CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
lượt xem 264
download
CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC là tài liệu dành cho các bạn học sinh rèn luyện và nâng cao kỹ năng giãi bài tập, ôn tập kiến thức, góp phần giúp ích cho các kỳ thi sắp tới, rất ích cho các bạn ôn thi vào đại học bách khoa
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC sè phøc PHẦN I. CÁC DẠNG TOÁN VẤN ĐỀ 1 d¹ng ®¹i sè cña sè phøc Céng, trõ, nh©n, chia sè phøc A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Sè phøc Mét biÓu thøc d¹ng z = a + bi, trong ®ã a vµ b lµ nh÷ng sè thùc vµ i tháa m·n i 2 = -1 ®îc gäi lµ mét sè phøc. a ®îc gäi lµ phÇn thùc, b ®îc gäi lµ phÇn ¶o, i ®îc gäi lµ ®¬n vÞ ¶o. TËp c¸c sè phøc ®îc kÝ hiÖu lµ . Sè phøc cã phÇn ¶o b»ng 0 gäi lµ sè thùc nªn R . Sè phøc cã phÇn thùc b»ng 0 gäi lµ sè ¶o. 0 = 0 + 0i lµ sè võa thùc võa ¶o. 2. Hai sè phøc b»ng nhau a a ' z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z' b b ' 3. Céng, trõ hai sè phøc z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ) z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i Sè ®èi cña sè phøc z = a + bi lµ sè phøc ; - z = - a – bi. 4. Nh©n hai sè phøc z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); zz' aa ' bb ' (ab ' a 'b)i 5. M«®un cña sè phøc, sè phøc liªn hîp z = a +bi (a, b ) th× m«®un cña z lµ z = a 2 +b2 z = a +bi (a, b ) th× sè phøc liªn hîp cña z lµ z = a - bi. Ta cã: 2 zz' = z z' , zz a 2 b2 z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z * z lµ sè thùc khi vµ chØ khi z = z 6. Chia cho sè phøc kh¸c 0 1 NÕu z = a + bi (a, b ) kh¸c kh«ng th× sè phøc nghÞch ®¶o cña z lµ z-1= z. 2 z z' z'z z' z' z' z' Th¬ng cña z' cho z kh¸c kh«ng lµ: z'z-1 . Ta cã: , . z zz z z z z 7. BiÓu diÔn h×nh häc cña sè phøc Sè phøc z = a + bi (a, b ) ®îc biÓu diÔn bëi M(a; b) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy hay cßn gäi lµ mÆt ph¼ng phøc. Trôc Ox biÓu diÔn c¸c sè thùc gäi lµ trôc thùc, trôc Oy biÓu diÔn c¸c sè ¶o gäi lµ trôc ¶o Sè phøc z = a + bi (a, b ) còng ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ( a; b) , do ®ã M(a; b) lµ ®iÓm biÓu diÔn cña sè phøc z = a + bi (a, b ) còng cã nghÜa lµ OM biÓu diÔn sè phøc ®ã. Ta cã:NÕu u , v theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× http://violet.vn/kinhhoa 1 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC u v biÓu diÔn sè phøc z + z', u v biÓu diÔn sè phøc z – z-1, k u (k ) biÓu diÔn sè phøc kz, OM u z , víi M lµ ®iÓm biÓu diÔn cña z. B. C¸c d¹ng bµi tËp I. X¸c ®Þnh tæng, hiÖu, tÝch, th¬ng cña c¸c sè phøc 1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Áp dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n, chia hai sè phøc, chó ý c¸c tÝnh chÊt giao ho¸n, kÕt hîp ®èi víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m ph©n thùc, phÇn ¶o cña c¸c sè phøc sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) (1 i )3 (2i )3 Bµi gi¶i a) Ta cã: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. VËy sè phøc ®· cho cã phÇn thùc lµ - 1, phÇn ¶o lµ - 1. b) Sö dông c¸c quy t¾c céng, trõ, nh©n hai sè phøc ta cã (1 i)3 (1)3 3(1)2 i 3(1)i 2 i3 2 2i, (2i )3 (2)3 (i )3 8i Do ®ã nhËn ®îc kÕt qu¶ cña bµi to¸n lµ 2 + 10i 1 VÝ dô 2: TÝnh 1 3 i 2 2 Bµi gi¶i 1 3 1 3 i i 2 2 1 3 Ta cã : 2 2 i 1 3 1 3 1 2 2 i i 2 2 2 2 VÝ dô 3: TÝnh 1 i i 2 i3 ... i 2009 Bµi gi¶i Ta cã: 1 i 2010 (1 i)(1 i i 2 i3 ... i 2009 ) . Mµ 1 i 2010 2 . Nªn 2 1 i i 2 i3 ... i 2009 , 1 i i 2 i3 ... i 2009 1 i . 