Chuyên đề vi-et luyện thi lớp 10

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu thông tin đến các em học sinh tổng quan kiến thức lý thuyết của bài học và hướng dẫn giải chi tiết các bài tập về hệ thức Vi-et, hỗ trợ cho quá trình học tập của học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề vi-et luyện thi lớp 10

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ VI -ET LUYỆN THI LỚP 10 Tài liệu sưu tầm, ngày 31 tháng 3 năm 2021
Website:tailieumontoan.com DẠNG TOÁN ÔN THI LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ . HỆ THỨC VI – ÉT A. MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Cho phương trình: x 2 − 6 x + m = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 − x2 = 4. Câu 2: Cho phương trinh x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 = 0 . Tìm m có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng −2 Câu 3: Cho phương trình x 2 − 4 x + m + 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x12 + x2 2 = 5 ( x1 + x2 ) . Câu 4: Cho phương trình x 2 − ( m + 5 ) x − m + 6 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x12 x2 + x1 x2 2 = 24 . Câu 5: Cho phương trình: x 2 − x + m =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: ( x1 x2 − 1) = 9 ( x1 + x2 ) 2 Câu 6: Cho phương trình: x 2 − 2mx − 1 =0 . CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Tìm m để: x12 + x2 2 − x1 x2 = 7 Câu 7: Cho phương trình: x 2 − 2 x + m = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả 1 1 mãn: 2 + 2 = 1 x1 x2 Câu 8: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 x1 ; x2 thoả mãn: + = 4 x2 x1 Câu 9: Cho phương trình: x 2 − ( 4m − 1) x + 3m 2 − 2m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 7 Câu 10: Cho phương trình: x 2 − 4 x − m 2 + 3 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 = −5 x1 Câu 11: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0. Tìm m sao cho ( x1 + m )( x2 + m ) = 3m 2 + 12 Câu 12: Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 3 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 x2 + x1 x2 = 3 3 −6 Câu 13: Cho phương trình: x 2 + 4 x − m 2 − 5m = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x1 − x2 = 4. Câu 14: Cho phương trình: x 2 − 2 x + m + 3 =0 . Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho x1 + x2 = 3 3 8. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com 0 . Chứng minh rằng phương trình luôn có Câu 15: Cho phương trình: x 2 − (m + 2) x + 2m = 2( x1 + x2 ) nghiệm với mọi m, tìm m để −1 ≤ ≤1 x1.x2 Câu 16: Cho phương trình x 2 − (m + 1) x + m − 4 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho ( x12 − mx1 + m)( x2 2 − mx2 + m) = 2 Câu 17: Cho phương trình x 2 − 6 x + m − 3 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 − 5 x2 + m − 4 ) = 2 2. Câu 18: Cho phương trình x 2 − 2mx + m 2 − 1 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 1 1 −2 biệt: + = +1 x1 x2 x1 x2 Câu 19: Cho phương trình x 2 − 4 x + m − 4 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 − 3x2 + m − 5 ) = 2 −2 Câu 20: Cho phương trình 2 x 2 − 3x − 1 =0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Không giải phương trình x1 − 1 x2 − 1 = tính giá trị của biểu thức A + . x2 + 1 x1 + 1 Câu 21: Cho phương trình: x 2 − 4 x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 ( x1 + 2 ) + x2 ( x2 + 2 ) = 20 Câu 22: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 4m − 4 = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2mx2 − 8m + 5 = 2 0 Câu 23: Cho phương trình: 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 4 x12 + 4 x2 2 + 2 x1 x2 = 0 Câu 24: Cho phương trình: x 2 − ( m + 3) x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm −1 phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 < < x2 2 Câu 25: Cho phương trình x 2 − 6 x + m =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x12 − x2 2 = 12 . Câu 26: Cho phương trình x 2 − ( m − 2 ) x − 6 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x2 2 − x1 x2 + ( m − 2 ) x1 = 16 . Câu 27: Cho phương trình x 2 + 2 ( m − 2 ) x + m 2 − 4m = 0 . Tìm m để phương trình có hai 3 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn + x2 = + x1 . x1 x2 Câu 28: Cho phương trình x 2 − x + 3m − 11 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2017 x1 + 2018 x2 =2019 . B. MỨC ĐỘ 2 Câu 1: Cho phương trình x 2 + 5 x + m − 2 =0. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: 1 1 + = 1. ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) 2 2 Câu 2: Cho phương trình x 2 − ( m − 3) x − 4 =0 . Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 + 2020 − x1 = x 22 + 2020 + x2 . Câu 3: Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 =0 . Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: ( x12 − 2mx1 − x2 + 2m − 3)( x22 − 2mx2 − x1 + 2m − 3) = 19 . Câu 4: Cho phương trình x 2 − 2 x + m − 3 = 0 . Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 − 2 x2 + x1 x2 = 16 . Câu 5: Cho phương trình x 2 + 2 x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x13 + x23 − 6 x1 x2= 4 ( m − m 2 ) Câu 6: Cho phương trình x 2 + 5 x + m − 2 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho S =( x1 − x2 ) + 8 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất. 2 Câu 7: Cho phương trình x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt. Tìm m: ( x1 − x2 ) + 6m =x1 − 2 x2 . 2 Câu 8: Cho phương trình x 2 + ( m + 2 ) x + m − 1 =0 . Chứng minh rằng với mọi m phương trình có nghiệm. Tìm m để A = x12 + x22 − 3x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 9: Cho phương trình x 2 − ( 2m + 1) x − 3 =0 . Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m . Tìm m để x1 − x2 = 5 và x1 < x2 . Câu 10: Cho phương trình x 2 + ax + b =0 . Tìm a, b để phương trình có hai nghiệm phân  x1 − x2 = 3 biệt x1 , x2 thỏa mãn:  .  x1 − x2 = 3 3 9 Câu 11: Cho phương trình 4 x 2 + ( m 2 + 2m − 15 ) x + ( m + 1) − 20 = 0 . Tìm m để phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x2 + 2019 = 0. Câu 12: Cho phương trình x 2 − ( m + 2 ) x + m + 8 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 − x2 = 0. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com DẠNG TOÁN ÔN THI LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ . HỆ THỨC VI – ÉT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT A. MỨC ĐỘ 1 Câu 1: Cho phương trình: x 2 − 6 x + m = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 − x2 = 4. Lời giải Ta có: ∆ = ( −3) − m = 9 − m ' 2 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' ≥ 0 9−m ≥ 0 m≤9  x1 + x2 = 6 Theo hệ thức Viet:   x1 x2 = m Theo đề Câu ta có: x1 − x2 = 4  x1 + x2 =6 Nên   x1 − x2 =4 Suy ra x2 = 1 , x1 = 5 . Khi đó, 5.1 = m vậy m = 5 Câu 2: Cho phương trinh x 2 + 2 ( m + 1) x + m 2 = 0 . Tìm m có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng −2 Lời giải Ta có:  = ( m + 1) − m = 2m + 1 ' 2 2 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' ≥ 0 2m + 1 ≥ 0 −1 m≥ 2 Vì x = −2 là nghiệm của phương trình nên ta có 4 − 4 ( m + 1) + m 2 = 0 ⇔ m 2 − 4m = 0 ⇔ m ( x − 4) = 0 m = 0 ⇔ (thỏa mãn điều kiện) m = 4 Vậy với m = 0 , m = 4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng -2 Câu 3: Cho phương trình x 2 − 4 x + m + 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x12 + x2 2 = 5 ( x1 + x2 ) . Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Lời giải Ta có: ' = ( −2 ) − ( m + 1) = 4 − m − 1 = 3 − m 2 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' ≥ 0 3− m ≥ 0 m≤3  x1 + x2 =4 Theo hệ thức Viet:   x1 x2= m + 1 Theo đề Câu ta có: x12 + x2 2 = 5 ( x1 + x2 ) Nên ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 5 ( x1 + x2 ) 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) = 2 0 Vậy: 42 − 2 ( m + 1) − 5.4 = 0 ⇔ 16 − 2m − 2 − 20 = 0 ⇔ −2m − 6 =0 ⇔m= −3 (thỏa mãn điều kiện) Suy ra x2 = 1 , x1 = 5 . Khi đó, 5.1 = m vậy m = 5 Câu 4: Cho phương trình x 2 − ( m + 5 ) x − m + 6 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho x12 x2 + x1 x2 2 = 24 . Lời giải Ta có: =( m + 5 ) − 4 ( −m + 6 ) =m + 10m + 25 + 4m − 24 =m 2 + 14m + 1 2 2 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' ≥ 0 m 2 + 14m + 1 ≥ 0 Lại có: x12 x2 + x1 x2 2 = 24 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 24  x1 + x2 = m + 5 Theo hệ thức viet ta có:   x1 x2 =−m + 6 Khi đó: ( −m + 6 )( m + 5 ) =24 ⇔ −m 2 − 5m + 6m + 30 =24 ⇔ m2 − m − 6 = 0 ⇔m= 3 ; m = −2 Thay m = 3; m = −2 vào bất phương trình m 2 + 14m + 1 ≥ 0 Giá trị m = 3 thỏa mãn bất phương trình. Giá trị m = −2 không thỏa mãn bất phương trình. Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Câu 5: Cho phương trình: x 2 − x + m =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com ( x1 x2 − 1) = 9 ( x1 + x2 ) 2 Lời giải Xét pt: x 2 − x + m =0 , có: ∆ = 1 − 4m 1 Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 khi ∆ ≥ 0 ⇔ 1 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ (*) 4  x1 + x2 = 1 Theo định lí Viét ta có:  (1)  x1 x2 = m Xét biểu thức: ( x1 x2 − 1) = 9 ( x1 + x2 ) (2) 2 =m − 1 3 = m 4 Thay (1) vào (2) ta được: ( m − 1) = 9.1 ⇔ ( m − 1) = 9 ⇔  ⇔ 2 2  m − 1 =−3  m =−2 Dễ thấy m = 4 (không thoả mãn (*)) ⇒ Loại. m = −2 (thoả mãn (*)) ⇒ Lấy. Kết luận: Với m = −2 yêu cầu của Câu toán được thoả mãn. Câu 6: Cho phương trình: x 2 − 2mx − 1 =0 . CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Tìm m để: x12 + x2 2 − x1 x2 = 7 Lời giải Xét pt: x 2 − 2mx − 1 =0 , có: ∆=′ m 2 + 1 > 0, ∀m ∈  ⇒ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 .  x1 + x2 = 2m Theo định lí Viét ta có:  (1)  x1 x2 = −1 7 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x3 = Xét biểu thức: x12 + x2 2 − x1 x2 = 2 7 (2) Thay (1) vào (2) ta được: ( 2m ) − 3. ( −1) = 7 ⇔ 4m 2 + 3 = 7 2 m = 1 ⇔ 4m 2 =⇔ 4 m 2 =⇔ 1   m = −1 m = 1 Câu 7: Kết luận: Với  thì yêu cầu của Câu toán được thoả mãn. Cho phương  m = −1 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: trình: x 2 − 2 x + m = 1 1 2 + 2 = 1 x1 x2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Lời giải 0 , có: ∆′ = 1 − m Xét pt: x 2 − 2 x + m = Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 khi ∆′ ≥ 0 ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 (*)  x1 + x2 = 2 Theo định lí Viét ta có:  (1)  x1 x2 = m ( x + x ) − 2 x1 