Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ
Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương
http://www.hoc360.vn
2011
1
CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP
I. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ELIP.
Bài 1. Cho elip
2 2
:16 25 100
E x y .
1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E).
2) Tìm toạ độ của điểm
M E
, biết
2
M
x
. Tính khoảng cách từ M đến hai tiêu
điểm cuae (E).
3) Tìm tất cả các giá trị của b để đường thẳng
y x b
có điểm chung với (E).
Bài 2. Cho elip
2 2
E x y
.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E).
2) Cho
1;1
M, lập PT đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B :
MA MB
.
Bài 3. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm
1 2
4;0 , 4;0 0;3
vµ F F A.
1) Viết PT chính tắc của elip (E) đi qua A và nhận
1 2
;
F F
làm các tiêu điểm.
2) Tìm tọa độ điểm
M E
sao cho
2 1
2
MF MF
.
Bài 4. Viết PT chính tắc cuae elip (E), biết:
1) Trục lớn thuộc Ox, độ dài trục lớn bằng 8; trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 10, tiêu cự bằng 6.
3) Hai tiêu điểm thuộc Ox; trục lớn có độ dài bằng 26, tâm sai
12
13
e
.
4) (E) đi qua các điểm
4;0 , 0;3
M N .
5) Hai tiêu điểm:
1 2
1;0 , 5;0
F F; tâm sai
3
5
e
.
6) (E) có tâm
1;1
I, tiêu điểm
1
1;3
F, trục nhỏ có độ dài bằng 6.
Bài 5. Tìm tâm sai của elip (E) ,biết:
1) Các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn thẳng nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông.
2) Độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ.
3) Khoảng cách giữa hai đỉnh, một đỉnh trên trục lớn và đỉnh kia thuộc trục nhỏ bằng
tiêu cự của (E).
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ
Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương
http://www.hoc360.vn
2011
2
Bài 6. Chứng tỏ rằng PT: 2 2
0 . 0, . 0
ví i Ax By F A B A F
1) Là PT của một elip có tâm
0;0
O nếu
A B
. Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip.
2) Là PT của một đờng tròn tâm
0;0
O nếu
A B
.
Bài 7. Chứng tỏ rằng PT: 2 2
0 0
ví i ax by cx dy e ab
1) Là PT của một elip nếu 2 2
0
4 4
c d
a e
a c
. Tìm toạ độ các tiêu điểm của elip.
2) Là một điểm nếu 2 2
0
4 4
c d e
a c
.
Bài 8. Cho elip
2 2
E x y
.
1) Viết (E) dưới dạng chính tắc, từ đó xác định toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và tính
tâm sai của (E).
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng
: 2 0
d x y m
tiếp xúc với (E).
3) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (E) tại hai điểm A,B:
1
AB
.
Bài 9. Cho elip
2 2
E x y
.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tính tâm sai của (E).
2) Cho
1;1
M, lập PT đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B :
MA MB
.
Bài 10. Lập PT chính tắc cuae elip (E) , biết:
1) (E) đi qua các điểm
3 3;2 , 3;2 3
M N .
2) Hai tiêu điểm
1 2
2;0 , 2;0
F F và
a) trục lớn có độ dài bằng 4.
b) (E) đi qua gốc toạ độ.
II. TIẾP TUYẾN CỦA ELIP.
Bài 11. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng
: 0
d Ax By C
2 2
0
A B
tiếp xúc với elip
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
là :
2 2 2 2 2
C A a B b
.
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ
Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương
http://www.hoc360.vn
2011
3
Bài 12. CMR: Điều kiện cần và đủ để đường thẳng
:
d y kx m
tiếp xúc với elip
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
là :
2 2 2 2
m k a b
.
Bài 13. Viết PT tiếp tuyến của elip
2 2
: 1
16 9
x y
E
, biết:
1) Tiếp tuyến đi qua điểm
4;0
A.
2) Tiếp tuyến đi qua điểm
2;4
B.
3) Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 2 6 0
x y
.
4) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
: 0
x y
.
Bài 14. Viết PT tiếp tuyến của elip
2 2
: 1
9 4
x y
E
biết tiếp tuyến tạo với đường
thẳng
: 2 0
x y
một góc
0
45
.
Bài 15. Viết PT tiếp tuyến chung của hai elip sau:
2 2 2 2
1 2
: 1, : 1
9 4 4 9
x y x y
E E
.
Bài 16. Viết PT các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip
2 2
1
3 6
x y
.
Bài 17. Cho elip
2 2
: 1
9 4
x y
E
. Viết PT tiếp tuyến với (E) đi qua điểm
3;2
A.
Tìm toạ độ của tiếp điểm ?
Bài 18.
1) Viết PT của elip
E
có tiêu cự bằng 8, tâm sai
4
5
e và các tiêu điểm nằm trên
Ox, đối xứng nhau qua trục Oy.
2) Viết PT các tiếp tuyến của (E) đi qua điểm
15
0;
4
A.
3) Tính diện tích hình phẳng chắn bởi (E) và hai tiếp tuyến nói trên.
Công ty Cổ phần Đầu tư Công nghệ Giáo dục IDJ
Biên t
ậ
p viên : Nguy
ễn Thu Hương
http://www.hoc360.vn
2011
4
Bài 19. Cho elip
2 2
: 1
9 5
x y
E
. Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp elip (E)
nếu mỗi cạnh của hình chữ nhật đều tiếp xúc với (E). Trong tất cả các hình chữ nhật
ngoại tiếp (E), hãy xác định:
1) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
2) Hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.
Bài 20. Viết PT các cạnh của hình vuông ngoại tiếp elip
2 2
: 1
24 12
x y
E
.
III. QUỸ TÍCH ĐỐI VỚI ELIP.
Bài 21. (ĐH Huế_96) Cho elip
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
. Gọi
1 2
A A
là trục lớn của (E). Kẻ
các tiếp tuyến
1 1 2 2
,
At A t
của (E). Một tiếp tuyến qua điểm
M E
, cắt
1 1 2 2
At A t
vµ
theo thứ tự tại
1 2
T T
vµ
.
1) CMR: Tích số
1 1 2 2
.
AT A T
không phụ thuộc vào vị trí điểm M .
Bài 22. Cho họ elip
2
2
: 2 0 1
x
E y x m
m
.
1) Đưa (E) về dạng chính tắc, xác định toạ độ của tâm, các tiêu điểm
1 2
,
F F
và các
đỉnh
1 2
,
A A
thuộc trục lớn của (E).
2) Tìm quỹ tích các đỉnh
1 2
,
A A
khi m thay đổi.
3) Tìm quỹ tích các tiêu điểm
1 2
,
F F
khi m thay đổi.