tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVIII, sè 2A-2009
15
¶nH h−ëng C¸C THAM sè lªN GIA t¨NG PHONON
TRONG Hè l−îng tö B¸N dÉn
NGUYÔN TIÕN DòNG
(a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng tö ®èi víi
phonon trong hè l−îng tö b¸n dÉn. Sö dông ph−¬ng tr×nh nµy chóng t«i t×m ®−îc hÖ sè
gia t¨ng phonon xÐt cho tr−êng hîp khÝ electron suy biÕn, ®iÒu kiÖn gia t¨ng phonon vµ
kh¶o s¸t sù ¶nh h−ëng cña c¸c tham sè hè l−îng tö lªn hÖ sè gia t¨ng phonon.
1. Më ®Çu
HiÖu øng gia t¨ng phonon do hÊp thô n¨ng l−îng cña Laser ®· ®−îc ph¸t hiÖn
vµ nghiªn cøu trong b¸n dÉn khèi, d©y l−îng tö b¸n dÉn, hè l−îng tö b¸n dÉn vµ siªu
m¹ng b¸n dÉn. C¬ chÕ cña sù gia t¨ng phonon do hÊp thô n¨ng l−îng cña tr−êng Laser
lµ qu¸ tr×nh hÊp thô photon kÌm theo sù hÊp thô hay ph¸t x¹ phonon. V× vËy, sù gia
t¨ng phonon chØ x¶y ra khi tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn vÒ n¨ng l−îng vµ xung l−îng ®Ó c¸c
electron cã thÓ chuyÓn tõ tr¹ng th¸i ®Çu ®Õn tr¹ng th¸i cuèi kÌm theo ph¸t x¹ phonon.
Néi dung cña bµi b¸o nµy lµ nghiªn cøu ¶nh h−ëng cña tr−êng laser lªn sù gia t¨ng
phonon trong hè l−îng tö b¸n dÉn (Quantum Well Semiconductor) cho tr−êng hîp khÝ
electron kh«ng bÞ suy biÕn b»ng ph−¬ng ph¸p ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng tö [1].
2. Ph−¬ng tr×nh ®éng häc cho phonon trong hè l−îng tö
M« h×nh nghiªn cøu lµ hè thÕ l−îng tö b¸n dÉn ®−îc t¹o nªn tõ tinh thÓ bÞ giíi
h¹n bëi hai hµng rµo thÕ cao v« h¹n, c¸ch nhau mét kho¶ng L bÐ (kh«ng qu¸ vµi tr¨m
0
A
). C¸c hµng rµo hè thÕ nµy cã thÓ ph¶n x¹ c¸c sãng Bloch däc theo trôc Oz vu«ng gãc
víi hµng rµo thÕ. Gisö sãng laser lan truyÒn däc theo trôc Oz, vÐct¬ c−êng ®é ®iÖn
tr−êng cña sãng Laser cã d¹ng
0
E E sin t
= Ω
r r
,
0
E
r
h−íng vu«ng gãc víi trôc Oz. Gi¶ sö
hè thÕ kh«ng giam gi÷ phonon. N¨ng l−îng cña electron bÞ l−îng tö ho¸, tr¹ng th¸i
electron ®−îc ®Æc tr−ng bëi chØ sè l−îng tö ho¸ n vµ vÐc t¬ sãng
⊥
r
vu«ng gãc víi trôc
Oz. Hamiltonian cña hÖ electron-phonon trong hè l−îng tö d−íi t¸c dông cña tr−êng
laser trong biÓu diÔn l−îng tö hãa thø cÊp cã d¹ng [1]:
1 1
1
1
2 1
1 2
1 2
(n ) (n )
e ph e ph n q q q
kkq
k ,n
(n ) (n )
n ,n q q
k q k
k ,q ,n ,n
e
ˆ ˆ ˆ ˆ
H(t) H H H k A(t) a a b b
c
C (q) a a (b b )
+
⊥⊥
⊥
+
⊥⊥
⊥
+
− ⊥
+
−
+
= + + = ε − + ω
+ +
∑ ∑
∑
r
r r r
r
r
r r r
r
r
rr
rr
h
h
r
(1)
ë ®©y
(n)
k
a
+
⊥
r
vµ
(n )
a
⊥
r
t−¬ng øng lµ to¸n tö sinh vµ to¸n tö hñy cña electron ë tr¹ng th¸i n
(n lµ chØ sè l−îng tö hãa n¨ng l−îng theo ph−¬ng trôc Oz) ,
q
b
+
r
vµ
q
r
t−¬ng øng lµ to¸n
tö sinh vµ to¸n tö hñy phonon,
q q
ε = ω
r r
h
lµ n¨ng l−îng cña phonon víi vect¬ sãng
NhËn bµi ngµy 04/9/2008. Söa ch÷a xong 27/7/2009.
NGUYÔN TIÕN DòNG nH h−ëng C¸C THAM sè lªN GIA t¨NG PHONON..., Tr. 15-20
16
q
r
,
n
(k )
⊥
ε
r
lµ phæ n¨ng l−îng cña electron, cã d¹ng [2]:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
n o n
2
e e e
e
k k k
(k ) n n
2m 2m 2m
2m L
⊥ ⊥ ⊥
⊥
π
ε = + = ε + = ε +
r r r
rh h hh
,
víi n = 0,1,2... vµ
2 2
o
2
e
2m L
π
ε = h
(2)
e vµ
e
m lµ ®iÖn tÝch vµ khèi l−îng hiÖu dông cña electron, c lµ vËn tèc ¸nh s¸ng trong
ch©n kh«ng.
)(tA
r
lµ thÕ vect¬ liªn hÖ víi vÐct¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng laser :
0 0 0
A A cos t, A cE /
= Ω = Ω
r r
. (3)
1 2 1 2
n n q n n
C (q) C I (q)
=
r
r r
, trong ®ã
q
C
r
lµ h»ng sè t−¬ng t¸c electron-phonon trong hè l−îng
tö vµ cã d¹ng cô thÓ phô thuéc vµo c¬ chÕ t−¬ng t¸c, cßn
1 2
n n
I (q)
r
cã d¹ng [2]:
1 2
L
1 2
n n z z
0
n z n z2
I (q ) sin( ) sin( ) exp(iq z)dz
L L L
π π
=
∫
. (4)
Sö dông ph−¬ng ph¸p nh− trong [1] chóng t«i t×m ®−îc ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng
tö cho phonon trong hè l−îng tö:
( )
( )
( )
1 2
1 2
2 1 2 1
1 2 1 2
t
2
q2
n n q
2
k,n ,n
n n n n q
n n n n q
N (t) 1C (q) J / dt ' N (t')
t
i
f (k q) f (k ) exp (k q) (k ) (t t')
i
f (k ) f (k q) exp (k ) (k q) (t t')
+∞
=−∞ −∞
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
∂= Λ Ω
∂
× + − ε + −ε −ε − Ω −
+ − − − ε −ε − −ε − Ω −
∑ ∑ ∫
r
r
l
r
l
r
r
rh
h
r r r r
r r lh
h
r r r r
r r lh
h
(5)
ë ®©y
q q q t
N (t) b b
+
=< >
r r r
, ký hiÖu
t
X
< >
lµ trung b×nh thèng kª cña ®¹i l−îng vËt lý X t¹i
thêi ®iÓm t,
(
)
0 e
e E q / m
⊥
Λ = Ω
r
r
h
,
J (z)
l
lµ c¸c hµm Bessel bËc
l
®èi sè z,
n
f (k )
⊥
r
lµ
hµm ph©n bè cña electron (ë ®©y ta chØ quan t©m ®Õn sù gia t¨ng phonon, v× vËy chóng
ta cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng hµm ph©n bè cña electron kh«ng phô thuéc thêi gian).
3. HÖ sè gia t¨ng phonon trong hè l−îng tö
§Ó thiÕt lËp hÖ sè gia t¨ng phonon ta ®−a ph−¬ng tr×nh (5) vÒ d¹ng:
q
q q
N
N (t)
t
∂
= γ
∂
r
r r
. (6)
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVIII, sè 2A-2009
17
HÖ sè
q
γ
r
chÝnh lµ hÖ sè gia t¨ng phonon:
q
0
γ >
r
cã nghÜa lµ sè phonon t¨ng theo thêi
gian, ng−îc l¹i
q
0
γ <
r
cã nghÜa sè phonon gi¶m theo thêi gian.
