Chưngơ 5. D CẶ TR NGƯ HÌNH HỌC C AỦ MẶT CẮT
NGANG
5.1. Tóm t tắ lý
thuy
ế
t
5.1.1. Các đ nhị
ngh
ĩ
a
Xét m tặ c tắ ngang có di nệ tích A . T iạ điểm M(x,y) thu cộ m tặ c tắ
ngang
l yấ vi phân diện tích
Da.
1. Mô men tĩnh c aủ mặt c tắ ngang A đ iố v iớ tr cụ
Ox:
Sx = ∫
(
A)
ydA (5.1)
Mô men tĩnh c aủ mặt c tắ ngang A đ iố v iớ tr cụ
Ox:
S y = ∫
(
A)
xdA
(5.2)
Đơn vị của mô men tĩnh là [chi uề dài3], giá trị của nó có thể là
d
ươ
ng,
b ngằ 0, ho cặ
âm.
2. Mô men quán tính c aủ m tặ c tắ ngang A đ iố v iớ tr cụ
Ox
I
x
=
∫
(
A)
y
2
dA (5.3)
Mô men quán tính c aủ m tặ c tắ ngang A đ iố v iớ tr cụ
Ox
I
y
=
∫
(
A)
x
2
dA (5.4)
d
ươ
ng
Đơn vị c aủ mô men quán tính là [chi uề dài4], giá trị của nó luôn
luôn
3. Mô men quán tính đ cộ cực (mô men quán tính c aủ m tặ c tắ ngang
A
đ iố v iớ một điểm
)
I
p
=
∫
(
A)
ρ
2
dA =
I
x +
I
y
(5.5)
Đơn vị c aủ mô men quán tính đ cộ c cự là [chi uề dài4 ], giá trị c aủ nó
luôn
luôn
d
ươ
ng
4. Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính c aủ m tặ c tắ ngang A
đ iố
v iớ m tộ hệ tr cụ
)
I
xy = ∫
(
A)
xydA (5.6)
AA
Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chi uề dài4 ], giá trị c aủ nó có
th
ể
là dương, b ngằ 0, ho cặ
âm.
5.1.2. Các khái
ni
ệ
m
1. Tr cụ trung tâm c aủ mặt c tắ ngang : Là tr cụ mà mô men tĩnh c aủ
di
ệ
n
tích m tặ c tắ ngang đ iố v iớ nó b ngằ
0.
2. Tr ngọ tâm: là giao điểm của hai tr cụ trung
tâm
3. Hệ tr cụ quán tính chính của di nệ tích m tặ c tắ ngang: là hệ tr cụ mà
mô
men quán tính ly tâm c aủ diện tích m tặ c tắ ngang đối v iớ nó b ngằ
0.
4. Hệ tr cụ quán tính chính trung tâm c aủ di nệ tích m tặ c tắ ngang: là
h
ệ
tr cụ quán tính chính, có g cố t aọ độ trùng v iớ tr ngọ tâm m tặ c tắ
ngang.
5.1.3. Công thức xác định toạ độ tr ngọ tâm của m tặ c tắ
ngang
Để xác đ nhị toạ độ tr ngọ tâm c aủ m tộ hình ph ng,ẳ trước tiên ph iả ch nọ
h
ệ
tr cụ ban đ uầ Oxy, bi uể di nễ kích thước và toạ độ tr ngọ tâm C(xC, yC) trong
h
ệ
tr cụ này. Ta
có:
S
x
=
y
C
A
;
y
C
=
S
x
A(5.7)
N uế m tặ c tắ ngang A ghép từ nhi uề hình đ nơ gi nả Ai v iớ t aọ độ tr ngọ
tâm
mỗi hình đ nơ gi nả là Ci( xCi,yCi) trong hệ toạ độ ban đ u,ầ
thì:
x =
S
y
n
∑
xCi
A
i
= i=1 ;
y
=
S
x
n
∑
yCi
A
i
= i=1
(5.8)
Cn
∑
A
i
i
=
1
C
n
∑
A
i
i=1
Chú
ý:
- Ch nọ h tệr cụ toạ độ ban đ uầ hợp lý: N uế hình có tr cụ đ iố x ngứ thì
chọn
tr cụ đ iố xứng làm m tộ tr cụ của h tệr cụ t aọ độ ban đ u,ầ tr cụ còn l i điạ qua
trọng
tâm c aủ càng nhi uề hình đ nơ gi nả càng
t t.ố
- N uế hình bị khoét thì di nệ tích bị khoét mang giá trị
âm.
5.1.4. Công thức chuy nể tr cụ song
song
M tặ c tắ ngang ngang A trong h tr cệ ụ ban đầu Oxy có các đặc
tr
ư
ng
hình học m tặ c tắ ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ tr cụ mới O'uv có
O'u//Ox,
O'v//Oy
và:
u = x +
b
; v = y +
a(5.9)
u
x
v
y
x
v
y
b
v y
dA
O x
a
O u
u
Các đặc trưng hình h cọ m tặ c tắ ngang A trong hệ trục O'uv
là:
Su = Sx +
a.A
Sv =
S
y +
b.A
I =
I
+
2aS
+ a2
A(5.10)
u x
x
I =
I
+
2bS
+ b2
A
v y
y
Iuv =
I
xy +
aS
y + bSx +
abA
Trưngờ h pợ đ cặ biệt, hệ tr cụ Oxy là hệ tr cụ quán tính chính trung tâm
c a ủ
m tặ c tắ ngang A (O đi qua tr ngọ tâm) thì công thức (5.8) có d ngạ đ nơ gi nả
h n:ơ
Su =
a.A
Sv =
b.A
I = I + a2
A
I = I + b2
A
Iuv =
I
xy +
abA
(5.11)
Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như
trên
hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái
y)
5.1.5. Công thức xoay
trục
M tặ c tắ ngang ngang A trong h tr cệ ụ ban đầu Oxy có các đặc
tr ngư
hình h cọ m tặ c tắ ngang là Sx, Sy, Ix, Iy, Ixy. Hệ tr cụ m iớ Ouv xoay m tộ
góc
α
so với hệ tr cụ Oxy như hình vẽ
(
α theo chi uề ngược chi uề kim đồng
hồ).
Quan hệ gi aữ hệ tr cụ t aọ độ mới và cũ
là:
u = xcosα +ysinα
;
v =
−
xsinα
+ycos
α
(5.12)