CHUYÊN Đ ĐNG TRÒNỀ ƯỜ
B I D NG MÔN TOÁN 9 – Năm h c 2022-2023Ồ ƯỠ ọ
I/ Nh ng ki n th c c b n :ữ ế ứ ơ ả
1) S xác đnh và các tính ch t c b n c a đng tròn :ự ị ấ ơ ả ủ ườ
-T p h p các đi m cách đu đi m O cho tr c m t kho ng không đi R g i là đngậ ợ ể ề ể ướ ộ ả ổ ọ ườ
tròn tâm O bán kính R , kí hi u là (O,R) .ệ
-M t đng tròn hoàn toàn xác đnh b i m t b i m t đi u ki n c a nó . N u AB là đo nộ ườ ị ở ộ ở ộ ề ệ ủ ế ạ
cho tr c thì đng tròn đng kính AB là t p h p nh ng đi m M sao cho góc AMB =ướ ườ ườ ậ ợ ữ ể
900 . Khi đó tâm O s là trung đi m c a AB còn bán kính thì b ng .ẽ ể ủ ằ
-Qua 3 đi m A,B ,C không th ng hàng luôn v đc 1 đng tròn và ch m t mà thôi .ể ẳ ẽ ượ ườ ỉ ộ
Đng tròn đó đc g i là đng tròn ngo i ti p tam giác ABC .ườ ượ ọ ườ ạ ế
-Trong m t đng tròn , đng kính vuông góc v i m t dây thì đi qua trung đi m dây đó .ộ ườ ườ ớ ộ ể
Ng c l i đng kính đi qua trung đi m c a m t dây không đi qua tâm thì vuông gócượ ạ ườ ể ủ ộ
v i dây đó .ớ
-Trong đng tròn hai dây cung b ng nhau khi và ch khi chúng cách đu tâm . ườ ằ ỉ ề
-Trong m t đng tròn , hai dây cung không b ng nhau , dây l n h n khi và ch khi dâyộ ườ ằ ớ ơ ỉ
đó g n tâm h n .ầ ơ
2) Ti p tuy n c a đng tròn :ế ế ủ ườ
-Đnh nghĩa : Đng th ng đc g i là ti p tuy n c a đng tròn n u nó có m t đi mị ườ ẳ ượ ọ ế ế ủ ườ ế ộ ể
chung v i đng tròn . Đi m đó đc g i là ti p đi m .ớ ườ ể ượ ọ ế ể
-Tính ch t : Ti p tuy n c a đng tròn vuông góc v i bán kính t i ti p đi m . Ng cấ ế ế ủ ườ ớ ạ ế ể ượ
l i , đng th ng vuông góc v i bán kính t i giao đi m c a bán kính v i đng trònạ ườ ẳ ớ ạ ể ủ ớ ườ
đc g i là ti p tuy n .ượ ọ ế ế
-Hai ti p tuy n c a m t đng tròn c t nhau t i m t đi m thì đi m đó cáchế ế ủ ộ ườ ắ ạ ộ ể ể đn hai ti pế ế
đi m ; tia k t đi m đó đi qua tâm là tia phân giác c a góc t o b i hai ti p tuy n ; tia kể ẻ ừ ể ủ ạ ở ế ế ẻ
t tâm đi qua đi m đó là tia phân giác c a góc t o b i hai bán kính đi qua các ti p đi m .ừ ể ủ ạ ở ế ể
-Đng tròn ti p xúc v i 3 c nh c a m t tam giác g i là đng tròn n i ti p c a tamườ ế ớ ạ ủ ộ ọ ườ ộ ế ủ
giác đó . Tâm c a đng tròn n i ti p tam giác là giao c a 3 đng phân giác c a tamủ ườ ộ ế ủ ườ ủ
giác .
-Đng tròn bàng ti p c a tam giác là đng tròn ti p xúc v i m t c nh và ph n kéo dàiườ ế ủ ườ ế ớ ộ ạ ầ
c a hai c nh kia .ủ ạ
3) V trí t ng đi c a hai đng tròn :ị ươ ố ủ ườ
-Gi s hai đng tròn ( O;R) và (O’;r) có R ≥ r và d = OO’ là kho ng cách gi a hai tâm .ả ử ườ ả ữ
Khi đó m i v trí t ng đi gi a hai đng tròn ng v i m t h th c gi a R , r và d theoỗ ị ươ ố ữ ườ ứ ớ ộ ệ ứ ữ
b ng sau :ả
V trí t ng điị ươ ố S đi m chungố ể H th cệ ứ
Hai đng tròn c t nhauườ ắ 2 R – r <d < R + r
Hai đng tròn ti p xúcườ ế 1 d = R + r ( d = R – r )
Hai đng tròn không giao nhauườ 0 d > R + r ( d < R – r )
-Hai đng tròn ti p xúc nhau khi và ch khi ti p đi m n m trên đng n i tâm .ườ ế ỉ ế ể ằ ườ ố
-N u hai đng tròn c t nhau thì đng n i tâm vuông góc v i dây cung chung và chiaế ườ ắ ườ ố ớ
dây cung đó ra hai ph n b ng nhau .ầ ằ
4) Các lo i góc :ạ
a. Góc tâm :ở
-Đnh nghĩa : Là góc có đnh tâm đng tròn .ị ỉ ở ườ
-Tính ch t : S đo c a góc tâm b ng s đo c a cung b ch n .ấ ố ủ ở ằ ố ủ ị ắ
b. Góc n i ti p :ộ ế
-Đnh nghĩa : Là góc có đnh n m trên đng tròn và hai c nh c a góc ch a hai dây c aị ỉ ằ ườ ạ ủ ứ ủ
đng tròn đó .ườ
-Tính ch t : S đo c a góc n i ti p b ng n a s đo c a cung b ch n .ấ ố ủ ộ ế ằ ử ố ủ ị ắ
c. Góc t o b i m t tia ti p tuy n và m t dây đi qua ti p đi m :ạ ở ộ ế ế ộ ế ể
-Tính ch t : S đo c a góc t o b i m t tia ti p tuy n và m t dây b ng m t n a s đo c aấ ố ủ ạ ở ộ ế ế ộ ằ ộ ử ố ủ
cung b ch n .ị ắ
d. Góc có đnh n m bên trong đng tròn :ỉ ằ ườ
-Tính ch t : S đo c a góc có đnh n m bên trong đng tròn b ng n a t ng s đo c aấ ố ủ ỉ ằ ườ ằ ử ổ ố ủ
hai cung b ch n gi a hai c nh c a góc và các tia đi c a hai c nh y .ị ắ ữ ạ ủ ố ủ ạ ấ
e. Góc có đnh n m bên ngoài đng tròn :ỉ ằ ườ
-Tính ch t : S đo c a góc có đnh n m bên ngoài đng tròn b ng n a hi u s đo c aấ ố ủ ỉ ằ ườ ằ ử ệ ố ủ
hai cung b ch n gi a hai c nh c a góc .ị ắ ữ ạ ủ
5) Qu tích cung ch a góc :ỹ ứ
-Qu tích nh ng đi m M nhìn đo n th ng AB c đnh d i m t góc ỹ ữ ể ạ ẳ ố ị ướ ộ không đi là haiổ
cung tròn đi x ng nhau qua AB g i là cung ch a góc ố ứ ọ ứ d ng trên đo n th ng AB . Đc bi t làự ạ ẳ ặ ệ
cung ch a góc 90ứ0 là đng tròn đng kính AB .ườ ườ
-D ng tâm O c a cung ch a góc trên đo n AB :ự ủ ứ ạ
oD ng đng trung tr c d c a AB .ự ườ ự ủ
oD ng tia Ax t o v i AB m t góc ự ạ ớ ộ , sau đó d ng Ax’ vuông góc v i Ax .ự ớ
oO là giao c a Ax’ và d .ủ
6) T giác n i ti p đng tròn :ứ ộ ế ườ
-Đinh nghĩa : T giác có 4 đnh n m trên đng tròn .ứ ỉ ằ ườ
-Tính ch t : Trong m t t giác n i ti p , t ng s đo hai góc đi di n b ng 2 góc vuông .ấ ộ ứ ộ ế ổ ố ố ệ ằ
Ng c l i , trong m t t giác có t ng 2 góc đi di n b ng 2 góc vuông thì t giác đó n i ti pượ ạ ộ ứ ổ ố ệ ằ ứ ộ ế
m t đng tròn .ộ ườ
7) Chu vi đng tròn , cung tròn , di n tích hình tròn , qu t tròn :ườ ệ ạ
-Chu vi hình tròn : C = 2R
-Di n tích hình tròn : ệS = R2
-Đ dài cung tròn :ộ l =
-Di n tích hình qu t tròn : ệ ạ S =
8) Tính bán kính đng tròn n i ti p , ngo i tíêp , bàng ti p đa giác ườ ộ ế ạ ế
a. Bán kính đng tròn n i ti p đa giác đu n c nh :ườ ộ ế ề ạ
R = r =
b. Bán kính đng tròn ngo i ti p đa giác đu n c nhườ ạ ế ề ạ
r =
c. Bán kính đng tròn n i ti p tam giác (R) :ườ ộ ế
R =
R =
Vi tam giác vuông t i A : R = ớ ạ
V i tam giác đu c nh a : R = ớ ề ạ
d. Bán kính đng tròn ngo i ti p tam giác (r) :ườ ạ ế
r = v i ( 2p = a+b+c )ớ
V i tam giác vuông t i A : r = ớ ạ
V i tam giác đu c nh a : r = ớ ề ạ
e. Bán kính đng tròn bàng ti p gườ ế óc A tam giác (ra) :
( ra là bán kính đng tròn bàng ti p góc A )ườ ế
V i tam giác vuông t i A : rớ ạ a =
V i tam giác đu c nh a : rớ ề ạ a =
II/ Bài t p v n d ngậ ậ ụ
1) Bài t p d ng v tính ch t c a đng trònậ ụ ề ấ ủ ườ :
a. ng d ng tính ch t c a đng trònỨ ụ ấ ủ ườ :
S d ng tính ch t c a đng tròn v quan h đng kính và dây cung ; dây cung vàử ụ ấ ủ ườ ề ệ ườ
kho ng cách đn tâm đ ch ng minh hai đng th ng vuông góc , so sánh hai đo nả ế ể ứ ườ ẳ ạ
th ng .ẳ
S d ng đng kính là dây cung l n nh t c a đng tròn đ đ xác đnh v trí c a m tử ụ ườ ớ ấ ủ ườ ể ể ị ị ủ ộ
đng th ng , m t đi m đ có hình đc bi t ho c là áp d ng đ gi i các bài toán v c cườ ẳ ộ ể ể ặ ệ ặ ụ ể ả ề ự
tr .ị
b. Các ví dụ :
Bài 1 : Trong đng tròn (O) k hai bán kính OA và OB tùy ý và m t dây MN vuông góc v iườ ẻ ộ ớ
phân giác Ox c a góc AOB c t OA F và OB G . Ch ng t r ng MF = NG và FA = GB .ủ ắ ở ở ứ ỏ ằ
H ng d n ch ng minh :ướ ẫ ứ
S d ng tính ch t đng kính dây cung ch ng minh : HM = HNử ụ ấ ườ ứ
Ch ng minh tam giác OFG cân đ : HF = HG ; OF = OGứ ể
T hai đi u trên suy ra đi u ph i ch ng minh .ừ ề ề ả ứ
Bài 2 : Cho hai đng tròn đng tâm nh hình v . So sánh các đ dài :ườ ồ ư ẽ ộ
a) OH và OK
b) ME và MF
c) CM và MK
N u bi t ế ế
AB > CD
AB = CD
AB < CD
Bài 3 : Cho (O) và đi m I n m bên trong đng tròn . Ch ng minh r ng dây AB vuông góc v iể ằ ườ ứ ằ ớ
OI t i I ng n h n m i dây khác đi qua I . ạ ắ ơ ọ
H ng d n ch ng minh :ướ ẫ ứ
K dây CD b t kì đi qua I không trùng v i AB .ẻ ấ ớ
Nh m i liên h gi a dây và kho ng cách t tâm đn dây , ta k OK vuông góc v i CD .ờ ố ệ ữ ả ừ ế ẻ ớ
OI > OK nên AB < CD .
* T bài t p trên chúng ta th y n u bán kính đng tròn b ng R và OI = d chúng ta cóừ ậ ấ ế ườ ằ
th h i :ể ỏ
- Tính đ dài dây ng n nh t đi qua I ?ộ ắ ấ
- Tính đ dây dài nh t đi qua I ?ộ ấ
Bài 4 : Cho (O;R) và đi m M n m ngoài đng tròn . Hãy d ng cát tuy n MPQ v i đng trònể ằ ườ ự ế ớ ườ
sao cho MP = MQ .
H ng d n :ướ ẫ
Phân tích : Gi s d ng đc hình th a mãn đ bài . K OI vuông góc v i PQ . ả ử ự ượ ỏ ề ẻ ớ
Ta có :
K PN vuông góc MQ ta th y và P là giao c a đng tròn đng kính MN và (O)ẻ ấ ủ ườ ườ
Cách d ng :ự D ng đi m N r i d ng đi m P…ự ể ồ ự ể
2) Bài t p v ti p tuy n c a đng trònậ ề ế ế ủ ườ :
a. ng d ng c a ti p tuy nỨ ụ ủ ế ế :
-T các tính ch t c a ti p tuy n , c a hai ti p tuy n c t nhau ta ch ra đc các đngừ ấ ủ ế ế ủ ế ế ắ ỉ ượ ườ
th ng vuông góc , các c p đo n th ng và các c p góc b ng nhau ; cũng t đó ta xây d ngẳ ặ ạ ẳ ặ ằ ừ ự
đc các h th c v c nh , v góc .ượ ệ ứ ề ạ ề
-T tính ch t c a ti p tuy n chúng ta có th v n d ng vào tam giác tìm ra công th c tínhừ ấ ủ ế ế ể ậ ụ ứ
di n tích c a đng tròn n i ti p , đng tròn ngo i ti p và đng tròn bàng ti p tamệ ủ ườ ộ ế ườ ạ ế ườ ế
giác , cũng nh bán kính .ư
-L u ý :ư Ch ng minh Ax là ti p tuy n c a (O;R) chúng ta làm theo m t trong các cách sauứ ế ế ủ ộ
:
A (O;R) và góc OAx = 900 .
Kho ng cách t O đn Ax b ng R .ả ừ ế ằ
N u X n m trên ph n kéo dài c a EF và XAế ằ ầ ủ 2 = XE.XF
( xem hình ) .
Góc EAX = góc AEF .
b. Các ví dụ :
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông t i A . G i O là tâm đng tròn ngo i ti p tam giác ABC ; d làạ ọ ườ ạ ế
ti p tuy n c a đng tròn t i A . Các ti p tuy n c a đng tròn t i B và C c t d theo th t ế ế ủ ườ ạ ế ế ủ ườ ạ ắ ứ ự ở
D và E .
b.a) Tính góc DOE .
b.b)Ch ng minh : DE = BD + CE .ứ
b.c) Ch ng minh : BD.CE = Rứ2 ( R là bán kính đng tròn tâm O )ườ
b.d)Ch ng minh BC là ti p tuy n c a đng tròn có đng kính DE .ứ ế ế ủ ườ ườ
H ng d n ch ng minh :ướ ẫ ứ
a) S d ng tính ch t ti p tuy n ta ch ng minh đc :ử ụ ấ ế ế ứ ượ
b) S d ng tính ch t ti p tuy n ta ch ng minh đc :ử ụ ấ ế ế ứ ượ
DE = DA + EA = BD + EC
c) S d ng tính ch t ti p tuy n ta có : BD.CE = DA.EA .ử ụ ấ ế ế
Áp d ng h th c l ng trong tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OAụ ệ ứ ượ 2 = R2
d) Trung đi m I c a DE là tâm đng tròn ngo i ti p tam giác vuông DOE . Ta th y OI làể ủ ườ ạ ế ấ
đng trung bình c a hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI ườ ủ BC hay BC là
ti p tuy n đng tròn đng kính DE .ế ế ườ ườ
Bài 2 : Cho hai đng tròn ( O) và (O’) ti p xúc ngoài t i A . K các đng kính AOB ; AOC’ .ườ ế ạ ẻ ườ
G i DE là ti p tuy n chung c a 2 đng tròn ; D ọ ế ế ủ ườ ( O ) ; E ( O’) . G i M là giao đi m c aọ ể ủ
BD và CE .
a) Tính s đo góc DAE .ố
b) T giác ADME là hình gì ?ứ
c) Ch ng minh r ng MA là ti p tuy n chung c a hai đng tròn .ứ ằ ế ế ủ ườ