HÖ sè gia t¨ng phonon t×m ®−îc cã d¹ng [1]:
( ) ( )
{ }
1 2 2 1
1 2
2 1 2 1
2
q n n n n
k,n ,n
n n q n n q
C (q) f (k q) f (k)
(k q) (k) (k q) (k)
π
γ = + −
× δ ε + − ε − ε − Λ + δ ε + − ε − ε + Λ
∑
r
r
r r
r r
r r
h
r r r r
r r
(7)
Cã thÓ thÊy r»ng hÖ sè gia t¨ng phonon gåm ®ãng gãp cña c¶ hai qu¸ tr×nh: hÊp
thô photon (chøa hµm Delta thø nhÊt) vµ ph¸t x¹ photon (chøa hµm Delta thø hai) cña
tr−êng laser. V× vËy, cã thÓ viÕt
)()( −+
+=
qqq
rrr
γγγ
, trong ®ã:
( )
1 2 2 1 2 1
1 2
2
( )
q n n n n n n q
k,n ,n
C (q) f (k q) f (k) (k q) (k)
±
π
γ = + − δ ε + −ε −ε ±Λ
∑
r r
r
r r r r
r r r
h
. (8)
KhÝ electron kh«ng suy biÕn cã hµm ph©n bè Boltzmann:
(
)
n F n
f (k ) exp (k )
⊥ ⊥
= β ε − ε
r r
, (9)
víi
F
ε
lµ n¨ng l−îng Fermi,
B
1/ (k T)
β =
(k
B
lµ h»ng sè Boltzmann, T lµ nhiÖt ®é tinh
thÓ). Khi ®ã biÓu thøc gi¶i tÝch cña hÖ sè gia t¨ng phonon trong tr−êng hîp khÝ electron
kh«ng suy biÕn lµ:
( )
( )
{ }
1 2
1 2
1/2
32
( ) 2
e
q n n F o 1
4 2 3
n ,n
2
2 2
2 2
e
o 2 1 q q
2 2
e
m
SC (q) exp n
q 8
mq
exp (n n ) exp 1
2m
2 q
±
⊥
⊥
⊥
γ = β ε − ε
π β
β
× − + ε − − ω Λ −β ω Λ −
∑
r
r r
r
h
hh m h m
h
(10)
Tõ biÓu thøc (10) ta thÊy qu¸ tr×nh ph¸t x¹ photon (dÊu d−íi) lu«n cho ®ãng gãp
( )
q
0
−
γ <
r
, cßn qu¸ tr×nh hÊp thô photon (dÊu trªn) sÏ cho ®ãng gãp
( )
q
0
+
γ >
r
nÕu:
0
q
e
eq E
m
⊥
Λ = > ω
Ω
r
r
r
h
h
(11)
§iÒu nµy cã nghÜa lµ chØ cã qu¸ tr×nh hÊp thô photon vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn n¨ng l−îng
(11) míi cã qu¸ tr×nh gia t¨ng phonon.
NÕu ta xÐt t−¬ng t¸c lµ gi÷a ®iÖn tö vµ phonon ©m th× hÖ sè gia t¨ng phonon ©m
cã d¹ng:
NGUYÔN TIÕN DòNG nH h−ëng C¸C THAM sè lªN GIA t¨NG PHONON..., Tr. 15-20
18
( )
( )
{ }
1 2
1 2
1/2
3
22
( )am 2
e
q n n F o 1
3 3
n ,n
a
2
2 2
2 2
e
o 2 1 q q
2 2
e
mI (q) exp n
2 q L v 8
mq
exp (n n ) exp 1
2m
2 q
+
⊥
⊥
⊥
ξ
γ = β ε − ε
ρ π β
β
× − + ε − − ω − Λ −β ω − Λ −
∑
r
r r
r
h
hh h
h
(12)
trong ®ã
ξ
lµ thÕ biÕn d¹ng,
ρ
lµ khèi l−îng riªng cña tinh thÓ,
a
v
lµ vËn tèc sãng ©m.
4. Kh¶o s¸t sùnh h−ëng cña c¸c tham sè ®èi víi hÖ sè gia t¨ng phonon
Chóng ta kh¶o s¸t sù ¶nh h−ëng cña c¸c tham sè ®èi víi hÖ sè gia t¨ng phonon
©m trong hè l−îng tö víi c¸c tham sè ®−îc sö dông ®Ó tÝnh to¸n nh− sau:
34
1,05 10 Js
−
= ×h
,
e 0
m 0,066m
=
, víi
0
m
lµ khèi l−îng electron,
0,05
f
e
=
eV,
3 3
5,32.10 kg / m
ρ =
,
a
v 5370 m / s
=
,
13,51 eV
ζ =
,
T 400 K
=
,
1 2
n 1, n 2
= =
,
14
4,5.10 rad / s
Ω = ,
8
0
E 1, 2.10 V / m
=
.
4.1. nh h−ëng cña sè sãng
Sù ¶nh h−ëng cña sè sãng q lªn hÖ sè gia t¨ng phonon ®−îc biÓu diÔn qua H×nh 1.
Chóng ta nhËn thÊy cã nh÷ng gi¸ trÞ sè sãng q lµm cho hÖ sè gia t¨ng phonon
®¹t gi¸ trÞ cùc trÞ trong ®ã gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hÖ sè gia t¨ng lµ kh¸c nhau. Dùa vµo ®å thÞ
H×nh 1
:
Sù phô thuéc hÖ sè gia t¨ng víi sè sãng
ë ®©y
8
L 3.10 m
−
=
,
z
q q
⊥
=
=
q
2
1/s
1/m
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVIII, sè 2A-2009
19
chóng ta cã thÓ chän ®−îc gi¸ trÞ sè sãng thÝch hîp ®Ó hÖ sè gia t¨ng phonon lµ lín nhÊt.
4.2. nh h−ëng cña chiÒu réng hè l−îng tö
Sù ¶nh h−ëng cña chiÒu réng hè l−îng tö lªn hÖ sè gia t¨ng phonon ®−îc biÓu
diÔn qua H×nh 2:
Chóng ta nhËn thÊy cã mét gi¸ trÞ chiÒu réng hè l−îng tö L cho ta tèc ®é gia
t¨ng phonon ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, víi gi¸ trÞ L cì 2.10-8 m.
5. KÕt luËn
Trong bµi b¸o nµy, b»ng ph−¬ng ph¸p ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng tö, vÊn ®Ò chóng
t«i nghiªn cøu nh h−ëng cña c¸c tham sè lªn sù gia t¨ng phonon trong hè l−îng tö khi
cã mÆt tr−êng laser ®èi víi khÝ electron kh«ng bÞ suy biÕn ®· ®−îc nghiªn cøu.
Chóng t«i ®· thiÕt lËp ®−îc ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng tö cho phonon. Ph−¬ng
tr×nh nµy cã vai trß quan träng trong viÖc nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt quang vµ c¸c tÝnh
chÊt dÞch chuyÓn, trong ®ã hÖ phonon lµ kh«ng c©n b»ng cßn khÝ electron lµ c©n b»ng.
Tõ ph−¬ng tr×nh ®éng l−îng tö chóng t«i t×m ®−îc c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch x¸c ®Þnh ®iÒu
kiÖn gia t¨ng phonon vµ hÖ sè gia t¨ng phonon. HÖ sè gia t¨ng phonon ngoµi sù phô
thuéc vµo tr−êng laser mµ cßn phô thuéc vµo c¸c tham sè ®Æc tr−ng cho hè l−îng tö vµ
c¬ chÕ t−¬ng t¸c cña tõng lo¹i phonon.
Tõ hÖ sè gia t¨ng phonon chóng t«i ®· tiÕn hµnh sù kh¶o s¸t sè sù ¶nh h−ëng
cña c¸c th«ng sè cña hè l−îng tö lªn hÖ sè gia t¨ng nµy. Tõ ®ã chóng t«i chØ ra ®−îc c¸c
gi¸ trÞ mµ t¹i ®ã hÖ sè gia t¨ng phonon lµ cùc ®¹i.
H×nh 2
:
Sù phô thuéc hÖ sè gia t¨ng víi chiÒu réng hè l−îng tö
ë ®©y
z
q q
⊥
=
=
q
2
= 5.10
8
(1/m)
1/s
m