Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
I- Một số kiến thức cần lưu ý:
1.Véctơ
0
n
r r
nằm trên đường thẳng vuông góc với mp(
) được gọi là véc tơ pháp tuyến của
mp(
).
2. Nếu 2 véctơ
,
u v
r r
là 2 véc tơ không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mp(
)
thì véctơ
,
r r r
là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (
).
3. Phương trình Ax+By+Cz+D=0 với 2 2 2
0
A B C
gọi là phương trình tổng quát của mặt
phẳng (
). Khi đó mp(
) có một véctơ pháp tuyến là
( ; ; )
n A B C
r
.
4. Mp(
) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có véctơ pháp tuyến
( ; ; )
n A B C
r
thì mp(
) có phương
trình là A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
(Chó ý: Cã to¹ ®é 1 ®iÓm thuéc mp vµ VTPT cña mp => viÕt ®îc PT tæng
qu¸t cña mp).
5. Nếu (
) đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)với
0
abc
thì phương trình mặt phẳng
(ABC) là
1
x y z
a b c
(1). PT(1) được gọi là PT mặt phẳng theo đoạn chắn.
6. Các mp(Oxy); (Oyz); (Oxz) có phương trình lần lượt là z=0; x=0; y=0
7. Hình chiếu của điểm M(a;b;c) trên các trục toạ độ Ox; Oy; Oz lần lượt là Mx(a;0;0);
My(0;b;0); Mz(0;0;c). Hình chiếu của M trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là
M1(a;b;0); M2(0;b;c); M3(a;0;c).
8. Điểm đối xứng với điểm M(a;b;c) qua các mặt phẳng toạ độ (Oxy); (Oyz); (Oxz) lần lượt là
'
1
( ; ; )
M a b c
;'
2
( ; ; )
M a b c
; '
3
( ; ; )
M a b c
II- Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mp
( )
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
B1: T×m to¹ ®é
AB,AC
uuur uuur
B2: T×m
n AB,AC
r uuur uuur
B3: ViÕt PT mp(P) ®i qua ®iÓm A vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 2: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm M0 cho trước và song song với mp(
) cho trước
(0
( )
M
).
B1: T×m VTPT
n
r
cña mp
( )
B2: Mp
( )
cÇn t×m ®i qua ®iÓm M0 vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 3:Viết phương trình mp trung trực của đoạn thẳng AB.
B1: T×m to¹ ®é
AB
uuur
vµ to¹ ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n AB.
B2: Mp cÇn t×m ®i qua ®iÓm I vµ nhËn
AB
uuur
lµm VTPT.
Dạng 4: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm M0 cho trước và vuông góc với đường thẳng d cho
trước.
B1: T×m VTCP
u
r
cña d.
B2: ViÕt PT mp
( )
®ia qua ®iÓm M0 vµ nhËn
u
r
lµm VTPT.
Dạng 5: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm M0 và song song với hai đường thẳng phân biệt d1;
d2 cho trước. (d1 và d2 không song song)
B1: T×m c¸c VTCP
1 2
u ,u
uur uur
cña d1 vµ d2.
B2: T×m
1 2
n u ,u
r uur uur
B3: ViÕt PT mp(
)
®i qua ®iÓm M0 vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải
Dạng 6: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho trước. ( 0
M d
)
B1: T×m to¹ ®é ®iÓm M0
d vµ VTCP
u
r
cña d.
B2: T×m 0
n AM ,u
r uuuuur r
B3: ViÕt PT mp(
) ®i qua ®iÓm A vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 7: Viết phương trình mp
( )
chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 cho
trước. (d1 và d2 không song song)
B1: T×m to¹ ®é ®iÓm M1
1
d
vµ VTCP
1 2
u ,u
uur uur
cña d1 vµ d2.
B2; T×m
1 2
n u ,u
r uur uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M1 vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 8: Viết phương trình mp
( )
chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1 và d2.
B1: T×m to¹ ®é ®iÓm M1
d1 (hoÆc ®iÓm M2
d2 ) vµ c¸c VTCP
1 2
u ,u
uur uur
cña d1 vµ d2.
B2: T×m
1 2
n u ,u
r uur uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M1 (hoÆc M2) vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mp
( )
chứa 2 đường thẳng song song d1 và d2.
B1: T×m to¹ ®é ®iÓm M1
d1 vµ ®iÓm M2
d2 vµ c¸c VTCP
u
r
cña d1.
B2: T×m
1 2
n u,M M
r r uuuuuur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M1 (hoÆc M2) vµ nhËn
n
r
lµm VTPT
Dạng 10: Viết phương trình mp
( )
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp(
) cho trước. (AB
không vuông góc với
( )
).
B1: T×m to¹ ®é
AB
uuur
vµ VTPT
n
uur
cña mp
.
B2: T×m
n AB,n
r uuur uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm A (hoÆc B) vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 11: Viết phương trình mp
( )
chứa đường thẳng d và vuông góc với mp
( )
cho trước.
(đường thẳng d không vuông góc với
( )
)
B1: T×m to¹ ®é ®iÓm M
d , VTCP
u
r
cña d vµ VTPT
n
uur
cña (
).
B2:
n u,n
r r uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M vµ nhËn
n
r
lµm VTPT.
Dạng 12: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm M0 và vuông góc với 2 mp (P) và (Q) cho trước.
(Hai mp (P) và (Q) không song song).
B1: T×m c¸c VTPT
1 2
n ,n
uur uur
cña (P) vµ (Q)
B2: T×m
1 2
n n ,n
r uur uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M0 vµ nhËn
n
r
lµm VTPT
Dạng 13: Viết phương trình mp
( )
đi qua điểm M0, song song với đường thẳng d và vuông góc với
mp(
) cho trước.(đường thẳng d không song song với mp(
)).
B1: T×m to¹ ®é VTCP
u
r
cña d vµ VTPT
n
uur
cña mp
.
B2: T×m
n u,n
r r uur
B3: ViÕt PT mp (
) ®i qua ®iÓm M0 vµ nhËn
n
r
lµm VTPT
D¹ng 14: ViÕt PT mp
( )
tiÕp xóc víi mÆt cÇu t©m I t¹i ®iÓm H
Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải
B1: T×m to¹ ®é
IH
uur
B2: ViÕt PT mp(
) ®i qua ®iÓm H vµ nhËn
IH
uur
lµm VTPT.
III- Bài tập:
Bài 1: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4); B(-1;-3;5).
Bài 2: Cho tứ diện ABCD với A(2;3;1); B(4;1;-2); C(6;3;7); D(-5;-4;8).
a) Viết PT mặt phẳng (ABC).
b) Tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ D.
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm A(1;0;2) và song song với mp(Oxy).
b) Đi qua điểm M(2;-4;3) và vuông góc với trục Ox.
c) Đi qua điểm I(-1;2;4) và song song với mp: 2x-3y+5z-1=0
Bài 4: Viết PT mặt phẳng đi qua 3 hình chiếu của điểm M(1;2;-3) trên các trục toạ độ.
Bài 5: Viết phương trình của mp(P) chứa gốc toạ độ và vuông góc với cả hai mặt phẳng có phương trình:
x-y+z-7=0 và 3x+2y-12z+5=0
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A((1;0;-2); B(-1;-1;3) và mp(P): 2x-y+2z+1=0. Viết phương
trình mp(Q) đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mp(P).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0); B(-3;0;2); C(1;2;3); D(0;3;-2). Viết phương trình
mặt phẳng chứa AD và song song với BC.
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
2
1
2
x t
y t
z t
và điểm A(1;-2;2). Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.
Bài 9: Cho d là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ):2 4 0
xyz
và
( '): 3 1 0
x y z
. Viết
phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1;0;1) và chứa đường thẳng d.
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng chứa Oy và đi qua điểm A(-1;3;-2)
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng 1
2 2
: 1
1
x t
d y t
z
và 2
1
: 1
3
x
d y t
z t
. Viết phương trình
mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2.
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng:
( )
: x-2y+z-4=0 ;
( ')
: x+2y-2z+4=0.
a) Chứng tỏ hai mặt phẳng
( ),( ')
cắt nhau theo một giao tuyến d1.
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song với đường thẳng d2:
1
2
1 2
x t
y t
z t
Bài 13: Trong không gian cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình x-2y-z-
2=0 và x+2y-4=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mp(Q): 2x-y+2z-3=0.
Bài 14: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng
( ):2 1 0
x y
và
( '): 1 0
z
.
a) Chứng tỏ 2 mặt phẳng
( );( ')
cắt nhau theo một giao tuyến d.
b) Viết phương trình mp(P) chứa d và cách điểm I(-1;2;3) một khoảng bằng 3.
---------------------------------------------------------------------------------
BÀI ĐỌC THÊM : CHÙM MẶT PHẲNG
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng
( );( )
cắt nhau theo giao tuyến d:
(
): Ax+By+Cz+D=0
(
): A’x+B’y+C’z+D’=0
Trường THPT Chu Văn An- Văn Yên _ Yên Bái GV: Bùi Thị Nhung
Hải
Tập hợp các mặt phẳng (
) chứa đường thẳng d nói trên được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi
( )
và
( )
và kí hiệu là
(( ),( ))
. Người ta chứng minh được phương trình của chùm
(( ),( ))
có dạng:
m(Ax+By+Cz+D)+m(A’x+B’y+C’z+D’)=0 với 2 2
m n 0
.
Ta thấy phương trình của chùm mặt phẳng rất đơn giản nhưng nó lại giúp chúng ta giải được rất
nhiều bài toán về phương trình mặt phẳng một cách độc đáo và cực kì ngắn gọn.