1 i VÝ dô 4: TÝnh (1 i)100 Bµi gi¶i NhËn thÊy (1 i)2 (1 i)(1 i ) 2i . Suy ra (1 i)100 ((1 i )2 )50 (2i )50 (2)50 (i )50 250 . 1 3 VÝ dô 5: Cho sè phøc z i. 2 2 1 H·y chøng minh r»ng: z 2 z 1 0; z z 2 ; z3 1. . z Bµi gi¶i 1 3 1 3 1 3 Do z 2 i . Nªn z 2 z 1 ( i ) ( i) 1 0 ; 2 2 2 2 2 2 http://violet.vn/kinhhoa 2 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 1 3 1 1 i L¹i cã 2 2 1 3 i . Suy ra z 2 z 1 . z 1 3 1 2 2 z i 2 2 H¬n n÷a ta cã z3 1 . VÝ dô 6: T×m sè phøc z, nÕu z 2 z 0 . Bµi gi¶i §Æt z = x + yi, khi ®ã z 2 z 0 ( x yi)2 x 2 y 2 0 x 2 y 2 x 2 y 2 2 xyi 0 x 0 x 0 2 x y x y 0 2 2 2 2 y y 0 y (1 y ) 0 2 xy 0 y 0 y 0 2 x x 0 x (1 x ) 0 x 0 x 0, y 0 y 0 x 0, y 1 y 1 x 0, y 1 x 0 (do x 1 0) y 0, x 0 y 0 VËy cã ba sè phøc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn lµ z = 0; z = i; z = - i. II. BiÓu diÔn sè phøc trong mÆt ph¼ng to¹ ®é 1) Ph¬ng ph¸p gi¶i §Ó biÓu diÔn mét sè phøc cÇn dùa vµo®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt sau: NÕu sè phøc z ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u , sè phøc z' ®îc biÓu diÔn bëi vect¬ u ' , th× z + z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; z - z' ®îc biÓu diÔn bëi u u ' ; - z ®îc biÓu diÔn bëi u . 2) C¸c vÝ dô. VÝ dô 1: Gi¶ sö M(z) lµ ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®« biÓu diÔn sè phøc z. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M(z) tháa m·n ®iÒu kiÖn sau a) z 1 i 2 ; b) 2 z i z . Bµi gi¶i a) §Æt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nªn hÖ thøc z 1 i 2 trë thµnh ( x 1) 2 ( y 1) 2 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 4. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é biÓu diÔn c¸c sè phøc z tháa m·n gi¶ thiÕt lµ ®êng trßn t©m I(1; - 1) b¸n kÝnh R = 2. b) Gäi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi ®ã 2 z i z z (2) z i hay lµ M(z)A = M(z)B. VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M(z) lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB. NhËn xÐt: Víi phÇn b ta cã thÓ thøc hiÖn c¸ch gi¶i nh ®· lµm ë phÇn a. Tuy nhiªn ®Ó thÓ thùc hiÖn c¸ch gi¶i nh vËy lµ ta ®· dùa v¸o nhËn xÐt sau: NÕu vÐct¬ u cña mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z th× ®é dµi cña vect¬ u lµ u z , vµ tõ ®ã nÕu c¸c ®iÓm A, B theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, z' th× AB z z ' . http://violet.vn/kinhhoa 3 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 VÝ dô 2: Trong c¸c sè phøc z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z 2 3i . T×m sè phøc z cã modul nhá 2 nhÊt. Bµi gi¶i 3 XÐt biÓu thøc z 2 3i (1). §Æt z = x + yi. Khi ®ã (1) trë thµnh 2 3 9 ( x 2) ( y 3)i ( x 2)2 ( y 3)2 . 2 4 Do ®ã c¸c ®iÓm M biÓu diÔn sè phøc z tho¶ m·n (1) n»m trªn ®êng trßn ( ) t©m 3 I(2; -3) vµ b¸n kÝnh R = . y 2 O H 2 x M -3 I Ta cã z ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi vµ chØ khi ®iÓm M n»m trªn ®êng trßn ( ) vµ gÇn O nhÊt. Do ®ã M lµ giao ®iÓm cña ( ) vµ ®êng th¼ng OI, víi M lµ giao ®iÓm gÇn O h¬n. Ta cã OI = 4 9 13 . KÎ MH Ox. Theo ®Þnh lÝ talet cã 3 13 MH OM 2 13MH 3 13 9 6 13 9 MH 6 13 9 78 9 13 . 3 OI 13 2 2 2 13 26 3 13 OH 2 OH 2 13 3 26 3 13 . L¹i cã 2 13 13 13 26 3 13 78 9 13 VËy sè phøc cÇn t×m lµ : z i. 13 26 VÝ dô 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w, ta cã z w z w . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo? Bµi gi¶i Gäi A, B, C lÇn lît lµ c¸c ®iÓm biÓu diÔn cña c¸c sè phøc z, w, z + w. Ta cã z OA, w OB, z w OC . Tõ OC OA + AC suy ra z w z w . H¬n n÷a OC = OA + AC khi vµ chØ khi O, A, C th¼ng hµng vµ A thuéc ®o¹n th¼ng OC. Khi O A (hay z 0) ®iÒu ®ã cã nghÜa lµ cã sè k 0 ®Ó AC kOA tøc lµ w = kz. (Cßn khi z = 0, râ rµng z w z w ). VËy z w z w khi vµ chØ khi z = 0 hoÆc nÕu z 0 th× tån t¹i k R ®Ó w = kz. c. bµi tËp 1. Chøng minh r»ng víi mäi sè phøc z, w ta ®Òu cã z w z w . DÊu b»ng x¶y ra khi nµo? 2. Trong mÆt ph¼ng phøc, bèn ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc z, w, u, v tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt: http://violet.vn/kinhhoa 4 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC a) z w u v 1 ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho sè phøc z = m + (m - 3)i, m R a) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn ®êng ph©n gi¸c thø hai y = - x; 2 b) T×m m ®Ó biÓu diÔn cña sè phøc n»m trªn hypebol y ; x c) T×m m ®Ó kho¶ng c¸ch cña ®iÓm biÓu diÔn sè phøc ®Õn gèc to¹ ®é lµ nhá nhÊt. 4. X¸c ®Þnh tËp hîp c¸c ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn c¸c sè phøc tho¶ m·n hÖ thøc z 3. z i 5. XÐt c¸c ®iÓm A, B, C trong mÆt ph¼ng phøc theo thø tù biÓu diÔn c¸c sè phøc 4i 2 6i ; (1 i)(1 2i ); . i 1 3 i a) Chøng minh ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n; b) T×m sè phøc biÓu diÔn bëi ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng. ………………………………… VẤN ĐỀ 2 C¨n bËc hai cña sè phøc vµ ph¬ng tr×nh bËc hai A. KiÕn thøc cÇn nhí I. §Þnh nghÜa c¨n bËc hai cña sè phøc Cho sè phøc w mçi sè phøc z tho¶ m·n z2 = w ®îc gäi lµ mét c¨n bËc hai cña sè phøc w. a) NÕu w lµ sè thùc + w < 0 th× cã hai c¨n bËc hai: wi & wi + w 0 th× cã hai c¨n bËc hai: w & w . b) NÕu w lµ sè phøc khi ®ã ta thùc hiÖn c¸c bíc: + Gi¶ sö w= a + ib, ®Æt z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña w tøc lµ: z 2 w khi ®ã ta cã x 2 y 2 a (1) hÖ: 2 xy b (2) 2 2 B×nh ph¬ng 2 vÕ cña (1) vµ (2) råi céng l¹i ta ®îc x y a 2 b2 x 2 y 2 a (1) Do vËy ta ®îc hÖ: 2 2 2 2 x y a b (2') 2 Gi¶i hÖ t×m ®îc x vµ y 2 suy ra x vµ y ®Ó t×m z. Chó ý: Theo (2) ta cã nÕu b > 0 th× x, y cïng dÊu. NÕu b < 0 th× x, y tr¸i dÊu. II. C«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai hÖ sè phøc Cho PT: ax bx c 0; (1) (a, b, c , a 0) vµ cã b 4ac 2 2 b b + NÕu 0 pt cã hai nghiÖm lµ x1 ; x2 2a 2a Trong ®ã lµ mét c¨n bËc hai cña . b + NÕu = 0 th× pt cã nghiÖm kÐp: x1 x2 . 