Một số bài tập chuyên đề hệ phương trình Đại số 9

Chia sẻ: Mentos Pure Fresh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Một số bài tập chuyên đề hệ phương trình Đại số 9 để hệ thống kiến thức cũng như rèn luyện và nâng cao khả năng tư duy giải Toán để chuẩn bị bước vào các kì thi quan trọng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số bài tập chuyên đề hệ phương trình Đại số 9

CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ A/ Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp thế Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn). Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia). 2. Phương pháp cộng đại số Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình kia). Chú ý: Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau. Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên. B/ Các dạng bài tập ax + by = c Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã ở dạng cơ bản a'x +b' y = c' Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp cộng và thế để đưa về pt bậc nhất một ẩn để giải Bài tập: Giải các phương trình sau: ￬ 2x + 3y = - 2 ￬￬￬ 4x + 3y = 6 D¹ng 1 a) ￬ b) ￬￬￬ 3x - 2y = - 3 ￬￬ 2x + y = 0 ￬x + y - 2 = 0 ￬a b ￬￬ + = - 1 ￬￬ D¹ng 2 a) ￬ 3 4 b) ￬ 5 3 3 ￬￬ 5x - y = 11 ￬￬ 4a - 5b - 10 = 0 ￬￬￬￬ 6(x + y ) = 8 + 2x - 3y ￬ (x - 1)(y - 2) = (x + 1)(y - 3) ￬ D¹ng 3: a) ￬ b) ￬￬￬￬ 5(y - x ) = 5 + 3x + 2y ￬￬ (x - 5)(y + 4) = (x - 4)(y + 1) ￬￬￬x 2 - y 3 = 1 ￬ ( 2 - 1)x - y = 2 ￬￬ D¹ng 4: a) ￬￬ b) ￬￬￬￬ x + y 3 = 2 ￬￬ x + ( 2 + 1)y = 1 ￬￬ Dạng 2: Hệ phương trình có một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai. a/ Phương pháp giải: Rút một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai ta đưa được về dạng hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai một ẩn => giải phương trình bậc hai một ẩn. b/ Ví dụ: giải hệ phương trình sau: x + 2y = 4 x = 4 − 2y x = 4 − 2y x = 4 − 2y x=2 ( 4 − 2y) 8 ( y − 1) = 0 y = 1 2 2 x + 4y = 8 2 2 + 4y −8 = 0 2 8 y − 16 y + 8 = 0 2 c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
￬x - y + 1 = 0 ￬ x - 5y = - 1 ￬￬ a) ￬ 2 2 b) ￬ 2 ￬￬ 2x - xy + 3y - 7x - 12y + 1 = 0 ￬￬ x + y 2 - 3xy + x + y = 10 ￬￬￬ x 2 + y 2 - 2x - 2y - 23 = 0 ￬ 3x 2 + 6xy - x + 3y = 0 ￬￬ c) ￬ d) ￬￬￬ x - 3y - 3 = 0 ￬￬ 4x - 9y = 6 ￬￬ Dạng 3: Hệ phương trình có một phương trình đưa được về dạng phương trình tích. A( x, y ).B ( x, y ) = 0 A( x, y ) = 0 B ( x, y ) = 0 a/ Cách giải: hoac rồi giải hai trường hợp. C( x, y ) = 0 C( x, y ) = 0 C( x, y ) = 0 Chú ý: Thông thường dạng này gồm một phương trình bậc nhất hai ẩn và một phương trình bậc hai nên ta có thể giải theo cách làm ở dạng 1: b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: ￬￬ x + y + xy + 1 = 0 ￬￬ ( x + 1) ( y + 1) = 0 ￬x + 1 = 0 ￬y + 1 = 0 ￬￬￬￬￬￬ hoặc ￬￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬￬￬￬￬x + 1 = 0 ￬x = - 1 ￬y + 1 = 0 ￬y = - 1 ￬￬￬ 1/ ￬￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬￬￬ y = - 12, 5 2/ ￬￬ 3x - 2y = 22 ￬￬￬ 20 ￬￬￬￬￬￬￬￬ x = ￬ 3 c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: ￬￬ x + y + xy + 1 = 0 ￬ (x + 2y + 1)(x + 2y + 2) = 0 ￬ a) ￬ 2 b) ￬￬￬ x + y 2 - x - y = 22 ￬￬ xy + y 2 + 3y + 1 = 0 ￬￬￬￬ (2x + 3y - 2)(x - 5y - 3) = 0 ￬ (x + y + 2)(2x + 2y - 1) = 0 ￬ c) ￬ d) ￬ 2 ￬￬ x - 3y = 1 ￬￬ 3x + 32y 2 + 5 = 0 ￬￬￬ (x + y )2 - 3(x + y ) + 2 = 0 ￬ (x - 1)2 - (y + 1)2 = 0 ￬￬ e) ￬ f) ￬￬￬ 3x - 5y - 5 = 0 ￬￬ 2x + 3y - 5 = 0 ￬￬ Dạng 4: Hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Chú ý: Cần sử dụng các phép biến đổi đồng nhất để đưa các hệ phương trình đã cho về dạng hệ phương trình đặt được ẩn phụ. x+2 2 + =6 x +1 y − 2 a/ Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: ĐKXĐ: x 1, y 2 5 1 − =3 x +1 y − 2 x+2 2 1 2 1 2 + =6 1+ + =6 + =5 x +1 y − 2 x +1 y − 2 x +1 y−2 5 1 5 1 5 1 − =3 − =3 − =3 x +1 y − 2 x +1 y − 2 x +1 y−2 1 1 Đặt u = , v = Hệ phương trình đã cho trở thành: x +1 y−2 u + 2v = 5 u =1 5u − v = 3 v=2 1 =1 x +1 = 1 x=0 x +1 Suy ra 1 1 5 (Thoả mãn ĐKXĐ) =2 y−2= y= y−2 2 2
5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: (x;y) = (0; ) 2 b/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: 1 1 x+2 2 1 + =6 1 x y 2 x +1 y − 2 + 2( x + y) = 3 1/ 2/ 3/ x 4 3 5 1 5 − =3 3x ( x + y ) − x = 2 x y 2 x +1 y − 2 2 5 2 x + y +1 x + 2y x x y + =2 3 x 2 y 2 4/ 5/ x + 2 y x + y + 1 6/ 3 1 2 x y 1 1,7 3x + y = 4 x x y 2 1 1 x 1 y 1 2 x − 6 + 3 y +1 = 5 x + y −3 =1 7/ 8/ 9/ 1 1 5 x − 6 − 4 y +1 = 1 y− x =3 2 x 1 y 1 3 5 3 2 17 + =2 + = ( x − y) + 3( x − y ) = 4 2 2x − y 2x + y x − 2 y −1 5 10/ 11) 12) 1 1 2 2x − 2 y + 2 26 2 x + 3 y = 12 − = + = 2 x − y 2 x + y 15 x − 2 y −1 5 Dạng 5: Hệ đối xứng loại I ( Là hệ phương trình vai trò của x và y là như nhau) f ( x; y ) = 0 trong đó f(x;y) = f(y;x), g(x;y) = g(y;x). g ( x; y ) = 0 a/ Cách giải: Tính tổng (hoặc tích) hai ẩn (đưa về phương trình ẩn phụ là tổng hoặc tích hai ẩn), tìm nốt tích (hoặc) tổng hai ẩn áp dụng hệ thức vi ét đưa về pt bậc 2 một ẩn…. b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình: 7 x + 7 y − 2 xy = 24 7 ( x + y ) − 2 xy = 24 7 ( x + y ) − 2 xy = 24 5 x + 5 y + xy = 5 5 ( x + y ) + xy = 5 10 ( x + y ) + 2 xy = 10 17 ( x + y ) = 34 x+ y =2 5 ( x + y ) + xy = 5 xy = −5 Do đó x; y là hai nghiệm của phương trình: X 2 − 2 X − 5 = 0 X = 1 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( 1 + 6;1 − 6 ) ; ( 1 − 6;1 + 6 ) c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: x2 y2 25 xy = 2 ￬ x + y + xy = 7 ￬ 1/ 2/ 3/ ￬ 2 xy 12 x 2 + y 2 − xy = 3 ￬￬ x + y 2 + xy = 13 ￬￬ x + y + xy = - 1 ￬ x 2 + y 2 - x - y = 102 ￬￬ 3(x + y ) = xy ￬￬ 4/ ￬ 2 5/ ￬ 6/ ￬ 2 ￬￬ x y + y 2x = - 6 ￬￬ xy + x + y = 69 ￬￬￬ x + y 2 = 160 ￬￬
￬ xy (x + 2)(y + 2) = 9 ￬￬ x 2 + y 2 + 2x (y - 3) + 2y (x - 3) + 9 = 0 ￬ 7/ ￬ 2 8/ ￬￬￬￬ x + y 2 + 2(x + y ) = 6 ￬￬ 2(x + y ) - xy + 6 = 0 ￬￬ x 2 + y 2 + xy = 1 ￬ x (x + 1) + y (y + 1) + xy = 17 ￬￬ 9/ ￬￬ 3 10/ ￬￬￬ x + y 3 = x + y ￬￬ (x + 1)(y + 1) = 8 ￬￬￬ x + y + xy = 5 ￬ xy + x + y = 11 ￬ xy + x + y = 7 ￬￬￬￬￬ 11/ ￬ 2 12/ ￬ 6 6 13/ ￬ x y 10 ￬￬ x + y 2 + xy = 7 ￬￬ + + xy = 11 ￬￬ + = ￬￬￬ x y ￬￬ y x 3 ￬ x 2 + y 2 = 52 ￬ 1 ￬ 1 ￬￬￬￬ x + =- 1 ￬￬ y + =- 5 ￬￬ x +y ￬￬ 2x - y 14/ ￬￬ 1 1 15/ ￬ x 16/ ￬ x ￬￬ + = 5 ￬￬￬￬￬￬ x y 12 ￬￬ =- 2 ￬￬ =6 ￬x +y ￬ 2x - y ￬x 3 + y 3 = 9 ￬￬x + y = 7 ￬ x y + y x = 30 ￬￬ 17/ ￬￬ 2 18/ ￬ 3 19/ ￬￬￬ x + y 2 = 5 ￬￬ x + y 3 = 133 ￬￬ x x + y y = 35 ￬￬￬ Dạng 6: Hệ đối xứng loại II ( Là hệ phương trình vai trò của x ở phương trình này là y của phương trình kia và ngược lại) f ( x; y ) = 0 trong đó f(x;y) = g(y;x). g ( x; y ) = 0 a/ Cách giải: Trừ hai vế của phương trình (1) cho hai vế của phương trình (2) để được một phương trình mới dạng: (x y).k(x; y) = 0. b/ Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x2 − x = y2 2 x2 − y 2 − x = 0 3x 2 − 3 y 2 − x + y = 0 2 y2 − y = x2 − x2 + 2 y2 − y = 0 2x2 − y 2 − x = 0 2 x2 − y2 − x = 0 2x2 − y 2 − x = 0 2x2 − y 2 − x = 0 hoac ( x − y ) ( 3x + 3 y − 1) = 0 x− y =0 3x + 3 y − 1 = 0 2x2 − y2 − x = 0 x2 − x = 0 x= y=0 1/ x− y =0 x= y x = y =1 2 1 − 3x 1+ 5 1− 5 2x − 2 − x = 0 9 x 2 − 3x − 1 = 0 x= x= 2x − y − x = 0 2 2 3 6 6 2/ 1 − 3x hoac 3x + 3 y − 1 = 0 1 − 3x y= 1− 5 1+ 5 y= 3 y= y= 3 6 6 Kết luận: Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm: ................... c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: ￬ 2x = y 2 - 4y + 5 ￬ y 2 = 2x + 3 ￬ x 2 - 2y 2 = 7x ￬￬￬￬ 1) ￬ 2 2) ￬￬ 2 3) ￬￬ 2 ￬￬ 2y = x - 4x + 5 ￬￬ x = 2y + 3 ￬￬ y - 2x 2 = 7y ￬￬￬￬￬ 2x 2 - 3xy = y 2 - 3x - 1 ￬￬ x 2 = 2 - y ￬￬ x 3 - 2y = 4 ￬ 4) ￬ 2 5) ￬￬ 2 6) ￬￬ 3 ￬￬ 2y - 3xy = x 2 - 3y - 1 ￬￬ y = 2 - x ￬￬ y - 2x = 4 ￬￬￬
￬￬ 2x 2 - 3x + 2 = y 2 ￬ x 3 = 5x + y ￬￬￬ x 3 = 2y - x 7) ￬￬ 2 8) ￬￬ 3 ￬ 9) ￬ 3 ￬￬ 2y - 3y + 2 = x 2 ￬￬ y = 5y + x ￬￬ y = 2x - y ￬￬￬￬￬ x 3 = 13x - 6y ￬￬ y 2 = x 3 - 4x 2 + 3x ￬￬ x 3 - 2y = 1 10) ￬ 3 ￬￬ 11) ￬ 2 12) ￬￬ 3 ￬￬ y = 13y - 6x ￬￬ x = y 3 - 4y 2 + 3y ￬￬ y - 2x = 1 ￬￬￬ ax 2 + bxy + cy 2 = 0 (1) Dạng 7: Hệ phương trình đẳng cấp: f ( x; y ) = 0 a/ Cách giải: Đặt y = xt ta đưa phương trình đẳng cấp (1) về dạng phương trình tích: x 2 ( at 2 + at + c ) = 0 x 2 + xy − 2 y 2 = 0 b/ Ví dụ: Giải hệ pt: x + 2 y2 = 3 Đặt y = xt ta có x ( 1 + t − 2t ) = 0 do x = 0 không phải là nghiệm nên 2t 2 − t − 1 = 0 t = 1 2 2 hoặc t = −0,5 +) Nếu t = 1 x = y 2 x 2 + x − 3 = 0 x1 = 1; x2 = −1,5 . +) Nếu t = 0,5 0,5x = y x 2 + 2 x − 6 = 0 x3 = −1 − 7; x4 = −1 + 7 . Từ đó tìm ra y. c/ Bài tập áp dụng: Giải các hệ phương trình sau: ￬￬ x 2 - 4xy + y 2 = 1 ￬￬ x 2 - xy + y 2 = 21 ￬￬ 3x 2 + 5xy - 4y 2 = 38 1) ￬￬ 2 2) ￬￬￬ 2 3) ￬￬ 2 ￬￬ y - 3xy = 4 ￬￬ y - 2xy + 5 = 0 ￬￬ 5x - 9xy - 3y 2 = 15 ￬￬￬ 3x 2 + y 2 = 5 ￬￬ 2x 2 + 3y 2 = 36 ￬ x 2 + 2xy + 3y 2 = 9 ￬￬ 4) ￬￬ 2 5) ￬￬￬ 2 6) ￬￬ 2 ￬￬ x - 3y 2 = 1 2 ￬￬ 3x + 7y = 37 ￬￬ 2x + 2xy + y 2 = 2 ￬￬￬ x 2 + 4xy - 2y 2 = 3 ￬ x 2 + 3xy = 54 ￬ 2x 2 - y 2 = 1 ￬￬￬ 7) ￬￬ 2 8) ￬￬ 9) ￬￬￬￬ 2x - xy + 3y 2 = 4 ￬￬ xy + 4y 2 = 115 ￬￬ xy + x 2 = 2 ￬￬￬ Dạng 8: Hệ phương trình không mẫu mực *Dùng phương pháp giải pt bậc hai của một ẩn, ẩn còn lại coi là tham số. x 2 − ( y − 1) x − y = 0 (1) Ví dụ: Giải hệ pt y 2 − 2 xy + 1 = 0 (2) c (1) là pt bậc 2 ẩn x ta có: a b + c = 1 + (y 1) y = 0 suy ra x1 = −1; x2 = =y a +)Với x = 1 suy ra y 2 + 2 y + 1 = 0 y = −1 . +)Với x = y suy ra y 2 − 2 y 2 + 1 = 1 − y 2 = 0 y = 1 . Vậy nghiệm của hệ là ( x; y ) = { ( −1; −1) , ( 1;1) } * Dùng tính chất tổng các bình phương mà bằng 0. x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz = 0 (1) Ví dụ: Giải hệ pt x + y + z = 3 (2) 0,5 ( x + y + z ) ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) ￹ = 0 ( x − y) + ( y − z) + ( z − x) = 0 2 2 2 2 2 2 (1) ￻ (vì x + y + z 0 ) suy ra x = y = z kết hợp với (2) ta có x = y = z = 1.
*Sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của bất đẳng thức: x + y =1 Ví dụ: Tìm x, y dương thoả mãn hệ: 1 8 ( x4 + y 4 ) + =5 xy Giải: Ta có: ( x − y ) 2 ( x2 + y2 ) ( x + y) . 2 2 0 x2 + y2 2 xy 1 1 Tương tự 2 ( x 4 + y 4 ) (x + y2 ) 2 ( x4 + y 4 ) 8 ( x4 + y 4 ) 2 ( x + y) = 2 4 1. 4 4 1 4 1 Mặt khác: xy =4 8 ( x4 + y 4 ) + 5 . Đẳng thức xảy ra khi x = y = 0,5 . ( x + y) 2 xy Vậy nghiệm của hệ pt trên là: ( x; y ) = ( 0,5; 0,5 ) . Một số hệ phương trình đã thi ở các năm. 1 1 1 x y 2 x2 y2 25 (Năm 19992000) (Năm 20012002) 4 3 xy 12 5 x y 2 2 5 2 x x y x( y 2) y 6 (Năm 2003 2004) (Năm 20042005) 3 1 x 2y 3 0 1,7 x x y xy 6 12 y2 x + y − 2 xy = 0 (Năm 20082009) ( Năm 20092010) xy 3 x2 x + y − x 2 y 2 = ( xy − 1) 2 + 1 x + y +1 x + 2y 1 1 + =2 + =4 x + 2 y x + y +1 (Năm 20102011) x y (Năm 2011 2012) 3x + y = 4 x(1 + 4y) + y = 2 x+2 2 1 1 + =6 + =1 x +1 y − 2 x y +1 (Năm 20122013) (Năm 20132014) 5 1 3 y − 1 = xy − =3 x +1 y − 2 x ( y + 2) + y = 6 x ( x + 1) + y ( y − 1) = 6 (Năm 20142015) (Năm 20152016) x + 2y − 3 = 0 x+ y =3 5 2y − 4 − =2 2x + 3y = xy + 5 x−2 y −3 (Năm 20162017) 1 1 (Năm 20172018) x+2 2 + =1 − =4 x y +1 x−2 y −3 4 xy − =3 x + 2y = 3 xy (Năm 20182019) (Dự bị 20152016) x2 + 2 y2 − 2 x + 3 y = 4 x (1 − y ) + 15 = 0 x −1 + 2 y = 5 (Dự bị 20142015) 2 x − 1 − 3 y = −4
C/ Những lỗi và khó khăn học sinh thường gặp phải khi học chuyên đề này. + Chưa xác định được dạng bài và phương pháp thực hiện đưa ra cách giải tương ứng.=> hình thành nên các dạng tổng quát cụ thể và hình thành các bước giải tương ứng cho các dạng. + Thiếu điều kiện xác định và quên đối chiếu điều kiện xác định dẫn đến kết luận nghiệm sai. => phải đặt điều kiện với các hệ chứa mẫu thức, căn thức, ...dựa vào các bước giải cho từng dạng. + Khi đặt ẩn phụ mà ẩn phụ là căn bậc hai hoặc bình phương quên điều kiện lớn hơn hoặc bằng 0. + Nhầm dấu khi tách một phân thức mà đứng trước phân thức có dấu trừ => khác phục phải dùng dấu ngoặc. + Dùng dấu tương đương khi quy đồng khử mẫu hoặc bình phương hai vế khi hai vế chưa cùng không âm. + Khai căn hai vế khi hai vế chưa không âm.
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Dạng 1. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1) Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ i) Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm b ii) Nếu a 0 thì (1) x = , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có a nghiệm duy nhất. mx y 2m(1) Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình: 4 x my m 6(2) Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) (2m 3)(m 2) 2m 3 i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x = m2 4 m 2 m 2m 3 m Khi đó y = . Hệ có nghiệm duy nhất: ( ; ) m 2 m 2 m 2 ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx 2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x4) với mọi x R iii) Nếu m = 2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm 2m 3 m Vậy: Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = ( ; ) m 2 m 2 Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x4) với mọi x R Nếu m = 2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx y 3m 1 mx 4 y 10 m (m 1) x my 3m 1 1) 2) 3) x my m 1 x my 4 2x y m 5 x my 3m x my 1 m 2 2x y 3 2m 4) 2 5) 6) mx y m 2mx y 1 m 2 mx y (m 1) 2 Dạng 2: Xác định giá trị của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước. Phương pháp giải: Giải hệ phương trình theo tham số k Viết x, y của hệ về dạng: n + với n, k nguyên f (m) Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: mx 2 y m 1 2 x my 2m 1 HD Giải: mx 2 y m 1 2mx 4 y 2m 2 2 x my 2m 1 2mx m 2 y 2m 2 m
(m 2 4) y 2m 2 3m 2 ( m 2)(2m 1) 2 x my 2m 1 để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất (m 2)(2m 1) 2m 1 3 y 2 2 m 4 m 2 m 2 m 1 3 x 1 m 2 m 2 Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1; 1;3; 3 Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = 1; 3; 1; 5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: (m 1) x 2 y m 1 m2 x y m2 2m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; 1) 2mx (m 1) y m n (m 2) x 3ny 2m 3 HD: Thay x = 2 ; y = 1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = 2 HD: thay x = 1 và x = 2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì f( b ) = 0 a 1 a b f( ) 0 3 0 4 8 4 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11 f ( 3) 0 18a 3b 3 0 d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(1) = 0 HD: f ( 2) 6 4a 2b 2 a 1 f ( 1) 0 a b 4 b 3 Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2a b 1 a 1 a b 2 b 3 Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy HD gi ải: Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ 3x 2 y 4 x 0,5 phương trình: . Vậy M(0,2 ; 1,25) x 2y 3 y 1,25 Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2 1,25 = m m = 0,85 Vậy khi m = 0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; 2 (2 – m)x – 2y = m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx 4 y 9 Cho hệ phương trình: x my 8 Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 2x + y + 2 = 3 m 4 HD Giải: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2 Giải hệ phương trình theo m 8m 9 y mx 4 y 9 mx 4 y 9 2 (m 4) y 8m 9 m2 4 x my 8 mx m 2 y 8m x my 8 9m 32 x m2 4 9m 32 8m 9 Thay x = 2 ; y = 2 vào hệ thức đã cho ta được: m 4 m 4 9m 32 8m 9 38 2. 2 + 2 + 2 = 3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 3m2 – 26m + 23 = 0 23 m1 = 1 ; m2 = (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) 3 23 Vậy m = 1 ; m = 3 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx 4 y 10 m Cho hệ phương trình (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: (m 1) x my 3m 1 Cho hệ phương trình : 2x y m 5 a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: 3x 2 y 4 Cho hệ phương trình 2x y m a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x