Chuyên đ 1: BI N Đ I Đ NG NH T Ế ề
Các ví d và ph ng pháp gi ụ Ổ Ồ ươ Ấ i ả
2
2
+
ử
+3
n
n
ứ )1
) -+ 1 + x
( xa x
1
- - a. b. . Ví d 1ụ : Phân tích đa th c thành nhân t ( ax x
2
2
ử - chung x = ) = - - - -
n
=
+
x
x
2
2
( (
[
=
chung r i s d ng h ng đ ng th c ứ ồ ử ụ ằ ẳ - - - -
) +++ 1
x
] 1
( n xx
)( 1
x
x +
+
n
1
2
n
n
+
=
- - -
)( 1
x
x
x
-
: Gi i: ả a. Dùng ph ng pháp đ t nhân t ươ ặ ( ) ( )1 -+ + 2 -+ 2 xa ax 1 ax xaa ( ) ( ( )1- )( = ax axax ax ax ng pháp đ t nhân t b. Dùng ph ử ặ ươ ) ( )1 +3 + xx n 13 n . 1 x x ) ) ) ( ( = +++ n xx x x 1 1 1 )1 ( + + ứ
x Ví d 2ụ : Phân tích đa th c thành nhân t
ử
a. x8 + 3x4 + 4. b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 .
ng pháp tách h ng t ử ồ ử ụ r i s d ng h ng đ ng th c ứ ằ ẳ ạ ươ
2
2
4
2
]
+
chung ,tách h ng t ạ ử ể ử ụ ,nhóm thích h p đ s d ng ợ ử ươ
) 1
2
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
- -
x (
[
(
+
=
+
+
) 1
x
x
x
x
x
) 1
] 1
2
2
2
( ) 1 +
x +
=
Gi i: ả a.Dùng ph x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) b.Dùng ph ng pháp đ t nhân t ặ h ng đ ng th c ứ ẳ ằ x6 - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) ) = ++ 1 ( - - -
-
] = ]2
2
x
x
x
x
2
2
+ - - - 2 bc 4 abc
+
: ử 2 ac +
[ ( 2 [ ( ) 1 [ ) ( 1 Ví d 3: ụ Phân tích đa th c thành nhân t ứ + + 4 ab 2007 2 x
2 a. 2 ba + 4 b. x
2 ca 2006
x
2 4 cb 2007
2
+
+
2 ba
4
2 ca
4
ợ ươ 2 - - - Gi i: ả a.Dùng ph 2 ab r i nhóm thích h p: ng pháp tách h ng t ử ồ ạ + 2 2 4 cb 2 bc ac abc
2
2
2
+
+
+
2 ba
ab
2 ca
ac
2 bc
abc
2
2
2
2 4 cb +
4 +
=
2 =
4 +
- - -
2
2
2 4 cb )
2 abc )
ab )
abc ) +
+
+
=
+
- - - -
2 b
2 b
2
[
2 b )
)
]
ac ( 2 ac ) ( =
2 b +
2 ba ( aab +
2 ca ( aac +
=
- -
a
2 bc ( 2 abc ( ) 2 cbab 2
2 bc
( cbc
2
2 b
a
2
2 ( (
+
=
- - - - -
2 b
a
4 + )( ab ac c )cacb )( )( 2 b.Dùng ph ươ
- -
4
2
(
2
2
4
x (
=
ẳ -
+
+
+
) 1
x
x
x
2007 2 x
2007
x
206
2
2
x ( xx (
2007 )
=
-
x
x
2007 3
3
+
+
- ng pháp đ t nhân t chung r i s d ng h ng đ ng th c ặ ồ ử ụ ứ ằ ử ) = + + + x x 2007 2007 2007 )( ) +++ ++ x x 1 1 )( ++ + x 1
x ử
a
b
c
33
abc
3
3
3
- : a.
- - - ứ 3 c
2
+
ứ
b
- . ẳ )ab
]ab
( (
=
+ ba
3
3
3
3
+
+
Ví d 4:ụ Phân tích đa th c thành nhân t b. ( ) ++ b cba i: S d ng các h ng đ ng th c Gi ằ ử ụ ả ( = + + 3 3 2 a b [ ) ( = + baba ) 3 -
+
+
2
c 2
- - -
] ]
(
3 abc )
b c ++
a =
( ) baab 3 ++
2
2
2
+ - - .Do đó: ) ( + 3 ba ) ( + cba c
3
3
]
)
(
2
2
2
a )
+
+ cb +
) 3 )
++ + - - - bc b 3 c 3 ab = 3 - - - - -
c
bc
( ( = b. ( ( = (
+
[ ( b c ) ( ++ cbaa ) =
a +
+
a )( aba ) + 2 - 3 )baab ( + 3 [ = = abc 3 [ ) ) ( + bacba )( + acba ) ++ 3 cba [ ) ( + ++ cbacb )( 3 2 a
- -
a )( + bcb )bac )( + +
+ cb
3 bc
3 cbaab )ca ++ cba ] ( + 2 ( )( 3 acb
= + 3 ab 3 ca Ví d 5ụ : Cho a + b + c = 0. Ch ng minh r ng :a ằ
3
3
3
3
3
(
)
)
-=
+
+
+
-=
ứ
a
c
3
3
3
3
3
3
3 + b3 + c3 = 3abc. + ba c +
+
( 3 baab + +
=
b
a
c
b (cid:222)= 0
3 abc
c
3 abc
a
b ab
=
P
2
(cid:222) (cid:222) Gi i: Vì a + b + c = 0 ả - (cid:222)
24 a
b
-
Ví d 6ụ : Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính 2 + b2 = 5ab (cid:219) i: Bi n đ i 4a 4a2 + b2 - 5ab = 0 Gi ả ổ (cid:219)
=
=
=
ế ( 4a - b)(a - b) = 0 (cid:219) 2
P
ab 2
2
2
4
a
b
a 3 a
Do đó - a = b. 1 3
2
2
2
+
=
+
+
=
+
=
+
+
;0
1
ứ ằ
1
;
2
2
2
y b
b y
x a
y b
z c
+
+
thì
z c ayz
+
+
=
+
+
(cid:222)= 0
ayz
bxz
cxy
0
(cid:222)= 0
c z b y
a x
bxz xyz
c z
ế Ví d 7ụ :Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Ch ng minh r ng n u: a x x a cxy Gi i: ả
2
+
+
+
+
(cid:222)= 1
x a
y b
z c
x a
y b 2
z c 2
2
+
+
ayz
cxy
=
=
+
+
+
1
.2
2
2
2
bxz abc
z c
2
2
2
+
+
=
(cid:246) (cid:230) (cid:247) (cid:231) ł Ł
1
2
2
2
x a x a
y b y b
z c
(cid:222)
ự ệ
2
: Bài t p v n d ng - T luy n ậ ậ ụ 1. Phân tích đa th c thành nhân t ử ứ
2
2
-
3
- -
x x x x
- x + x 8 6 x 2 x
- a. b. c. d.
2
2
)
(
: ử
) 15
x
x
x
12 + 15 16 ++ 3 x 2. Phân tích đa th c thành nhân t ứ ( 2 2 x 3. Phân tích đa th c thành nhân t ử ứ 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3. 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc. 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz.
2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14.
- - - - .
3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
ỏ
ứ ằ
6. Ch ng minh r ng n u x + y + z = 0 thì : 4. Tìm x,y th a mãn: x 5. Cho a +| b + c + d = 0. Ch ng minh r ng a ế ứ ằ
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. Ch ng minh r ng v i x,y nguyên thì : ứ ằ ớ
là s chính ph ng. A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) ươ
+
)1
) 1
ab
=++
ứ ể - - - ố 8. Bi ế ( ) -+ 2 aa 1 t a - b = 7. Tính giá tr c a bi u th c sau: ị ủ ( ( + 2 bb baab 3
x
1
2
2
2
y +
z +
=
x
y
z
1
3
3
3
+
+
=
x
y
z
1
(cid:236) (cid:239) (cid:237) . Hãy 9. Cho x,y,z là 3 s th a mãn đ ng th i: ố ỏ ồ ờ (cid:239) (cid:238)
17
9
(
+
(
+
ứ
x
y
) 1
z
) 1997 1
- - - ị ế P = ( . tính giá tr bi u th c ) 1
2
2
2
2
2
+
+
2 1
++ ...
2
3
4
99
2 101
10. - - - .
2005 + (y - 1)2006 +
11.Cho 3 s x,y,z th a mãn đi u ki n a.Tính 100 b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53. Tính ab + bc + ca. ỏ ố ề ệ
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. ứ ế
=++
Hãy tính giá tr c a Bi u th c : S = (x-1) ị ủ (z+1)2007
1 a
1 b
1 c
1 ++ cba
12.Cho 3 s a,b,c th a đi u ki n : . ề ệ ố ỏ
Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008).
==========o0o==========
2
H Ẫ
+
)( 4 )( 3 +
- - -
3
2
+
- - - a. b. c.
x x x x
x + 82 x 2 6 x 2 x
)3
x
)8 2 x : ử
2
2
2
2
+
)(
=
(
)
(
)
- - d.
)3
x
15
5
2
x
x
x
x
x
x ử
- - - - - - - .
++
=
)ay
)( )( )( ( x xayaxy 2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc +
)(
)(
=
(
(
+
+
)accbba + + 3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz )x
)( zz
x
)( + yy 4. x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
2
(
+
NG D N: ƯỚ 1. Phân tích đa th c thành nhân t : ứ ử ( )3 = + x 12 x ( )5 = + + x 15 x )( ( = 16 x 2 x )( ( =++ + x x 1 3 2. Phân tích đa th c thành nhân t ứ ( 2 x 3. Phân tích đa th c thành nhân t ứ 1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3 - - -
x
) 1
y
2
) 2 |3 -= 3
( -+ z (
) 2 ) 3
)
- - (cid:219)
( 2 + ba
( + dc 3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd).
(cid:222) 5. T a + b + c + d = 0 Bi n đ i ti p ta ổ ế ế
3
3
đ c :a
3
y
3
2
3
3
2
2
2
2
2
x (
+
= )(
xyz +
+
+
)
=
+
+
)
x
x
y
y
5
5
5
2
2
2
y +
z +
(
x =
3 +
(
+
ừ ượ ế + 3 (cid:222) 6. N u x + y + z = 0 thì : + z
x
xy
x
y
z
5
5
5
2
2
2
(
y +
z +
z + (
xyz )
( xyz ) zx +
yz +
z + (
) +
+
- (cid:219) Như
2
x
xyz
yz
) ( ) *;
z
6
xyz
x
y
2
2
xy (
z +
y +
2 =
zx +
- (cid:219)
xyz
x
y
z
2
2
2
2
yz )
+ (
)
+
xyz 3 ) = )2 +
=
+
+
-
( xy ++ y
) zx (cid:222)= 0
x
z
xyz
xy
yz
zx
x
y
z
2 xyz ng: ( Thay (**) vào (*) ta đ
2 c:ượ
- (**)
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2).
7. V i x,y nguyên thì : ớ
2
(
) 22
A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
= + + x 5 5 y
2
(
)
(
+
+
xy
ab
( baab 3
) =+ 1
ba
ba
)1
- - - - -
x
3
3
3
=
y
x
z
1
3
3
3
3
(
)
=
+
+
+
(cid:236) (cid:237) 9. T ừ ổ 8. Bi n đ i ế ) ( ) ( -+ 2 2 bb 1 aa 1 =++ y z 1 + + (cid:238)
x
++ y
z
x
y
z
( 3
x
)( yy
)( zz
)x
- - - (cid:222)
x
0
P
2-=
=+ y =+ z =+ x
y z
0 0
Ø Œ (cid:222) Œ Œ º
2; P = 14
10.
ứ 2 - b2 ; S -=5151 ứ
2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0
=++
thi 11. a. S d ng h ng đ ng th c a ẳ ằ b. S d ng h ng đ ng th c (a + b + c) ằ ẳ t suy ra: x ế ử ụ ử ụ T gi ừ ả
1 b
1 c
1 ++ cba
12. . : (a + b)(b + c)(c + a) = 0 T : ừ
1 a ượ
Tính đ c Q = 0
==========o0o==========
