Cách giải Toán

Caïch giaíi toaïn

[Âáy laì pháön lyï thuyãút toaïn hoüc 3 nàm 10, 11, 12. Så læåüc laûi 1 chuït, coìn nhiãöu pháön næîa chæa âæa vä âæåüc. Chuïc caïc baûn hoüc täút!]

NHAÌ XUÁÚT BAÍN TXP

Caïch giaíi toaïn 2015

1. LÆU YÏ QUAN TROÜNG

våïi , m,n thç 1.1

våïi , m,n thç 1.2

coï nghiãûm 1.3 1.4

coï nghiãûm 1.5 1.6

thç 1.7

2. DAÎY SÄÚ CÄNG THÆÏC

2.1 1+2+3+..+n =

2.2 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=

2.3 …

3. CÄNG THÆÏC ÂAÛO HAÌM

Âaûo haìm nhanh:

 *

Page | 1

www.youtube.com/ptx39



Caïch giaíi toaïn 2015



 Tiãûm cáûn xiãn: tæì haìm säú:

TCX: nãúu e(bd-ae) = 0 thç TCX:

TÄØNG Sn cuía 1 cáúp säú nhán luìi vä haûn : laì säú haûng âáöu, cäng bäüi

Täøng n säú haûng âáöu tiãn cuía cáúp säú nhán

4. KHAÍO SAÏT HAÌM SÄÚ

4.1 Vaìi âiãøm nhoí cáön læu yï:

4.1.1 Âäö thë haìm säú y=f(x) vaì y= -f(x) âäúi xæïng nhau qua truûc Ox

4.1.2 Âäö thë haìm säú chàôn nháûn Oy laìm truûc âäúi xæïng.

4.1.3 Âäö thë haìm säú leí nháûn gäúc toüa âäü O laìm tám âäúi xæïng.

âäö thë (C1): y= 4.1.4 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x)

- Ta coï: nãúu

- Tæì âäö thë (C) âaî veî ta suy ra nhæ sau:

 Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox  Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë phêa dæåïi Ox  Boí pháön âäö thë phêa dæåïi Ox ta thu âæåüc âäö thë (C1) cáön tçm

âäö thë (C2): y= 4.1.5 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x)

- Ta coï: nãúu

- Tæì âäö thë (C) âaî veî ta suy ra nhæ sau:

Page | 2

www.youtube.com/ptx39

 Giæî nguyãn pháön âäö thë bãn phaíi Oy  Láúy âäúi xæïng qua Oy pháön âäö thë nàòm bãn phaíi  Boí pháön âäö thë phêa bãn traïi ta thu âæåüc âäö thë (C2) cáön tçm

Caïch giaíi toaïn 2015

âäö thë (C3):

4.1.6 Tæì âäö thë (C): våïi y= f(x)

- Ta coï: nãúu

- Tæì âäö thë (C) âaî veî ta suy ra nhæ sau:

 Giæî nguyãn pháön âäö thë phêa trãn Ox  Láúy âäúi xæïng pháön âäö thë nàòm phêa trãn Ox  Boí pháön âäö thë phêa dæåïi ta thu âæåüc âäö thë (C3) cáön tçm.

4.2 Khi viãút phæång trçnh âæåìng thàóng hoàûc tiãúp tuyãún cuía haìm säú nãn viãút dæåïi daûng âån giaín

nháút, daûng chung nhæ

y=kx+m y=k(x-x0)+y0 våïi k laì hãû säú goïc; k= tan ;  laì âäü däúc. k>0: âäö thë haìm säú hæåïng lãn;

Page | 3

www.youtube.com/ptx39

k<0: âäö thë haìm säú hæåïng xuäúng.

Caïch giaíi toaïn 2015

4.3 Khaío saït haìm säú coï càn thæïc:

4.3.1 Tçm D: táûp xaïc âënh

4.3.2 Tçm y’

4.3.3 Xem y”(x0) >0 hay <0 âãø kãút luáûn cæûc trë

vaì 4.3.4 Tçm phæång trçnh tiãûm cáûn xiãn

4.3.5 Baíng biãún thiãn vaì veî âäö thë

4.3.6 Chè ra âäö thë haìm säú càõt truûc hoaình, truûc tung taûi âiãøm naìo.

4.4 Khi aïp duûng âënh lyï Viet nhåï kiãøm tra laûi âiãöu kiãûn cáön vaì âuí

4.5 Khi tçm pt tiãûm cáûn xiãn cuía âths coï tham säú m. tçm âiãöu kiãûn âãø täön taûi tiãûm cáûn xiãn.

giaí sæí c(m) = 0 pt tråí thaình âæåìng thàóng khäng phaíi tiãûm cáûn xiãn. Giaí

sæí a(m) = 0 tiãûm cáûn xiãn tiãûm cáûn ngang. Kãút luáûn: khi a(m) vaì c(m) thç ta coï tiãûm cáûn

xiãn.

4.6 Nãúu Phæång trçnh báûc 3 khäng coï nghiãûm âàûc biãût thç âãø 2 âäö thë tiãúp xuïc nhau ta phaíi duìng

coï nghiãûm âãø âiãöu kiãûn tiãúp xuïc.

4.7 Khi tênh khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún âæåìng thàóng, chàóng haûn âiãøm thuäüc âäö thë

;…viãút laûi chuïng dæåïi daûng ; .

âãø tênh khoaíng caïch aïp duûng cäng thæïc, Báút âàóng thæïc Cosi (nãn âæa vaìo dáúu giaï trë tuyãût âäúi sau

âoï khai triãøn ra)

4.8 Khi viãút pt tiãúp tuyãún haìm säú coï daûng:

 laìm phæång phaïp tiãúp âiãøm

 laìm phæång phaïp hãû säú goïc

 Cuû thãø phæång phaïp tiãúp âiãøm: goüi M0(x0;y0) laì tiãúp âiãøm. Ta coï pt tiãúp tuyãún:

vç giaíi tçm x0; y0.

 Cuû thãø phæång phaïp hãû säú goïc: goüi laì âæåìng thàóng qua A: laì

Page | 4

www.youtube.com/ptx39

tiãúp tuyãún nãn coï nghiãûm keïp tçm k.

Caïch giaíi toaïn 2015

, B, C… maì …laì caïc säú phæïc

4.9 Khi tháúy caïc hãû säú cuía phæång trçnh hay âiãøm

taûp, ta chæïng minh BA = BC âãø kiãøm tra xem B coï laì trung âiãøm cuía AC hay khäng.

4.10 Baìi toaïn yãu cáöu xaïc âënh tiãúp tuyãún cuía âäö thë haìm säú coï 2 tiãúp âiãøm. Goüi tiãúp tuyãún laì

y=ax+b; pt f(x) =ax+b coï 2 nghiãûm keïp phán biãût

âäöng nháút âa thæïc F(x) vaì ta tçm âæåüc a,b,m,n.

coï thç:

4.11 Daûng tçm m âãø 2 giao âiãøm A, B cuía âäö thë (H) vaì (D) âäúi xæïng nhau qua  Tçm phæång trçnh hoaình âäü giao âiãøm cuía (H) vaì (D)  Tçm âiãöu kiãûn âãø (H) vaì (D)giao nhau taûi 2 âiãøm phán biãût (âoï laì phæång trçnh

hoaình âäü coï 2 nghiãûm phán biãût) chuï yï a

vaì D do

nãn C laì trung âiãøm cuía A, B

 Tçm giao âiãøm C cuía  A, B âäúi xæïng nhau qua maì  Aïp duûng âënh lyï Viet suy ra m cáön tçm

4.12 Tçm tám âäúi xæïng cuía âäö thë (H) laì haìm phán thæïc. - Ta tçm A laì giao âiãøm cuía tiãûm cáûn - Chuyãøn âäøi hãû truûc toüa âäü - Chæïng minh haìm säú måïi laì haìm leí

âaûo haìm báûc nháút y’ vä nghiãûm hoàûc coï nghiãûm 4.13 Haìm säú khäng coï cæûc âaûi hoàûc cæûc tiãøu

keïp. Tæïc laì vaì y’ =0 coï nghiãûm keïp laì

4.14 Tçm nghiãûm âàûc biãût cuía haìm säú tçm âiãøm cäú âënh maì âäö thë haìm säú âi qua

4.15 Âäö thë (C) laì haìm báûc 3 thç

 taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü låïn hån  thç

hoàûc

Page | 5

www.youtube.com/ptx39

 taûi 3 âiãøm phán biãût coï hoaình âäü nhoí hån  thç

Caïch giaíi toaïn 2015

hoàûc

 tiãúp xuïc chè coï thãø taûi cæûc âaûi cæûc tiãøu thç:

4.16 Hai âiãøm âäúi xæïng nhau qua âæåìng phán giaïc thæï 1 y = x thç

4.17 Chæïng minh ràòng (CMR) trãn âäö thë haìm säú coï vä säú càûp âiãøm sao cho tiãúp tuyãún våïi âäö thë

haìm säú taûi âiãøm âoï song song nhau. CMR âoaûn thàóng näúi caïc trung âiãøm, càûp âiãøm áúy luän luän

âäöng quy.

Caïch laìm:

4.17.1 Caïch 1

4.17.1.1 Ta chæïng minh coï vä säú càûp âiãøm maì taûi âoï âaûo haìm báûc nháút cuía haìm säú bàòng nhau

tæïc laì chæïng minh y’ = k coï 2 nghiãûm phán biãût (âãø chæïng minh ta phán têch k ra nheï). 4.17.1.2 Ta chæïng minh caïc càûp âiãøm naìy âäúi xæïng våïi nhau qua tám âäúi xæïng cuía âäö thë (âäúi våïi haìm phán thæïc) tæïc laì trung âiãøm cuía caïc càûp âiãøm laì tám âäúi xæïng I

4.17.2 Caïch 2

4.17.2.1 CMR caïc càûp âiãøm âäúi xæïng nhau qua tám I coï tiãúp tuyãún taûi âoï song song nhau (tæïc laì

cuìng hãû säú goïc)

4.17.2.2 Vç I laì tám âäúi xæïng cuía âäö thë nãn coï vä säú càûp âiãøm.

4.18 Muäún CM 3 âiãøm thàóng haìng ta chæïng minh chuïng coï cuìng hãû säú goïc. Giaí sæí:

thç A, B, C thàóng haìng khi

4.19 Âäö thë haìm säú báûc 2/báûc 1 coï giaï trë cæûc tiãøu, cæûc âaûi maì

 yCÂ.yCT > 0 âäö thë haìm säú y = f(x) càõt truûc hoaình taûi 2 âiãøm phán biãût tæïc laì

phæång trçnh f(x) = 0 coï 2 nghiãûm phán biãût.  yCÂ.yCT < 0 âäö thë haìm säú y = f(x) khäng càõt truûc hoaình tæïc phæång trçnh f(x) = 0

Page | 6

www.youtube.com/ptx39

vä nghiãûm

Caïch giaíi toaïn 2015

4.20 Âäi khi viãûc âàût áøn phuû yãu cáöu phaíi xaïc âënh chênh xaïc vuìng giaï trë cuía biãún do âoï âãø laìm

âæåüc âiãöu naìy ta thæåìng duìng âaûo haìm âãø xeït räöi suy ra âiãöu kiãûn cuía biãún.

4.21 Tçm âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua (hoàûc âi qua) våïi moüi m (m laì tham säú). Ta coï

âiãøm maì âäö thë haìm säú khäng âi qua våïi moüi m bao gäöm nhæîng âiãøm taûi âoï haìm säú khäng xaïc

âënh hoàûc âäö thë coï âiãøm cäú âënh A(xA; yA) (âiãøm naìy âäö thë luän âi qua våïi moüi m – âoüc kyî âãö laì

dãù nháûn ra làõm) thç nhæîng âiãøm naìy laì âiãøm maì âäö thë khäng âi qua (hoàûc âi qua).

4.22 CM hoü âæåìng cong tiãúp xuïc nhau:

 tçm âiãøm cäú âënh A(xA; yA)

 moüi âæåìng cong âãöu âi qua A(xA; yA)

 Vç k laì hàòng säú do âoï moüi âæåìng cong âãöu coï tiãúp tuyãún chung taûi âiãøm A nãn

chuïng tiãúp xuïc nhau!

4.23 Mäüt vaìi læu yï:

4.23.1 Phæång trçnh báûc 3 bao giåì cuîng coï nghiãûm.

4.23.2 Càûp âiãøm caïch âãöu 2 truûc toüa âoü laì

4.23.3 Quyî têch daûng x2+ y2 + 2ax + 2by =C (C>0) laì âæåìng troìn tám O(-a;-b)

4.23.4 Tçm 2 âiãøm thuäüc 2 nhaïnh cuía âäö thë (C) sao cho khoaíng caïch giæîa chuïng laì nhoí nháút?

Ta coï tiãûm cáûn âæïng: x= x0 x1 < x0 < x2

Âàût x1 = x0 – a vaì x2 = x0 + b a; b >0

4.23.5 CM x0 laì truûc âäúi xæïng vaì tênh duy nháút cuía noï?

Ta láúy 2 âiãøm âäúi xæïng nhau qua x0 räöi kiãøm tra xem hay khäng.

4.23.6 CM tám âäúi xæïng I(xI;yI) vaì tênh duy nháút.

Ta c/m nãúu x0 + x thç x0 – x cuîng

4.23.7 Khi gàûp haìm säú maì yï nghé laì duìng âãún âaûo haìm thç haìm säú âoï phaíi laì 1 áøn säú.

4.23.8 Tçm hãû säú goïc cuía âæåìng thàóng qua âiãøm A(a;b) vaì âiãøm B(c;d)

Ta coï: Hãû säú goïc laì suy ra phæång trçnh âæåìng thàóng laì

4.23.9 Tënh tiãún âäö thë: tæì âäö thë y= f(x) suy ra caïc âäö thë sau:

Nãúu a> 0: tënh tiãún sang traïi a âån vë Nãúu a < 0: tënh tiãún sang phaíi

âån vë

Nãúu b> 0: tënh tiãún lãn phêa trãn b âån vë

âån vë

Nãúu b < 0: tënh tiãún xuäúng dæåïi

Page | 7

www.youtube.com/ptx39

 Âäö thë y= f(x+a)

Caïch giaíi toaïn 2015

 Âäö thë y= f(x)+b

4.23.10 Våïi haìm phán thæïc: yãu cáöu tçm âiãøm cäú âënh maì (C) tiãúp xuïc våïi âæåìng thàóng cäú âënh

taûi âiãøm âoï thç laìm theo caïch: tçm âiãøm cäú âënh thuäüc (C) räöi viãút phæång trçnh âæåìng thàóng cäú

âënh áúy!

4.23.11 Haìm âa thæïc thç ta tçm tiãúp tuyãún täøng håüp bàòng caïch: Goüi A(x0;y0) laì âiãøm maì âæåìng

thàóng f(x): y = ax+ b luän tiãúp xuïc våïi (C): g(x) tæì âoï thay vaìo hãû phæång trçnh sau âãø giaíi:

våïi m: tham säú

4.23.12 Khäng thãø xeït dáúu y’ do càn thæïc phæïc taûp. Âãø giaíi quyãút, ta cho giaï trë cuía áøn säú x báút kç

taûi thuäüc âoaûn âang xeït vaìo y’. Nãúu:

 Kãút quaí cho ra giaï trë dæång thç y’ > 0  Kãút quaí cho ra giaï trë ám thç y’ < 0

4.23.13 Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Ox thç: y1.y2 <0 vaì ngæåüc laûi

Nãúu âãö yãu cáöu 2 cæûc trë cuía haìm säú nàòm vãö 2 phêa cuía Oy thç: x1.x2 <0

4.24 Cm âäö thë haìm säú báûc 3 khäng täön taûi 2 âiãøm sao cho tiãúp tuyãún taûi âoï vuäng goïc nhau. Xeït

y’: chuï yï nãúu: y’>0 sao cho y’(x0).y’(x1) = -1 âiãöu phaíi c/m

4.25 Âënh tham säú m âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng:

4.25.1 Haìm báûc 3: y = ax3+ bx2 + cx+d coï y’ = 3ax2 + 2bx + c

Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï 3 nghiãûm phán biãût

räöi thæí laûi âãø kiãøm tra

4.25.2 Haìm truìng phæång: y= ax4 + bx2 + c

Âãø (Cm) càõt Ox láûp thaình cáúp säú cäüng thç y = 0 coï khäng êt hån 3 nghiãûm phán biãût. Ta âàût

Page | 8

www.youtube.com/ptx39

t = x2  0 thç

Caïch giaíi toaïn 2015

4.26 Muäún âoaïn truûc âäúi xæïng cuía haìm truìng phæång báûc 4 (haìm chàôn), ta tçm trung bçnh cäüng

caïc nghiãûm cuía phæång trçnh y’ = 0, âoï chênh laì truûc âäúi xæïng cuía âäö thë haìm säú âaî cho.

4.27 Âënh giaï trë cuía m (tham säú) âãø haìm säú âaût giaï trë Max, Min trãn âoaûn hoàûc khoaíng âaî cho: Caïch laìm: xeït f’(x) xem thæí f’(x) nhoí hån hay låïn hån khäng vaì xaíy ra dáúu bàòng taûi vë trê  naìo. Tæì âoï suy ra giaï trë max, min chênh laì f() våïi  âiãøm thuäüc âoaûn hoàûc khoaíng âang

xeït. Vê duû âoaûn ,…

4.28 Tçm trãn âäö thë (C) càûp âiãøm âäúi xæïng nhau A, B qua I (a,b). Ta tiãún haình nhæ sau:

Thæûc hiãûn âäøi hãû truûc toüa âäü . Ta coï A, B âäúi xæïng nhau qua I trong hãû

toüa âäü Oxy A, B âäúi xæïng nhau qua gäúc toüa âäü I trong hãû toüa âäü måïi

cäüng vãú theo vãú tæì âoï suy ra âæåüc x,y càûp âiãøm A, B

4.29 Âäö thë (C) cuía haìm f(x) coï tiãúp tuyãún taûi âiãøm I laì âæåìng thàóng d: y= ax + b

 Nãúu f(x) < ax +b : âäö thë (C) nàòm dæåïi d  Nãúu f(x) > ax +b : âäö thë (C) nàòm trãn d

4.30 Tçm âiãöu kiãûn âãø haìm säú f(x) coï cæûc tiãøu maì khäng coï cæûc âaûi:

Ta viãút laûi f(x) thaình (x- ).g(x) = 0 tæì âoï suy ra âãø thoía maîn âiãöu kiãûn baìi toaïn thç

 G(x) = 0 coï nghiãûm keïp  G(x) = 0 vä nghiãûm  x =  laì 1 nghiãûm cuía g(x) = 0. Trong âoï hãû säú a cuía g(x) låïn hån khäng.

4.31 Tçm cæûc trë cuía haìm læåüng giaïc:

Duìng âiãöu kiãûn âuí thæï 2, âoï laì tçm y”(x0) våïi x0 laì nghiãûm cuía pt y’(x) = 0.

5. CAÏC DAÛNG PHÆÅNG TRÇNH VÄ TÈ

d) e) a)

b) f)

Page | 9

www.youtube.com/ptx39

Caïch giaíi toaïn 2015

6. PHÆÅNG TRÇNH, PHÆÅNG TRÇNH CÀN THÆÏC VAÌ PHÆÅNG PHAÏP GIAÍI

6.1 NOÏI CHUNG KHI BÀÕT ÂÁÖU LAÌM TOAÏN LOAÛI NAÌY TIÃÚN HAÌNH NHÆ SAU:

 NHÁÛP PHÆÅNG TRÇNH VAÌO MAÏY TÊNH  GAÏN NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT NHÆ TRÇNH BAÌY ÅÍ DÆÅÏI ÂÁY, KIÃØM TRA XEM COÏ BÀÒNG

0 ?

 COÏ ÂÆÅÜC NGHIÃÛM ÂÀÛC BIÃÛT BÁY GIÅÌ TA MÅÏI VIÃÚT LAÛI PHÆÅNG TRÇNH NAÌY!  VD: viãút laûi pt nhæ sau: pt (X-1)(3X2+2X- ) = 0

6.2 Phæång phaïp nhán liãn håüp

(nhán læåüng liãn thæïc ) 6.2.1 Daûng 1:

Duìng maïy tênh cáöm tay tçm nghiãûm âàûc biãût.(thæåìng laì caïc säú nguyãn sau: -2; -1;

0; 1; 2 hoàûc caïc säú nhæ -1.5; -1.25; -0.75; -0.5; 0.5; 0.75; 1.25; 1.5). Caïch duìng

maïy tênh nhæ sau: Nháûp caí biãøu thæïc vaìo maïy (chuyãøn hãút vãö 1 vãú räöi nháûp) sau

âoï duìng lãûnh Shift+ Solve gaïn giaï trë x = bao nhiãu âoï vaìo (caïc säú nhæ trãn) räöi

áún dáúu =. Nãúu cho kãút quaí bàòng 0 thç giaï trë x gaïn vaìo âoï laì nghiãûm. Caïch naìy ráút

hiãûu quaí vaì tuyãût våìi!

6.2.2 Daûng 2:

6.2.3 Daûng 3:

Caïch laìm hoaìn toaìn tæång tæû nhæ daûng 1, tuy nhiãn, chuï yï 1 chuït laì nãúu

khäng biãút dáúu thç ta xeït thãm træåìng håüp træåïc khi

laìm hè.

6.3 Âàût áøn phuû

thç ta âàût vaì âæa vãö hãû âäúi xæïng. 6.3.1 Daûng 1:

6.3.2

Âàût tæì âoï dãù daìng giaíi âæåüc u, v

räöi tçm nghiãûm cuía phæång trçnh

6.4 Duìng phæång phaïp khaío saït haìm säú:

Page | 10

www.youtube.com/ptx39

g(x)= f(m) coï nghiãûm haìm f(m) coï

Caïch giaíi toaïn 2015

6.5 Phæång phaïp Veïc Tå:

dáúu bàòng xaíy ra khi hoàûc cuìng phæång, chiãöu hoàûc

g(x) b) f(x) g(x) c) f(x) A g(x)

g(x) f(x) A

6.6 Phæång phaïp âäúi láûp chæïng minh: a) f(x) d) e) f(x) càõt g(x) taûi 1 âiãøm duy nháút. Xeït dáúu “=” xaíy ra bàòng caïch sæí duûng Báút

Page | 11

www.youtube.com/ptx39

âàóng thæïc Cosi, Bunhiacopxki, haìm f(u) = f(v)

Caïch giaíi toaïn 2015

6.7 Phæång phaïp læåüng giaïc hoïa:

âàût 6.7.1 Khi áøn x

âàût 6.7.2 Khi áøn

âàût 6.7.3 Phæång trçnh chæïa càn thæïc:

âàût 6.7.4 Phæång trçnh chæïa càn:

6.8 Phæång phaïp phaín chæïng: âoï laì chæïng minh hãû vä nghiãûm

6.9 Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc maì 2 vãú khäng thãø bçnh phæång hoàûc láûp phæång âæåüc (nãúu

âæåüc thç ráút khoï khàn) ta nghé ngay âãún viãûc chia 1 vãú phæïc taûp cho vãú âån giaín räöi duìng âaûo haìm

tçm nghiãûm cuía phæång trçnh naìy!

6.10 Âäi luïc phæång phaïp hãû toüa âäü cuîng âæåüc sæí duûng 1 caïch linh hoaût, giuïp baìi toaïn tråí nãn

âån giaín hån. Choün âiãøm coï toüa âäü laì 1 haìm theo phæång trçnh âaî cho,…

6.11 Chuï yï: Khi giaíi phæång trçnh càn thæïc, ta haûn chãú bçnh phæång 2 vãú hoàûc 1 vãú cuía phæång

trçnh khi phæång trçnh càn thæïc âoï khaï phæïc taûp (vç nhæ váûy seî laìm baûn räúi hån). Tuy nhiãn khäng

hàón khi naìo cuîng loaûi boí phæång phaïp bçnh phæång naìy, baûn phaíi kheïo leïo, tinh yï khi læûa choün

phæång aïn naìy (giaí sæí ruït goün båït caïc pháön tæí bàòng caïch âàût áøn phuû), biãút âáu noï laì chça khoïa âãø

giaíi toaïn!

7. PHÆÅNG TRÇNH TRË TUYÃÛT ÂÄÚI

d) ; hoàûc

Page | 12

www.youtube.com/ptx39

Caïch giaíi toaïn 2015

h) NÃÚU A, B  R THÇ

- A>B  - A=B  - A>B>0 

coï D ;

hãû coï nghiãûm duy nháút. Nãúu D ≠ 0 hoàûc

Nãúu D=0 vaì thç hãû vä nghiãûm hoàûc

hãû coï vä säú nghiãûm Nãúu D=Dx=Dy= 0 hoàûc

 Khi giaíi hãû phæång trçnh maì 1 phæång trçnh tçm âæåüc nghiãûm dãù daìng (taûm goüi laì pt1) coìn

phæång trçnh coìn laûi tçm khoï ra, hoàûc chæa ra (taûm goüi laì pt2) thç ta nghé ngay âãún duìng

phæång phaïp âaûo haìm vaì duìng âaûo haìm chæïng minh phæång trçnh naìy (pt2) cuîng coï nghiãûm

thoía maîn phæång trçnh kia (pt1)!

 Ngoaìi ra coìn coï caïc phæång phaïp sau: cäüng træì vãú theo vãú (ta tçm BSCNN cuía 1 trong 2 áøn åí 2

phæång trçnh cuía hãû räöi thæûc hiãûn cäüng-træì), xem 1 áøn (giaí sæí y ) laì tham säú giaíi phæång trçnh

theo áøn coìn laûi (giaí sæí x), phæång phaïp âäøi biãún, phæång phaïp âàût áøn phuû, phæång phaïp hãû

Page | 13

www.youtube.com/ptx39

toüa âäü (tæì âãö baìi kheïo leïo choün càûp âiãøm, âiãøm coï toüa âäü laì haìm theo x, y...),…

Caïch giaíi toaïn 2015

âæa vãö phán têch thaình báûc nháút. Vd: 1. Haìm f(x) coï daûng báûc 2 / báûc 1

2. Daûng f(x) coï dáúu giaï trë tuyãût âäúi thç læu yï vãö dáúu f(x): ám, dæång trong khoaíng naìo

duìng

Vd: ; do cosx 0 trong ; cosx<0 trong

3. Têch phán:

- Biãún âäøi:

Chuï yï: khi biãún âäøi phaíi xem âäøi biãún coï nghéa khäng nãúu khäng moüi tênh toaïn seî

vä nghéa

- Tæìng pháön:

Duìng têch phán biãún âäøi Duìng têch phán tæìng pháön

âàût

Khi haìm liãn tuûc [a,b] vaì coï âaûo haìm quan hãû láùn nhau trong biãøu thæïc haìm säú (chuï yï âoüc ké âãö, âaïnh giaï, nháûn xeït kãút håüp caí so saïnh næîa khi laìm, khäng väüi vaìng)

Page | 14

www.youtube.com/ptx39

4. Phaït hiãûn quan hãû âaûo haìm giæîa tæí vaì máùu âäøi biãún säú

Caïch giaíi toaïn 2015

Vd: . Phaït hiãûn ra laì 1+sin2x=(sinx+cosx)2 maì

âàût áøn phuû

dãù daìng viãút laûi âæåüc nhæ sau:

5. Nãúu máùu hoàûc tæí coï daûng truûc càn thæïc åí máùu hoàûc tæí.

6. Khi khäng phaït hiãûn âæåüc mäúi quan hãû âaûo haìm hoàûc khäng âàût âæåüc áøn phuû

duìng têch phán toaìn pháön.

hoàûc thç 7. Gàûp daûng

Khi âoï âàût t = tanx thç

; 8. Gàûp

 du=dx u=x+C (C laì hàòng säú) d(1+sin2x)=sin2xdx; d(1+cos2x)= -

sin2xdx

 nãúu gàûp daûng coï cos2x, sin2x, sinx.cosx;…thç chia cho cos2x  nãúu gàûp daûng âàût

 nãúu gàûp daûng thç âàût

 nãúu gàûp daûng thç nhán caí tæí vaì máùu cho ex (âãø goün gaìng hån khi laìm)

 nãúu gàûp daûng våïi p(x) laì haìm âa thæïc hoàûc læåüng giaïc thç âàût



 nãúu

+ leí thç nhán cho sinpx. p laì säú nguyãn leí

+ chàôn thç 1=sin2x+cos2x chuyãøn vãö

 Têch phán maì coï cáûn thç tæì tanx hoàûc cotx; tæì sinx hoàûc cosx.

Page | 15

www.youtube.com/ptx39

 Têch phán maì coï cáûn nghé ngay âãún sint vaì cost . âàût x= sin2t dt = sin2tdt

Caïch giaíi toaïn 2015

 ;



 Khi nhán læåüng liãn håüp nhåï ràòng máùu phaíi khaïc khäng



;

 Gàûp x3; x4;… tçm caïch ruït goün muî vaì âàût u hoàûc v= x3,x4…

,… tçm caïch ruït goün vaì âàût du hoàûc dv= lnxdx; dv= e-xdx; dv=

 Gàûp lnx, e-x, dx  Gàûp f(x) = cos(lnx).dx u= cos(lnx) vaì dx=dv

 Gàûp âàût x= tant;

 Gàûp âàût x= sint;

 Gàûp âàût u = cosx nãúu b>a; hoàûc u = sinx nãúu b

 Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa tan2x+ 1 vaì cos2x thç âàût

 Nãúu coï mäúi quan hãû giæîa cot2x+ 1 vaì sin2x thç âàût

tanx vaì cos2x luän âi âäi våïi nhau. tæång tæû cho cotx vaì sin2x

 Gàûp viãút thaình chuï yï: viãút x-a træåïc x+a

 Gàûp y= tênh thç âàût hoàûc våïi

 Gàûp liãn hãû âãún

 Gàûp haìm læåüng giaïc åí máùu, chuï yï cäú gàõng phán têch âæåüc åí tæí daûng tæång tæû nhæ åí

máùu hoàûc daûng âaûo haìm cuía máùu caïch laìm hay vaì nhanh nháút loaûi naìy!

Vd: ta tiãún haình âäöng nháút hãû

säú åí tæí räöi âàût t= b-x dt = -dx

 Khi gàûp täøng hoàûc hiãûu cuía 1 biãøu thæïc x 1 biãøu thæïc ta nãn taïch ra thaình nhiãöu têch phán tæìng pháön âãø tênh (âäi khi laûi dãù daìng hån so våïi khi âãø nguyãn maì tênh)

Page | 16

www.youtube.com/ptx39

 Gàûp âàût

Caïch giaíi toaïn 2015

 Gàûp nãúu:

- a>0 âàût - c>0 âàût

tiãún haình bçnh phæång lãn 2 vãú räöi ruït x theo t thay vaìo tçm

coï 2 nghiãûm phán biãût x1; x2 thç âàût - nãúu

thç âàût ; k: bäüi chung nhoí nháút cuía  Gàûp

 våïi a>0, coï nghéa khi nãn x+a>0

Do âoï: âàût x=asint,

 Daûng âàût

 Âäi khi biãøu thæïc dæåïi dáúu têch phán laì caïc biãøu thæïc cuía haìm læåüng giaïc báûc nháút vd:

cosx, sinx,… ta âàût

 Haìm dæåïi dáúu têch phán (haìm báûc nháút) laì haìm leí (chàôn) thç âàût –t = x  Haìm dæåïi dáúu têch phán laì càn thæïc thç âàût t=

9. ÆÏng duûng têch phán têch diãûn têch, thãø têch:

9.1 Diãûn têch hçnh thang cong: haìm y = f(x) liãn tuûc trãn [a, b] thç têch phán giåïi haûn båíi

4 âæåìng suy ra diãûn têch laì:

thç tçm f(x) = g(x) räöi suy ra x vaì diãûn têch hçnh 9.2 Têch phán giåïi haûn båíi

Page | 17

www.youtube.com/ptx39

phàóng laì :

Caïch giaíi toaïn 2015

suy ra diãûn 9.3 Goüi x laì haìm cuía biãún y thç diãûn têch giåïi haûn båíi caïc âæåìng:

têch:

9.4 Thãø têch váût thãø:

laì quay quanh truûc hoaình. 9.5 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi

laì quay quanh truûc tung. 9.6 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi

Våïi haìm säú y= f(x) liãn tuûc trãn [a, b] vaì ;

laì quay quanh Ox. 9.7 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi

Page | 18

www.youtube.com/ptx39

laì quay quanh Oy. 9.8 Thãø têch váût thãø giåïi haûn båíi

Caïch giaíi toaïn 2015

1. ÂÀÛT ÁØN PHUÛ 2. NHOÏM ÁØN SÄÚ, ÂÀÛT NHÁN TÆÍ CHUNG SAU ÂOÏ AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC RUÏT GOÜN

phæång trçnh naìy coï nhiãûm khi 4. Gàûp daûng asinx + bcosx + c = 0; chia 2 vãú cho

thç chia 2 vãú cho nãúu cosx =0 khäng 5. Gàûp daûng

laì nghiãûm

6. Gàûp daûng tanx + cotx hoàûc cosx + sinx thç âàût

; hoàûc

daûng tanx – cotx thç âàût

hoàûc coï muî laï muî báûc 3 vaì muî báûc 1 7. Gàûp daûng

thç chia hai vãú phæång trçnh cho nãúu = 0 khäng laì nghiãûm phæång trçnh.

9. Âån thæïc sinx, cosx coï báûc cuìng leí hoàûc cuìng chàón thç daûng âàóng cáúp. Nháûn xeït

hay cosx = 0 coï laì nghiãûm cuía phæång trçnh hay khäng. Chia 2 vãú cho

âàût t= tanx. 10. Âiãøm 0 âæåüc biãøu diãùn thaình 11. Caïc cäng thæïc læåüng giaïc cáön nhåï:

sin2x=2sinx.cosx = ;

sinx.siny=

sinx.cosy=

cosx.cosy=

Page | 19

www.youtube.com/ptx39

cosx + cosy=

Caïch giaíi toaïn 2015

cosx - cosy=

sinx + siny=

sinx - siny=

âæåüc biãøu diãùn båíi m âiãøm.

Âàût t= tanx thç

12. Duìng khaío saït haìm säú giaíi phæång trçnh læåüng giaïc duìng khi coï säú haûng x tæû do vê duû:

x, x2, x3… y = ax laì haìm giaím khi a(0;1)

13. Duìng âäúi láûp âãø giaíi phæång trçnh læåüng giaïc:

14. Gàûp pt daûng x6-3x2+…=0. Ta âàût: 2cosu = x;

15. Baìi toaïn daûng maì khi chia cå säú láùn nhau ta âæåüc:

Âàût våïi

Hoàûc phæång trçnh báûc 3 coï caïc daûng nhæ …+ t3 – 3t + ….(phæång trçnh báûc 3 khäng nháøm âæåüc nghiãûm âàûc biãût) ta cuîng âàût: 2cos = t

16. Tçm max, min cuía haìm læåüng giaïc: duìng âiãöu kiãûn haìm säú coï nghéa tæïc laì duìng âaûo

Page | 20

www.youtube.com/ptx39

haìm chæïng minh noï âäöng biãún hoàûc nghëch biãún räöi aïp duûng caïc âiãöu kiãûn sau:

Caïch giaíi toaïn 2015

17. Caïc chuï yï vãö ké nàng khi laìm baìi: ÂOÜC ÂÃÖ THÁÛT KÉ, NHÁÛN XEÏT räöi ÂAÏNH GIAÏ SO

SAÏNH räöi AÏP DUÛNG CÄNG THÆÏC!

Cäng thæïc täøng quaït:

Hoaïn vë Chènh håüp Täø håüp

trong âoï: a laì pháön thæûc vaì b laì pháön aío. 1. z=a+bi âæåüc goüi laì säú phæïc;

Âån vë aío: i2=-1

Khi z=0+bi goüi laì säú aío hay säú thuáön aío

Khi z=0+0i goüi laì säú væìa thæûc væìa aío

Khi z=a+0i goüi laì säú thæûc.

coï thãø noïi: 2. Táûp håüp säú phæïc:

a+bi=a’+b’i våïi a,b,a’,b’ khi âoï ta coï: 3. Hai säú phæïc bàòng nhau: z=z’

trong mp 4. Biãùu diãùn hçnh hoüc säú phæïc: z=a+bi biãøu diãùn båíi âiãøm M(a;b) hay båíi

phæïc Oxy : mä âun säú phæïc

5. Caïc pheïp toaïn trong säú phæïc:

goüi laì säú phæïc liãn håüp cuía z

5.1 säú phæïc - nãúu z laì säú thæûc thç z= - nãúu z laì säú aío thç z=-

laì mä âun cuía säú phæïc. vaì 5.2

Page | 21

www.youtube.com/ptx39

5.3 Säú âäúi cuía z =a+bi laì z” =-z = -a-bi;

Caïch giaíi toaïn 2015

5.4 Caïc pheïp toaïn:

* * *

* z+z’=(a+a’)+(b+b’)I * z.z’= aa’-bb’+(ab’+a’b)i

* z-z’=(a-a’)+(b-b’)I *

6. Quyî têch säú phæïc: z=a+bi

Cho 2 säú phæïc z=x+yi vaì z’ =x’+y’i coï âiãøm biãøu diãùn tæång æïng laì M vaì M’ thç

: khoaíng caïch MM’

trung træûc cuía M1; M2 våïi M1(a;0); M2(-a;0) 6.1 Táûp håüp phæïc:

laì âæåìng troìn tám I(a;0) våïi R=b 6.2 Táûp håüp phæïc:

laì mäüt elip 6.3 Táûp håüp phæïc:

laì mäüt hypebol 6.4 Táûp håüp phæïc:

våïi

7. Càn báûc hai säú phæïc: Säú phæïc z=x+yi laì càn báûc hai cuía säú phæïc w =a+bi thç w=z2.

Chuï yï:

- Säú 0 coï mäüt càn báûc hai laì 0

- Säú phæïc khaïc 0 coï âuïng 2 càn báûc hai laì 2 säú âäúi nhau 8. Phæång trçnh báûc hai: Az2+Bz+C=0; (A ≠ 0)

B LEÍ B CHÀÔN (Âàût B’ = B/2)

Láûp Láûp

. Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût . Phæång trçnh coï 2 nghiãûm phán biãût

laì . Våïi laì säú phæïc coï càn laì . Våïi laì säú phæïc coï càn

báûc hai laì báûc hai laì

Page | 22

www.youtube.com/ptx39

. Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì . Phæång trçnh coï nghiãûm keïp laì

Caïch giaíi toaïn 2015

. Våïi laì säú phæïc coï càn báûc hai laì . Våïi laì säú phæïc coï càn báûc hai laì

10. Caïc daûng toaïn

Daûng 1: tçm càn báûc 2 cuía säú phæïc âån giaín a. roî raìng coï 2 nghiãûm laì 10.1

Tçm càn báûc hai säú phæïc dæåïi daûng bçnh phæång: vd: 10.2

Tçm hai säú phæïc khi biãút täøng vaì têch cuía chuïng: 10.3

Ta coï: thãú vaìo ta coï:

Tçm phæång trçnh báûc 2 våïi hãû säú thæûc nháûn  laìm nghiãûm 10.4

Giaí sæí phæång trçnh báûc 2 daûng Ax2+Bx+C=0 vç  laì nghiãûm nãn A2+B+C=0 ta

Pháön thæûc = Pháön thæûc Pháön aío = Pháön aío

tiãún haình âäöng nháút thæïc âæåüc

Âënh lyï Viet cho nghiãûm phæïc:cho pt Az2+Bz+C=0 coï 2 nghiãûm phæïc laì z1 vaì 10.5

z2 luïc âoï ta coï

Gàûp daûng hoàûc hoàûc …ta tiãún haình giaíi quyãút 10.6

nhæ 9.4 hoàûc âàût z=x+yi

laì 10.7 Tçm pt báûc 2 nháûn 2 säú laìm nghiãûm. Roî raìng ta tháúy ràòng

nghiãûm cuía phæång trçnh X2-SX+P=0 våïi

10.8 DAÛNG LÆÅÜNG GIAÏC CUÍA SÄÚ PHÆÏC:

r>0

- Luän mang dáúu dæång - - z= hàòng säú khäng coï Acgumen

10.8.1 Nhán, chia 2 säú phæïc:

vaì

Page | 23

www.youtube.com/ptx39

Suy ra:

Caïch giaíi toaïn 2015

Våïi vaì laì acgumen cuía säú phæïc z

10.8.2 Cäng thæïc Moavro

Våïi thç

(r>0) coï 2 10.8.3 Càn báûc 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc: säú phæïc

càn báûc 2 laì

10.8.4 Sæû bàòng nhau cuía 2 säú phæïc daûng læåüng giaïc:

vaì thç z=z’

hoàûc våïi

1. Daûng 1:

Gàûp phæång trçnh daûng våïi a, b, c>0. u, v laì biãøu thæïc chæïa áøn säú ta thæåìng

ta tçm mäúi quan hãû giæîa logarit âæa vãö

vaì räöi âàût nhán tæí chung. Vd:

2. Daûng 2:

Trong pt logarit maì cå säú vaì biãøu thæïc dæåïi dáúu logarit coï daûng thç sæí suûng cäng

thæïc biãún âäøi logarit âãø âæa caïc säú haûng vãö cuìng cå säú a. âàût t= logax

3. Daûng 3:

Khi giaíi phæång trçnh muî maì cå säú coï liãn håüp nhau thç tçm caïch âæa vãö têch caïc cå säú

bàòng 1. Âàût áøn phuû âãø âæa vãö phæång trçnh báûc 2.

4. Daûng 4:

Khi giaíi bpt maì hai vãú cå säú khaïc nhau, sau khi biãún âäøi, ruït goün ta âàût 1 vãú bàòng t

chuyãøn vãö báút pt muî. Vd: âàût t= duìng âaûo

hãû coï nghiãûm x=t…

haìm 5. Daûng 5:

Nãúu trong pt coï chæïa chuyãøn vãö phæång trçnh muî. Vd:

Page | 24

www.youtube.com/ptx39

âàût t= .

Caïch giaíi toaïn 2015

ta thæåìng giaíi: âàût t= (hoàûc t= ) âæa vãö phæång 6. Daûng 6: Bpt daûng

trçnh muî räöi sæí duûng chiãöu biãún thiãn haìm säú âãø suy ra nghiãûm

âàût t= sæí duûng phæång phaïp thãú 7. Daûng 7: pt daûng

âãø âæa vãö phæång trçnh muî âãø tçm t (thæåìng coï nghiãûm duy nháút) suy ra nghiãûm x

våïi u, v >0 ta âàût f(t) = 8. Daûng 8: bpt daûng

do haìm âäöng biãún hoàûc nghëch biãún tuìy âãö.

9. Daûng 9: âoaïn nghiãûm vaì chæïng minh nghiãûm naìy duy nháút. Vd:

nháûn tháúy x=3 laì nghiãûm cuía phæång trçnh âaî cho vaì xeït tênh âäöng biãún nghëch biãún bàòng

âaûo haìm Suy ra x=3 laì nghiãûm duy nháút.

10. Daûng 10: bpt daûng nhæ sau:

chuï yï:

vd:

ta chuyãøn vãö daûng giaíi pt 11. Daûng 11: pt daûng

ta âàût ; x>0 thç >0 ; naìy. 12. Daûng 12:

; nãúu caïc hãû säú a,b,c liãn quan våïi nhau âoï laì a+b=c2 13. Daûng 13: pt muî daûng

hoàûc a.b=c thç thæûc hiãûn pheïp chia 2 vãú cho hoàûc cx nãúu c > a; räöi chuyãøn vãö

phæång trçnh muî thuáön tuïy. Vd:

14. Daûng 14: âàût áøn phuû nhæng váùn coìn áøn säú x. ta thæûc hiãûn pheïp âaïnh giaï nháûn xeït âãø suy ra

âæåüc âiãöu phaíi tçm.

15. Daûng 15: pt muî daûng . Thæåìng coï nghiãûm duy nháút, ta seî chia

2 vãú cho cx sau âoï duìng âaûo haìm chæïng minh vãú traïi âån âiãûu, tiãún haình âoaïn nghiãûm

bàòng maïy tênh räöi chæïng minh vaì nghiãûm naìy laì duy nháút.

16. Mäüt säú chuï yï cå baín:

Page | 25

www.youtube.com/ptx39

- Trong pt coï säú haûng thç âiãöu kiãûn tæång æïng laì luïc âoï âàût

Caïch giaíi toaïn 2015

; nãúu x> 0 thç ; nãúu thç -

1. Phæång phaïp biãún âäøi tæång âæång chæïng minh âãún 1 báút âàóng thæïc âuïng

vd: c/m a) a2 + b2 + c2  ab + bc + ac våïi moüi a, b, c  R b) a2 + b2 + 1  ab + a + b våïi moüi a, b

2. Biãút xuáút phaït tæì báút âàóng thæïc âuïng, duìng suy luáûn toaïn hoüc  âpcm

vd: cho hai säú dæång a,b thoîa maîn 3a + 2b = 1. C/m

3. ÆÏng duûng báút âàóng thæïc tçm Max vaì Min haìm säú vd: tçm max haìm y=(x+2)(3-x) våïi -2  x  3

4. BÂT Cosi:

Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï dáúu bàòng xaíy ra khi x = y

5. BÂT BunhiaCopski:

Cho 4 säú thæûc a, x, b, y. Ta coï dáúu bàòng xaíy ra khi ax = by

dáúu bàòng xaíy ra khi x= y 6. Cho 2 säú thæûc x, y dæång. Ta coï:

dáúu bàòng xaíy ra khi x = y 7. Våïi moüi säú thæûc x, y thç

8. Báút âàóng thæïc trong tam giaïc:

a, b, c laì 3 caûnh cuía tam giaïc thç



1. Hçnh chiãúu cuía âènh xuäúng màût âaïy truìng træûc tám âaïy khi 3 caûnh bãn vuäng goïc nhau

Page | 26

www.youtube.com/ptx39

âäi mäüt.

Caïch giaíi toaïn 2015

2. Nãúu OA = OB = OC =… thç hçnh chiãúu O lãn ABC,… truìng våïi tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp

âaïy.

1. Phæång phaïp træûc tiãúp.

1.1 cáön chuï yï âæåìng cao vaì diãûn têch âaïy. 1.2 Chuï yï caïc hãû thæïc læåüng trong tam giaïc âàûc biãût laì hãû thæïc læåüng trong tam giaïc

vuäng.

1.3 Våïi khäúi choïp cáön xaïc âënh hoïa vë trê chán âæåìng cao hçnh choïp 1.4 Hçnh choïp coï caïc caûnh bãn bàòng nhau (hoàûc håüp våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau) thç

chán âæåìng cao laì tám âæåìng troìn ngoaûi tiãúp âaïy.

1.5 Hçnh choïp coï caïc màût bãn taûo våïi âaïy nhæîng goïc bàòng nhau thç chán âæåìng cao laì

tám âæåìng troìn näüi tiãúp âaïy.

1.6 Hçnh choïp coï mäüt màût bãn vuäng goïc våïi âaïy thç chán âæåìng cao nàòm trãn giao

tuyãún cuía màût âoï våïi âaïy.

1.7 Hçnh choïp coï 2 màût bãn kãö nhau vuäng goïc våïi âaïy thç âæåìng cao cuía noï laì giao

tuyãún cuía 2 màût âoï.

1.8 Våïi khäúi làng truû coï thãø têch V thç tênh theo hæåïng trãn hoàûc chia nhoí thaình nhiãöu

khäúi choïp cå baín

1.9 Våïi khäúi âa diãûn phæïc taûp, âãø tênh thãø têch V ta thæåìng chia noï thaình nhiãöu khäúi choïp

âån giaín âãø tênh.

2. Phæång phaïp 2, sæí duûng tè säú diãûn têch, thãø têch.

Khi âoï ta coï 2.1 Vãö tè säú DIÃÛN têch. Cho tam giaïc ABC,

Page | 27

www.youtube.com/ptx39

Khi âoï ta coï 2.2 Vãö tè säú THÃØ têch. Cho hçnh choïp S.ABC,

Caïch giaíi toaïn 2015

3. MÄÜT SÄÚ CHUÏ YÏ KHI TÊNH THÃØ TÊCH KHÄÚI ÂA DIÃÛN

3.1 Âãø tênh thãø têch cuía hçnh choïp hoàûc khäúi làng truû thç ta phaíi veî vaì nhçn hçnh tháût chênh

xaïc, nhçn sao cho khoaíng caïch tæì âènh âãún mp âaïy laì âæåìng coï trong hçnh veî hoàûc dãù

daìng veî âæåüc.

3.2 Khi tênh diãûn têch âaïy nãn chuï yï âãún viãûc tênh täøng diãûn têch caïc màût âaïy (coï khi âån

giaín hån caïch tênh thäng thæåìng) räöi tæì âoï tênh diãûn têch màût âaïy cáön xaïc âënh. 3.3 Âãö baìi cho säú liãûu caïc caûnh, yãu cáöu chæïng minh 1 nhán täú báút kç vuäng goïc, ta sæí

duûng âënh lyï Pitago âãø kiãøm tra vaì suy ra âiãöu phaíi chæïng minh.

3.4 Chæïng minh 2 mp vuäng goïc nhau, chuï yï aïp duûng âënh lyï Pitago nhæ åí trãn chæïng

minh tam giaïc vuäng hoàûc chuï yï âãún tênh cháút troüng tám tam giaïc âãø suy ra caïc tè lãû

cho baìi toaïn.

3.5 Coï 3 bæåïc cå baín âãø tçm thãø têch V cuía 1 hçnh:

- Xaïc âënh âæåìng cao - Xaïc âënh diãûn têch âaïy - Tênh thãø têch khäúi âa diãûn theo cäng thæïc.

3.6 Caïc khäúi âa diãûn quen thuäüc:

Táûp håüp Diãûn têch Thãø têch

Khäúi âa diãûn Màût cáöu, khäúi cáöu

Âæåìng thàóng âæåìng thàóng quay quanh song song

Màût truû, hçnh truû, khäúi truû

Màût noï, hçnh noïn, khäúi noïn

Phæång trçnh âæåìng troìn laì táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu 1 âiãøm cäú âënh, noï coï daûng

Page | 28

www.youtube.com/ptx39

Âiãöu kiãûn:

Caïch giaíi toaïn 2015

Phæång trçnh Elip laì táûp håüp táút caí caïc âiãøm M sao cho MF1+MF2 = 2a. a laì hàòng säú cho

træåïc khäng âäøi vaì a>c. Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.

Phæång trçnh chênh tàõc elip laì: våïi

 Tám sai:

 Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)

vaì a < c.

 Âæåìng chuáøn: hoàûc

Táûp håüp caïc âiãøm M sao cho

Hai âiãøm cäú âënh F1,F2 goüi laì tiãu âiãøm. F1F2 = 2c (c>0): tiãu cæû.

Phæång trçnh chênh tàõc elip laì: våïi

 Tám sai:

 Tiãu âiãøm: F1(-c;0); F2(c;0) hoàûc F1(0;-c); F1(0; c)

Page | 29

www.youtube.com/ptx39

 Âæåìng chuáøn: hoàûc

Caïch giaíi toaïn 2015

 Phæång trçnh 2 âæåìng tiãûm cáûn: hoàûc

Táûp håüp caïc âiãøm caïch âãöu tiãu âiãøm F vaì âæåìng thàóng cäú âënh ( )

Phæång trçnh Parabol nhæ sau: (p>0)

 Tám sai:

 Tiãu âiãøm: F hoàûc F

 Âæåìng chuáøn: hoàûc

ït nhau hay song LÆU YÏ KHI GIAÍI BAÌI TOAÏN GIAÍI TÊCH PHÀÓNG 1. Træåïc hãút xeït xem thæí 2 âæåìng thàóng âãö ra coï truìng nhau hay càõ

song nhau.

2. Coï 2 daûng pt âæåìng thàóng: tham säú vaì täøng quaït.

Giaí sæí dt naìy qua 2 âiãøm A, B thç âæåìng thàóng naìy coï vec tå chè phæång laì

vaì veïc tå phaïp tuyãún laì nãúu coï a=0 hoàûc b= 0

thç chuyãøn sang pt tham säú.

láúy âäúi xæïng âiãøm qua tia phán giaïc bàòng caïch viãút 3. Gàûp pt âæåìng phán giaïc

phæång trçnh âæåìng thàóng vuäng goïc våïi tia phán giaïc. 4. Nãúu gàûp tam giaïc cán, giaï trë cos cuía 2 goïc åí âaïy bàòng nhau.

5. Tam giaïc ABC âãöu thç

thç 6. Goüi J laì tám âæåìng troìn näüi tiãúp

Page | 30

www.youtube.com/ptx39

7. A’ laì chán âæåìng cao haû tæì A thç

Caïch giaíi toaïn 2015

thç 8. D laì chán âæåìng phán giaïc trong cuía

thç 9. D laì chán âæåìng phán giaïc ngoaìi cuía

thç diãûn têch laì 10. Cho

11. Mäüt säú cäng thæïc tênh quen thuäüc:

; : laì næía chu vi tam giaïc ABC *

våïi R, r : baïn kênh ngoaûi tiãúp, näüi tiãúp tam giaïc ABC *

* * *

Chiãöu daìi âæåìng phán giaïc trong tam giaïc:

* * *

Chiãöu daìi âæåìng trung tuyãún trong tam giaïc:

Page | 31

www.youtube.com/ptx39

* * *

Caïch giaíi toaïn 2015

12. Phæång phaïp hay sæí duûng: phæång phaïp choün âiãøm, keí âæåìng vuäng goïc, veî thãm

hçnh phuû, keí âæåìng song song hoàûc láúy âäúi xæïng. Nãúu cho goïc giæîa 2 âæåìng thàóng

thç âàût áøn phuû 2 láön.

13. Mäüt säú daûng toaïn:

vaì âæåìng thàóng d coï 13.1 Cho âæåìng troìn (C) coï pt:

phæång trçnh: a’x + b’y+ c’ =0.

13.1.1 Xaïc âënh tám vaì baïn kênh: giaíi: tám I(-a, -b) vaì baïn kênh

13.1.2 Âiãöu kiãûn âãø coï âæåìng troìn (C): giaíi: âiãöu kiãûn laì: 13.1.3 Nãúu âãö coï tham säú m. yãu cáöu tçm quyî têch tám âæåìng troìn: giaíi: viãút x,

y theo tham säú m sau âoï khæí m ta âæåüc âæåìng thàóng cáön tçm 13.1.4 Tçm vë trê tæång âäúi giæîa âæåìng thàóng d vaì âæåìng troìn: giaíi nhæ lyï

thuyãút

giaíi:

13.1.5 Tiãúp tuyãún  cuía âæåìng troìn (C) Tám I (x0, y0) baïn kênh R  Âæåìng thàóng  qua âiãøm A(xA, yA) thuäüc âæåìng troìn (C) Âæåìng thàóng  qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì

 Âæåìng thàóng  qua âiãøm A(xA, yA) khäng thuäüc (C) giaíi:

- Âæåìng thàóng  qua âiãøm A VAÌ coï veïc tå phaïp tuyãún laì nãn

Page | 32

www.youtube.com/ptx39

coï pt: a(x-xA)+ b(y-yA) = 0 - Âæåìng thàóng  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn khoaíng caïch d(I,) = R, tæì âoï suy ra âæåüc a, b vaì viãút âæåüc pt 

Caïch giaíi toaïn 2015

 Âæåìng thàóng  coï phæång âaî biãút vaì  d coï phæång trçnh d:

a’x+b’y+c= 0 giaíi: - Vç  d nãn coï phæång trçnh: a’x + b’y +c” =0

- Vç  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút âæåüc 

 Âæåìng thàóng   d coï phæång trçnh d: a’x+b’y+c’ =0 giaíi:

- Vç Âæåìng thàóng   d nãn nháûn laìm veïc tå phaïp

tuyãún vaì coï pt: b’x-a’y +c” =0

- Vç  laì tiãúp tuyãún cuía (C) nãn d(I,)= R tæì âoï suy ra c” vaì viãút âæåüc



13.2 Cho âæåìng troìn âi qua 3 âiãøm A, B, C. Viãút phæång trçnh âæåìng troìn vaì tçm

baïn kênh R? giaíi:

Goüi I (x,y) laì toüa âäü tám cuía âæåìng troìn. Ta coï: R vaì pt âæåìng troìn.

Viãút pt âæåìng troìn (C) âi qua âiãøm M0(x0, y0) vaì giao âiãøm cuía hai âæåìng 13.3

troìn (C1) vaì (C2) laì A, B? giaíi: phæång trçnh giao âiãøm cuía 2 âæåìng troìn

maì (C1) vaì (C2)

(C).

HOAÌN TOAÌN THUÁÖN TUÏY NHÆ HÇNH HOÜC GIAÍI TÊCH TRONG MÀÛT PHÀÓNG

1. Baìi 1:

vaì cuìng phæång thç 1.1 Hai vecto cuìng phæång: cho 2 veïc tå

sao cho

1.2 Têch coï hæåïng cuía hai veïc tå:

Page | 33

www.youtube.com/ptx39

 Nãúu 3 âiãøm A, B, C thàóng haìng thç

Caïch giaíi toaïn 2015

 Nãúu 3 âiãøm A, B, C KHÄNG thàóng haìng thç

1.3 Diãûn têch tam giaïc:

1.4 Diãûn têch hçnh bçnh haình:

1.5 Phán têch 1 vec to thaình 3 veïc tå khäng âäöng phàóng

våïi 1.6 Goïc giæîa 2 veïc tå:

våïi 1.7 Âiãøm M chia AB theo tyí säú k (k≠1): thç

vuäng goïc våïi màût phàóng chæïa vaì thç:

1.8 Veïc tå o laì veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng chæïa vaì

Khäng cuìng phæång

khäng âäöng phàóng 1.9 Ba veïc tå khäng âäöng phàóng:

A, B, C, D laì 4 âènh cuía mäüt tæï diãûn

, , goüi âäöng phàóng nãúu 1.10 Ba veïc tå

1.11 TÊNH THÃØ TÊCH

1.11.1 Thãø têch tæï diãûn:

1.11.2 Thãø têch hçnh häüp:

1.11.3 Chuï yï:

 Goüi G laì troüng tám tæï diãûn ABCD thç VAÌ

khi âoï toüa âäü troüng tám G cuía tæï diãûn laì:

 Goüi G laì troüng tám tam giaïc ABC thç VAÌ



Page | 34

www.youtube.com/ptx39

 laì veïc tå âån vë thç =1

Caïch giaíi toaïn 2015

1.12 Phæång trçnh màût cáöu:

 Màût cáöu tám I (a,b,c) baïn kênh R coï phæång trçnh

 Ngæåüc laûi nãúu phæång trçnh laì phæång trçnh

màût cáöu thç âiãöu kiãûn laì

 Nãúu thç phæång trçnh xaïc âënh âæåüc 1 âiãøm duy nháút I(-a,-b,-

khäng coï âiãøm naìo thoîa maîn phæång trçnh màût cáöu

c)  Nãúu  Baìi toaïn viãút phæång trçnh màût cáöu:

 Cho toüa âäü caïc âiãøm A, B, C,… viãút pt màût cáöu?

Caïch laìm: goüi I (x,y,z) laì tám màût cáöu thç

laì baïn kênh màût cáöu, tæì âoï viãút âæåüc pt màût cáöu

 Âãö baìi Cho tiãúp xuïc hoàûc khäng tçm âæåüc tám I cuía màût cáöu, tçm

ptm/cáöu?

Caïch laìm: láûp phæång trçnh màût cáöu daûng täøng quaït nhæ sau:

(Træåìng håüp màût cáöu

ngoaûi tiãúp tæï diãûn)

1.13 Vë trê tæång âäúi giæîa màût cáöu vaì màût phàóng:

Cho màût cáöu (S) tám I(a,b,c) baïn kênh R vaì màût phàóng (): Ax+By+Cz+D=0  Nãúu d(I, ()) < R thç giao tuyãún cuía (S) vaì () laì âæåìng troìn coï phæång trçnh

 Nãúu d(I, ()) = R thç () tiãúp xuïc våïi màût cáöu (S) taûi tiãúp âiãøm A, ta coï IA laì

veïc tå phaïp tuyãún cuía ()

 Nãúu d(I, ()) > R thç () khäng càõt màût cáöu (S)

2. Baìi 2: phæång trçnh màût phàóng

2.1 Veïc tå phaïp tuyãún:

Cho veïc tå vaì thç veïc tå phaïp tuyãún cuía màût phàóng (P) chæïa

Page | 35

www.youtube.com/ptx39

laì

Caïch giaíi toaïn 2015

coï veïc tå phaïp tuyãún laì (): 2.2 Màût phàóng () qua M

. Phæång trçnh täøng quaït: (): Ax+By+Cz+D=0 våïi

2.3 Træåìng håüp âàûc biãût:

2.4 Vë trê tæång âäúi âæåìng thàóng vaì màût phàóng: Cho màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0

thç  Nãúu

 Nãúu thç A:B:C A’: B’ : C’

 Nãúu thç AA’+ BB’ + CC’ =0

2.5 Phæång trçnh âoaûn chàõn: màût phàóng () khäng qua gäúc O càõt Ox taûi A(a,0,0) càõt Oy taûi

B(0,b,0) càõt Oz taûi C(0,0,c) thç coï phæång trçnh laì våïi a.b.c

2.6 Goïc giæîa 2 màût phàóng:

thç 2.7 Khoaíng caïch tæì 1 âiãøm âãún màût phàóng:goüi

2.8 Khoaíng caïch giæîa 2 mp song song nhau:

Cho 2 màût phàóng ():Ax+By+Cz+D = 0 vaì (’): A’x+B’y+C’z+D’ = 0, goüi thç khoaíng

caïch giæîa 2 mp laì

4. Baìi 3: Phæång trçnh âæåìng thàóng

coï veïc tå chè phæång . 1.1 Phæång trçnh âæåìng thàóng d qua M

1.1.1 Phæång trçnh tham säú âæåìng thàóng d laì:

våïi a.b.c ≠0 1.1.2 Phæång trçnh chênh tàõc:

Page | 36

www.youtube.com/ptx39

1.2 Vë trê tæång âäúi giæîa 2 âæåìng thàóng:

Caïch giaíi toaïn 2015

vaì âæåìng thàóng d’ qua M’0 co ï

Cho âæåìng thàóng d qua M0 coï 1.2.1 d vaì d’ truìng nhau

1.2.2

1.2.3 d càõt d’

1.2.4 d vaì d’ cheïo nhau thç

: 1.3 Khoaíng caïch 1.3.1 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M âãún âæåìng thàóng qua M0 coï veïc tå chè phæång

1.3.2 Khoaíng caïch Tæì 1 âiãøm M0 âãún màût phàóng (): Ax+By+Cz +D = 0 laì :

vaì 1.3.3 Khoaíng caïch giæîa 2 âæåìng thàóng cheïo nhau  våïi  qua M0 coï veïc tå chè phæång

’ qua M0’ coï veïc tå chè phæång laì:

1.3.4

Nãúu biãút phæång trçnh 2 âæåìng thàóng d vaì d’ thç ta cuîng coï thãø xeït vë trê tæång âäúi giæîa

chuïng.

Bàòng caïch giaíi phæång trçnh d vaì d’ xaïc âënh giao âiãøm goüi phæång trçnh naìy laì (*)

 Nãúu pt (*) coï 1 nghiãûm thç d vaì d’ càõt nhau.

 Nãúu pt (*) coï vä säú nghiãûm thç d vaì d’ truìng nhau.

 Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì

thç d song song våïi d’

 Nãúu pt (*) vä nghiãûm vaì

thç d cheïo våïi d’

Màût phàóng () qua âæåìng thàóng d vaì vuäng goïc våi màût phàóng (P): 1.3.5

Page | 37

www.youtube.com/ptx39



Caïch giaíi toaïn 2015

 Hçnh chiãúu cuía âæåìng thàóng d lãn mp (P) laì giao tuyãún  = (P)()  Caïch viãút phæång trçnh giao tuyãún:

o giao tuyãún laì giao cuía 2 màût phàóng sau:

o cho z= 0 suy ra o coï

o Hoàûc tçm 2 âiãøm phán biãût thuäüc  hoàûc cho z = t räöi tçm x, y theo t.

2. Màût phàóng vaì âæåìng thàóng: 2.1 Vë trê tæång âäúi giæîa màût phàóng vaì âæåìng thàóng:

Màût phàóng (P): Ax+ Bx + Cx+D =0

Phæång trçnh tham säú cuía âæåìng thàóng  Phæång trçnh täøng quaït cuía âæåìng

thàóng :

Xeït hãû (*) Caïc træåìng håüp: o   (P) thç hãû coï 1 nghiãûm

o  càõt (P) thç Aa +Bb + Cc ≠ 0 hãû coï 1 nghiãûm o  càõt (P) thç hãû (*) coï nghiãûm duy

nháút. o  (P): hãû vä

(P): hãû (*) vä nghiãûm nghiãûm o  o  (P): hãû (*) vä säú nghiãûm

o  (P): hãû vä säú

nghiãûm hoàûc hãû coï nghiãûm t khäng

2.2 Goïc giæîa âæåìng thàóng vaì màût phàóng:

Cho âæåìng thàóng  coï veïc tå chè phæång vaì màût phàóng (P) coï veïc tå phaïp

tuyãún thç

Goïc nhoün giæîa  vaì (P) laì  våïi

Giaíi thêch

Page | 38

www.youtube.com/ptx39

5. Mäüt säú daûng toaïn:

Caïch giaíi toaïn 2015

5.1 Âæåìng thàóng d thuäüc màût phàóng (P) vaì caïch âãöu 2 âiãøm A, B våïi A hoàûc B thuäüc

(P) - Goüi () laì màût phàóng trung træûc cuía AB - d laì giao tuyãún cuía () vaì (P) - Choün 1 âiãøm âån giaín M thuäüc 2 màût phàóng () vaì (P)

- d coï veïc tå chè phæång laì d qua M nháûn laìm veïc tå chè phæång.

5.2 Màût phàóng () qua âiãøm M vaì chæïa âæåìng thàóng d. M d

veïc tå phaïp tuyãún

Choün M1 thuäüc d thç () qua M nháûn laìm 5.2 Tçm giao âiãøm cuía 2 âæåìng thàóng càõt nhau: giaíi hãû phæång trçnh tham säú räöi kiãøm

tra tênh âuïng âàõn.

5.3 Tçm phæång trçnh màût phàóng (’) âäúi xæïng våïi () qua âæåìng thàóng d:

- láúy M d, viãút âæåüc phæång trçnh âæåìng thàóng  qua M  () càõt () taûi M1 - M laì trung âiãøm cuía M1M2 våïi M2 (’)

- ()song song våïi (’) vaì qua M2 nãn coï cuìng veïc tå phaïp tuyãún vaì qua M2

5.4 Viãút phæång trçnh âæåìng vuäng goïc chung khi d1 vaì d2 cheïo nhau vaì vuäng goïc våïi nhau.

- Láûp mp (P) chæïa d1 vaì  d2

- Láûp mp (Q) chæïa d2 vaì  d1

- Goüi  = (P)(Q) ta coï våïi  laì âæåìng vuäng goïc chung cuía

d1 vaì d2

5.5 Tçm phæång trçnh màût phàóng:

- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 càûp veïc tå chè phæång cuía màût phàóng

-C2: Tçm 1 âiãøm vaì 1 phaïp veïc tå (veïc tå phaïp tuyãún)

-C3: Duìng phæång trçnh chuìm màût phàóng

Page | 39

www.youtube.com/ptx39

5.6 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng:

Caïch giaíi toaïn 2015

- C1: Tçm 1 âiãøm vaì 1 veïc tå chè phæång cuía màût phàóng

-C2: Tçm phæång trçnh täøng quaït cuía 2 màût phàóng cáön tçm

Ta thæåìng gàûp caïc daûng nhæ

5.6.1 Viãút pt âæåìng thàóng  qua A càõt âæåìng thàóng d:

Suy ra  nàòm trong mp () qua A chæïa d

5.6.2 Viãút pt âæåìng thàóng  qua A  âæåìng thàóng d:

Suy ra  nàòm trong mp () qua A  d

5.6.3 Viãút pt âæåìng thàóng  song song d1 vaì càõt âæåìng thàóng d2:

Suy ra  nàòm trong mp () chæïa d2 vaì song song våïi d1.

5.7 Hçnh chiãúu cuía 1 âiãøm:

5.7.1 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn âæåìng thàóng d

d laì pt tham säú d laì pt täøng quaït

d laì phæång trçnh chênh tàõc * H(x,y,z)

* tçm pt màût phàóng () qua A  d * H  d nãn viãút toüa âäü H theo t *

* * giao âiãøm cuía () vaì d laì hçnh chiãúu cuía A lãn d * H  d biãún âäøi tè lãû naìy duìng âiãöu kiãûn. suy ra x,y,z

5.7.2 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc H cuía A lãn mp ():

* Goüi H(x,y,z) vç H  () vaì

* Tçm pt âæåìng thàóng d qua A  ()

* Giao âiãøm cuía d vaì () laì H

5.7.3 Tçm hçnh chiãúu vuäng goïc  cuía âæåìng thàóng d lãn mp ()?

Page | 40

www.youtube.com/ptx39

* Tçm pt mp () chæïa âæåìng thàóng d vaì  () våïi

Caïch giaíi toaïn 2015

* Hçnh chiãúu cuía  xuäúng () laì giao tuyãún cuía () vaì ().

5.7.4 Tçm hçnh chiãúu H cuía âiãøm A theo phæång âæåìng thàóng d lãn mp ()?

* Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng  qua A song song våïi d, coï

* Hçnh chiãúu H chênh laì giao âiãøm cuía âæåìng thàóng  vaì mp ().

5.7.5 Tçm hçnh chiãúu  cuía âæåìng thàóng d theo phæång âæåìng thàóng D lãn mp ()?

* Tçm phæång trçnh màût phàóng () chæïa d vaì song song våïi D

* Hçnh chiãúu

5.8 Âäúi xæïng:

5.8.1 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua âæåìng thàóng d? Giaíi:

 Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn âæåìng thàóng d  H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’

5.8.2 Tçm âiãøm A’ âäúi xæïng våïi A qua màût phàóng ()

 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d qua A  ()  Tçm hçnh chiãúu H cuía A lãn màût phàóng ()  H laì trung âiãøm cuía AA’ nãn coï toüa âäü âiãøm A, H suy ra âæåüc âiãøm A’

5.8.3 Tçm phæång trçnh âæåìng thàóng d âäúi xæïng våïi âæåìng thàóng D qua âæåìng thàóng 

 vaì D song song

Page | 41

www.youtube.com/ptx39

 vaì D càõt nhau  Tçm giao âiãøm M cuía  vaì D  Tçm A  D (A≠M)  choün A  D  Tçm A’ laì âiãøm âäúi  vaì D cheïo nhau  Tçm 2 âiãøm phán biãût A, B trãn D