TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
HOÀNG THỊ HOÀI LINH
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT
TRONG CƠ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
HOÀNG THỊ HOÀI LINH
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT
TRONG CƠ LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS. Nguyễn
Thị Hà Loan, người đã chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận
này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi
hoàn thành khóa luận này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè luôn sát
cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu
để hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên
Hoàng Thị Hoài Linh
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý
thuyết” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp
đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan. Tôi cũng xin cam
đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ khóa luận tốt
nghiệp khác. Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018
Sinh viên
Hoàng Thị Hoài Linh
Mục lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................. 2
N I DUNG ....................................................................................................... 3
H NG : NH NG KH I NI M N ............................................... 3
1.1 Phương trình chuyển động .......................................................................... 3
1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc ......................... 3
. .2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ ................... 4
. .3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên ..... 6
1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ .............. 7
. .5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu ........... 10
.2 Xung lượng ............................................................................................... 11
.2. Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm ................. 11
.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm. ............ 12
.3 Momen xung lượng .................................................................................. 14
.3. Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm .... 14
.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất ......... 15
.4 Năng lượng ................................................................................................ 17
.4. Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm. .... 17
.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất .......... 18
1.5 Tọa độ suy rộng ......................................................................................... 19
1.6 Số bậc tự do .............................................................................................. 20
H NG 2: LI N K T ................................................................................ 21
2. Khái niệm liên kết ..................................................................................... 21
2.2 Phương trình liên kết hình học .................................................................. 21
2.3 Phương trình liên kết động học ................................................................. 22
2.4 Liên kết lý tưởng ....................................................................................... 23
2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo .................................................... 24
2.6 Lực suy rộng .............................................................................................. 26
H NG 3: M T S I T P V LI N K T ......................................... 27
3. ài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc .............................................. 28
3.2 ài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau ..................................... 31
K T LU N ..................................................................................................... 43
T I LI U THAM KH O ............................................................................... 44
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nói
chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ vai trò khá quan
trọng. Nó giúp chúng ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn phần lý
thuyết đã học.
Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở đại
học đó là môn ơ học lý thuyết. Đây là bộ môn khoa học nghiên cứu các quy
luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể
trong không gian, theo thời gian. Do đó số lượng bài tập tương đối nhiều và
đa dạng.
Ta có thể giải bài tập động lực học bằng các nguyên lý của cơ học. ác
nguyên lý cơ học cũng cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ và điều kiện cân bằng của cơ hệ. Giải các bài tập bằng
các nguyên lý của cơ học đặc biệt thuận lợi khi tìm các lực liên kết tác dụng
vào cơ hệ.
Đồng thời áp dụng công cụ cơ học giải tích là một phần của cơ học lý
thuyết trong đó nghiên cứu quy luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ
không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích, cho ta một phương
pháp ưu việt để giải các bài tập cơ học.
Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ
học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên
cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng.
Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý
thuyết”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các loại liên kết
1
- Giải quyết một số bài tập về liên kết
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết hình học
- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết động học
- Ứng dụng để giải quyết một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Nghiên cứu liên kết một vật với các bề mặt tiếp xúc
- Nghiên cứu liên kết của một cơ hệ với nhau
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán
- Phương pháp nghiên cứu của cơ học
6. Cấu trúc của khóa luận
- Đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết ” có kết cấu
gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần nội dung được chia làm 3 chương:
hương : Những khái niệm cơ bản
hương 2: Liên kết
hương 3: Một số bài tập áp dụng
2
NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: NH NG KH I NIỆM CƠ BẢN
1.1 Phƣơng trình chuyển động
1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc
a. Phương trình chuyển động
Xét chuyển động của chất điềm M đối với hệ quy chiếu K được quy
ước là đứng yên. Giả sử chất điềm M chuyển động trên đường cong AB.
Đường cong do chất điểm chuyển động vạch ra trong không gian gọi là quỹ
đạo của nó. Vị trí của M đối với hệ quy chiếu K được xác định bằng bán kính
vectơ ⃗ kẻ từ gốc tọa độ O đến chất điểm M. Khi chất điểm M chuyển động
thì bán kính vectơ ⃗ thay đổi cả về độ lớn và phương. Vì vậy, bán kính vectơ ⃗
A
z
là hàm của thời gian t:
B
(1.1) ⃗ = ⃗( )
Hệ thức trên xác định vị trí của chất điềm M
trong không gian ở thời điểm t bất kỳ và
O
x
được gọi là phương trình chuyển động của
chất điểm cho dưới dạng vectơ. Đó cũng chính
là phương trình quỹ đạo của chất điểm y
cho dưới dạng thông số.
b. Vectơ vận tốc:
Để đặc trưng cho sự thay đổi bán kính vectơ ⃗ theo thời gian người ta
đưa ra khái niệm vận tốc.
Vận tốc là đại lượng vectơ đặc trưng cho độ nhanh, chậm, phương
chiều chuyển động của chất điểm tại mỗi thời điểm và bằng đạo hàm hạng
nhất của bán kính vectơ ⃗ theo thời gian.
(1.2)
3
c. Vectơ gia tốc
Để đặc trưng cho sự thay đổi của vectơ vận tốc theo thời gian ta đưa
vào khái niệm gia tốc.
Gia tốc chuyển động của chất điểm là một đại lượng vectơ, bằng đạo
hàm hạng hai theo thời gian của bán kính vectơ ⃗
(1.3)
Ở đây ta quy ước ký hiệu vi phân theo thời gian của một đại lượng
bằng dấu chấm đặt trên ký hiệu của đại lượng ấy.
1.1.2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ Descartes
ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ Descartes Ox, Oy, Oz là ⃗⃗ , ⃗⃗ , ⃗⃗ .
Trong hệ tọa độ Descartes có thể biểu diễn
M
bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của chất điểm M z dưới dạng:
O
(1.4) ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Trong đó x, y, z là các thành phần của
y
x
bán kính vectơ ⃗ trên các trục tọa độ. ⃗⃗ ⃗⃗
Khi chất điểm chuyển động thì x, y, z đều biến đổi theo thời gian do đó ta có
thể viết:
( )
(1.5) ( )
( )
4
ác phương trình ( .5) gọi là các phương trình chuyển động của chất
điểm dưới dạng tọa độ hay còn gọi là phương trình quỹ đạo của chất điểm
dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes.
Theo định nghĩa:
(1.6) ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
Gọi là các thành phần của ⃗⃗ trên các trục tọa độ thì có thể viết
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Ta nhận được: ̇ , ̇ ̇
Nghĩa là mỗi thành phần của ⃗⃗ trên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc
nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng.
Độ lớn của vận tốc:
√ ̇ ̇ ̇
(1.7) √
Gọi là các góc hợp bởi vectơ vận tốc với các trục tọa độ. Hướng
của vectơ vận tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương:
,
,
Theo định nghĩa của vectơ gia tốc ta có:
( ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ ̈ ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ ̈ ⃗⃗
Gọi thành phần gia tốc trên các trục tọa độ là thì có thể viết:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
Ta có thành phần gia tốc trên các trục tọa độ:
̈ ̈ , ̈
Độ lớn của gia tốc:
5
√ ̈ ̈ ̈
(1.8) √
Gọi là góc hợp bởi véctơ gia tốc với các trục tọa độ thì
phương của vectơ gia tốc được xác định bởi các cosin chỉ phương.
, ,
1.1.3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên
Khi quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước thì dùng
phương pháp tọa độ tự nhiên để mô tả chuyển động của chất điểm lại thuận
lợi hơn.
S
M
O1 Ta chọn điểm O1 trên quỹ đạo làm điểm gốc
để tính độ dài cung S của quỹ đạo. Chiều dương
O
của S lấy theo chiều tăng của nó trong quá trình ⃗ τ⃗⃗ d ⃗ d chuyển động.
Khi chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo bán kính vectơ ⃗ của nó sẽ
biến đổi theo sự biến đổi của tọa độ cung S, còn bản thân tọa độ cung S sẽ
biến đổi theo thời gian.
, ⃗ ⃗( ) ( )
Phương trình ( ) được gọi là phương tình chuyển động của chất
điểm theo quỹ đạo của nó.
Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết,
thuận tiện hơn ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị
⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗]. Hệ tọa độ này gọi là hệ tọa độ tự nhiên hay tam diệm tự
nhiên.
Vectơ vận tốc ⃗⃗ và vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ của chất điểm có thể biểu diễn dưới
dạng:
6
(1.9) ̇ ⃗⃗
(1.10) ̈ ⃗⃗ ( ̇)
là vectơ đơn vị, tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theo Trong đó
chiều chuyển động của chất điểm.
Hình chiếu của ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ trên các trục của tọa độ tự nhiên có dạng:
̇
̈
Biết các thành phần ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ ta xác định được độ lớn và hướng của nó:
̇
̇
(1.11) √
√( ̈) (
(1.12) ) √
̈ ̇
Trong đó là các góc tạo bởi vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ với các vectơ đơn vị
⃗⃗ ⃗⃗.
1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ
z
Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của chất điểm M
được xác định bởi ba tọa độ . ⃗⃗
O1
M’
Khi đó bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của ⃗⃗φ ρ chất điểm M được viết dưới dạng
O
(1.13) ⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ⃗⃗ρ 𝜃
y
M
x
ρ φ
7
Những tọa độ trụ của điểm M liên hệ với các tọa độ Descartes
của nó bằng các hệ thức sau đây:
(1.14)
Những vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ trụ liên hệ với các vectơ
đơn vị ⃗ ⃗ ⃗⃗ trong hệ tọa độ Descartes được xác định như sau
⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ [ ⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗ ⃗
Khi chất điểm M chuyển động thì các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ thay đổi
chiều nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng:
⃗⃗̇ ̇ ( ⃗ ⃗ ) ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ( ⃗ ⃗ ) ̇ ⃗⃗
Phương trình chuyển động của chất điểm ở trong hệ tọa độ trụ: khi chất
điểm M chuyển động thì đều biến đổi theo thời gian:
( )
(1.15) ( )
( )
⃗⃗
Vận tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ:
̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇
= ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
= ̇ ̇ ̇
√ ̇ ( ̇ ) ̇
(1.16) √
8
Gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ trụ:
⃗⃗⃗⃗ ( ̈ ) ⃗⃗ ( ̇ ) ⃗⃗ ̈ ⃗⃗ d d d ⃗⃗ d
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
̈ , ̈
√
⁄ ̈ }
( ̇ )] {( ̈ ) [
Khi chất điểm M chỉ chuyển động trong mặt phẳng thì z = 0 và hệ tọa
độ trụ chuyển thành hệ tọa độ cực.
Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của chất điểm trong hệ tọa
độ cực:
√ ̇ ( ̇ )
+ Phương trình chuyển động: ( ) , ( )
+ Vận tốc: √
+ Gia tốc:
⁄
√
( ̇ )]
} {( ̈ ) [ d d
9
z
1.1.5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu.
Vị trí của chất điểm M trong hệ tọa độ cầu
O
y
𝑛⃗⃗𝑟 được xác định bằng ba tọa độ . 𝑛⃗⃗𝜑 Khi chất điểm chuyển động thì
M 𝜃 𝑟 𝑛⃗⃗𝜃 𝜑
x
đều biến đổi theo thời gian.
( ) ( ) ( ) (1.17)
Đây chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ tọa độ cầu.
Mối liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes được các định bằng các
công thức:
(1.18)
, Với ,
ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu liên hệ với các vectơ đơn vị trong
hệ tọa độ Descartes:
( ⃗ ⃗ ⃗⃗)
= ⃗ ⃗ ⃗⃗
⃗⃗ ⃗ ⃗
⃗⃗ [ ⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗ ⃗ ⃗⃗
Đạo hàm bậc nhất theo thời gian các vectơ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
10
ác phương trình chuyển động, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất
điểm trong hệ tọa độ cầu được biểu diễn dưới dạng:
(1.19) ( ) ⃗⃗ ( )
̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗
̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇
(1.20) ̇ ( ̇ ̇ )
⃗⃗̈
̈ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗̇
(1.21) √
Khi thì hệ tọa cầu chuyển thành hệ tọa độ cực. Khi đó ̇ ̈ và
chất điểm chuyển động trong mặt phẳng xOy.
1.2 Xung lƣợng
1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm
Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc ⃗⃗ của nó được gọi là
xung lượng ⃗⃗⃗ của chất điểm.
(1.22) ⃗⃗⃗ ⃗⃗
Khối lượng của chất điểm không thay đổi trong quá trình chuyển động
nên từ (1.22) có thể nhận được định luật biến thiên xung lượng
(1.23) ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗
Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm: “ Đạo hàm của xung
lượng theo thời gian bằng tổng các lực tác dụng lên chất điểm.”
Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng không tại
mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo toàn.
Ví dụ: Fz = 0 thì Fz bảo toàn
11
hú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa
thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bằng 0.
Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm: “ Nếu chất điểm là cô lập
(không có lực tác dụng) hoặc tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì
xung lượng của chất điểm được bảo toàn.”
⃗⃗⃗̇ hay ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = const.
1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
Ký hiệu xung lượng của chất điểm là ⃗⃗⃗ thì theo định nghĩa
(1.24)
Trong đó ⃗⃗⃗ ⃗⃗ là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung
lượng của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của chất điểm trong hệ.
Đạo hàm hai vế của phương trình theo thời gian
(1.25)
Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là gia tốc của chất điểm thứ i.
ó: (1.26)
Với: là tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.
là tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.
12
Ta có:
Do đó:
Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0
Khi đó (1.26) trở thành:
(1.27)
Thay (1.27) vào (1.25) ta được
hay (1.28) ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗
Biểu thức (1.28) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất
điểm được phát biểu như sau:“ Đạo hàm vectơ xung lượng của hệ chất điểm
theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”
* Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên trục cố
định nào đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ
thì Pz = const.
trên trục đó bảo toàn.
Ví dụ:
13
Trong trường hợp cơ hệ là kín mà trong đó các chất điểm của hệ không
chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay ⃗⃗ .
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = const
Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như
sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn”
1.3 Momen xung lƣợng
1.3.1 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm
Để đưa đến khái niệm momen xung lượng của một chất điểm ta đem
nhân hữu hướng hai vế của phương trình định luật II Niuton với bán kính
vectơ ⃗ về phía trái, ta có:
(1.29) [ ⃗ ⃗⃗⃗̇ ] [ ⃗ ⃗⃗]
Tích hữu hướng [ ⃗ ⃗⃗] được gọi là momen lực được ký hiệu là ⃗⃗
(1.30) ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗]
Vì [ ⃗⃗ ⃗⃗] nên có thể biến đổi vế trái của (1.29) thành dạng:
(1.31) [ ⃗ ⃗⃗⃗̇ ]
Trong đó ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗⃗̇ ] được gọi là momen xung lượng của chất điểm.
Từ (1.29), (1.30), (1.31) ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên
momen xung lượng của chất điểm. ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗
Định luật biến thiên momen xung lượng của chất điểm được phát biểu:
“ Đạo hàm momen xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng momen lực
tác dụng lên chất điểm đó.”
* Nếu thành phần momen lực tác dụng lên một trục cố định nào đó tại mọi
thời điểm bằng 0 thì thành phần momen xung lượng của chất điểm trên trục
đó được bảo toàn.
14
Nhận xét: Momen lực ( hay các thành phần của nó trên trục nào đó)
bằng 0 khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0. Nhưng cũng có thể xảy ra
trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà momen lực lại bằng 0.
Định luật bảo toàn momen xung lượng của chất điểm được phát biểu
như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất
điểm bằng 0 hoặc lực cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất
điểm thì momen xung lượng của chất điểm được bảo toàn.”
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const
1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có
dạng:
⃗⃗ ⃗⃗
(i = 1,2,......, N) mi ⃗̈
Nhân hữu hướng vế bên trái của phương trình này với bán kính vectơ
⃗ của chất điểm thứ i ta nhận được phương trình xác định sự biến thiên của
(1.32) momen xung lượng của chất điểm thứ i. ⃗⃗⃗⃗̇
⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗ ] là momen nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i [ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ] là momen ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i
Trong đó: ⃗⃗
[ ⃗ ⃗⃗⃗ ] là monem xung lượng của chất điểm thứ i
⃗⃗⃗⃗̇
Lấy tổng biểu thức (1.32) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:
⃗⃗⃗⃗̇
Trong đó ⃗⃗⃗⃗ là momen xung lượng của hệ, bằng tổng momen xung
lượng của các chất điểm trong hệ.
15
ác lực tương tác giữa mỗi cặp chất điểm theo định luật III Niuton thì
bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳng nối các
chất điểm tương tác. Do đó ta có thể biểu diễn momen lực theo tất cả các cặp
chất điểm tương tác.
(1.33)
Bởi vì [ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗ ⃗⃗ ] [( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗ ]
(vì ⃗⃗ cộng tuyến với ⃗ = ⃗ ⃗ )
Từ biểu thức (1.32) và ( .33) ta nhận được biểu thức của định luật biến
thiên momen xung lượng của hệ chất điểm:
⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗
Định luật biến thiên momen xung lượng của hệ chất điểm được phát
biểu như sau: “ Đạo hàm momen xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian
bằng tổng momen ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”
Nếu thành phần của tổng momen ngoại lực trên một trục cố định nào
đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của momen xung lượng của hệ
trên trục đó được bảo toàn.
Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu
như sau: “ Đối với hệ kín, momen xung lượng của hệ không thay đổi ”
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const
16
1.4 Năng lƣợng
1.4.1 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm.
Để thiết lập định luật biến thiên động năng của chất điểm ta nhân vô
hướng hai vế của phương trình ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗ với dịch chuyển d ⃗, ta được: m ⃗⃗̇ d ⃗⃗⃗= ⃗⃗ d ⃗
Đại lượng ⃗⃗ d ⃗ được gọi là công nguyên tố của lực ⃗⃗ trên dịch chuyển
d ⃗ và được ký hiệu dA.
dA = ⃗⃗ d ⃗
Ta biến đổi vế trái của phương trình trên:
m = ⃗⃗ d ⃗⃗ =
Gọi T là động năng của chất điểm: T =
Biểu thức của định lý biến thiên động năng
dT = dA (1.34)
Định lý biến thiên động năng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác dụng lên
chất điểm”
Lấy tích phân hai vế phương trình ( .34) từ ⃗ đến ⃗ ta nhận được:
= (1.35)
Từ phương trình ( .35) ta thấy rằng, nếu không biết định luật
chuyển động của chất điểm, nghĩa là không biết hàm ⃗( ) , thì ta sẽ không tính
được công trên một dịch chuyển hữu hạn của chất điểm và đồng thời cũng
không thể tính được độ biến thiên hữu hạn của động năng của nó. Tuy nhiên
17
đối với một số lực không biết phương trình chuyển động ⃗( ) ta vẫn có thể
xác định được độ biến thiên hữu hạn của động năng. Đó là những lực thế.
Lực thế là những lực mà ta có thể biểu diễn dưới dạng:
⃗⃗ ( ⃗)
Trong đó ( ⃗) là hàm vô hướng chỉ phụ thuộc vào vị trí của chất điểm
được gọi là thế năng của chất điểm.
ông nguyên tố của lực thế là một vi phân toàn phần. Thật vậy:
(1.36) dA = ⃗⃗ d ⃗ ( ⃗)d ⃗ = d
Theo định nghĩa cơ năng của chất điểm bằng tổng động năng cộng thế
năng của nó: E = T + U
Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được:
Từ định lý biến thiên động năng có và từ (1.36) có
Vậy hay E ( ⃗) = const.
Định luật bảo toàn cơ năng cho ta một tích phân đầu của chuyển động.
Tích phân này cho phép xác định độ lớn của vận tốc là một hàm của vị trí mà
không phải tìm nghiệm của phương trình chuyển động. 1.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất
điểm.
Nếu nhân hai vế phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ
chất điểm:
⃗⃗ ⃗⃗ với dịch chuyển tương ứng d ⃗ của chất điểm thứ i thì ta sẽ nhận được biểu
(i = 1,2,......, N) mi ⃗̈
thức xác định sự biến thiên động năng của chất điểm thứ i.
18
d
(1.37) d d
là các công nguyên tố của nội và ngoại lực trên dịch
Trong đó: là động năng của chất điểm thứ i
và d
d
chuyển d ⃗ của chất điểm thứ i.
Lấy tổng (1.37) theo tất cả các chất điểm trong hệ ta được:
dT = d d
Trong đó T = là động năng của hệ, bằng tổng động năng của các
chất điểm trong hệ.
d là công nguyên tố của tất cả các nội lực
d là công nguyên tố của tất cả các ngoại lực
Định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:
“ Vi phân động năng của hệ chất điểm bằng công nguyên tố của tất cả nội lực
và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”
Đối với hệ kín thì cơ năng cũng không đổi nên định luật bảo toàn cơ
năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “Khi cơ hệ là kín hoặc các lực
tác dụng lên cơ hệ đều là những lực thế thì cơ năng của hệ bảo toàn”
E = E0 = const.
1.5 Tọa độ suy rộng Để đơn giản, ta khảo sát cơ hệ Hôlômôn gồm N chất điểm Mi ( i = ̅̅̅̅̅ )
với liên kết đặt lên nó được biểu diễn bằng n phương trình:
(1.38) ( ⃗ , ⃗ , ...., ⃗ , t) = 0 ( ̅̅̅̅̅)
Nếu n phương trình liên kết này độc lập thì trong số 3N tọa đồ Descartes xi, yi và zi ( i = ̅̅̅̅̅ ) có s = 3N – n tọa độ độc lập. Muốn xác định
đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập.
19
Ta ký hiệu s thông số độc lập là q1, q2, ..., qs. Những thông số độc lập
cần thiết qk ( k = ,2,3,....S) để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi
là những tọa độ suy rộng. Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ
đúng bằng số bậc tự do của nó.
Giữa tọa độ suy rộng q1, q2, ..., qs và các bán kính vectơ ⃗ (i = 1,2,...N)
Hay có mối liên hệ được biểu diễn bởi phương trình: ⃗ = ⃗ ( q1, q2, ..., qs, t ) (i= ̅̅̅̅̅ ) xi = xi ( q1, q2, ..., qs, t )
yi = yi (q1, q2, ..., qs, t )
zi = zi (q1, q2, ..., qs, t )
1.6 Số bậc tự do
Ta hãy xét một cơ hệ gồm N chất điểm M1, M2, M3, ..., MN chuyển
động với hệ quy chiếu quán tính.Vị trí của chất điểm M1 trong không gian
được xác định bởi bán kính vectơ ⃗ hay 3 tọa độ Descartes xi, yi, zi.
Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ ⃗
( i = ̅̅̅̅̅ ) hay 3 tọa độ Descartes xi, yi, zi ( i = ̅̅̅̅̅ ).
Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ
hệ gọi là số bậc tự do.
Vị trí của vật rắn trong không gian được xác định bởi ba điểm không
cùng nằm trên một đường thẳng. a điểm như vậy có 6 bậc tự do. Vậy vật rắn
chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do
20
CHƢƠNG 2: LIÊN KẾT
2.1 Khái niệm liên kết
ơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ thể có
thể chiếm những vị trí bất kì trong không gian và có những vận tốc bất kì. Nói
khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí vận tốc của những chất điểm của cơ hệ không bị
hạn chế bởi một điều kiện nào.
Số bậc tự do của cơ hệ là 3N.
Trong thực tế, ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ
hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi
những điều kiện nào đó.
Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ
trong không gian gọi là liên kết.
Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bằng một thanh
có độ dài r12 là một cơ hệ không tự do. Sáu tọa độ Descartes xác định vị trí hai
chất điểm phải thỏa mãn điều kiện
(2.1) ( ) ( ) ( )
Do đó những tọa độ Descartes này không phải là những thông số độc
lập vì giữa chúng có liên hệ với nhau bởi phương trình (2.1). Chỉ có 5 trong 6
tọa độ Descares là độc lập. Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách
giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do.
2.2 Phƣơng trình liên kết hình học
Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi k
) (
⃗̇
⃗̇
̅̅̅̅̅ ) (2.3)
phương trình: ( x1, y1, z ,…, xN, yN, zN, ̇ , ̇ , ̇ ,…, ̇ ̇ ̇ , t ) = 0 ( ̅̅̅̅̅ ) (2.2) Hay: ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗̇ ó thể viết dưới dạng ngắn gọn:
21
) (
̅̅̅̅̅ ) (2.4) ( ⃗ ⃗̇
Trường hợp đặc biệt, khi phương trình liên kết không phụ thuộc vận tốc
⃗̇ thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học. Đối với liên kết hình học
ta có:
,t ) = 0 ( ̅̅̅̅̅ )
(2.5) ( ⃗̇
2.3 Phƣơng trình liên kết động học
biểu diễn
Những phương trình liên kết (2.4) phụ thuộc vào vận tốc ⃗̇
những liên kết động học đặt lên cơ hệ.
Trong thực tế, ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biểu
diễn bởi n phương trình liên kết hình học (2.5) và m phương trình liên kết
động học có dạng:
) =
( ⃗ ⃗̇
= (2.6) ⃗̇ + ( ( ̅̅̅̅̅ )
Trong đó những hàm của ⃗ , t.
là ba hình chiếu của vectơ ⃗⃗ nào đó trên các trục tọa độ Descartes.
Những phương trình (2.6) có thể được viết dưới dạng tương đương :
(2.7) ( ( ̅̅̅̅̅ )
Vi phân đẳng thức (2.5) cho ta:
(2.8) ( ̅̅̅̅̅ )
Dễ thấy phương trình (2.8) biểu diễn liên kết động học tương đương
với liên kết hình học (2.5) vì tích phân (2.7) cho ta:
22
( ⃗ ) ( ⃗ ) ( ̅̅̅̅̅ ) (2.9)
Trong đó là hằng số tùy ý.
Liên kết động học (2.8) gọi là liên kết động học tích phân được. Đối
với liên kết động học tích phân được, ta có thể dẫn nó về liên kết hình học.
Tuy nhiên, không phải mọi liên kết động học là những liên kết động học tích
phân được. Nếu vế trái của phương trình (2.7) không thể biểu diễn qua vi
phân toàn phần của một hàm nào đó của các biến số ⃗ ,t thì liên kết động học
như vậy gọi là liên kết động học không tích phân được.
ơ hệ không chịu liên kết động học không tích phân được đặt lên nó
gọi là cơ hệ Hôlônôm. ơ hệ tự do, cơ hệ chịu liên kết hình học ( phương
trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc ) hay liên kết động học tích phân
được ( phương trình liên kết chứa yếu tố vận tốc nhưng nhưng nhờ phép tính
tích phân được đưa về dạng không chứa yếu tố vận tốc) đặt lên chúng đều là
những cơ hệ Hôlônôm.
Đối với những cơ hệ Hôlônôm, liên kết đặt lên nó luôn có thể biểu diễn
bằng những phương trình (2.5). Ngược lại, cơ hệ chịu liên kết động học
không tích phân được đặt lên nó gọi là cơ hệ không Hôlônôm.
2.4 Liên kết lý tƣởng Giả sử có chất điểm chuyển động dưới tác dụng của lực ( ̅̅̅̅̅). Nếu chất điểm chuyển động tự do, theo định luật II Niuton ta có:
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
Khi đặt lên hệ thì gia tốc c thể không thỏa mãn
các phương trình liên kết. Thật vậy, lấy đạo hàm bậc hai của phương trình
(1.38) theo thời gian ta nhận được những phương trình mô tả sự hạn chế gia
tốc của những chất điểm của cơ hệ
23
(2.10) ( )
Gia tốc có thể không thỏa mãn phương trình (2. 0). Điều ấy có
nghĩa là liên kết đã tác dụng lên chất điểm Mi một lực nào đó gọi là phản lực
liên kết. Ký hiệu phản lực liên kết là ⃗⃗⃗ thì phương trình chuyển động của chất điểm không tự do có dạng:
(i = 1,2,..., N) (2.11) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗
Để phân biệt với phản lực ⃗⃗⃗ ta gọi ⃗⃗ là lực chủ động tác dụng lên
chất điểm.
Liên kết được gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản
lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng 0, nghĩa là:
(2.12)
2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo
Một tập hợp những vectơ dịch chuyển vô cùng bé d ⃗ ( i = 1,2,....N )
thỏa mãn phương trình liên kết (2.7) và (2.8) gọi là những dịch chuyển có thể.
Ví dụ: Giả sử chất điểm Mi chuyển động trên một mặt phẳng cho trước.
Ở thời điểm t, vị trí của chất điểm M
K
M
d ⃗ được xác định bởi bán kính vectơ ⃗
Ở thời điểm t + dt,vị trí của chất điểm
O
⃗ M được xác định bởi bán kính vectơ ⃗ d ⃗ ⃗ d ⃗
Vị trí M và K là những vị trí nằm trong mặt phẳng, đều là những vị trí có thể
có của chất điểm Mi. Vectơ d ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là vectơ dịch chuyển có thể.
24
Dịch chuyển thực d ⃗ của chất điểm Mi cũng phải thỏa mãn phương
trình liên kết (2.7) và (2.8). Vậy dịch chuyển thực d ⃗ của chất điểm là một
trong những dịch chuyển có thể.
và d ⃗ là một vectơ
d ⃗
Giả sử tại thời điểm t, ta lấy hai hệ thống vectơ dịch chuyển có thể d ⃗ và d ⃗
M
N
δ ⃗ Hiệu hai vectơ d ⃗ vô cùng bé và được ký hiệu ⃗
d ⃗ gọi là những vectơ dịch chuyển ảo.
d ⃗
và d ⃗ thỏa mãn những phương trình
Tập hợp những vectơ ⃗ = d ⃗ ác vectơ dịch chuyển có thể d ⃗
liên kết:
(2.13) ( ̅̅̅̅̅)
(2.14) ( ̅̅̅̅̅)
(2.15) ( ̅̅̅̅̅)
(2.16) ( ̅̅̅̅̅)
Trừ phương trình (2. 3) cho phương trình (2. 5) và phương trình (2. 4)
cho phương trình (2. 6) ta thu được những phương trình đối với hệ vectơ dịch
chuyển ảo ⃗ .
(2.17) ( ̅̅̅̅̅)
25
(2.18) ( ̅̅̅̅̅)
Trong đó là ba hình chiếu của vectơ ⃗ trên các trục tọa độ
x, y, z.
2.6 Lực suy rộng
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực chủ động ⃗⃗ . Giả sử
cơ hệ có n bậc tự do.
ông thức lực chủ động trên di chuyển khả dĩ ⃗ gọi tắt là công khả dĩ
( công ảo ) xác định như sau:
(2.19)
Với ⃗ ⃗ ( q1, q2,..., qn ), ta có
(2.20) ⃗ ⃗ ( q1, q2,..., qn )=
Thế ( 2.20 ) vào ( 2. 9 ), ta được
(2.21)
Với
(2.22)
gọi là lực suy rộng thứ i của cơ hệ.
26
Trong thực hành muốn tìm ta tính công ảo của lực rồi chia cho biến
phân nghĩa là:
( khi mọi , i j)
27
CHƢƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LIÊN KẾT
3.1 Bài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc
Bài tập 1: Hãy chứng minh rằng liên kết của một chất điểm chuyển động
không ma sát trên một mặt phẳng nhẵn là liên kết lý tưởng?
Giải:
Một chất điểm chuyển động
𝑁⃗⃗⃗ trên một mặt nhẵn ( không ma sát ) thì
𝛿𝑟⃗ 𝛿𝑟⃗ phản lực liên kết ⃗⃗⃗ vuông góc với dịch
chuyển ảo ⃗ nên ⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Bài tập 2: Hai vật rắn nối liên với nhau bằng một bản lề mà khối lượng và
kích thước của bản lề có thể bỏ qua. Hãy chứng minh rằng liên kết của vật rắn
là liên kết lý tưởng?
Giải:
Gọi ⃗ và ⃗ là những bán kính vectơ xác định vị trí tiếp xúc của vật thứ
nhất và vật thứ hai đối với bản lề.
Vì kích thước của bản lề bé nên có
O
thể coi ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ Gọi ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗ là những phản lực liên kết
do bản lề tác dụng lên vật thứ nhất và vật thứ hai.
Theo định luật III Niuton vật thứ nhất và vật thứ hai tác dụng lên bản lề
những lực ⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Phương trình chuyển động của bản lề có dạng:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Trong đó m là khối lượng của bản lề, vì m bỏ qua nên ⃗⃗ ⃗⃗
và ta có ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
28
Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi di chuyển ảo
bằng:
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗
Bài tập 3: Hãy chứng minh rằng liên kết đặt lên vật rắn quay quanh một điểm
cố định là liên kết lý tưởng?
Giải:
Vật rắn quay quanh một điểm cố định O. Vì điểm đặt của phản lực liên
kết không dịch chuyển nên ⃗⃗⃗ ⃗ = 0
Bài tập 4: Hãy chứng minh rằng liên kết đặt lên vật rắn lăn không trượt trên
một vật rắn khác là liên kết lý tưởng?
Giải :
Một vật rắn lăn không trượt trên một vật rắn khác. Điểm tiếp xúc M
giữa hai vật có vận tốc tương đối bằng không. 𝑁⃗⃗⃗
1 1
Điểm M chính là điểm đặt của phản lực
liên kết ⃗⃗⃗ do vật thứ hai tác dụng lên vật
M
2
thứ nhất.
Đối với liên kết dừng thì những vectơ dịch chuyển có thể d ⃗ và
những vectơ dịch chuyển ảo ⃗ đều thỏa mãn phương trình:
( )
Vậy đối với liên kết dừng thì dịch chuyển ảo ⃗ trùng với dịch chuyển
có thể d ⃗ = ⃗⃗ d . Tại điểm tiếp xúc M ta có ⃗⃗ nên d ⃗ ⃗⃗d ⃗
Vậy ⃗⃗⃗ ⃗ .
Bài tập 5: Một khối trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt
trên mặt phẳng AC của chiếc nêm A cố định ( trục của hình trụ luôn
29
hướng theo phương nằm ngang ) có hình tam giác vuông, góc A = α. Xác
định hàm Lagrange của hệ và gia tốc chuyển động tịnh tiến của khối trụ.
Giải:
Khối trụ đồng chất chỉ chuyển động lăn không trượt trên mặt nghiêng
AC của nêm nên số bậc tự do của hệ là .
A
O
x
Chọn trục tọa độ Ox song song với mặt nêm, hướng xuống.
C
B
𝛼
Chọn tọa độ x là tọa độ suy rộng.
Động năng của khối trụ bao gồm động năng tịnh tiến của khối tâm và
động năng quay quanh điểm tiếp xúc với nêm:
T =
là momen quán tính của trụ đối với trục đi qua tâm của trụ.
Theo định lý Huyghen – Stainơ, momen quán tính của trụ đối với trục
quay đi qua điểm tiếp xúc với nêm và song song với trục của trụ:
J = J1 + mr2 = mr2
v = ̇ = r
T =
Chọn gốc thế năng là vị trí ban đầu của khối trụ.
Thế năng của vật rắn:
30
U = - mg
Hàm Lagrange mô tả chuyển động của vật rắn:
L = T + U = ̇ + mg
Phương trình Lagrange:
̇ , ̈ , = mg
Thay vào phương trình Lagrange ta có:
̈ mg = 0
̈
̇
Vì ̇ nên
3.2 Bài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau
Bài tập 1: Hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bởi một thanh có độ dài
không đổi và khối lượng của thanh bỏ qua. Thanh là liên kết đặt lên hai chất
điểm có phải là liên kết lý tưởng không?
Giải:
𝑁⃗⃗⃗ M2 M1 𝑁⃗⃗⃗ Gọi ⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗ là phản lực liên kết do thanh
tác dụng lên chất điểm thứ nhất và thứ hai.
O
⃗ ⃗
31
Theo định luật III Niuton, chất điểm M1 và M2 sẽ tác dụng lên thanh những
lực ⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Khối tâm sẽ chuyển động theo phương trình:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Trong đó m là khối lượng của thanh, ⃗⃗⃗⃗ là gia tốc khối tâm của thanh.
Vì khối lượng thanh bỏ qua nên ⃗⃗ ⃗⃗ và do đó
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ )
Nếu ⃗⃗⃗ ( ⃗ ⃗ ), trong đó là hằng số thì:
⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ vì ( ⃗ ⃗ ) const.
Những liên kết đặt lên vật rắn kiểu như vậy là liên kết lý tưởng.
Bài tập 2: Hai vật A, có khối lượng mA, mB được nối với nhau bằng sợi dây
không dãn, không khối lượng và vắt qua ròng rọc E khối lượng m và bán kính
r. Hệ các vật A, , E được buộc vào đầu một lò xo có hệ số cũng là , đầu
còn lại của lò xo buộc cố định. Giả sử mB > mA và ở thời điểm đầu hệ đứng
yên ở trạng thái không dãn của lò xo.
Xác định hàm Lagrange của hệ và gia tốc của các vật A, B.
32
E
B
A
Giải:
Hệ gồm 3 vật E, A, B.
Ba vật chỉ chuyển động lên xuống ( dọc theo trục x ).
ác tọa độ y, z đều bằng 0, ta có 6 phương trình liên kết.
Vật A, được nối với nhau bằng sợi dây không dãn nên khoảng cách
giữa hai vật bằng không đổi. Ta có thêm một phương trình liên kết.
Vậy số bậc tự do của cơ hệ: s = 3N – n = 3.3 – 7 = 2
Chọn x là quãng đường đi của A, B;
y là độ dãn của lò xo làm tọa độ suy rộng.
Theo giả sử mB > mA => PA > PB. So với ròng rọc E, vật B chuyển động
đi xuống và vật A chuyển động đi lên.
Động năng của cơ hệ bao gồm động năng tịnh tiến của A, , ròng rọc
và động năng quay của ròng rọc:
T =
33
Trong đó: là momen quán tính của ròng rọc E
Thế năng của cơ hệ bao gồm thế năng hấp dẫn của hệ A, và thế năng
đàn hồi của lò xo:
( )
Hàm Lagrange của hệ:
̇ ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇
( )
( ̇ ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ̇ ) ̇ ̇
( )
Phương trình Lagrange mô tả chuyển động của hệ:
(1)
(2)
( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇ ̇
( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ ) ̇ d d ̇ ( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇
}
Từ (1): ( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ )
34
Thay ( trụ đặc )
(1’) ( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ )
( ̇ ̇ ) ( ̇ ̇ ) ̇
( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ ) ̈ ̇ d d ̇
}
(2’) Từ (2): ( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ ) ̈
Giải hệ phương trình:
̈ ( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ ) {
( ̈ ̈ ) ( ̈ ̈ ) ̈
( ) ̈ ( ) ̈ ( ) {
( ) ̈ ( ) ̈ ( )
Rút ̈ từ ( ’):
( ) ( ) ̈ ̈
Thay vào (2”) ta có:
( )( ) ( ) ̈ ( ) ̈
35
Đặt
̈ ( ) ( ) ̈
[ ( ) ] ̈ ( )
̈ ( ) ( ) ( )
Đặt
( )
( )
( )
Ta có: ̈
Nếu ở thời điểm t = 0, và ̇ , nghiệm là:
̇
̈
Thay vào ( ”):
̈ ( )
̈ ( ) ( )
Sau khi buông tay, ròng rọc chuyển động đi xuống do lò xo dãn một
. Sau đó ròng rọc E ở trạng thái đứng yên do tổng các lực do đoạn
36
dây treo và lò xo tác dụng lên ròng rọc cân bằng nên phản lực liên kết
.
⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ là các phản lực liên kết do dây treo tác dụng lên A, . Dây treo
không dãn, không khối lượng nên .
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Gọi ⃗ , ⃗ là dịch chuyển ảo của A, B.
Dây treo không dãn nên quãng đường dịch chuyển của 2 vật bằng nhau.
⃗ ⃗
Vậy tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi dịch chuyển
ảo bằng:
∑ ⃗⃗⃗
⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
Vậy hệ liên kết lý tưởng.
Bài tập 3: Hãy tìm trọng lực của hai tải trọng được giữ cân bằng nhờ tải
trọng P trên các mặt phẳng nghiêng những góc và so với phương ngang.
Biết rằng tải trọng buộc vào hai đầu dây cáp, dây này đi từ tải trọng
luồn qua ròng rọc O1 đặt trên trục nằm ngang rồi lồng vào ròng rọc động
mang tải trọng P, sau đó luồn qua ròng rọc O2 cùng nằm trên trục của ròng rọc
O1 và cuối cùng buộc vào tải trọng Bỏ qua ma sát, khối lượng của ròng rọc
và dây cáp.
Giải:
37
+
O1 O2 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ +
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ O +
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ∝ 𝛽 ⃗⃗⃗
ác lực tác dụng lên cơ hệ là:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là các lực chủ động tác dụng lên hệ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là các lực liên kết ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là các phản lực liên kết Gọi ⃗ ⃗ ⃗ là dịch chuyển ảo của cơ hệ.
( trong cơ hệ lực căng sẽ triệt tiêu hết )
Để hệ thống cân bằng theo nguyên lý dịch chuyển ảo thì ta có:
∑ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗
⃗
Giả sử P2 đi xuống một đoạn
P1 đi lên một đoạn
ó:
Chọn chiều dương là chiều dịch chuyển ảo theo m2 xuống dưới. Ta có:
38
Vì , nên
{
Vậy:
{
Bài tập 4: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt phẳng nằm
ngang dao động. Hãy tìm vị trí của chất điểm và phản lực liên kết như những
hàm của thời gian, biết rằng mặt phẳng dao động theo phương ngang vuông
góc với nó với biên độ a và tần số và khi t = 0 điểm có tọa độ
⃗( ) ( ) và ⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ).
Giải:
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ
𝑅⃗⃗
𝑃⃗⃗
O
y
x
39
Trục z có hướng song song với vectơ ⃗⃗
ác lực tác dụng lên chất điểm: trọng lực ⃗⃗⃗, phản lực liên kết của mặt
phẳng tác dụng lên chất điểm ⃗⃗⃗
Theo định luật II Niuton ta có:
⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗ = m ⃗⃗⃗
Chiếu phương trình lên các trục tọa độ ta có:
(1.1) m ̈ = 0
(1.2) m ̈ = 0
(1.3) m ̈
Vì mặt phẳng nhẵn nên các thành phần phản lực liên kết và
Theo bài mặt phẳng dao động theo phương vuông góc với nó với biên
độ a và tần số nên phương trình chuyển động của chất điểm là:
(1.4)
Từ (1.1) ̇ x = t +
Tại t = 0 thì { => { => x = ̇ ̇ ̇ ̇
Từ (1.2) ̇ y = t +
Tại t = 0 thì { => { => y = ̇ ̇ ̇ ̇
Từ (1.4) => ̇ ̈ thay vào ( .3) ta có:
( ) ( )
Vậy vị trí của chất điểm được xác định bởi:
{
̇ ̇
Bài tập 5: Chất điểm có khối lượng m chuyển động trên một mặt phẳng nhẵn
cố định. Mặt phẳng này hợp với phương nằm ngang một góc . Hãy tìm quy
40
luật chuyển động của chất điểm và phản lực liên kết của mặt phẳng, biết rằng
khi t = 0 điểm có tọa độ ⃗( ) ( ) và ⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ).
Giải:
z
Chọn hệ quy chiếu gồm: hệ trục tọa độ Oxyz
x
O
Oz thẳng đứng hướng lên ⃗⃗⃗ Ox nằm ngang ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Oy là giao tuyến của mặt phẳng
Oxz và mặt phẳng nghiêng nhẵn chứa
y
chất điểm.
ác lực tác dụng lên chất điểm: trọng lực ⃗⃗⃗, phản lực liên kết do mặt
phẳng tác dụng lên chất điểm ⃗⃗⃗.
Để cho vật luôn nằm trên mặt phẳng nghiêng thì:
(2.1) x tan + z = 0
Theo định luật II Niuton ta có;
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Chiếu phương trình lên các trục tọa độ ta có:
(2.2) m ̈
(2.3) m ̈
(2.4) m ̈
Từ (2. ) ta có:
z = ̇ ̇ ̈ ̈
̈ ̈
Chia hai vế của (2.4) cho (2.2) ta được:
̈ ̈
41
Phản lực liên kết: {
Từ (2.2) ta có: ̈
̈
̇ ( )
( )
Từ (2.3) ta có: ̈ ̇
Tại thời điểm t = 0 ta có:
⃗⃗( ) ( ̇ ̇ ̇ ) nên { ̇ ̇
⃗( ) ( ) nên {
Phương trình chuyển động của chất điểm:
( ) ̇
̇
( ̇ ) {
42
KẾT LUẬN
Trong khóa luận này, tôi đã trình bày các vấn đề sau:
- Những khái niệm cơ bản: phương trình chuyển động, xung
lượng, momen xung lượng, năng lượng, tọa độ suy rộng, số bậc tự do.
- Liên kết
- Một số bài tập về liên kết
Qua việc nghiên cứu đề tài này, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề
tài cơ bản được hoàn thành được nhiệm vụ đề ra.
Trong phần trọng tâm của khóa luận, tôi đã áp dụng những lý thuyết
trên để giải quyết các bài tập về liên kết không tự do. Tuy nhiên do trình độ
và thời gian còn nhiều hạn chế nên cuốn khóa luận này còn nhiều thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các thầy cô và các bạn để cuốn
khóa luận này được hoàn thiện hơn.
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hữu Mình ( 997), ơ học lý thuyết, NXB ĐHQG Hà Nội.
2. Nguyễn Đình Dũng (2004), ơ học lý thuyết, NXB ĐHQG Hà Nội.
3. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hướng, Nguyễn Khăc Nhạp, Đỗ Đình
Thanh, Lê Trọng Tường ( 983), ài tập vật lý lý thuyết tập , NX Giáo
Dục.
4. Galubeva, ơ học lý thuyết tập 1, 2, 3, NXB Khoa Học - Kỹ Thuật
( sách dịch ).
5. ài giảng ơ học lý thuyết của các thầy cô ở tổ Vật Lý Lý Thuyết, khoa
Lý, ĐHSP Hà Nội 2.
44
