GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 1 -
BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ TRONG KINH TẾ
Phần 1 : Ứng dụng cực trị hàm một biến
I . Bài toán tìm sản lượng ñể doanh nghiệp ñộc quyền có lợi nhuận cao nhất
=
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng, biết hàm cầu của doanh nghiệp ñối với mặt hàng ñó là
(PD
)
QD
Hàm tổng chi phí
Trong ñó :
• QD : Lượng cầu về hàng hoá của doanh nghiệp (Quantity Demand) • P : Giá bán của hàng hoá (Price)
• C : Chi phí của doanh nghiệp (Cost)
• Q : Sản lượng sản phẩm ñược sản xuất trong một ñơn vị thời gian (Quantity)
Hãy xác ñịnh mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
(QCC = )
Phương pháp giải
Gọi Q là mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
DQQ =
=>
(Q là hàm số theo biến P)
=>
( P là hàm số theo biến Q)
(PDQ = )
Doanh thu của doanh nghiệp
(QPP = )
(Doanh thu là hàm số theo biến Q)
Chi phí
(Chi phí là hàm số theo biến Q)
= . = QQPQPR ). (
Lợi nhuận
(QCC = )
(Lợi nhuận là hàm số theo biến Q)
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)
-=p = - QCQQPCR ( ). ( )
=
Ví dụ : Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất một loại hàng với
3
2
=
+
+
P 656 - QD 1 2
Hàm chi phí
QQC )
(
77
Q
1000
Q
100
Tìm mức sản lượng Q ñể doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất
Giải :
Gọi Q là mức sản lượng cần tìm
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
-
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 2 -
Doanh thu của doanh nghiệp
= = - DQQ ( ) 656 P 1 2 - =⇒ P 1312 2 Q
22 QQ
Chi phí
3
+
+
= = - - = QPR . ( 1312 QQ ). 2 1312
= QC
77 2 Q
1000
Q
100
Lợi nhuận
3
p
-=
-=
+
+
-
CR
Q
75 2 Q
312
Q
100
Bài toán trở thành tìm Q ñể hàm π ñạt cực ñại ( ðây là bài toán cực trị hàm một biến)
-
+ -=¢ + p Q 312
= p 3 2 Q 150 (cid:218)=⇒=¢ 2 Q 0 Q 52
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 2 =
-=¢
+
>
138
150
2.6
0
¢⇒ p p⇒ ñạt cực tiểu tại Q = 2 (ðây không phải là mức sản lượng cần tìm)
• Tại ñiểm nghi ngờ Q = 52 <
-=¢
+
150
¢⇒ p 52.6 0 p⇒ ñạt cực ñại tại Q = 52
Vậy ñể có lợi nhuận cao nhất, doanh nghiệp phải sản xuất ở mức sản lượng Q = 52.
¢ -=¢ p 6 + Q 150
=
và hàm tổng chi phí
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại hàng hóa biết hàm cầu của doanh nghiệp về loại hàng ) trên là
II . Bài toán xác ñịnh mức thuế ñể thu ñược tổng thuế tối ña
(PD
)
QD
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất.
Phương pháp giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại.
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
DQQ =
=>
(Q là hàm số theo biến P)
(QCC =
=>
( P là hàm số theo biến Q)
(PDQ = )
Doanh thu của doanh nghiệp
(QPP = )
(Doanh thu là hàm số theo biến Q)
Chi phí
= . = QQPQPR ). (
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
(QCC = )
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 3 -
Lợi nhuận
T .= Qt
Trước hết tìm
ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
-=p = - - - TCR QtQCQQP ). ) ( ( .
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế
ñạt cực ñại.
)(tQQ =
T = tQt )( .
Ví dụ Cho
= 2000
P
QD
2
-
Hãy xác ñịnh mức thuế t ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị sản phẩm và Q là mức sản lượng doanh nghiệp sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại.
