Báo cáo nghiên cứu khoa học: Tổng quan hệ thống đồng hóa lọc Kalman tổ hợp và ứng dụng cho mô hình dự báo thời tiết WRF

Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

Tổng quan hệ thống đồng hóa lọc Kalman tổ hợp và ứng dụng cho mô hình dự báo thời tiết WRF

Kiều Quốc Chánh*

Khoa Khí tượng Thủy văn và Hải dương học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, 334 Nguyễn Trãi, Hà Nội, Việt Nam

Nhận ngày 29 tháng 4 năm 2011

Tóm tắt. Trong bài báo này, bộ lọc Kalman và biến thể tổ hợp cho phép ứng dụng trong các mô hình dự báo số sẽ được trình bày chi tiết. Một biến thể lọc Kalman tổ hợp địa phương sau đó sẽ được chọn thử nghiệm và đưa vào mô hình WRF. Các kết quả ban đầu cho thấy bộ lọc Kalman tổ hợp có khả năng nắm bắt tốt số liệu quan trắc vệ tinh.

Từ khóa: Đồng hóa số liệu, lọc Kalman, mô hình WRF, dự báo tổ hợp, lọc Kalman tổ hợp.

1. Mở đầu

cần thiết để tránh đưa vào các giá trị quan trắc tùy ý. Mặc dù đồng hoá số liệu trong khí tượng đã được quan tâm từ đầu những năm 1950 [7,8], bài toán này lại chỉ thực sự phát triển mạnh trong thời gian gần 20 năm gần đây do sự phát triển mạnh của máy tính cho phép thực hiện được các thuật toán một cách nhanh chóng và có hiệu quả.

Một cách tổng quát, đồng hóa số liệu là quá trình tạo trường ban đầu tốt nhất có thể cho một mô hình dự báo, dựa trên các mối quan hệ động lực và xác xuất thống kê. Do đặc thù của mô hình dự báo thời tiết bằng mô hình số có tính phụ thuộc ban đầu mạnh, các bản tin dự báo thời tiết đôi khi cho các kết quả hoàn toàn sai lệch do điều kiện ban đầu không chính xác [1-5].

Các thuật toán khởi điểm của đồng hoá số liệu bao gồm thuật toán Cressman và thuật toán Barner. Các sơ đồ này dựa trên các phép lặp hoặc ép (nudge) số liệu quan trắc xung quanh một điểm nút lưới cho trước về một giá trị mới sau một số vòng lặp cho trước. Cách tiếp cận địa phương này tuy nhiên không thoả mãn vì chúng không tính được yếu tố động lực cũng như các đòi hỏi cân bằng của mô hình. Do đó rất nhiều các thuật toán ban đầu hóa đã được phát triển. Theo quan điểm hiện đại, các sơ đồ đồng hóa số liệu hiện nay có thể được tạm chia hai thành 2 loại [9]. Một loại, tạm gọi là bài Quá trình đồng hóa về cơ bản bao gồm hai bước chính là 1) phân tích khách quan và 2) ban đầu hóa [6]. Theo bước phân tích khách quan, trường quan trắc sẽ được ngoại suy về điểm lưới của mô hình số một cách tối ưu. Trong bước tiếp theo, trường ngoại suy này sẽ được cân bằng hóa sao cho các biến quan trắc phụ thuộc lẫn nhau sẽ được ràng buộc bởi một mối quan hệ động lực cho trước. Điều này là _______  ĐT: 01642541065. E-mail: chanhkq@vnu.edu.vn 17

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

18

toán đồng hoá biến phân (ĐHBP), tập trung vào việc tìm kiếm trạng thái khí quyển có khả năng xảy ra cao nhất ứng với một tập quan trắc và một trạng thái nền cho trước [10-15]. Phụ thuộc vào cách xử lí số liệu là tức thời hay trong một khoảng thời gian, bài toán ĐHBP có thể chia nhỏ thành bài toán 3 chiều (3DVAR) hay 4 chiều (4DVAR).

Cách tiếp cận chung của bài toán ĐHBP là tìm một trường phân tích nào đó có khả năng xảy ra cao nhất bằng cách tối thiểu hoá một hàm độ đo sai số, còn gọi là hàm giá. Phương pháp ĐHBP có ưu điểm là hàm giá được cực tiểu hoá trên toàn miền và do đó kết quả trường phân tích sẽ loại bỏ được những tình huống “mắt trâu” mà trong đó trạng thái phân tích chỉ nhận giá trị xung quanh điểm quan trắc.

Điểm khác biệt cơ bản nhất giữa ĐHD and ĐHBP là ma trận sai số hiệp biến của trạng thái nền trong ĐHD được tích phân theo thời gian thay vì giữ không đổi như trong cách tiếp cận ĐHBP. Có hai quá trình đòi hỏi khối lương tính toán rất lớn trong các phương pháp ĐHD là các tính toán nghich đảo ma trận và tính toán mô hình tiếp tuyến. Các tính toán này là quá lớn ngay cả với một mô hình đơn giản, và hầu như không thể tính toán được trong các bài toán thực tế. Để khắc phục nhược điểm này của lọc Kalman, một biến thể khác của lọc Kalman dưa trên dự báo Monte-Carlo có tính khả thi hơn đã được phát triển là bộ lọc Kalman tổ hợp (EnKF). Với sự phát triển mạnh mẽ của phương tiện tính toán, EnKF đã liên tục phát triển với nhiểu biến thể khác nhau và hiện đã trở thành một cách tiếp cận mũi nhọn trong việc giải quyết bài toán đồng hóa số liệu cho các mô hình dự báo. Cách tiếp cận tổ hợp có ý nghĩa rất lớn không chỉ về mặt cho phép ma trận hiệp biến biến thiên theo thời gian mà điểm quan trọng là nó cho phép ước lượng độ cả bất định của mô hình. Do đó, tích phân tổ hợp cho phép tính được một phổ rộng của trường dự báo thay vì đơn thuần một dự báo duy nhất.

Mặc dù có một số ưu điểm kể trên, ĐHBP có một số nhược điểm lớn không thể bỏ qua. Nhược điểm thứ nhất là ĐHBP không cho phép tính đến sự biến đổi của ma trận sai số hiệp biến trạng thái nền theo thời gian [16]. Đây là một điểm yếu lớn vì trong thực tế sai số nền biến thiên mạnh theo thời gian và hình thế thời tiết. Điểm yếu thứ hai của ĐHBP là việc hội tụ của phép lặp khi tìm trạng thái phân tích phụ thuộc nhiều vào sự tồn tại của các cực trị địa phương không kiểm soát được. Do đó, ĐHBP có thể sẽ hội tụ đến nhưng cực tiểu địa phương không chính xác. Một nhược điểm nữa của ĐHBP là việc nghịch đảo ma trận sai số nền trong thực tế là không thể. Do đó, rất nhiều các giả thiết đơn giản hoá cho ma trận này phải được đưa vào để loại bỏ các tương quan chéo không cần thiết giữa các biến.

Mặc dù EnKF có một vài nhược điểm liên quan đến tính địa phương hóa của số liệu quan trắc xung quanh các điểm nút quan trắc và sự phụ thuộc của ma trận sai số vào số lượng thành phần tổ hợp, ưu điểm nổi trội của EnKF là nó không đòi hỏi phải phát triển các mô hình tiếp tuyến như trong phương pháp ĐHBP. Điều này cho phép EnKF được áp dụng dễ dàng vào hầu hết các mô hình mà không cần can thiệp vào phần lõi của mô hình. Thêm vào đó, EnKF cho phép tạo ra các trường nhiễu ban đầu biến đổi theo thời gian. Do đó, EnKF tại thời điểm hiện tại đang được coi là một cách tiếp cận tiềm năng nhất cho dự báo tổ hợp trong tương lai.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ trình bày một phát triển của hệ thống đồng hóa lọc Phương pháp đồng hóa thứ hai là phương pháp đồng hóa dãy (ĐHD). Khác với ĐHBP, phương pháp đồng hóa dãy dò tìm trạng thái phân tích theo cách làm tối thiểu hoá sai số của trạng thái phân tích so với quan trắc và trạng thái nền. Tiêu biểu nhất cho phương pháp ĐHD là các bài toán đồng hóa lọc Kalman [17-24].

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

19

trong đó là trạng thái thực của khí quyển

tại thời điểm i (i + 1). Chúng ta sẽ giả thiết rằng sai số nội tại này là không lệch và ma trận sai số hiệp biến của nó được cho bởi một ma trận Q, nghĩa là (3)

Kalman tổ hợp dựa trên một biến thể của lọc Kalman tổ hợp, gọi là lọc Kalman tổ hợp biến đổi địa phương (Local Ensemble Transform Kalman Filter, LETKF) cho mô hình Weather Research and Forecasting (WRF, V3.2). Hệ thống đồng hóa này sẽ là tiền đề để phát triển hệ thống dự báo tổ hợp trong các nghiên cứu tiếp theo.

2. Cơ sở lí thuyết bộ lọc Kalman Song song với dự báo trạng thái, chúng ta sẽ dự báo cả sai số từ thời điểm thứ i đến thời điểm thứ i + 1 sử dụng mô hình tiếp tuyến L được định nghĩa dựa trên dạng biến phân của phương trình (1) như sau:

(4)

Với mô hình tiếp tuyến L này, sai số của trạng thái tại thời điểm thứ i + 1 sẽ được cho bởi

(5)

Một cách hình thức, KF bao gồm hai bước chính gọi là bước dự báo (forecast) và bước phân tích (analysis). Trong bước dự báo, một trạng thái ban đầu của khí quyển và sai số tương ứng của trạng thái này (do trạng thái ban đầu không phải là trạng thái thực) sẽ đồng thời được tích phân theo thời gian. Trong bước phân tích, kết quả của bước dự báo tại một thời điểm trong tương lai sẽ được kết hợp với số liệu quan trắc tại thời điểm đó để tạo ra được một trạng thái ban đầu mới và sai số của trạng thái ban đầu này cho quá trình dự báo tiếp theo. Chúng ta sẽ đi vào từng quá trình một cách chi tiết hơn trong các phần tiếp theo.

Bước dự báo

Trong thực tế, chúng ta không bao giờ biết được sai số tuyệt đối thực i và như thế không thể dự báo được sai số cho bước tiếp theo. Tuy nhiên, trong đa số các trường hợp, chúng ta lại có thể biết hoặc xấp xỉ được đặc trưng thống kê của sai số được đặc trưng bởi ma trận sai số hiệp biến P  <T>. Thêm vào đó, ma trận này cũng sẽ được sử dụng để đồng hóa cho bước tiếp theo. Do đó, chúng ta sẽ viết lại (5) cho ma trận sai số hiệp biến thay vì cho sai số tuyệt đối i. Lưu ý theo định nghĩa rằng Giả thiết khí quyển tại một thời điểm i nào với đó được đặc trưng bởi một trạng thái , một sai số . Đầu tiên chúng ta sẽ dự báo cho chúng ta sẽ có mối quan hệ sau trạng thái đến thời điểm i + 1 sẽ cho bởi:

(1) (6)

Chú ý thêm rằng chúng ta đã giả thiết là sai là không số mô hình  và sai số trạng thái

trong đó M là mô hình dự báo. Do mô hình này là không hoàn hảo, dự báo bằng mô hình này sẽ có một sai số nào đó kể cả khi điều kiện ban đầu là chính xác. Gọi sai số nội tại này của mô hình là , khi đó một cách lý thuyết giá trị sai số này sẽ được xác định như sau:

(2) có tương quan với nhau. Như vậy, cho trước giá trị sai số mô hình Q, mô hình M, và mô hình tiếp tuyến L, phương trình (2) và (6) cấu thành một quá trình dự báo cơ bản trong bước dự báo

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

20

Thay (7) vào (9) và xắp xếp lại, chúng ta sẽ theo đó trạng thái và sai số tại thời điểm i thu được: sẽ được dự báo đến thời điểm i + 1. (10) Bước phân tích

trong đó ma trận H là tuyến tính hóa của toán tử quan trắc H.

Đặt , ,

Trong bước phân tích tiếp theo, giả sử tại thời điểm i + 1, chúng ta có một bộ số liệu quan trắc yo với sai số quan trắc là o. Nhiệm vụ của chúng ta trong bước này là phải kết hợp được với quan trạng thái dự báo và sai số và giả thiết trạng thái nền không có tương quan với trạng thái phân tích, chúng ta sẽ thu được từ (10) phương trình sau:

(11)

trắc để tạo được một bộ số liệu đầu vào mới tốt hơn tại thời điểm i + 1. Lưu ý rằng mặc dù là ước lượng tốt nhất của trạng thái khí

Ma trận trọng số K sẽ cực tiểu hóa vết của khi và chỉ khi ma trận sai số quyển tại thời điểm i, giá trị dự báo tại thời

(12) điểm i + 1 lại không phải là tốt nhất do sai số . Do đó chúng ta cần của mô hình và của

phải đồng hóa tại thời điểm i + 1 để trạng thái dự báo không bị lệch khỏi trạng thái thực tại các thời điểm này. Một cách hình thức, chúng ta sẽ ước lượng trạng thái khí quyển mới tốt hơn tại thời điểm i + 1 như sau:

trong đó trace() ký hiệu vết của ma trận. Ở đây, đạo hàm theo ma trận sẽ được hiểu là đạo hàm từng thành phần của ma trận. Lý do cho việc cực tiểu hóa vết của ma trận thay vì trực tiếp ma trận là do tổng các thành phần trên đường chéo sẽ chính là bình phương của của ma trận (7)

tổng sai số căn quân phương trong trường hợp các biến là không tương quan chéo. Do vết của một ma trận là bảo toàn trong các phép biến đổi trực chuẩn, chúng ta luôn có thể chéo hóa ma để đưa về một cơ sở mà trong trận sai số

trong đó H là một toán tử quan trắc nội suy từ trường mô hình sang các giá trị điểm lưới, và K là ma trận trọng số. Một cách trực quan, ma trận K càng lớn, ảnh hưởng của quan trắc lên trường phân tích càng nhiều. Do đó, ma trận K rất quan trọng và phải được dẫn ra một cách tối ưu nhất có thể. Để thuận tiện cho việc suy dẫn K, chúng ta định nghĩa một vài biến sai số sau: đó tổng sai số căn quân phương sẽ là tổng của các thành phần đường chéo. Lấy đạo hàm vết , chúng ta khi đó sẽ thu được của ma trận

, , (8) từ (11) và (12)

(13)

Để tìm ma trận K, chúng ta trước hết phải tính ma trận sai số hiệp biến Pa cho trạng thái và sau đó cực tiểu hóa ma trận phân tích

này. Theo định nghĩa:

Với giá trị ma trận trọng số K cho bởi (13) ở trên, giá trị cực tiểu của ma trận sai số hiệp biến phân tích khi đó sẽ thu được bằng cách thay (13) vào (11). Biến đổi tường minh chúng ta sẽ thu được: (9)

(14)

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

21

Như vậy, ở bước phân tích này chúng ta đã thu được một ước lượng ban đầu mới tốt hơn từ một trạng thái dự báo (hay dự báo nền) và quan trắc cho trước. Sau khi thu được trạng thái mới , quá trình dự và ma trận sai số mới

pháp xử lý. Ví dụ kỹ thuật tăng cấp cộng tính, kỹ thuật tăng cấp nhân, kỹ thuật hiệu chỉnh độ lệch hệ thống, kỹ thuật cộng nhiễu ngẫu nhiên. Trong nghiên cứu gần đây, tác giả có trình bày một kỹ thuật khác, tạm gọi là kỹ thuật nhiễu lực [25]. Chi tiết hơn về các thuật toán hiệu chỉnh sai số mô hình có thể được tham khảo trong [26].

Hình 1. Minh họa hai bước chính của bộ lọc Kalman.

báo lại được lặp lại cho bước đồng hóa kế tiếp theo. Một cách tóm tắt, lọc Kalman được cho bởi minh họa trong hình 1.

Như đã đề cập trong phần giới thiệu, quá trình đồng hóa phải bao gồm hai bước chính là phân tích khách quan và ban đầu hóa. Trong bước phân tích của bộ lọc Kalman trình bày ở trên, chúng ta thấy rằng dường như bộ lọc Kalman chưa có quá trình ban đầu hóa một cách cụ thể. Tuy nhiên, các phân tích chi tiết cho thấy trong thực tế, bộ lọc Kalman đã tính đến quá trình ban đầu hóa một cách nội tại trong bước dự báo. Điều này là do trong bước dự báo này, ma trận sai số hiệp biến nền sẽ được tích phân theo thời gian. Do đó, các tương quan chéo giữa các biến động lực sẽ được hiệu chỉnh theo thời gian. Ở một giới hạn đủ dài, ma trận sai số hiệp biến nền thu được từ bộ lọc này sẽ có khả năng phản ánh được các tương quan chéo giữa các biến động lực và như vậy thông tin quan trắc thu được của bất kỳ một biến nào cũng sẽ được cập nhất cho tất cả các biến mô hình khác. Đây chính là ưu điểm của bộ lọc Kalman, đặc biệt trong vùng vĩ độ thấp tại đó không tồn tại một ràng buộc lý thuyết tường minh cho các mối quan hệ động lực giữa các biến giống như trong vùng ngoại nhiệt đới. (Trong vùng ngoại nhiệt đới, mối quan hệ động lực giữa các biến thường được sử dụng là mối quan hệ địa chuyển, cân bằng thủy tĩnh, hay cân bằng gradient.) Chúng ta sẽ xem xét phần này chi tiết hơn trong các mục sau.

3. Lọc Kalman tổ hợp

a) Lọc Kalman tổ hợp

Mặc dù có ưu điểm vượt trội so với các phương pháp đồng hóa biến phân khác, lọc Kalman cho bởi hệ các phương trình (1), (6), (7), (13), (14) lại rất khó áp dụng trực tiếp trong các mô hình thời tiết có tính phi tuyến cao và bậc tự do rất lớn. Ba khó khăn chính của bộ lọc Kalman ở trên là 1) xây dựng mô hình tiếp tuyến L; 2) lưu trữ và thao tác các ma các trận sai số với số chiều có kích thước quá lớn; và 3) sai số nội tại của mô hình Q không được biết đầy đủ. Khó khăn thứ nhất có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một biến thể của bộ lọc Kalman, gọi là Kalman tổ hợp mở rộng (EnKF) được đề xuất ban đầu bởi Evensen năm 1994. Khó khăn thứ hai được khắc phục bằng cách địa phương hóa các số liệu quan trắc xung quanh từng điểm nút lưới (localization) hoặc đồng hóa lần lượt từng giá trị quan trắc theo chuỗi (serial). Có nhiều các biến thể của EnKF dựa trên việc địa phương hóa hay xử lý chuỗi. Hai trong số đó sẽ được trình bày trong mục sau. Về sai số nội tại của mô hình, đây là một hướng phát triển còn mở của bộ lọc Kalman trong thời gian gần đây và có rất nhiều phương Do khả năng phát triển mô hình tiếp tuyến và tích phân ma trận sai số hiệp biến theo thời gian với mô hình tiếp tuyến là không thực tế

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

22

trong các mô hình dự báo thời tiết, lọc Kalman phải được cải tiến để có thể áp dụng được cho các bài toán nghiệp vụ. Một cách tiếp cận phổ biến nhất dựa trên tích phân ngẫu nhiên Monte- Carlo theo đó một tập các đầu vào được tạo ra xung quanh một giá trị trường phân tích cho trước. Lưu ý rằng tập đầu vào này không phải được lấy bất kỳ mà được tạo ra dựa theo phân bố xác xuất cũng như giá trị sai số của trường tại từng thời điểm1. Ví dụ nếu phân tích trung tâm dự báo thời tiết của Canada đã đựa lọc Kalman tổ hợp vào dự báo nghiệp vụ do khối lượng tính toán lớn. EnKF hiện được coi là một hướng đi phát triển mạnh nhất trong thời gian tới cho các bài toán nghiên cứu có tính dự báo thấp như bão nhiệt đới và ngoại nhiệt đới, mưa lớn, hay dông. Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày hai biến thể được phát triển phổ biến nhất hiện này của bộ lọc EnKF là bộ lọc EnKF chuỗi (Serial EnKF), và bộc lọc EnKF địa phương biến đổi (LETKF)

b) Lọc Kalman tổ hợp chuỗi phân bố của trường phân tích có dạng phân bố chuẩn Gauss, khi đó tập đầu vào của trường phân tích sẽ phải tuân theo phân bố:

(15)

trong đó là giá trị trường phân tích trung

bình tổ hợp thu được từ bước phân tích của lọc Kalman như trình bày trong phần 2. Với một tập K các đầu vào { }k=1..K sinh ra từ phân bố (15), chúng ta có thể thu được ma trận sai số hiệp biến dự báo cho bước thời gian tiếp theo như sau: Về mặt bản chất, lọc EnKF chuỗi (SEnKF) là quá trình trong đó số liệu quan trắc được đồng hóa lần lượt từng giá trị một. Quá trình này sẽ làm giảm kích thước cũng như khối lượng tính toán. Trong phần này, chúng tôi sẽ theo trình bày trong [17] (viết tắt là SZ03) do cách tiếp cận của SZ03 có tính ứng dụng cao và đã được sử dụng trong một loạt các bài toán đồng hóa quy mô vừa. Để thảo luận được rõ ràng, chúng ta viết lại phương trình cập nhật trạng thái phân tích như sau:

(17) (16)

(18)

(19) trong đó,

trong đó . Các nghiên cứu trong [4] đã chỉ ra rằng một tổ hợp khoảng 25-50 các thành phần là đủ để lọc Kalman tổ hợp phát huy tác dụng.

Lưu ý rằng quá trình cập nhật trạng thái phân tích này sẽ chỉ được áp dụng cho trường trung bình tổ hợp. Để tạo ra được các thành phần tổ hợp phân tích tiếp theo, cần phải tạo thêm một bộ nhiễu phân tích và cộng vào như sẽ trường phân tích trung bình tổ hợp

trình bày trong các phần tiếp theo.

Để đồng hóa các quan trắc một cách hiệu như quả, chúng ta viết lại tích hiệp biến

sau:

(20)

Ngoài việc giản lược quá trình phát triển mô hình tiếp tuyến, cách tiếp cận EnKF có một vài ưu điểm nổi trội bao gồm 1) rút bớt các tính toán với các ma trận có số chiều lớn; 2) không cần tuyến tính hóa mô hình cũng như mô hình liên hợp (adjoint); 3) cung cấp một tổ hợp các nhiễu ban đầu tối ưu hóa cho việc dự báo các ma trận sai số hiệp biến. Mặc dù có nhiều điểm thuận lợi song đến tại thời điểm này, chỉ có _______ 1 Để đơn giản, trong phần này chúng ta sẽ chỉ làm việc với một thời điểm cụ thể trong bước phân tích của bộ lọc Kalman và do đó chỉ số thời gian i sẽ được bỏ qua.

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

23

trong đó chúng ta đã giả thiết rằng ma trận sai được xấp xỉ bằng một số hiệp biến dự báo Với một giá trị quan trắc điểm duy nhất, ma trận sai số hiệp biến phân tích theo phương trình (18) cũng được đơn giản hóa rất đáng kể:

(24) tổ hợp K thành phần{ }k=1..K như cho bởi (16). Một cách tường minh, (20) có thể được viết như sau:

(21)

trong đó

(22)

nhiễu bộ tổ Về mặt ý nghĩa vật lý, tích ma trận (20) được hiểu như là một ma trận tương quan của trạng thái dự báo giữa các điểm nút lưới mô ) và các điểm mà tại đó quan trắc hình ( được cho ( ). Trong trường hợp chúng ta đồng hóa lần lượt từng giá trị quan trắc một, phương trình (17) và tích (20) sẽ được đơn giản hóa rất nhiều. Thật vậy, với chỉ một giá trị quan sẽ trở thành một vô hướng, và do đó trắc, sẽ trở thành một vector, tạm gọi là tích Phương trình cập nhật (24) phát biểu rằng sai số phân tích sẽ được giảm một lượng tỷ lệ với tương quan của biến được quan trắc với các điểm nút của mô hình. Ma trận sai số hiệp biến phân tích Pa đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng bộ nhiễu cho SEnKF. Như đã đề cập ở trên, bước phân tích chỉ được áp dụng cho trạng thái trung bình tổ hợp. Để tạo ra một tổ hợp các đầu vào cho bước tích phân tiếp theo, chúng ta cần phải thực hiện thêm một bước cuối cùng là tạo ra bộ nhiễu phân tích. Bộ nhiễu phân tích này không thể chọn tùy ý mà phải được xây dựng dựa trên trường sai số hiệp biến phân tích Pa cho bởi (24). Có rất nhiều lựa chọn khác nhau, xong một lựa chọn phổ biến nhất là sở dụng phương pháp căn quân phương ma là hợp trận. Gọi , chúng ta sẽ giả thiết rằng: vector c. Cũng như vậy, sẽ chỉ còn là

(25) một vô hướng, và do đó có thể viết lại số hạng như là nghịch nghịch đảo của Một cách hình thức, nhiễu phân tích sẽ thu được như sau: đảo của một giá trị vô hướng, tạm gọi là d. Như vậy, (17) sẽ rút gọn thành (26) (23)

Trong trường hợp số liệu quan trắc được đồng hóa lần lượt từng giá trị một theo chuỗi, chúng ta thu được kết quả sau:

(27)

và trong đó

. Một cách tường minh, chúng ta có:

(28)

và do đó, với chỉ số chiều của mô hình i chạy trên toàn các nút lưới mô hình (i = 1… N) được viết tường minh. Phương trình cập nhật (23) phát biểu rằng với mỗi giá trị quan trắc được đưa vào yo, tương quan của giá trị quan trắc này với tất các điểm nút lưới khác (được biểu diễn bởi ci) sẽ lan truyền ảnh hưởng của quan trắc này lên tất cả các điểm nút lưới (lưu ý rằng chỉ số i chạy trên tất cả các điểm nút lưới). Mức độ ảnh hưởng của quan trắc tới các điểm nút lưới mô hình được cho bởi tham số d; sai số quan trắc càng nhỏ, mức độ ảnh hưởng của quan trắc sẽ càng lớn và ngược lại.

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

24

(30)

- Bước 9: Quay lại bước 1 với số liệu quan trắc mới cho đến khi đồng hóa toàn bộ tập số liệu quan trắc có được tại thời điểm i.

Gọi N là kích thước của trạng thái nền và K là số thành phần tổ hợp, các bước đồng hóa của lọc SEnKF như vậy sẽ bao gồm các bước như sau:

- Bước 1: chọn một số liệu quan trắc duy nhất yo trong tập các số liệu quan trắc tại thời điểm i;

- Bước 2: tính trung bình tổ hợp của trường theo công thức (22), và xây dựng ma dự báo

trận nhiễu nền

;

- Bước 3: xây dựng ma trận H (1  N) và  RN theo công thức tính vector

(21) dựa theo tổ hợp dự báo nền có được tại thời điểm i;

- Bước 4: tính giá trị và Có thể chứng minh được tường minh rằng trong các bài toán mô hình tuyến tính, đồng hóa chuỗi từng số liệu một sẽ cho kết quả tương tự như đồng hóa đồng thời tất cả các số liệu. Tuy nhiên chúng tôi sẽ không trình bày ở đây do hạn chế về độ dài của bài báo. Một chú ý là quá trình tính toán sẽ được giảm rất nhiểu nếu để ý rằng số liệu quan trắc tại một điểm cho trước có xu hướng chỉ ảnh hưởng các quan trắc ở lân cận nó. Do đó, thay vì cập nhật toàn bộ các điểm nút lưới với từng quan trắc, có thể chọn một lân cận xung quanh điểm quan trắc để cập nhật. Điều này không chỉ làm giảm khối lượng tính toán mà nó còn rất cần thiết để loại bỏ các tương quan chéo giả do số lượng thành phần tổ hợp là hữu hạn. Quá trình địa phương hóa số liệu quan trắc này sẽ được xem xét chi tiết hơn trong thuật toán đồng hóa tiếp theo.

c)Lọc Kalman tổ hợp địa phương

. Lưu ý rằng vì chúng ta làm việc với từng giá trị quan trắc một, ma trận R sẽ chỉ là một giá trị vô hướng đặc trưng giá trị phương sai sai số của quan trắc yo;

- Bước 5: Tính trạng thái phân tích trung bình tổ hợp xa dựa theo phương trình (23);

- Bước 6: Tính nhiễu tổ hợp phân tích Xa theo (27)

- Bước 7: Cộng nhiễu tổ hợp phân tích Xa để thu được với trung bình tổ hợp phân tích

ứng với quan

một tổ hợp phân tích trắc yo;

- Bước 8: Gán trường nền tổ hợp bằng giá trị phân tích tổ hợp thu được ở bước 7 ở trên, . Lưu ý rằng bằng việc nghĩa là

gán liên tục trường tổ hợp nền bằng giá trị trường phân tích mới, chúng ta sẽ tiết kiệm được bộ nhớ rất nhiều. Có thể nhận thấy rằng trong phương pháp đồng hóa chuỗi ở trên, toàn bộ quá trình đồng hóa có tính kế thừa và không thể song song hóa để tăng tốc độ tính toán. Do đó, lọc SEnKF nói chung sẽ xử lý số liệu quan trắc không hiệu quả, đặc biệt trong trường hợp số liệu quan trắc là rất lớn. Mặc dù điều này có thể được khắc phục bằng cách xử lý lựa chọn số liệu quan trắc hoặc kết hợp các quan trắc quá gần nhau bằng phương pháp “siêu ép” (super-ob) số liệu, lọc SEnKF vẫn chưa được tối ưu hóa hoàn toàn cho các bài toán đồng hóa lọc tổ hợp. Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét một biến thể khác của lọc EnKF cho phép xử lý số liệu một cách hiệu quả hơn rất nhiểu, được gọi là phương pháp lọc Kalman tổ hợp địa phương hóa biến đổi (Local ensemble transform Kalman filter, LETKF). Phương pháp này được đề xuất ban đầu bởi Hunt và ccs năm 2005 và đã được đưa vào thử

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

25

và

(34)

Như vậy, trong không gian tổ hợp, ma trận nghiệm trong một vài nghiên cứu với các mô hình toàn cầu. Đây cũng chính là phương pháp sẽ được lựa chọn và đưa vào mô hình thời tiết WRF trong phần sau của chúng tôi. trọng số thu được từ (32) sẽ có dạng:

và do đó ma trận trọng số K trở thành

(35)

Với ma trận K thu được ở trên, giá trị trạng thái phân tích trung bình tổ hợp tại điểm nút chúng ta đang quan tâm sẽ được cho bởi

(36)

Cũng giống như trong bộ lọc SEnKF, nhiệm vụ cuối cùng của chúng ta là xây dựng bộ tổ hợp các trạng thái phân tích. Để làm điều đó, chúng ta chú ý rằng:

; và

Kết hợp (18) và (35) với chú ý trên, chúng Một cách cơ bản, lọc LETKF là một phương pháp theo đó tại mỗi điểm nút lưới, chúng ta sẽ chọn một lân cận với kích thước cho trước. Với không gian con này, chúng ta sẽ chọn ra tất cả các quan trắc cho được bên trong không gian này và tạo ra một vector quan sát lân cận. Sau đó sử dụng ma trận nhiễu tổ hợp nền để biến đổi từ không gian con căng bởi số điểm nút lưới địa phương sang không gian con căng bởi số thành phần tổ hợp. Điều này sẽ làm giảm đáng kế khối lượng tính toán ma trận vì không gian tổ hợp thường nhỏ hơn không gian địa phương rất nhiều. Do đó, các phép toán ma trận sẽ có độ chính xác cao hơn. Để minh họa thuật toán một cách rõ ràng, nhắc lại rằng ma trận nhiễu tổ hợp nền (có số chiều N  K) được định nghĩa như sau: ta thu được: (31) (37) trong đó là trung bình tổ hợp. Gọi w là một

Sử dụng (34), chúng ta sẽ thu được: vector biến đổi trong không gian tổ hợp được định nghĩa như sau: (38) (30) và do đó, Khi đó, hàm giá trong không gian tổ hợp (39) địa phương sẽ chuyển thành Quá trình đồng hóa theo bộ lọc LETKF như (31) vậy có thể được tóm tắt như sau:

- Bước 1: tại mỗi điểm nút lưới, chọn một vùng thể tích lân cận bao xung quanh điểm nút đó để xây dựng ma trận nhiễu nền địa phương

; là hàm giá trong không trong đó gian mô hình. Hàm giá sẽ được cực tiểu hóa nếu w là trực giao với không gian con rỗng của toán tử Xf. Lấy đạo hàm của theo w,

làm cực tiểu chúng ta sẽ thu được giá trị hóa hàm giá (31) như sau:

(32) - Bước 2: Trong mỗi thể tích lân cận, tìm tất cả các quan trắc bên trong thể tích lân cận này và xây dựng ma trận quan trắc nhiễu nền (nếu H trong đó là toán tử tuyến tính, khi đó ). (33)

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

26

Đồng thời xây dựng ma trận sai số quan trắc R ứng với các quan trắc bên trong thể tích;

- Bước 3: Tính ma trận sai số hiệp biến biến theo (34) và sau đó ma trận trọng số K đổi theo (35);

- Bước 4: Cập nhật giá trị trung bình tổ hợp

Hình 2. Minh họa sơ đồ hệ thống dự báo tổ hợp WRF-LETKF.

địa phương theo (36);

- Bước 5: Tính ma trận nhiễu phân tích Xa để thu được tổ hợp theo (39) và cộng vào

phân tích lân cận mới ( );

- Bước 6: Chọn điểm giữa của vector tổ hợp và gán điểm này vector phân tích lân cận

cho điểm nút lưới chọn ở bước 1

- Bước 7: Quay trở lại bước 1 và lặp cho đến hết tất cả các điểm nút lưới.

Có thể nhận thấy dễ dàng trong các bước tính toán ở phía trên rằng các điểm nút lưới khác nhau được thực thi một cách hoàn toàn độc lập với nhau. Đây là một ưu điểm của lọc LETKF vì chúng ta có thể song song hóa bộ lọc này một cách hiệu quả bằng cách chia các phần công việc độc lập cho các lõi tính toán khác nhau. Điều này cho phép tăng tính hiệu quả tính toán lên rất nhiều so với SEnKF.

4. Hệ thống dự báo WRF-LETKF

Số liệu quan trắc đầu tiên sẽ được xử lý kiểm định chất lượng thông qua bộ chương trình chuẩn WRFDA cho trong mô hình WRF. Quá trình kiểm định chất lượng này sẽ xác định các sai số cho các mực và các biến quan trắc tương ứng. Số liệu quan trắc sau khi được kiểm định sẽ được kết hợp với số liệu dự báo tổ hợp hạn rất ngắn 12 giờ từ chu trình dự báo trước để tạo ra một bộ các nhiễu phân tích thông qua bộ lọc LETKF. Tại chu trình này, do số liệu dự báo toàn cầu GFS được phát báo và tải về sẽ được chương trình tiền xử lý và nội suy về lưới mô hình. Trường dự báo GFS sau đó sẽ được cộng với nhiễu phân tích tạo ra bởi lọc LETKF để tạo ra một tổ hợp các trường phân tích cùng với điều kiện biên tương ứng của các trường phân tích này. Bộ các đầu vào và biên tạo ra trong bước này sẽ được đưa vào mô hình WRF để dự báo thời tiết với hạn tùy ý. Song song với quá trình dự báo thời tiết được xác định trước này, mô hình WRF cũng sẽ lưu trữ một tổ hợp các dự báo rất ngắn 12 giờ để làm trường nền cho dự báo tiếp theo. Quá trình dự báo và tổ hợp như trên được liên tục lặp lại đều đặn một ngày 2 lần (hoặc có thể lên đến 4 lần nếu hệ thống tính toán cho phép).

Để thử nghiệm quá trình đồng hóa trong hệ thống WRF-LETKF, chúng tôi chọn một tình huống giả định trong đó số liệu gió vệ tinh MTSAT được đồng hóa và đưa vào mô hình. Hình 3 chỉ ra gia số quan trắc (vectors màu đen) Trong nghiên cứu này, chúng tôi xây dựng thử nghiệm bộ lọc LETKF cho mô hình thời tiết phổ dụng nhất hiện nay là mô hình WRF. Việc thiết kế hệ thống này, tạm gọi là WRF-LETKF, được phát triển theo quy trình ứng dụng nghiệp vụ chuẩn với tất cả các quá trình vào ra, cập nhật số liệu, xử lý đồng hóa, kiểm tra chất lượng quan trắc, tạo điều kiện biên tổ hợp, và dự báo tổ hợp được tiến hành một cách tự động và đồng bộ hóa theo thời gian thực. Sơ đồ thiết kế hệ thống được biểu diễn minh hóa như trong Hình 2.

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

27

tiết, đặc biệt là các hiện tượng thời tiết có độ bất định cao như mưa lớn hay bão.

Lời cảm ơn

và gia số phân tích (vectors màu đỏ) thu được sau khi sử dụng lọc LETKF cho khu vực Biển Đông. Có thể nhận thấy là gia số quan trắc nắm bắt tốt phân bố gió quan trắc tại các khu vực có số liệu. Điều này cho thấy tiềm năng của LETKF trong việc nâng cao chất lượng của bản tin dự báo. Các so sánh và phân tích chi tiết hơn sẽ được công bố trong các nghiên cứu tiếp theo. Đề tài được tài trợ bới quỹ nghiên cứu khoa học, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội (Mã số TN-11-33).

[1] L.F. Richardson, 1922: Weather prediction by numerical process. Cambridge University Press, Cambridge. Reprinted by Dover (1965, New York).

[2] G. J. Haltiner, R. T. Williams, Numerical prediction and dynamic meteorology, John Wiley and Sons, New York, 1982.

[3] T. N. Krishnamurti, L. Bounoa, An introduction to numerical weather prediction techniques. CRC Press, Boca Raton, FA., 1996.

[4] E. Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability. Cambridge University Press, 2003, 512p.

