v
=
const
(4.7)
Chú ý: Ngoài các công thức gi iả tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ
th
ị
để bi uể di nễ tr ngạ thái ngứ su tấ (vòng tròn Mohr ngứ
su
ấ
t).
5. Quan hệ ứng su tấ - bi nế d ngạ -Đ nhị lu tậ
Hooke
a. Quan hệ ứng su tấ pháp – bi nế d ngạ
dài
1
( )
ε
x
=
⎡
σ
x
−
μ
σ
y
+
σ
z
⎤
E
⎣ ⎦
ε =
1
⎡⎣
σ
−
μ
(
σ
+
σ
)
⎤⎦
(4.8)
yE y x z
1
( )
ε
z
=
⎡
σ
z
−
μ
σ
x
+
σ
y
⎤
E
⎣ ⎦
b. Quan hệ ngứ su tấ ti pế – bi nế d ngạ
góc
τ
γ
=
xy
xy
G
;
γ
=
τ
xz
xz
G
τ
;
γ
=
yz
yz
G
(4.9)
với E, μ, G là mô đun đàn h iồ kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn
h iồ