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
DQQ =
= + + QQC ) ( 1000 Q 50
=>
- Q = 2000 P
=>
Doanh thu của doanh nghiệp
2
- P = 2000 Q
Chi phí
2
= = - - = QPR . ( 2000 QQ ). 2000 QQ
Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp
+ + = QC 1000 Q 50
Lợi nhuận
p
-=
-=
+
T .= Qt
TCR
2 2 Q
( 1000
Qt )
50
Trước hết tìm
ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
- - -
)(tQQ =
p -=¢ + - 4 Q 1000 t
- t =⇒=¢p 0 Q 1000 4
Vì
nên
là mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực
ñại.
Khi ñó
- ¢p -=¢ = 4 < 0 Q 1000 t 4
- t = T = tQt . . 1000 4
=¢ - T ( 1000 t )2 1 4
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 4 -
= =⇒=¢ 500 0 t T 1000 2
nên tổng thuế T sẽ ñạt cực ñại tại
=t
500
Vậy
chính là mức thuế cần tìm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
-=¢ ¢T 0 1 < 2
=t 500
Khi ñó doanh nghiệp sẽ sản xuất với mức sản lượng
Lưu ý
Nếu muốn doanh nghiệp sản xuất 200 ñơn vị sản phẩm , thì ta xác ñịnh mức thuế cần thu sao cho
- 500 = =Q 125 1000 2
=
- t = = Q 200 1000 4
=⇒ t
1000
800
200
-
III . Bài toán xác ñịnh mức thuế hàng nhập khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là
0P
Hãy tính mức thuế nhập khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể tổng thuế nhập khẩu thu ñược là lớn nhất.
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp nhập khẩu
Khi ñó ñể tiêu thụ hết lượng hàng nhập khẩu thì
= PS ( ) = PD ( ) Q S Q D
(Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa,
)
D Q S
= - Q >
D QQQ S =⇒
( Sản lượng là hàm số theo biến P)
Doanh thu
[
=
- PDQ ( ) PS ( )
(Doanh thu là hàm số theo biến P)
= PQPQPR
(
.
)
])
PS (
Chi phí
-
[ .
])
0
0
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
=
=
= - = PDPQPC ( . ) PS (
[ PDtQt .
(
)
T
])
PS (
Lợi nhuận
-
](
[ ( PD
)tPPPS (
0
Trước hết tìm
ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
p -= = - - - - TCR ) )
=
)(tPP =
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế
ñạt cực ñại.
[ tPDt ( (
))
T
tPS ( (
]))
-
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 5 -
Ví dụ
+
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa ñó trong thị trường nội ñịa là và
-= 200
= 4200
P
P
QD
QS
Giá bán trên thị trường quốc tế + chi phí nhập khẩu của một ñơn vị hàng là
-
0
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu ñể thu ñược nhiều thuế nhập khẩu nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập khẩu
Và Q là lượng hàng cần phải nhập khẩu
ðể tiêu thụ hết hàng nhập khẩu thì
=
=
+
=
=P 1600
(
4200
P
)
(
200
P
)
4400
2
P
QQQ D S
Doanh thu
- - - - -
Chi phí
= = - PQPR . ( 4400 P )2
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
= = - QPC 1600 ( 4400 P )2 .0
Lợi nhuận
= - T = tQt . ( 4400 P )2
( PP
)t
p -= = - - - - TCR ( 4400 )2 1600
p
+
=
+ = + -=¢p - - - - 1600 t ) ( 4400 )2 P 7600 2 t 4 P
7600
t 2
4
P
0
- P (2 ⇒=¢ 0
¢p
-=¢
+ =⇒ P 1900 t 2
nên p ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá
4 <
0
Khi ñó tổng thuế
= + P 1900 t 2
=¢
T
= - = = + - - ( 4400 4400 (2 1900 t ( 600 t ) ) T = tQt . P )2 t t 2
=> hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế
600 - 2 t =⇒=¢ 0 2-=¢
t 300
=t
300
T ¢T
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là
Lưu ý
Nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội ñịa, nhà nước phải ñánh thuế sao cho giá bán không ñược thấp quá. Ví dụ muốn giá bán tại thị trường nội ñịa không dưới 2100 thì mức thuế nhập khẩu là t sao
+ = =P 1900 2050 300 2
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 6 -
, nghĩa là mức thuế nhập khẩu tối thiểu là 400 trên một
cho
ñơn vị hàng nhập khẩu.
= + ‡ 2100 400 P 1900 ‡⇒ t t 1 2
IV . Bài toán xác ñịnh mức thuế xuất khẩu
Cho hàm cung và hàm cầu cho sản xuất và tiêu dùng nội ñịa về một mặt hàng là
Giả sử nhà nước cho phép một doanh nghiệp ñộc quyền xuất khẩu mặt hàng trên, biết rằng ñơn giá trên thị trường quốc tế trừ ñi chi phí xuất khẩu (chưa kể thuế) cho một ñơn vị hàng là
0P
Hãy tính mức thuế xuất khẩu t ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể tổng thuế xuất khẩu thu ñược là lớn nhất.
Phương pháp giải :
Gọi t (t > 0) là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng doanh nghiệp xuất khẩu
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là
=
= PS ( ) = PD ( ) Q S Q D
(Chênh lệch cầu và cung trong thị trường nội ñịa,
)
Q >
S Q D
-
S QQQ D =⇒
( Sản lượng là hàm số theo biến P)
Doanh thu
- PDPSQ ) ( ( )
(Doanh thu là hàm số theo biến P)
])
[ PDPSPQPR 0
0
Chi phí
=
=
= = - ( ) ( .
-
[ PDPSPQPC .
(
)
(
.
])
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
[
])
Lợi nhuận
= = - T PDPStQt ( . ( )
[ ]( )tPPPDPS ( )
0
Trước hết tìm
ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại
p -= = - - - - TCR ( )
)(tPP =
Sau ñó tìm mức thuế t ñể tổng thuế
ñạt cực ñại.
[ tPSt ( (
]))(
Ví dụ
+
= - )) T tPD (
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền nhập khẩu một loại hàng hóa biết hàm cung và cầu của hàng hóa ñó trong thị trường nội ñịa là và
-= 200
= 4200
P
P
QD
QS
Giá bán trên thị trường quốc tế (không bao gồm chi phí xuất khẩu của một ñơn vị hàng) là =P
-
0
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược nhiều thuế xuất khẩu nhất.
Giải
Gọi t là mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu
Và Q là lượng hàng xuất khẩu
3200
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 7 -
P là giá doanh nghiệp thu mua mặt hàng ñó ñể xuất khẩu
Khi ñó lượng hàng có thể xuất khẩu là
=
-=
=
200
-+ P
(
4200
P
)
2
P
4400
QQQ S D
Doanh thu
=
=
=
- - -
PPQPR
2(
.
4400 )
3200
2(
P
4400 )
0
0
Chi phí
- -
Tổng thuế nhập khẩu phải nộp
= = - PPQPC 2( . 4400 )
Lợi nhuận
= - T = PtQt . 2( 4400 )
( 3200
)tP
p -= = - - - - TCR 2( P 4400 )
p
=
= =¢p - - - - - - 3200 tP ) 2( P 4400 ) 10800 2 t 4 P
10800
t 2
4
P
0
- - (2 ⇒=¢ 0
¢p
-=¢
- =⇒ P 2700 t 2
nên p ñạt lợi nhuận cực ñại tại mức giá
4 <
0
Khi ñó tổng thuế
= - P 2700 t 2
=¢
= = = - - - - T = PtQt . 2( 4400 ) t (2 2700 4400 t ( 1000 t ) ) t 2
T
100
2
t
t
500
=> hàm T ñạt cực ñại tại mức thuế
=t
500
=⇒=¢ 0 2-=¢
T ¢T
-
Giá bán trên thị trường nội ñịa lúc ñó sẽ là
Lưu ý
Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khẩu phải là bao nhiêu?
= - =P 2700 2450 500 2
,
Gọi mức thuế là t thì ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội ñịa là
nghĩa là mức thuế xuất khẩu tối thiểu là 600 trên một sản phẩm.
= £ - P 2700 2400 ‡⇒ t 600 t 1 2
Phần 2 : Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến
I . Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều
kiện cạnh tranh hoàn hảo
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 8 -
.
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với các mức giá , PP 1 2
nP
=
Hàm chi phí
với
là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất .
QQCC = (
,
,...,
)
n ),1
1
nQ
2
iQi (
Tìm các mức sản lượng
mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận cực ñại.
,...,
nQ
,..., , QQ 1 2
Phương pháp giải
là các mức sản lượng cần tìm
Gọi
,...,
, QQ 1 2
nQ
Doanh thu
n
2
1
= + = ++ ... QPQPR 1 2 QP n n QP i i
∑
= 1
i
Chi phí
QQCC = (
,
,...,
)
1
nQ
2
Lợi nhuận
n
1
i
p -= = - CR ( , ,..., ) QQCQP i 2 Q n
∑
= 1
i
Bài toán trở thành tìm
ñể hàm π ñạt cực ñại.
nQ
Ví dụ
=
=
,..., , QQ 1 2
. Hàm chi phí
doanh
75
P ;60 2
1
2
1,QQ 2
Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong ñiều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá + 2 2 P QQQQC . Tìm các mức sản lượng 2 1 1 nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
Giải :
Gọi
là các mức sản lượng cần tìm
1,QQ 2
Doanh thu :
=
+
=
+
60
75
QPQPR 1 2
1
2
Q 1
Q 2
Chi phí :
+ =
2 1
2
1
Lợi nhuận ;
-=p
=
= + + 2 QQQQC 2
CR
60
Q
+ 1 75
2 QQQQQ 2
2 1
1
2
2
ðiểm dừng là nghiệm của hệ :
- - -
1
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai
p ¶ = 0 = = - - ¶ 15 0 ⇒ ⇒ Q 1 p ¶ = - - = 0 30 QQ 2 2 Q 2 2 Q 1 Q 1 Q 2 60 75 = 0 ¶ Q 2
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 9 -
2 Q 1
¶ p 2 -= 2 ¶
2 Q 2
¶ ¶ p 2 p 2 -= = 1 ¶ ¶ ¶ ¶ QQ 1 2 QQ 2 1 p 2 ¶ -= 2 ¶
Khi ñó ma trận Hesse
- - = H - - 2 1 1 2
1
-= < H 2 0
2
- - = H >= 3 0 - - 2 1 1 2
k
Vì
nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 15 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 30 ñơn vị hàng hóa thứ 2.
= = - )1( "> 0 k ,1 n H k 15 = 30 Q 1 Q 2
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh n loại hàng hóa, biết hàm cầu của các hàng hóa trên
=
với
là
,
,...,
)
II . Bài toán tối ña hoá lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng trong ñiều kiện ñộc quyền
PPD ( 2 1
i
P n
Q D i
Trong ñó .
•
iDQ : lượng cầu của hàng hoá thứ i.
•
: Giá bán của n loại hàng hóa.
i ,1= n
nP
•
: Sản lượng của n loại hàng hóa.
,..., , PP 1 2
nQ
Hàm tổng chi phí là
QQCC = (
,
,...,
)
1
Q 2
2
Tìm mức sản lượng
mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
,..., , QQ 1 2
nQ
Phương pháp giải
Gọi
là các mức sản lượng cần tìm
,..., , QQ 1 2
nQ
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
,..., , QQ 1 2
1
2
2
= = , ( ,..., ) , ( ,..., ) = = , ,..., ) ( , ,..., ) P n P n QQP 2 1 1 QQP 2 1 2 Q n Q n ⇒ ⇒
n
Doanh thu
= = = , ,..., ) ( , ,..., ) PPDQ 1 1 2 1 Q PPD ( 2 2 1 ... Q n PPD ( 2 1 P n QQP 2 1 n Q n P 1 P 2 ... P n Q . D n = QQ D 1 = QQ D 2 ... Q n
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 10 -
n
n
1
i
= + = = ++ ... , . ,..., ) PQPQR 11 22 ( QQPQ 2 i Q n PQ nn PQ i i
∑
∑
= 1
= 1
i
i
Chi phí
1
nQ
2
Lợi nhuận
n
QQCC = ( , ,..., )
1
i
p -= = - CR . , ,..., ) ( , ,..., ) QQC 2 1 Q n QQPQ ( 2 i Q n
∑
= 1
i
Bài toán trở thành tìm
ñể hàm π ñạt cực ñại.
nQ
Ví dụ :
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh 2 loại hàng , biết hàm cầu của 2 của 2 loại hàng hóa ñó như sau :
,..., , QQ 1 2
= - 40 2 + PP 1 2 Q D 1 = + - 15 PP 1 2 Q D 2
Hàm chi phí
2 1
1
2
Tìm các mức sản lượng từng loại hàng mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận của doanh nghiệp ñạt cực ñại.
Giải :
là các mức sản lượng cần tìm
Gọi
1,QQ 2
ðể doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng
= + + 2 QQQQC 2
1
2
1 Q 1
Doanh thu
= - = - - 40 2 55 ⇒ ⇒ = + - = - - 15 70 Q 1 Q 2 + PP 2 1 PP 2 1 P 1 P 2 QQ 2 Q 2 2 = QQ D 1 = QQ D 2
22 2 Q 2 2
2 Q 1
Chi phí
=
+
+ 2 QQQQC 2
2 1
2
1
Lợi nhuận
-=p
=
+
= = + - - - - 55( 70( ) Q 1 Q 2 2 ) + - - 55 + QPQPQR 1 11 -=⇒ R QQ 2 1 2 QQ 2 1 + Q 1 Q 2 Q 70 2
CR
55
70
Q 1
Q 2
2 Q 2 1
QQ 3 2 1
2 Q 3 2
Bài toán trở thành tìm
ñể hàm π ñạt cực ñại
1,QQ 2
ðiểm dừng là nghiệm của hệ :
p
- - -
=
=
0
8
Q 1
=
¶
55
0
2
⇒
⇒
Q 1 p
=
=
Q 3 Q
70
6
0
Q
Q 4 1 Q 3 1
2
2
=
0
23 3
- - ¶ ¶ - -
Q
2
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai
¶
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 11 -
2 Q 1
¶ p 2 -= 4 ¶
2 Q 2
¶ ¶ p 2 p 2 -= = 3 ¶ ¶ ¶ ¶ QQ 1 2 QQ 2 1 p 2 ¶ -= 6 ¶
Khi ñó ma trận Hesse
- - = H - - 4 3 3 6
1
-= < H 4 0
2
- - = = > H 15 0 - - 4 3 3 6
k
Vì
nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 8 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và
= 8 = - )1( "> 0 k ,1 n H k = Q 1 Q 2 23 3
hóa thứ 2.
23 ñơn vị hàng 3
III . Bài toán tối ña hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất một mặt hàng nhưng bán
Một công ty sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên n thị trường tách biệt. Giả sử hàm cầu trên n thị trường như sau
trên nhiều thị trường
= ) PD ( 1 1 Q D 1 = ) PD ( 2 2 Q D 2
... = ) PD ( n n Q D n
với
Hàm tổng chi phí :
nQ
Trong ñó :
là tổng sản lượng của doanh nghiệp.
• Q
= + ++ ... (QCC = ) QQQ 1 2
•
iQ là lượng hàng phân phối trên thị trường thứ i
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể doanh nghiệp ñạt lợi nhuận cực ñại
" ( i = n ),1
Phương pháp giải :
Gọi
là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm
nQ
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
,..., , QQ 1 2
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 12 -
1
2
= = ) ) ( = ) ) QP ( 1 1 QP ( 2 2 ⇒ ⇒
Doanh thu
n
n
= = = ) ) PDQ 1 1 1 = Q PD ( 2 2 2 ... Q n PD ( n n P 1 P 2 ... P n QP ( n n Q . D n = QQ D 1 = QQ D 2 ... Q n
i
= + = = ++ ... ( ) PQPQR 11 22 . QPQ i i PQ nn PQ i i
∑
∑
= 1
= 1
i
i
Chi phí
vì
1
nQ
nQ
Lợi nhuận
n
= = + ( ( , ,..., ) ++ ... = QQCQCC ) 2 QQQ 1 2
1
i
i
i
p -= = - CR ( ( . , ,..., ) QQCQPQ ) 2 Q n
∑
= 1
i
Bài toán trở thành tìm
ñể hàm π ñạt cực ñại.
nQ
Ví dụ
Cho một doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng hóa bán trên 3 thị trường tách biệt với các hàm cầu
,..., , QQ 1 2
2
= - 840 2 P 1 Q D 1 = - 1230 3 P 2 Q D 2
Hàm chi phí
với
+= 1 QQQ 2
Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường ñể lợi nhuận cực ñại.
Giải :
là lượng hàng phân phối trên từng thị trường cần tìm
Gọi
1,QQ 2
ðể doanh nghiệp bán hết hàng thì
= + C 20 150 + QQ
1
2
Doanh thu
= - 420 P 1 = - 840 2 ⇒ ⇒ = - 1230 Q 1 Q 2 P 1 P 3 2 = QQ D 1 = QQ D 2 = - 410 P 2 Q 1 2 Q 3 3
22
11
= = + - - ( 420 ) ( 410 ) + QPQPQR 1 Q 2 Q 3 3 Q 1 2
2 Q 1 2
2 Q 2 3
Chi phí
2
2
+ - - =⇒ R 420 410 Q 2 Q 1
1
= + = + + + QQ 20 ) )
2
2 QQQ 2 2 2
1
Lợi nhuận
150 + + + QQ ( 1 2 + + QQ ( 2 + C 20 =⇒ C 20 150 150 Q 1 150 + 2 QQ 1
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 13 -
2 Q 1
2 Q 2
Bài toán trở thành tìm
ñể hàm π ñạt cực ñại.
1,QQ 2
ðiểm dừng là nghiệm của hệ :
p -= = + - - - - CR 20 270 260 Q 1 Q 2 QQ 2 2 1 3 2 4 3
Xét các ñạo hàm riêng cấp hai
p ¶ = = - - 0 270 0 Q 2 2 = ¶ 50 ⇒ ⇒ Q 1 p ¶ = - - = 260 0 60 Q 2 Q 2 1 Q 1 Q 2 = 0 Q 3 1 8 3 ¶ Q 2
2 Q 1
¶ p 2 -= 3 ¶
2 Q 2
¶ ¶ p 2 p 2 -= = 2 ¶ ¶ ¶ ¶ QQ 1 2 QQ 2 1 p 2 ¶ -= ¶ 8 3
Khi ñó ma trận Hesse
- - 3 = H 2 8 - - 2 3
1
-= < 03 H
2
- - 3 = H >= 4 0 2 8 - - 2 3
k
Vì
nên hàm π ñạt cực ñại tại mức sản lượng
Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận cực ñại nếu sản xuất 50 ñơn vị hàng hoá thứ nhất và 60 ñơn vị hàng hóa thứ 2.
=
+
=
+
=
Khi ñó tổng sản lượng của doanh nghiệp sẽ là
50
60
110
QQQ 2 1
= 50 = - )1( "> 0 k ,1 n H k = 60 Q 1 Q 2
Bài tập Bài 1. Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị
3
trường là
. Hàm chi phí
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
+ + - = P = QC 77 2 Q 1000 Q 100 656 - QD 1 2
Bài 2. Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng ñó là
3
. Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể có ñược lợi nhuận tối ña.
2
+ + - - = 300 P = QC 19 2 Q 333 Q 10 QD
. Hàm chi phí
trường là
+ + -
Bài 3. Cho doanh nghiệp ñộc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng ñó trên thị = QC
a. Hãy xác ñịnh mức thuế t trên một ñơn vị sản phẩm ñể thu ñược của doanh nghiệp nhiều thuế nhất
= 2640 1000 100 Q P QD
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 14 -
b. Nếu ta muốn doanh nghiệp sản xuất ít nhất là 300 sản phẩm thì ta có thể ñịnh mức thuế trên một sản phẩm
tối ña là bao nhiêu?
Tìm mức sản lượng doanh nghiệp cần sản xuất ñể lợi nhuận ñạt cực ñại.
+ -
Bài 4. Biết hàm cung và hàm cầu về một loại hàng hóa ở thị trường nội ñịa là
và
= 420
P
QD
. Hãy xác ñịnh mức thuế nhập khẩu ñánh trên một ñơn vị sản phẩm nhập khẩu ñể thu ñược của
-= 40 P Qs
0
Một công ty ñược ñộc quyền nhập khẩu loại hàng hóa ñó với giá nhập khẩu(bao gồm cả chi phí nhập khẩu) là =P doanh nghiệp nhiều thuế nhất.
180
. Biết giá bán loại hàng này trên thị trường quốc tế là
và
+ -
Bài 5. Một công ty ñộc quyền nhập một loại hàng, biết hàm cung và hàm cầu của loại hàng hóa trên ở thị trường P
trong nước là =P
-= 20 = 880 P QD Qs
0
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng nhập ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất.
250
Bài 6. Một công ty ñược ñộc quyền xuất khẩu một mặt hàng biết hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội ñịa là
và
. Giá bán trên thị trường quốc tế là
= 400
P
QD
0
Tìm mức thuế ñịnh trên một ñơn vị hàng xuất khẩu ñể thu ñược của công ty nhiều thuế nhất.
+ - -= 20 P =P 310 Qs
Bài 7. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là
=
+
+
Hàm tổng chi phí
C
160
240
150
Q 1
Q 2
a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña
= - 400 2 + PP 2 1 Q D 1 = + - 480 PP 2 1 Q D 2
Bài 8.
Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là
= - 800 2 + PP 2 1 Q D 1 = + - 960 PP 2 1 Q D 2
Hàm tổng chi phí
Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña
= + + C 320 480 150 Q 1 Q 2
Bài 9. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên hai thị trường là
và
2
1
2
= - = - 620 470 QD QD P 2 1 P 12
Hàm tổng chi phí
Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp.
+ + = QC 60 Q 20
Bài 10. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên hai thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên hai thị trường là
và
1
2
2
+
+
Hàm tổng chi phí
= QC
30
Q
20
Tìm lượng hàng phân phối cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña. Từ ñó suy ra tổng sản lượng của doanh nghiệp.
= - = - 310 235 QD P 1 QD 1 P 22
GV: Ths Trần Thị Tuấn Anh – Trường ðại học Kinh tế TPHCM
- 15 -
Bài 11. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ trên ba thị trường tách biệt. Biết hàm cầu
trên từng thị trường như sau
1
= - 30 QD 1 P 13
2
= - 5,57 QD 1 P 24
3
a. Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí
= - 54 QD 1 P 35
của doanh nghiệp là
b.
2
= C 15 - 30 Q
Tìm lượng hàng cung cấp cho từng thị trường ñể doanh nghiệp có lợi nhuận tối ña biết hàm tổng chi phí của doanh nghiệp là
+ + = QC 30 15 Q
Bài 12. Một doanh nghiệp sản xuất ñộc quyền hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu của hai loại hàng trên là
= + - ( 290 3 P 1 P )2 2 Q D 1
a. Tìm mức sản lượng của mỗi loại sản phẩm mà doanh nghiệp cần sản xuất ñể có lợi nhuận tối ña biết hàm +
= - ( 650 3 ) + PP 2 1 Q D 2 1 7 1 7
tổng chi phí của doanh nghiệp là
2 1
1
2
b. Vẫn hỏi như trên nếu thuế suất ñịnh trên mỗi sản phẩm của loại hàng thứ nhất là
và trên loại
=t
26
1
= + 2 QQQQC 2
hàng thứ 2 là
. Hàm chi phí sản xuất là
=t
24
2
2 1
1
2
2
= + + 2 QQQQC 2
= + +
Bài 13. Cho biết hàm tổng chi phí ñể sản xuất một loại sản phẩm là
a. Tìm chi phí biên tế
b. Xác ñịnh q ñể chi phí trung bình nhỏ nhất. So sánh chi phí biên tế và chi phí trung bình tại ñiểm trên.
)( qC q 2000 q 500 q