[5] N. Phillips, 1960a: On the problem of the initial data for the primitive equations, Tellus, 12, 121- 126.

Hình 3. Phân bố mặt cắt ngang của gia số gió quan trắc (vectors màu đen) thu được từ vệ tinh MTSAT 7 sau khi đã qua quá trình xử lý sai số bởi trung tâm ESSC/CIMSS, và gia số phân tích thu được từ bộ lọc LETKF (vectors màu đen) tại khu vực biển Đông lúc 1200 UTC 18 Tháng Bảy 2011.

[6] R. Daley, Atmospheric data analysis. Cambridge

University Press, Cambridge, 1991.

Tài liệu tham khảo

[7] J. G. Charney, The use of the primitive equations of motion in numerical prediction, Tellus 7 (1955) 22.

[8] N. A. Phillips, 1960b: Numerical weather prediction. Adv. Computers, 1, 43-91 Kalnay 2004

[9] P. Courtier, O. Talagrand, Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equations, Part II, Numerical results. Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 113 (1987) 1329. [10] P. Courtier, O. Talagrand, Variational assimilation of meteorological observations with the direct and adjoint shallow water equations. Tellus. 42A (1990) 531.

spectral

[11] D. F. Parrish, J. D. Derber, The National statistical Meteorological Center interpolation analysis system. Mon. Wea. Rev. 120 (1992) 1747.

5. Kết luận

Trong bài nghiên cứu này, chúng tôi đã trình bày chi tiết về bộ lọc Kalman và một số biến thể mở rộng của lọc Kalman có tính áp dụng thực tiễn cao trong các bài toán dự báo thời tiết. Một biến thể mới nhất của lọc Kalman là biến thể lọc Kalman tổ hợp biến đổi địa phương hóa sau đó đã được xem xét ứng dụng thử nghiệm cho mô hình WRF. Một số kết quả ban đầu cho thấy bộ lọc Kalman tổ hợp này có thể nắm bắt tốt trường quan trắc gió vệ tinh, và cho thấy tiềm năng ứng dụng cao của biến thể này trong việc nâng cao chất lượng dự báo thời

K.Q. Chánh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ 27, Số 1S (2011) 17-28

[12] M.

Regional

Zupanski,

4-dimensional in a quasi- variational data assimilation operational forecasting environment. Mon. Wea. Rev. 121 (1993) 2396.

[13] A. C. Lorenc, Development of an Operational variational assimilation scheme. J. Met. Soc. Japan 75 (1997) 339.

[20] T.M. Hamill, J. S. Whitaker, C. Snyder, 2001: filtering of background Distance-dependent error covariance estimates in an ensemble Kalman filter. Mon. Wea. Rev. 129 (2001) 2776. [21] P.L. Houtekamer, H. L. Mitchell, Ensemble Kalman filtering, Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 131C (2005) 3269-3289.

28

[14] O. Talagrand, Assimilation of observations, an introduction. J. Met. Soc. Japan Special Issue 75, 1B (1997) 191.

[22] P. L. Houtekamer, H. L. Mitchell, G. Pellerin, M. Buehner, M. Charron, L. Spacek, B. Hansen, 2005: Atmospheric data assimilation with an ensemble Kalman filter: Results with real observations. Mon. Wea. Rev., 133 (2005) 604.

[15] A. C. Lorenc, Development of an operational variational assimilation scheme. J. Met. Soc. Japan 75 (1996) 339.

[23] B. R. Hunt, E. Kostelich, I. Szunyogh, Efficient data assimilation for spatiotemporal chaos: a local ensemble transform Kalman filter, Physica D, 230, (2007) 112.

[24] Kiều, C. Q., Ước lượng sai số mô hình trong bộ lọc Kalman bằng phương pháp lực nhiễu động, Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Tự nhiên và Công nghệ , Tập 26, số 3S (2010) 310. [25] H. Li, Doctoral Thesis, University of Maryland,

2009, 189p.

[16] G. Evensen, Sequential data assimilation with a nonlinear quasigeostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics, J. Geophys. Res. 99 (C5) (1994) 10143-10162. [17] C. Snyder, F. Zhang, Assimilation of simulated Doppler radar observations with an Ensemble Kalman filter. Mon. Wea. Rev., 131 (2003) 1663. [18] M. K. Tippett, J. L. Anderson, C. H. Bishop, T. M. Hamill, J. S. Whitaker, Ensemble square root filters. Mon. Wea. Rev., 131 (2003) 1485.

[26] T. M. Hamill, J. S. Whitaker, Accounting for the error due to unresolved scales in ensemble data assimilation: A comparison of different approaches. Mon. Wea. Rev. 133 (2005) 3132.

[19] J. S. Whitaker, T. M. Hamill, Ensemble data assimilation without perturbed observations. Mon. Wea. Rev., 130 (2002) 1913.

Overview of the Ensemble Kalman Filter and Its Application to the Weather Research and Forecasting (WRF) model Kieu Quoc Chanh Faculty of Hydro-Meteorology & Oceanography, Hanoi University of Science, VNU, 334 Nguyen Trai, Hanoi, Vietnam

In this study, details of the Kalman filter algorithm and its potential applications in weather prediction models are presented. An ensemble version of the Kalman filter, the so-called Local Ensemble Transform Kalman Filter (LETKF), is then overviewed and implemented in the Weather Research and Forecasting Model (WRF). Preliminary results show that this local version of the Kalman filter can capture well satellite atmospheric wind motions. This indicates some potential of the ensemble Kalman filter in real-time weather applications.

Keywords: ensemble data assimilation, Kalman filter, numerical weather prediction.