2a B. C¸c d¹ng bµi tËp I. Gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 1) Ph¬ng ph¸p gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 5 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC B BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng Az + B = 0, A, B , A 0 . ViÕt nghiÖm z A 2) VÝ dô VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2iz + 1 - i = 0 Bµi gi¶i (1 i ) 1 1 1 1 NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ z i. 2i 2i 2 2 2 II. TÝnh c¨n bËc hai vµ gi¶iph¬ng tr×nh bËc hai 1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Sö dông c«ng thøc tÝnh c¨n bËc hai cña sè phøc ®Ó tÝnh c¨n bËc hai. Sö dông c«ng thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ®Ó t×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh víi chó ý ph¶i ®a vÒ ®óng d¹ng cña ph¬ng tr×nh. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: a ) 5 12i b) 8 6i c) 33 56i d ) 3 4i Bµi gi¶i a) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -5 + 12i tøc lµ 2 x iy 5 12i x 2 y 2 2ixy 5 12i x 2 y 2 5 2 2 x y 5 2 x 4 x 2 2 2 2 2 xy 12 x y 13 y 9 y 3 x 2 x 2 Do b = 12 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc y 3 y 3 VËy -5 + 12i cã 2 c¨n bËc hai lµ z1 =2+3i vµ z2 = -2-3i. b) T¬ng tù ta gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 8+ 6i tøc lµ 2 x iy 8 6i x 2 y 2 2ixy 8 6i x2 y 2 8 x2 y 2 8 x2 9 x 3 2 2 2 2 xy 6 x y 10 y 1 y 1 x 3 x 3 Do b= 6> 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc y 1 y 1 VËy 8 + 6i cã 2 c¨n bËc hai lµ 3+i vµ -3-i. c) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña 33 - 56i tøc lµ 2 x iy 33 56i x 2 y 2 2ixy 33 56i x 2 y 2 33 2 2 x y 33 x 2 49 x 7 2 2 2 2 xy 56 x y 65 y 16 y 4 x 7 x 7 Do b = -56 < 0 nªn x vµ y tr¸i dÊu tõ ®ã cã hoÆc y 4 y 4 VËy 2 c¨n bËc hai cña 33 - 56i lµ 7- 4i vµ -7+i4. d) Gäi z = x + iy lµ mét c¨n bËc hai cña -3 +4i tøc lµ 2 x iy 3 4i x 2 y 2 2ixy 3 4i http://violet.vn/kinhhoa 6 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC x 2 y 2 3 2 2 x y 3 2 x 1 x 1 2 2 2 2 xy 4 x y 5 y 4 y 2 x 1 x 1 Do b = 4 > 0 nªn x vµ y cïng dÊu tõ ®ã cã hoÆc y 2 y 2 VËy 2 c¨n bËc hai cña -3 + 4i lµ 1 + 2i vµ -1-2i. VÝ dô 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a ) x 2 3 4i x 5i 1 0; (1) b) x2 1 i x 2 i 0; (2) Bµi gi¶i 2 a) Ta cã 3 4i 4 5i 1 3 4i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1d) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 1+ 2i vµ -1 - 2i. Do ®ã pt (1) cã hai nghiÖm lµ: 3 4i 1 2i 3 4i 1 2i x1 2 3i; x2 1 i 2 2 2 b) T¬ng tù ta cã 1 i 4 i 2 8 6i Theo kÕt qu¶ vÝ dô 1b) th× cã hai c¨n bËc hai lµ 3 + i vµ -3 - i. Do ®ã pt (2) cã hai nghiÖm lµ: 1 i 3 i 1 i 3 i x1 1; x2 2 i 2 2 Chó ý: PT (2) cã thÓ dïng nhÈm nghiÖm nhê a + b + c = 0 VÝ dô 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a ) 3 x 2 x 2 0; (1); b) x 2 x 1 0; (2); c ) x3 1 0 (3) Bµi gi¶i a) Ta cã = 12- 4.3.2 =-23
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 Gi¶ sö PT bËc hai: ax bx c 0; a, b, c , a 0 nhËn sè phøc lµ nghiÖm 2 tøc lµ ta cã: a b c 0 . (1) LÊy liªn hîp hai vÕ cña (1) vµ sö dông tÝnh chÊt liªn hîp cña sè thùc b»ng chÝnh nã th× ta ®îc: 2 a 2 b c 0 a b c 0 . §iÒu nµy chøng tá lµ nghiÖm cña pt. 2 ¸p dông: Chøng tá 1+i lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x 3 x 3 5i 0 . T×m nghiÖm cßn l¹i cña pt ®ã. VÝ dô 5: Ph¸t biÓu vµ chøng minh ®Þnh lÝ ®¶o vµ thuËn cña ®Þnh lÝ Vi-et cña ph¬ng t×nh bËc hai víi hÖ sè phøc. ThuËn: NÕu hai sè x1 & x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b c ax 2 bx c 0; a, b, c , a 0 th× x1 x2 & x1 x2 . a a Chøng minh Theo c«ng thøc nghiÖm cña pt bËc hai víi hÖ sè phøc ta cã: b b b x1 x2 2a 2a a 2 2 b b b c x1 x2 . 2 2a 2a 4a a §¶o: NÕu hai sè ; tho¶ m·n: S & . P th× ; lµ nghiÖm cña pt: x 2 Sx P 0 .(1) Chøng minh 2 x Ta cã: (1) x x 0 x x 0 x §iÒu nµy chøng tá ; lµ nghiÖm cña (1). ¸p dông: LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm 4 3i; 2 5i Bµi gi¶i Theo bµi ra ta cã: 2 8i vµ . 4 3 2 5i 23 14i i 2 Theo kÕt qu¶ Vd5 ta ®îc pt bËc hai cÇn lËp lµ: x 2 8i x 14i 23 0 2 VÝ dô 6: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: x mx 3i 0 cã tæng b×nh ph¬ng 2 nghiÖm b»ng 8. Bµi gi¶i 2 2 2 Theo bµi ra ta cã: x1 x2 8 x1 x2 2 x1 x2 8 (1). Theo Vi-et ta cã x1 x2 m 2 2 Thay vµo (1) ta ®îc m 6i 8 m 8 6i . Tøc m lµ mét c¨n bËc hai x1 x2 3i cña 8+6i. Theo kÕt qu¶ Vd1b ta cã 2 gi¸ trÞ cña m lµ: 3 + i vµ -3 - i. z12 z2 5 2i (1) 2 VÝ dô 7: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh z1 z2 4 i (2) Bµi gi¶i http://violet.vn/kinhhoa 8 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 2 2 Tõ (2) ta cã z1 z2 2 z1 z2 15 8i. KÕt hîp víi (1) ta cã z1 z2 5 5i vËy ta cã hÖ z1 z2 4 i ph¬ng tr×nh: Do ®ã z1 , z2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh z1 z2 5 5i z 2 4 i z 5 5i 0 . Ta cã 5 12i theo Vd1a ta biÕt cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + 3i vµ -2 - 3i. 4 i 2 3i z1 3i 2 z1 1 2i VËy ta cã HoÆc . z 4 i 2 3i z2 3 i 1 2i 2 2 2 VÝ dô 8: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1 i 2 z 3 2i z 1 i 0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A z12 z2 2 b) B z12 z2 z1 z2 2 c) C z2 z1 Bµi gi¶i 3 2i 3 2 2 2 3 2 z1 z2 i 1 i 2 3 3 Theo Vi-et ta cã: z z 1 i 1 2 1 2 i 1 2 1 i 2 3 3 a) Ta cã 2 2 3 2 2 23 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2 A z1 z2 2 z1 z2 i 2 3 3 i i 3 3 9 9 b) 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2 B z1 z2 z1 z2 i i i 3 3 3 3 9 9 2 2 z z2 A 6 26 2 i c) Ta cã C 1 . z1 z2 1 2 1 2 18 i 3 3 4 2 VÝ dô 9: Gi¶i pt: z 6 z 25 0 (1) Bµi gi¶i 2 2 §Æt z t. Khi ®ã (1) cã d¹ng: t 6t 25 0 (2). Ta cã: ' 16 cã hai c¨n bËc hai lµ 4i vµ - 4i nªn pt (2) cã hai nghiÖm lµ t1 3 4i vµ t2 3 4i . MÆt kh¸c 3 + 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 + i vµ -2 - i cßn 3 - 4i cã hai c¨n bËc hai lµ: 2 - i vµ -2 + i nªn pt (1) cã 4 nghiÖm lµ: z1 2 i; z2 2 i; z3 2 i; z4 2 i C. bµi tËp Bµi 1: T×m c¸c c¨n bËc hai cña c¸c sè phøc sau: http://violet.vn/kinhhoa 9 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC 3 i a) 8+6i b) 3+4i c) 1 i 3 2 2 1 1 1 i 1 i 3 d) e) f) 1 i 1 i 1 i 3 i Bµi 2: Gäi u1 ; u2 lµ hai c¨n bËc hai cña z1 3 4i vµ v1 ; v2 lµ hai c¨n bËc hai cña z2 3 4i . TÝnh u1 u2 v1 v2 ? Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a ) z 2 2iz 2i 1 0; b) z 2 5 14i z 2 12 5i 0 2 c) z 2 80 z 4099 100i 0; d ) z 3 i 6 z 3 i 13 0 e) z 2 cos i sin z i cos sin 0. Bµi 4: T×m c¸c c¨n bËc ba cña 8 vµ -8. Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng: a ) z 4 8 1 i z 2 63 16i 0; b) z4 24 1 i z2 308 144 i 0 2 Bµi 6: Cho z1 , z2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: z 1 i 2 z 2 3i 0 . Kh«ng gi¶i pt h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: z1 z2 a ) A z12 z2 2 b) B z12 z2 z1 z2 2 c) C z2 z1 1 2 1 2 d ) D z13 z2 3 e) E z2 z13 z1 z2 3 f ) F z1 z2 z2 z1 z1 z2 Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ PT u 2 v 2 4uv 0 z 2i z a) b) u v 2i z i z 1 ……………………………………………………. VẤN ĐỀ 3 D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc A. KiÕn thøc cÇn nhí I. Sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c. 1. Acgumen cña sè phøc z 0 y Cho sè phøc z 0. Gäi M lµ ®iÓm trong mÆt ph¼ng phøc biÓu diÔn sè phøc z. Khi ®ã sè ®o (radian) cña mçi gãc lîng b gi¸c tia ®Çu Ox, tia cuèi OM ®îc M gäi lµ mét Acgumen cña z. O a x Chó ý: + NÕu lµ Acgumen cña z th× mäi Acgumen cña z ®Òu cã d¹ng: + k2 , k Z. + Acgumen cña z 0 x¸c ®Þnh sai kh¸c k2 , k Z. II. D¹ng lîng gi¸c cña sè phøc http://violet.vn/kinhhoa 10 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Cho sè phøc Z = a+bi, (a, b R), víi r = a 2 b 2 lµ modun cña sè phøc z vµ lµ Acgumen cña sè phøc z. D¹ng z = r (cos +isin ) ®îc gäi lµ d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc z 0, cßn d¹ng z = a + bi ®îc gäi lµ d¹ng ®¹i sè cña sè phøc z. II. Nh©n vµ chia sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c NÕu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ') (r 0 vµ r' 0 ) th× z r zz' = rr ( cos ( ' ) i sin( ' )); cos( ') i sin( ') (khi r' > 0). z' r' III. C«ng thøc Moa-Vr¬ vµ øng dông 1. C«ng thøc Moa- Vr¬ n r (cos i sin ) r n (cos n i sin n ) cos i sin n cos n i sin n , n N * . 2. C¨n bËc n cña mét sè phøc Víi z = r(cos +isin ), r > 0, cã hai c¨m bËc hai cña z lµ r (cos i sin ) ; r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) . 2 2 2 2 2 2 B. c¸c d¹ng Bµi tËp I. ViÕt sè phøc díi d¹ng lîng gi¸c 1) Ph¬ng ph¸p Víi mçi sè phøc z = a + bi: a b TÝnh r = a 2 b2 ; TÝnh cos = ,sin tõ ®ã suy ra acgumen cña z r r Sö dông c«ng thøc lîng gi¸c cña sè phøc cho ta z = r (cos i sin ) . 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: ViÕt c¸c sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c 1 i 3 a )(1 i 3)(1 i ); b ) ; c ) z sin i cos 1 i Bµi gi¶i a) Ta cã 1 i 3 2 cos( ) i sin( ) ; cßn 1 i 2 cos i sin . Do ®ã 3 3 4 4 (1 i 3)(1 i ) 2 2 cos( ) i sin( ) . 12 12 b) Tõ phÇn trªn ta cã ngay kÕt qu¶ 1 i 3 7 7 2 cos i sin . 1 i 12 12 c) Ta cã z sin i cos cos( ) i sin( ) . VËy z cos( ) i sin( ) . 2 2 2 2 VÝ dô 2: Tuú theo gãc , h·y viÕt sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c (1 cos i sin )(1 cos i sin ). Bµi gi¶i XÐt sè phøc z = (1 cos i sin )(1 cos i sin ) , ta cã http://violet.vn/kinhhoa 11 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC z (2sin 2 i.2sin cos )(2cos 2 i.2sin cos ) 2 2 2 2 2 2 4sin cos (sin i cos )(cos i sin ) 2 2 2 2 2 2 2sin (sin cos sin cos i (cos2 sin 2 )) 2sin sin i cos . 2 2 2 2 2 2 Hay z = 2sin (sin - icos ) (*) + NÕu sin 0 , th× tõ (*) cã z = 2sin cos( ) i.sin( ) lµ d¹ng sè phøc cÇn t×m. 2 2 + NÕu sinh < 0, th× tõ (*) ta cã : z 2sin ( sin i cos ) 2sin cos( ) i.sin( ) lµ dang lîng gi¸c cÇn t×m. 2 2 + NÕu sinh = 0, th× z = 0, nªn kh«ng cã d¹ng lîng gi¸c x¸c ®Þnh. II. C¸c bµi tËp tÝnh to¸n tæng hîp vÒ d¹ng lîng gi¸c cña sè phøc 1) Ph¬ng ph¸p gi¶i §a sè phøc vÒ d¹ng lîng gi¸c råi sö dông c¸c c«ng thøc Moivre ®Ó tÝnh to¸n c¸c ®¹i lîng theo yªu cÇu cña bµi tËp. 2) C¸c vÝ dô VÝ dô 1: T×m phÇn thùc vµ phÇn ¶o cña mçi sè phøc sau (1 i )10 1 1 a) 9 ; b) cos i sin i 5 (1 3i )7 ; c) z 2009 2009 , nÕu z 1 . ( 3 i) 3 3 z z Bµi gi¶i a) XÐt sè phøc 10 5 5 2(cos i sin ) 25 (cos i sin ) (1 i )10 4 4 9 2 2 ( 3 i) 9 3 3 29 (cos i sin ) 2(cos 6 i sin 6 2 2 1 1 4 (cos i sin ) 2 16 1 VËy phÇn thùc b»ng , phÇn ¶o b»ng 0. 