x2 = 2 1 1 x12 + x22 Xét biểu thức: 2 + 2 =⇔ 1 =1⇔ 1 2 1 (2) ( x1 x2 ) 2 2 2 x1 x2 x1 .x2 Thay (1) vào (2) ta được: 2 2 − 2m 4 − 2m m 2 − 2m − 4 m ≠ 0 = 1 ⇔ 1 − = 0 ⇔ = 0 ⇔  2 m2 m2 m2  m − 2m − 4 =0 m ≠ 0 m ≠ 0 m ≠ 0   = m 5 +1 ⇔ ⇔   m − 1 = 5 ⇔   = m 5 + 1 ⇔  ( m − 1) =   2 5  m = − 5 +1  m − 1 =− 5   m = − 5 +1 Dễ thấy = m 5 + 1 (không thoả mãn (*)) ⇒ Loại. m= − 5 + 1 (thoả mãn (*)) ⇒ Lấy. − 5 + 1 yêu cầu của Câu toán được thoả mãn. Kết luận: Với m = Câu 8: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2 + = 4 x2 x1 Lời giải Xét pt: x 2 − 2 ( m − 1) x + m + 1 =0 , có: ∆=′ ( m − 1) − ( m + 1)= m 2 − 3m= m ( m − 3) 2 m ≥ 3 Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 ; x2 khi ∆′ ≥ 0 ⇔ m ( m − 3) ≥ 0 ⇔  (*) m ≤ 0  x + x= 2 ( m − 1) Theo định lí Viét ta có:  1 2 (1)  x1 x2= m + 1 ( x + x ) − 2 x1 x2 = 2 x x x 2 + x22 Xét biểu thức: 1 + 2 =4 ⇔ 1 =4 ⇔ 1 2 4 (2) x2 x1 x1.x2 x1 x2 Thay (1) vào (2) ta được: Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com  2 ( m − 1)  − 2 ( m + 1) 4 ( m 2 − 2m + 1) − 2m − 2 2 4m 2 − 10m + 2 =4 ⇔ = 4⇔ = 4 m +1 m +1 m +1 4m 2 − 10m + 2 4m 2 − 10m + 2 − 4 ( m + 1) 4m 2 − 14m − 2 ⇔ −4=0⇔ 0⇔ = = 0 m +1 m +1 m +1 m ≠ −1   7 − 57   7 − 57  m= 2m − 7 m − 1 2 m ≠ −1  m= ⇔ = 0⇔ 2 ⇔  4 ⇔ 4 (t/m (*)) m +1 2m − 7 m − 1 =0   +  7 57   m = 7 + 57 m =  4   4  7 − 57 m = Kết luận: Với  4 yêu cầu của Câu toán được thoả mãn.  7 + 57 m =  4 Câu 9: Cho phương trình: x 2 − ( 4m − 1) x + 3m 2 − 2m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 7 Lời giải x 2 − ( 4m − 1) x + 3m 2 − 2m = 0 Ta có ∆ =  − ( 4m − 1)  − 4.1. ( 3m 2 − 2m ) 2 = 16m 2 − 8m + 1 − 12m 2 + 8m = 4m 2 + 1 > 0∀m Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m  x1 + x2 = 4m − 1 Theo hệ thức Vi – ét ta có:   x1= .x2 3m 2 − 2m Theo Câu ra: x12 + x22 = 7 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1.x2 = 2 7 ⇔ ( 4m − 1) − 2. ( 3m 2 − 2m ) = 2 7 ⇔ 16m 2 − 8m + 1 − 6m 2 + 4m − 7 =0 ⇔ 10m 2 − 4m − 6 =0 ⇔ 5m 2 − 2 m − 3 =0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Ta có a + b + c = 5 + ( −2 ) + ( −3) = 0 −3 Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:= m1 1,= m2 5 −3 Vậy= m1 1,= m2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x12 + x22 = 7. 5 Câu 10: Cho phương trình: x 2 − 4 x − m 2 + 3 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 = −5 x1 . Lời giải x 2 − 4 x − m2 + 3 =0 Ta có ∆ ' = ( −2 ) − 1. ( −m 2 + 3) = m 2 + 1 > 0, ∀m 2 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m  x1 + x2 =4 (1) Theo hệ thức Vi – ét ta có:   x1.x2 = −m2 + 3 ( 2 ) Theo Câu ra: x2 = −5 x1 ( 3) Từ (1) và ( 3) ta có hệ phương trình  x1 + x2 = 4  x1 + x2 =4  x1 = −1  ⇔ ⇔  x2 = −5 x1 5 x1 = + x2 0 = x2 5 Thay x1 = 5 vào ( 2 ) ta có −1, x2 = ( −1) .5 =−m2 + 3 ⇔ m2 =8 ⇔ m =±2 2 Vậy m = ±2 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x2 = −5 x1 Câu 11: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 . Tìm m sao cho ( x1 + m )( x2 + m ) = 3m 2 + 12 Lời giải x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0 Ta có ∆ ' =  − ( m + 1)  − 1.4m = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) ≥ 0, ∀m 2 2 Do đó phương trình có nghiệm với mọi m .  x1 + x=2 2 ( m + 1) Theo hệ thức Vi – ét ta có:   x1.x2 = 4m Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Theo Câu ra: ( x1 + m )( x2 + m ) = 3m 2 + 12 ⇔ x1 x2 + mx1 + mx2 + m 2 = 3m 2 + 12 ⇔ x1 x2 + m ( x1 + x2 ) + m 2 = 3m 2 + 12 ⇔ 4m + m.2 ( m + 1) + m 2= 3m 2 + 12 ⇔ 6m =12 ⇔m= 2 Vậy m = 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ( x1 + m )( x2 + m ) = 3m 2 + 12 Câu 12: Cho phương trình: x 2 − 2 x + m − 3 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 x2 + x1 x2 = 3 3 −6 Lời giải x2 − 2x + m − 3 =0 Ta có ∆ ' =( −1) − 4.1. ( m − 3) =−4m + 13 2 13 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ ' > 0 ⇔ −4m + 13 > 0 ⇔ m < 4  x1 + x2 = 2 Theo hệ thức Vi – ét ta có:   x1.x2= m − 3 Theo Câu ra: x13 x2 + x1 x23 = −6 ⇔ x1 x2 ( x12 + x22 ) = −6 ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  = −6 2   ⇔ ( m − 3)  22 − 2 ( m − 3)  = −6 ⇔ ( m − 3)( −2m + 10 ) = −6 ⇔ −2m 2 + 16m − 30 = −6 ⇔ m 2 − 8m + 12 = 0 Ta có ∆ 'm =( −4 ) − 1.12 =4 > 0 2 Phương trình có nghiệm m1 =4+ 4 =6 ( L ) , m2 =4− 4 =2 (TM ) Vậy m = 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x13 x2 + x1 x23 = −6 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Câu 13: Cho phương trình: x 2 + 4 x − m 2 − 5m = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x1 − x2 = 4. Lời giải 2  5 9 Xét phương trình: x + 4 x − m − 5m = 2 0 có: ∆′ = 4 + m + 5m =  m +  − 2 2  2 4  −19  5 9 m ≤ 2 4 Để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thì ∆′ ≥ 0 ⇒  m +  − ≥ 0 ⇒   2 4 m ≥ −1  4  x1 + x2 = −4 Theo hệ thức Vi-et ta có:   x1 x2 = −m 2 − 5m Theo Câu ra: x1 − x2 = 16 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 4 ⇔ x12 + x22 − 2 x1 x2 = 2 16 m = 0 Do đó ta có: ( −4 ) − 4 ( −m 2 − 5m ) =16 ⇔ m 2 + 5m =0 ⇔  (thỏa mãn điều 2  m = −5 kiện) m = 0 Vậy  thì phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn x1 − x2 = 4.  m = −5 Câu 14: Cho phương trình: x 2 − 2 x + m + 3 =0 . Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt sao cho x1 + x2 = 3 3 8. Lời giải Xét phương trình x − 2 x + m + 3 = 2 0 có: ∆′ =1 − m − 3 =−m − 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì ∆′ > 0 ⇒ −m − 2 > 0 ⇒ m < −2  x1 + x2 =2 Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2= m + 3 Theo Câu ra: x13 + x23 =8 ⇔ ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) =8 3 Do đó ta có: 23 − 3 ( m + 3) .2 = 8 ⇔ −6 ( m + 3) = 0 ⇔ m + 3 = 0 ⇔ m = −3 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = −3 thì phương trình có nghiệm phân biệt sao cho x13 + x23 = 8. Câu 15: Cho phương trình: x 2 − (m + 2) x + 2m = 0 . Chứng minh rằng phương trình luôn có 2( x1 + x2 ) nghiệm với mọi m, tìm m để −1 ≤ ≤1 x1.x2 Lời giải Xét phương trình: x − (m + 2) x + 2m = 2 0 có: ∆= (m + 2) 2 − 8m= (m − 2) 2 ≥ 0∀m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m . Theo định lý Vi-ét ta có  x1 + x2 = m + 2   x1.x2 = 2m Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com 2( x1 + x2 ) 2.(m + 2) m+2 Theo Câu ra: −1 ≤ ≤ 1 ⇒ −1 ≤ ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ≤1 x1.x2 2m m m + 2  m ≥ −1 ⇔ (I ) m + 2 ≤1  m m+2 m+2 2m + 2  m ≤ −1 ≥ −1 ⇔ +1 ≥ 0 ⇔ ≥0⇔ m m m m > 0 m+2 m+2 2 ≤1⇔ −1 ≤ 0 ⇔ ≤ 0 ⇔ m < 0 m m m   m ≤ −1  Do đó hệ ( I ) ⇔   m > 0 ⇔ m ≤ −1 m < 0  2( x1 + x2 ) Vậy m ≤ −1 thì phương trình có hai nghiệm thoảm mãn −1 ≤ ≤1 x1.x2 Câu 16: Cho phương trình: x 2 − (m + 1) x + m − 4 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho ( x12 − mx1 + m)( x2 2 − mx2 + m) = 2 Lời giải Xét phương trình x − (m + 1) x + m − 4 = 2 0 (1) Có: ∆ = (m + 1) 2 − 4(m − 4) = m 2 − 2m + 1 − 4m + 4 = m 2 − 6m + 5 = (m − 1)(m − 5) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì: ∆ > 0 ⇒ (m − 1)(m − 5) > 0 m > 5 ⇒ m < 1  x1 + x2 = m + 1 Theo hệ thức Vi-ét ta có  (2)  x1.x2= m − 4 Vì x1 , x2 là nghiệm của (1) nên ta có  x12 − ( m + 1) x1 + m − 4 =0  x1 − mx1 + m =4 + x1 2  2 ⇒  2  x2 − ( m + 1) x2 + m − 4 = 0  x2 − mx2 + m = 4 + x2 Theo Câu ra : ( x12 − mx1 + m)( x2 2 − mx2 + m) = 2 Do đó ta có : (4 + x1 )(4 + x2 ) =2 ⇔ 16 + 4( x1 + x2 ) + x1 x2 =2 ( 3) −16 Từ (2) và ( 3) ⇒ 16 + 4(m + 1) + (m − 4) =2⇔m= (thỏa mãn điều kiện) 5 −16 Vậy m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho 5 ( x12 − mx1 + m)( x2 2 − mx2 + m) = 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Câu 17: Cho phương trình x 2 − 6 x + m − 3 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 − 5 x2 + m − 4 ) = 2 2. Lời giải ∆ ' = ( −3) − ( m − 3) = 9 − m + 3 = 12 − m . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2 ∆ ' > 0 ⇔ 12 − m > 0 ⇔ m < 12 x + x = 6 Theo Vi – et ta có:  1 2  x1.x2= m − 3 Lại có x2 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: x2 2 − 6 x2 + m − 3 =0 ⇔ x22 − 5 x2 + m − 4 = x2 − 1 Từ ( x1 − 1) ( x 2 2 − 5 x2 + m − 4 ) = 2 ⇒ ( x1 − 1)( x 2 −1) = 2 ⇔ x1.x2 − x1 − x2 + 1 = 2 ⇔ m − 3 − 6 + 1 = 2 ⇔ m = 2 − 1 + 3 + 6 ⇔ m = 10 (thỏa mãn) Vậy m = 10 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 2 − 5 x2 + m − 4 ) = 2. Câu 18: Cho phương trình x 2 − 2mx + m 2 − 1 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 1 1 −2 biệt: + = +1 x1 x2 x1 x2 Lời giải ∆' = ( −m ) − m 2 + 1 = 1 > ∀m . Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2  x1 + x2 = 2m Theo Vi – ét ta có:   x1.x= 2 m2 − 1 1 1 −2 x + x2 −2 + = +1 ⇔ 1 = +1 x1 x2 x1 x2 x1.x2 x1 x2 2m −2 = 2 + 1 ⇔ 2m =−2 + m 2 − 1 ⇔ m 2 − 2m − 3 =0 m −1 m −1 2 ⇔ m 2 − 3m + m − 3 = 0 ⇔ m ( m − 3) + ( m − 3) = 0 ⇔ ( m − 3)( m + 1) = 0 m = 3 ⇔  m = −1 1 1 −2 Vậy m ∈ {−1;3} thì phương trình có hai nghiệm phân biệt + = +1 x1 x2 x1 x2 Câu 19: Cho phương trình x 2 − 4 x + m − 4 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 − 3x2 + m − 5 ) = 2 −2 Lời giải ∆ ' = ( −2 ) − m + 4 = 8 − m , để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 2 ∆' > 0 ⇔ 8−m > 0 ⇔ m < 8. Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com  x1 + x2 =4 Theo vi – et ta có:   x1 x2= m − 4 Lại có x2 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có x 2 2 − 4 x2 + m − 4 =0 ⇔ x22 − 3 x2 + m − 5 = x2 − 1 Từ ( x1 − 1) ( x 2 2 − 3x2 + m − 5 ) =−2 ⇔ ( x1 − 1)( x2 − 1) =−2 ⇔ x1.x2 − x1 − x2 + 1 =−2 ⇔ m − 4 − 4 + 1 =−2 ⇔ m =−2 − 1 + 4 + 4 ⇔ m =5 (thỏa mãn) Vậy m = 5 thìphương trình có hai nghiệm phân biệt: ( x1 − 1) ( x 2 2 − 3 x2 + m − 5 ) =−2 Câu 20: Cho phương trình 2 x 2 − 3x − 1 =0 có hai nghiệm x1 ; x2 . Không giải phương trình x1 − 1 x2 − 1 = tính giá trị của biểu thức A + . x2 + 1 x1 + 1 Lời giải ∆ = ( −3) + 4.2.1 = 9 + 8 = 17 > 0 . Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 2  3  x1 + x2 = 2 Theo Vi – ét ta có:   x .x = −1  1 2 2 x1 − 1 x2 − 1 ( x1 − 1)( x1 + 1) + ( x2 − 1)( x2 + 1) A= + = x2 + 1 x1 + 1 ( x2 + 1)( x1 + 1)  −1  2 3   − 2  − 2 ( x1 + x=2 ) − 2 x1 x2 − 2 2 x1 − 1 + x2 − 1 2 2 2  2  =A = x1 x2 + x1 + x2 + 1 x1 x2 + x1 + x2 + 1 −1 3 + +1 2 2 9 9 +1− 2 −1 4 4 5 =A = = 1+1 2 8 5 Vậy A = 8 Câu 21: Cho phương trình: x 2 − 4 x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 ( x1 + 2 ) + x2 ( x2 + 2 ) = 20 Lời giải x − 4 x + m − 1 =0 2 ( *) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1 , x2 a ≠ 0 1 ≠ 0 ( ∀m ) ⇔  ⇔  ⇒m 0  20 − 4m > 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com  x1 + x2 = 4 Vì x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2= m − 1 Ta có: x1 ( x1 + 2 ) + x2 ( x2 + 2 ) = 20 ⇔ x12 + 2 x1 + x2 2 + 2 x2 = 20 ⇔ x12 + x2 2 + 2 ( x1 + x2 ) =20 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2 ( x1 + x2 ) =20 2 ⇔ 42 − 2 ( m − 1) + 2.4 = 20 ⇒ m = 3 ( tm ) Vậy với m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 ( x1 + 2 ) + x2 ( x2 + 2 ) = 20 Câu 22: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 4m − 4 = 0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2mx2 − 8m + 5 = 2 0 Lời giải x − 2mx + 4m − 4 = 2 0 ( *) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a ≠ 0 1 ≠ 0 ( ∀m ) ⇔ ⇔ ⇒m≠2 ∆ > 0 ( − ) > 2  2 m 4 0 Vì x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 + x2 = 2m   x1= x2 4m − 4 Ta có: x12 + 2mx2 − 8m + 5 = 0 ⇔ x12 + ( x1 + x2 ) x2 − 8m + 5 = 0 ⇔ x12 + x2 2 + x1 x2 − 8m + 5 = 0 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 8m + 5 = 0 2 3 ⇔ ( 2 m ) − ( 4 m − 4 ) − 8m + 5 = 0 ⇒ m = ( tm ) 2 2 3 Vậy với m = thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 x12 + 2mx2 − 8m + 5 = 0 Câu 23: Cho phương trình: 2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 4 x12 + 4 x2 2 + 2 x1 x2 = 0 Lời giải : 2 x + ( 2m − 1) x + m − 1 =0 2 ( *) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a ≠ 0 1 ≠ 0 ( luon dung ) 3 ⇔ ⇔ ⇒m≠ ∆ > 0  ( 2m − 3) > 0 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Vì x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:  −2m + 1  x1 + x2 = 2   x x = m −1  1 2 2 Ta có: 1 ⇔ 4 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  + 2 x1 x2 = 4 x12 + 4 x2 2 + 2 x1 x2 = 2 1    −2m + 1  2  ⇔ 4   − ( m − 1)  + m − 1 = 1 ⇔ ( 2m − 1) − 4 ( m − 1) + m − 1 = 1 2  2   m = 1 ( tm ) ⇒ 4m − 7 m + 3 = 0 ⇔ 2   m = 3 ( tm )  4 m = 1 Vậy với  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn m = 3  4 4 x1 + 4 x2 + 2 x1 x2 = 2 2 0 Câu 24: Cho phương trình: x 2 − ( m + 3) x + m − 1 =0 . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm −1 phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 < < x2 2 Lời giải : x − ( m + 3) x + m − 1 =0 2 ( *) Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a ≠ 0  1 ≠ 0 ( ∀m ) ⇔ ⇔ 2 ⇔ ( m + 1) + 12 > 0 ∀m 2 ∆ > 0 m + 2m + 13 > 0 Vì x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 + x2 = m + 3   x1 x2= m − 1 Ta có: −1  1  1 x1 < < x2 ⇔  x1 +   x2 +  < 0 2  2  2 1 1 1 1 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + < 0 ⇔ m − 1 + ( m + 3) + < 0 2 4 2 4 3 3 −1 ⇒ m+
Website:tailieumontoan.com Lời giải Xét phương trình x 2 − 6 x + m = 0 có ∆ ' = (−3) 2 − m = 9 − m Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ ' > 0 ⇔ 9 − m > 0 ⇔ m < 9 x + x = 6 Theo định lý Vi ét ta có:  1 2  x1 x2 = m Xét x12 − x22 =12 ⇔ ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) =12 ⇔ ( x1 − x2 ) = 2 ⇔ ( x1 − x2 ) 2 =4 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 =4 ⇔ 62 − 4m =4 ⇔ m =8 Vậy m = 8 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x12 − x22 = 12 Câu 26: Cho phương trình x 2 − ( m − 2 ) x − 6 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x2 2 − x1 x2 + ( m − 2 ) x1 = 16 . Lời giải Xét phương trình x 2 − (m − 2) x − 6 =0 có ∆= (2 − m) 2 + 24 > 0∀m ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x + x =m − 2 Theo định lý Vi ét ta có:  1 2  x1 x2 = −6 Xét x22 − x1 x2 + (m − 2) x1 = 16 ⇔ x22 − x1 x2 + ( x1 + x2 ) x1 = 16 ⇔ x22 + x12 = 16 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 16 ⇔ (m − 2) 2 + 12 = 16 m = 0 ⇔ (m − 2) 2 =4 ⇔  m = 4 Vậy m = 0 hoặc m = 4 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x − x1 x2 + (m − 2) x1 = 2 2 16 Câu 27: Cho phương trình x 2 + 2 ( m − 2 ) x + m 2 − 4m = 0 . Tìm m để phương trình có hai 3 3 nghiệm phân biệt + x2 = + x1 . x1 x2 Lời giải Xét phương trình x 2 + 2(m − 2) x + m 2 − 4m = 0 Ta có ∆ = (m − 2) 2 − (m 2 − 4m) = 4 > 0∀m ⇒ Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com  x + x =4 − 2m Theo định lý Vi ét ta có:  1 2 2  x1 x= 2 m − 4m 3 3 Xét + x= 2 + x1 ⇔ 3 x2 + x1 x2 2 = 3 x1 + x2 x12 Với x1 ≠ 0; x2 ≠ 0 x1 x2 ⇔ x2 ( 3 + x1 x2 ) =x1 ( 3 + x1 x2 ) ⇔ ( 3 + x1 x2 )( x1 − x2 ) = 0 0 Khi đó thỏa mãn x1 ≠ 0; x2 ≠ 0 TH1: 3 + x1 x2 = m = 1 Xét 3 + x1 x2 = 0 ⇔ m 2 − 4m + 3 =0 ⇔ m = 3 TH2: x1 − x2 =0 ⇔ x1 =x2 (Loại vì phương trình có hai nghiệm phân biệt ∀m ) 3 3 Vậy m = 1 hoặc m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn + x2 = + x1 x1 x2 Câu 28: Cho phương trình x 2 − x + 3m − 11 =0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2017 x1 + 2018 x2 = 2019 Lời giải Xét phương trình x 2 − x + 3m − 11 =0 có ∆ = 12 − 4(3m − 11) = −12m + 45 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 15 ⇒ −12m + 45 > 0 ⇔ m < 4  x +x = 1 Theo định lý Vi ét ta có:  1 2  x1 x= 2 3m − 11 Xét 2017 x1 + 2018 x2= 2019 ⇔ 2017 + x2= 2019 ⇔ x2= 2 Thay x2 = 2 vào x1 + x2 = 1 ⇔ x1 = −1 Ta có: x1 x2 = 3m − 11 ⇔ −2 = 3m − 11 ⇔ m = 3 Vậy m = 3 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2017 x1 + 2018 x2 = 2019 B. MỨC ĐỘ 2 Câu 1: Cho phương trình x 2 + 5 x + m − 2 =0. 1 1 Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: + = 1 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 ) 2 2 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Website:tailieumontoan.com Lời giải Ta có : x 2 + 5 x + m − 2 =0 . (1) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì: ∆= 52 − m + 2 > 0 ⇔ m < 27 . Vậy với m < 27 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .  x1 + x2 = −5 Khi đó theo định lý Vi-et ta có  .  x1.x2= m − 2 (x + x ) − 2 x1 x2 − 4 ( x1 + x2 ) + 8 2 1 1 Theo Câu ra ta có + = 1⇔ 1 2 = 1 ( x1 − 2 ) ( x2 − 2 )  x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) + 4  2 2 2 ( −5) − 2 ( m − 2 ) − 4 ( −5 ) + 8 ( −5) − 2 ( m − 2 ) − 4 ( −5 ) + 8 2 2 −2m + 57 = 1⇔ = 1⇔ = 1.  m − 2 − 2 ( −5 ) + 4  ( m − 12 ) ( m − 12 ) 2 2 2 Đk m ≠ 12 .  m= 11 + 34 ⇔ −2m + 57 =m 2 − 24m + 144 ⇔ m 2 − 22m + 87 =0 ⇔  ( tm).  = m 11 − 34  m= 11 + 34 Vậy  thỏa mãn Câu toán.  = m 11 − 34 Câu 2: Cho phương trình x 2 − ( m − 3) x − 4 =0 . Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 + 2020 − x1 = x 22 + 2020 + x2 . Lời giải Ta có : x 2 − ( m − 3) x − 4 =0 . (1) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thì: ∆= ( m − 3) + 4 > 0 ∀m . 2 Vậy với ∀m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .  x1 + x2 = m − 3 Theo định lý Vi-et ta có  .  x1.x2 = −4 Theo Câu ra ta có: x12 + 2020 − x1 = x 22 + 2020 + x2 ⇒ x12 + 2020 − x 22 + 2020 =x1 + x2 Ta lại có: x12 + 2020 − x1 = x 22 + 2020 + x2 2020 2020 ⇔ − = 0 x1 + 2020 + x1 2 x + 2020 − x2 2 2 ⇔ 2020 x22 + 2020 − 2020 x2 − 2020 x12 + 2020 − 2020 x1 = 0 Liên hệ tài liệu word môn toán: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC