BỘ TÀI CHÍNH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING
KHOA KHOA HỌC DỮ LIỆU
HỌC PHẦN: MÔ HÌNH RỦI RO BẢO HIỂM
TIỂU LUẬN HỌC THUẬT
THIẾT LẬP CẬN TRÊN XÁC SUẤT PHÁ SẢN TRONG MÔ HÌNH RỦI RO BẢO
HIỂM THỜI GIAN RỜI RẠC CÓ SỰ PHỤ THUỘC GIỮA PHÍ VÀ BỒI THƯỜNG
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Phúc Hậu
Lớp: 23DTL01
Giảng viên: TS. Trần Đình Phụng
Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2026
MÔ HÌNH RỦI RO BẢO HIỂM | MARTINGALE VÀ NHÂN QUẢ GRANGER
2
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện tiểu luận học phần Mô hình rủi ro bảo hiểm, tôi đã nhận
được sự hướng dẫn của giảng viên và sự hỗ trợ từ các tài liệu chuyên môn. Đây là cơ sở
để tôi từng bước tiếp cận một nội dung có nhiều khái niệm toán học và yêu cầu liên kết
giữa xác suất, chuỗi thời gian và lý thuyết phá sản.
Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Trần Đình Phụng đã tận tình giảng dạy, cung cấp hệ
thống kiến thức nền tảng và định hướng cách tiếp cận bài toán rủi ro bảo hiểm. Các bài
giảng về phân phối tổn thất, quá trình thặng dư, xác suất phá sản, Martingale và phương
pháp dự phòng đã giúp tôi có cơ sở đọc, phân tích và trình bày lại mô hình của Chan và
Yang (2006).
Tôi cũng xin cảm ơn Khoa Khoa học Dữ liệu, Trường Đại học Tài chính – Marketing
đã tạo điều kiện học tập và cung cấp môi trường học thuật để tôi hoàn thành bài tiểu luận
này.
Do kiến thức và thời gian thực hiện còn hạn chế, bài viết khó tránh khỏi những thiếu
sót về nội dung cũng như cách trình bày. Tôi kính mong nhận được ý kiến góp ý của
giảng viên để có thể điều chỉnh bài viết và củng cố thêm kiến thức chuyên môn.
Xin trân trọng cảm ơn.
MÔ HÌNH RỦI RO BẢO HIỂM | MARTINGALE VÀ NHÂN QUẢ GRANGER
3
TÓM TẮT
Bài viết hệ thống hóa kiến thức phân phối và các mô hình rủi ro bảo hiểm trước khi
trình bày phương pháp của Chan và Yang (2006). Chương 1 phân biệt phân phối tần suất
với phân phối mức độ tổn thất, trình bày moment, hàm sinh xác suất, hàm sinh moment,
mô hình tổng tổn thất, kỳ vọng có điều kiện, Martingale và chuỗi thời gian. Chương 2
xây dựng mô hình thặng dư rời rạc, xác định thời điểm phá sản, hệ số điều chỉnh và cận
Lundberg trong trường hợp có hoặc không có lãi suất. Chương 3 chuyển sang mô hình
liên tục Cramér–Lundberg với quá trình Poisson phức hợp, điều kiện lợi nhuận thuần và
các công thức cận, xấp xỉ.
Chương 4 phân tích mô hình Chan–Yang, trong đó phí và bồi thường được mô hình
hóa riêng bằng một hệ tự hồi quy hai biến có cấu trúc nhân quả Granger. Hệ được chuyển
sang dạng để quy phần phụ thuộc theo thời gian về hai dãy đổi mới độc lập. Hai điều
kiện toán học được tách rõ: điều kiện tại tạo độ dốc âm cho phương trình MGF tại và hỗ
trợ sự tồn tại của nghiệm dương ; điều kiện tại kiểm soát lợi nhuận thuần dài hạn. Một
supermartingale hàm mũ được xây dựng từ . Sau khi bổ sung số hạng biên để chuyển quỹ
thành quá trình hiệu chỉnh , Định lý dừng tùy ý Doob cho cận trên kiểu Lundberg của xác
suất phá sản.
Phần minh họa sử dụng trường hợp một độ trễ, phân phối mũ với tham số cụ thể, mô
hình Yang–Zhang và định phí theo độ tin cậy. Từ tài liệu Chain–Ladder và Mack, bài viết
đề xuất một mở rộng trong phạm vi nghiên cứu: thay dòng bồi thường đã trả bằng dòng
tổn thất có điều chỉnh dự phòng và sai số dự báo. Mô hình đề xuất kết nối rủi ro phá sản
với rủi ro dự phòng, nhưng chỉ giữ được cận Martingale khi chuỗi điều chỉnh vẫn thỏa
các điều kiện ổn định, độc lập và tồn tại MGF.
Từ khóa: phân phối tổn thất; mô hình rủi ro rời rạc; Cramér–Lundberg; xác suất phá
sản; Martingale; nhân quả Granger; hệ số điều chỉnh; dự phòng bồi thường.
MÔ HÌNH RỦI RO BẢO HIỂM | MARTINGALE VÀ NHÂN QUẢ GRANGER
4
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN.................................................................................................................... 2
TÓM TẮT..........................................................................................................................3
DANH MỤC KÝ HIỆU.....................................................................................................7
MỞ ĐẦU............................................................................................................................8
Lý do chọn đề tài........................................................................................................... 8
Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu....................................................................................8
Đối tượng, phạm vi và phương pháp.............................................................................9
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.........................................................................10
1.1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất................................................................10
1.2. Kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai và kỳ vọng có điều kiện..........................11
1.3. Các hàm sinh và phép biến đổi.............................................................................11
1.4. Phân phối tần suất tổn thất....................................................................................12
1.4.1. Bernoulli và nhị thức....................................................................................12
1.4.2. Poisson..........................................................................................................13
1.4.3. Nhị thức âm..................................................................................................13
1.5. Phân phối mức độ tổn thất....................................................................................13
1.5.1. Phân phối mũ................................................................................................13
1.5.2. Gamma và Weibull.......................................................................................14
1.5.3. Lognormal và Pareto.....................................................................................14
1.6. Mô hình tổng tổn thất...........................................................................................15
1.7. Lý thuyết Martingale và định lý dừng tùy ý.........................................................16
1.7.1. Bộ lọc và Martingale.....................................................................................16
1.7.2. Thời điểm dừng và Định lý dừng tùy ý Doob...............................................16
1.8. Chuỗi thời gian: mô hình tự hồi quy và trung bình trượt.....................................17
CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH RỦI RO RỜI RẠC..................................................................18
2.1. Cấu trúc quỹ thặng dư..........................................................................................18
2.2. Thời điểm và xác suất phá sản..............................................................................18
2.3. Hệ số điều chỉnh và cận Lundberg.......................................................................19
MÔ HÌNH RỦI RO BẢO HIỂM | MARTINGALE VÀ NHÂN QUẢ GRANGER
5
2.4. Mô hình với lãi suất..............................................................................................19
2.5. Ví dụ rời rạc hai trạng thái....................................................................................20
2.6. Biểu diễn chiết khấu và thời điểm dòng tiền........................................................20
2.7. Khả năng mở rộng và giới hạn.............................................................................21
CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH RỦI RO LIÊN TỤC................................................................22
3.1. Quá trình đếm và Poisson phức hợp.....................................................................22
3.2. Mô hình thời gian liên tục Cramér–Lundberg......................................................22
3.2.1. Xấp xỉ Cramér–Lundberg.............................................................................23
3.3. Ví dụ tổn thất có phân phối mũ............................................................................24
3.4. So sánh mô hình rời rạc và liên tục......................................................................25
CHƯƠNG 4. THIẾT LẬP CẬN TRÊN XÁC SUẤT PHÁ SẢN TRONG MÔ HÌNH
CHAN–YANG (2006) BẰNG MARTINGALE VÀ NHÂN QUẢ GRANGER............26
4.1. Cấu trúc của mô hình Chan–Yang........................................................................26
4.1.1. Quá trình thu phí...........................................................................................26
4.1.2. Quá trình yêu cầu bồi thường.......................................................................27
4.1.3. Quá trình thặng dư và lãi suất.......................................................................27
4.1.4. Cấu trúc nhân quả Granger và biểu diễn.......................................................28
4.2. Các giả thiết của mô hình.....................................................................................30
4.3. Phương pháp thiết lập cận trên.............................................................................32
4.3.1. Supermartingale từ các dòng đổi mới...........................................................32
4.3.2. Cầu nối từ Uₙ sang Sₙ....................................................................................33
4.3.3. Định lý dừng Doob và cận trên hàm mũ.......................................................34
4.3.4. Trường hợp không tồn tại hệ số điều chỉnh..................................................35
4.4. Quy trình xây dựng cận trên.................................................................................36
4.5. Kết quả chính........................................................................................................37
4.6. Ví dụ và tình huống cụ thể...................................................................................37
4.6.1. Minh họa triệt tiêu số hạng biên khi.............................................................37
4.6.2. Ví dụ số với đổi mới phân phối mũ..............................................................39
4.6.3. Mô hình Yang–Zhang...................................................................................40
4.6.4. Mô hình định phí theo độ tin cậy..................................................................41