16 b) XÐt sè phøc 7 cos i sin i 5 (1 3i )7 cos( ) i sin( ) i 2(cos i sin ) 3 3 3 3 3 3 7 7 27 cos( ) i sin( ) (cos i sin )i 27 cos 2 i sin 2 i 27 i. 3 3 3 3 VËy phÇn thùc cña sè phøc b»ng 0, phÇn ¶o b»ng 27 128 . c) Tõ 1 3i 1 z cos i sin 2 3 3 z 1 z2 z 1 0 z 1 3i z cos( ) i sin( ). 2 3 3 http://violet.vn/kinhhoa 12 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC Víi z cos i sin , ta cã 3 3 1 1 z 2009 2009 (cos i sin )2009 ( )2009 z 3 3 cos i sin 3 3 2009 2009 (cos i sin ) (cos( ) i sin( )) 3 3 3 3 2009 2009 2009 2009 2 2 (cos i sin )(cos i sin ) 2cos(669 ) 2cos 1. 3 3 3 3 3 3 VËy phÇn thùc c¶u sè phøc b»ng 1, phÇn ¶o b»ng 0. VÝ dô 2: TÝnh tæng sau S (1 i ) 2008 (1 i ) 2008 Bµi gi¶i Ta cã 1 i 2(cos i sin ) (1 i )2008 21004 (cos502 i sin 502 ) 4 4 1 i 2(cos i sin ) 2(cos( ) i sin( )) (1 i )2008 21004 (cos( 502 ) i sin( 502 )). 4 4 4 4 Do ®ã S 21005 cos(502 ) 21005 . VÝ dô 3: Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c c¨n bËc ba cña 1 lËp thµnh mét tam gi¸c ®Òu. Bµi gi¶i XÐt ph¬ng tr×nh z 3 1 trªn , cã nghiÖm d¹ng z r (cos i sin ) . Khi ®ã r 1 z 3 1 r 3 (cos3 i sin 3 ) 1 3 k 2, k . Do ®ã ph¬ng tr×nh trªn cã ®óng ba nghiÖm øng víi ba gi¸ trÞ cña k lµ Víi k = 0 ta cã z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2 2 1 3 Víi k = 1 ta cã z 1 = cos i sin i ; 3 3 2 2 4 4 1 3 Víi k = 2 ta cã z 2 = cos i sin i . 3 3 2 2 Nªn 1 cã ba c¨n bËc ba ®ã lµ c¸c sè phøc ®îc x¸c ®Þnh nh trªn. Trong mÆt ph¼ng phøc, gäi A, B, C lÇn lît lµ ®iÓm biÓu diÔn c¸c sè phøc z 0 , z 1 , z 2 . Khi ®ã 2 2 OA OB OC 1; AOB ; BOC 3 3 Tõ ®ã suy ra tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ®Òu. C. bµi tËp Bµi 1: ViÕt c¸c sè phøc sau díi d¹ng lîng gi¸c: 1 i 3 a. 1 - i 3 b. ( 1 - i 3 )(1 i ) c. 1 i 5 d. 1 - itan e. tan i f. 1-cos i sin ( R, k 2 , k Z ) 5 8 Bµi 2: Cho 2 sè phøc: 4 – 4i vµ 1+ i 3 . http://violet.vn/kinhhoa 13 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC T×m Modun vµ Acgumen cña c¸c sè phøc lµ ®èi liªn hîp cña 2 sè phøc trªn vµ viÕt chóng díi d¹ng lîng gi¸c. 1 Bµi 4: T×m d¹ng lîng gi¸c cña c¸c sè phøc sau: z ; , biÕt: z a. z = r ( cos i sin ) , r >0; b. z = 1 + 3 i Bµi 5: T×m c¸c c¨n bËc 5 cña 1? CMR tæng cña chóng b»ng 0? Bµi 6: Rót gän hÕt dÊu c¨n ë mçi biÓu thøc sau 1 3 a. 4 1 b. 8 1 c. 1 i d. 3 i 2 2 Bµi 7: Cho sè phøc z = a + bi . Mét h×nh vu«ng t©m lµ gèc to¹ ®é 0, c¸c c¹nh song song víi c¸c trôc to¹ ®é vµ cã ®é dµi b»ng 4. X¸c ®Þnh a,b ®Ó t×m ®iÓm biÓu diÔn cña sè thùc z. a, N»m trong h×nh vu«ng b, N»m trªn ®êng chÐo cñah×nh vu«ng Bµi 8: Chøng minh r»ng 2 2 2 1 z z a. z1 z 2 1 + z1 z2 = (1+ z1 )(1+ z 2 ) 2 b. z1 z 2 ( z1 z 2 ) 1 2 . 2 z1 z2 Bµi 9: TÝnh a. cos a + cos (a+b) + cos (a+2b) +…+ cos(a+nb) b. sin a + sin (a+b) + sin (a+2b) +…+ sin (a+nb). ………………………………. http://violet.vn/kinhhoa 14 Ngọc Vinh
- CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2009 - PHẦN SỐ PHỨC PHẦN 2. LUYỆN TỔNG HỢP Bµi 1. a.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : 2 z 2 2i 1 h·y t×m sè z cã moidule nhá nhÊt b.Trong c¸c sè z tho¶ m·n : z 5i 3 h·y t×m sè z cã acgumen d¬ng nhá nhÊt 1 c. Cho | z | 2009 . Tìm số phức có modun lớn nhất z Bµi 2. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : a. z z n 1 ( n N ) b. ( z a ) n z n ( n N , a R, a 0) Bµi 3. Cho hai ®iÓm M(z) vµ I(z1) t¬ng øng víi sè phøc z=x+yi , x, y R vµ sè phøc z1=a+bi a) Chøng minh hÖ thøc : (z-z1).( z z 1 ) =(x-a)2+(y-b)2 b) suy ra hÖ thøc : (z-z1).( z z 1 ) =R2 ( R> 0) Lµ ph¬ng tr×nh mét ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh R Bµi 4. 0 x y 1 T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M biÓu diÔn c¸c sè phøc z =x+yi tháa m·n ®iÒu kiÖn sau : y x 2 1 Bµi 5. 2 2 Hãy tính tổng S 1 z z 2 z3 ... zn 1 biết rằng z cos i sin n n Bµi 6. Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2 4 3 z 1 a. z -z + +z+1 = 0 ( Èn phô =z- ); b. (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 2 z Bµi 7. T×m sè thùc a, b ®Ó cã ph©n tÝch : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b) Tõ ®ã gi¶i ph¬ng tr×nh : f(z) = 0 Bµi 8. Với z là số phức. Chứng minh rằng: Bµi 9. z Tính giới hạn: lim |1 |n với z C n n Bµi 10. Cho a, b, c là ba số phức khác 0 phân biệt với |a| = |b| = |c|. Chứng minh rằng nếu mỗi phương trình: az2 + bz + c = 0, bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có modun bằng 1 thì: |a – b| = |b – c| = |c – a| http://violet.vn/kinhhoa 15 Ngọc Vinh
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
78 p | 417 | 182
-
Các chuyên đề luyện thi đại học toán 2012
0 p | 542 | 175
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Sinh: Liên kết gen trên NST giới tính
4 p | 337 | 108
-
Các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan (Đặng Thanh Nam)
101 p | 245 | 76
-
Các chuyên đề luyện thi Đại học môn Hóa: Phương pháp 6 - Phương pháp sử dụng Ion thu gọn - GV. Nguyễn Văn Nghĩa
8 p | 353 | 76
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Hóa học: Nâng cao - Bài toán thủy phân este đặc biệt
4 p | 304 | 76
-
Chuyên để luyện thi đại học môn Sinh học: Di truyền ngoài nhân và ảnh hưởng của môi trường
6 p | 214 | 49
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Hóa học: Nâng cao - xác định CTPT - CTCT và gọi tên Este
4 p | 332 | 48
-
Các chuyên đề luyện thi ĐH môn Toán - THPT Phan Đình Phùng
78 p | 368 | 43
-
Các chuyên đề luyện thi đại học - 15 chuyên đề luyện thi môn toán
802 p | 194 | 42
-
Các chuyên đề luyện thi Đại học - Trần Anh Tuấn
145 p | 221 | 35
-
Chuyên đề luyện thi Đại học 2015 -2016: Giải phương trình mũ & Logarit - Phần 2
16 p | 148 | 33
-
Các chuyên đề luyện thi đại học môn Vật lý
233 p | 387 | 32
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Hóa học: Căn bản - Phản ứng este hóa, điều chế este
3 p | 308 | 32
-
Chuyên đề luyện thi đại học Toán lớp 10, 11, 12
16 p | 142 | 29
-
Các chuyên đề Luyện thi đại học - Nguyễn Minh Hiếu
78 p | 181 | 16
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Vật lý: Sóng dừng với vật cản tự do
2 p | 122 | 7
-
Chuyên đề luyện thi đại học môn Vật lý: Sóng dừng với vật cản cố định
2 p | 97 | 6
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn