Chương II Tổ hợp – Xác suất (Đại số 11)

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

CHƯƠNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT

A. TỔ HỢP

I. Qui tắc đếm 1. Qui tắc cộng: Một công vi ệc nào đó có th ể được thực hiện theo một trong hai ph ương án A ho ặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

2. Qui tắc nhân: Một công vi ệc nào đó có th ể bao gồm hai công đoạn A và B. N ếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công vi ệc đó có m.n cách thực hiện.

Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 đường.

Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. C ứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi

có bao nhiêu trận đấu? ĐS: có 25.24 = 600 tr ận

Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? ừ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? ĐS: a) 18. b) 15.

b) T Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. H ỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau? ĐS: 36.

Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo tr ắng và 5 cái cà v ạt trong đó có hai cà v ạt màu

vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: ọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a) 35. b) 29.

a) Ch b) Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có m ột học sinh chuyên toán và m ột học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?

Baøi 7: Có bao nhiêu cách s ắp xếp 3 ng ười đàn ông và 2 ng ười đàn bà ng ồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.

Trang 21

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Baøi 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau.

Baøi 9: Hội đồng quản trị của một xí nghi ệp gồm 11 ng ười, trong đó có 7 nam và 4 n ữ. Từ hộ đồng quản trị đó, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đó phải có ít nhất một người nam. ĐS: 161.

. , 6 y xAy A˛ ˛ b) {, }xy A(cid:204) c)

ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 c

. , xAyAvaøx ˛˛+ = ặp. đó n là s ố nguyên dương lớn hơn 1. Có bao y , Baøi 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng: a) Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: xAyAx , ˛˛ >

ĐS: . n n - (1) 2

Baøi 12: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số

theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba (cid:222) có 9.10.10 = 900 (số)

ĐS: a) 6 ồm 6 chữ số. ồm 6 chữ số khác nhau. ồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. 6 b) 6! c) 3.5! = 360

ừ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?

ố tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? ố tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì

ố tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? ĐS: a) 3125. b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.

ố lẻ gồm 2 chữ số? ồm 5 chữ số viết không lặp lại? ồm 2 chữ số? b) G ố chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e) G ồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ĐS: a) 25. b) 20. c) 15 d) 8. e) 120. f) 24.

đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? đó có bao nhiêu số chẵn? đó có bao nhiêu số lẻ? ĐS: a) 100. b) 60. c) 36 d) 52. e) 48.

Baøi 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) g b) g c) g Baøi 14: a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? b) T c) Có bao nhiêu s d) Có bao nhiêu s giống nhau? e) Có bao nhiêu s Baøi 15: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: a) G ồm 2 chữ số khác nhau? c) S d) S f) G Baøi 16: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, trong c) Khác nhau, trong d) Khác nhau, trong e) Khác nhau, trong Baøi 17: a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có th ể lập được bao nhiêu s ố lẻ có 3 ch ữ số khác nhau nhỏ hơn 400? b) T ừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có th ể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong

khoảng (300 , 500). ĐS: a) 35. b) 24.

Trang 22

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1

II. Hoán vị 1. Giai thừa: n! = (n–1)!n

= (p+1).(p+2)…n (v ới n>p) n ! p !

= (n–p+1).(n–p+2)…n (v ới n>p) n ! n p- ()!

2. Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ‡ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó

được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n!

3. Hoán vị lặp:

Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử. Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử là:

Pn(n1, n2, …, nk) = ! n n !!... 2 nn 1 ! k

4. Hoán vị vòng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)!

Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau:

C = A = B = (cid:230) 7!4!8!9! - (cid:231) 10!3!5!2!7! Ł (cid:246) (cid:247) ł - 5!(1)! . (1)(1)!3! m + m + -

D = E = F = m + 4!(1)! m - ) ( 7!(2)! . m m2 + 1 k - k2 ! mm n (cid:229) k =

2011!2009 . 2010!2009!2011 n (cid:229) k k . ! 1 k = mm m + - A = (v . . - ới m ‡ 5) (2)(3)(1)(4)(5)!5!12.(4)!3! mmmmm m - --+-- ø œ ß

Ø 6!1(1)!.(1)! Œ º Baøi 2: Chứng minh rằng:

b) 1 PnPnPP nn + n 122 (1)(2)...2 P- =-+-+++

1 d) c) 1... 3 = + < n 111 +++++ 1!2!3! ! n 1 -

e) n a) nn PPn – (–1) = P–1–1 2 n 1 nn !(1)!(2)! - 1 n ! 2 - ‡

Baøi 3: Giải các bất phương trình sau:

- a) b) n 4!(1)!50 £++ n < 5 £ nnn n - 21(3)!4!12(3).(4)!2! 15(1)!.(1)! . +-- - nn n + n - (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

3 n

c) 10 + £ n ! (2)! n -

(1) n 5 ĐS: a) (cid:219) £ (cid:222) n = 4, n = 5, n = 6 b) n = 2, n = 3 n- 6

Trang 23

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Baøi 4: Giải các phương trình sau:

1 -

1 +

P x P x a) 72 = PxP x2 .–. 2 8 = b) 3 1 = c) 6 (1)! n + (1)! n - - P x

3 n

d) e) f) 3 10 - = = n (3)! - + = n ! n n 20 ! n n (2)!(1)! - ! n - ! n n (2)! -

ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 c) n = 8

d) n = 3 e) n = 6 f) n = 2 Baøi 5: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. H ỏi trong các số đó có bao nhiêu số:

ắt đầu bằng chữ số 5? b) Không b ắt đầu bằng 23? ắt đầu bằng chữ số 1? ắt đầu bằng 345? d) Không b ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

a) B c) B Baøi 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:

ắt đầu bởi chữ số 9? b) Không b ắt đầu bởi 19? d) Không b ắt đầu bởi chữ số 1? ắt đầu bởi 135?

a) B c) B ĐS: a) 24. b) 96. c) 6 d) 118. Baøi 7: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các

}

1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? ĐS: Với mọi i, j ˛ {

= 6! (1+2+…+7).(1+10+…+10

(cid:222) Tổng tất cả các số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 Baøi 8: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1,

2, 3, 4, 5, 6. ĐS: 279999720.

Baøi 9: Trên một kệ sách có 5 quy ển sách Toán, 4 quy ển sách Lí, 3 quy ển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: ừng môn? b) Theo t

ĐS: a) P ừng môn và sách Toán nằm ở giữa? 12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)

7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách s

8 = 7! b) Q

a) M ột cách tuỳ ý? c) Theo t Baøi 10: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 h ọc sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: ồi cạnh B1? b) A1 không ng ọc sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ĐS: a) Q ắp xếp

a) M ột cách tuỳ ý? c) Các h Baøi 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th ể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

7 ĐS: 8! - 3!3!

Baøi 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 ch ữ số khác nhau và khác 0 bi ết rằng tổng của 3 chữ số

này bằng 9. ĐS: 18.

Baøi 13: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các

số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480.

Baøi 14: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: ạn C ngồi chính giữa? a) B b) Hai b ạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

Trang 24

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

ĐS: a) 24. b) 12.

Baøi 15: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các n ước: Mỹ 5 ng ười, Nga 5 ng ười, Anh 4 người, Pháp 6 ng ười, Đức 4 ng ười. Hỏi có bao nhiêu cách s ắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 143327232000.

ười trong nhóm muốn ngồi kề nhau? ười trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? ĐS: a) 86400. b) 2903040.

Baøi 16: Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Có 5 ng b) Có 2 ng Baøi 17: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 n ữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách s ắp xếp chỗ

ồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?

ỉ có nữ ngồi kề nhau? ĐS: a) 34560. b) 120960.

ngồi nếu: a) Nam sinh ng b) Ch Baøi 18: Có bao nhiêu cách s ắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết

rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400.

Baøi 19: Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 h ọc sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách s ắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề? ĐS: 26336378880000.

Baøi 20: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6

viên bi xanh (khác nhau). H ỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành m ột dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau? ĐS: 298598400.

ập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau? ập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: a) 2.29!. b) 28.29!.

Baøi 21: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có: a) T b) T Baøi 22: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có th ể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 3360.

Baøi 23: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th ể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ

số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. ĐS: 5880.

Baøi 24: Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:

ữ số 1 được xếp kề nhau? ữ số được xếp tuỳ ý? ĐS: a) 120. b) 3024.

a) 5 ch b) Các ch

Trang 25

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

III. Chỉnh hợp 1. Chỉnh hợp (không lặp):

Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

k n

(1)(2)...(1) Annnn k =---+ =

n nA = Pn = n!

n ! n k ()! - • Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.

• Khi k = n thì 2. Chỉnh hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhi ều lần, được sắp xếp theo m ột th ứ tự nh ất định được gọi là m ột ch ỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.

k nA

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: n=

123

Baøi 1: Rút gọn các biểu thức sau: 5 A B = A = - PAPAPAPAPPP P +++ 1223344512 3 4

2 A 5

2 1

10 A + 1717 8 A

A A C = D = ++ + -

PPP 5 4 AAA 555 P 43 32 A 5 (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

2 A 510 + P P 57 2 1211 A + 4949 10 A 4917 10 39A 49 1011 A + 4949

2 1

21( ) P P - 2 3 E = F = + 12!(5!4!) - 13!4! 38A 20 ++ +

PPP 5 4 AAA 555 P 43 32 A 5 (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42

Baøi 2: Chứng minh rằng:

2 +

n a) vôùinN n +++=˛ - n 1 ...,,2. ‡ 2 A

n = +

b) . với n, k ˛ N, k ‡ 2

k + n

1 - 1 -

c) . 111 22 AA 2 3 21 nn AAk A+ + nknkn k ++ kk AAk A = nn

1 - Baøi 3: Giải các phương trình sau:

3 A n

25 A+ n

2 A 3420.n

2 A-+ 2 n

b) = 2(n + 15) c) a) 20 n = =

3 A n

23 A+ n

2 P . 3

d) e) 2( 210 = = ) = Pn+1 f) PAP A+- 2612nnn n

8 9 A+ = x

2 PAA .726(2 xxx

2 A 250x

2 A 2

h) i) g) . ) + + = P+= x

65 AA + nn

4 A = n

3 nA P n + 4 n - A 1 n - 109 AA xx 1 y + . 1 xx y + P x

1 -

A P l) k) m) 72. 720A . P5 = = n P nn +

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6 d) n = 5 e) n = 4 f) n = 2; 3 g) x = 11. h) x = 3; 4. i) x = 5. k) x = 8, yy N£ 7, ˛ .

Trang 26

Baøi 4: Giải các bất phương trình:

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

3 1515 nA < +

4 nA + (2)!(1)! n +

1 -

1 +

b) a) n < - < c) 0 15 n - 143 P 4 n

2 12 A3 A + < n n

1 -

e) d) - < 0

4 A n + P n 1 A 143 n 4 P P n n + £ n £ 36

ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2

4 A n + =- P n

với: x x n (1,2,3,...) Baøi 5: Tìm các số âm trong dãy số 12 xxx ,,,... , 3 143 = P 4. n

. ĐS: 112 nxn 1,;2, x ==-== - 2 6323 4 8

Baøi 6: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 n ữ. Người ta chọn có th ứ tự 3 nam và 3 n ữ để ghép

ĐS: Có thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? 3 3 6.A A cách 10

Baøi 7: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. T ừ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?

2 4A = 12 vectơ

ĐS:

ĐS: Baøi 8: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ có th ể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 s ơ đồ khác nhau? (S ố chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) 2 nA = 132 (cid:219) n = 12

Baøi 9: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.

Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 6840.

Baøi 10: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu: ả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn). a) C b) Có 3 c ầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B

đá quả số 4. ĐS: a) 55440. b) 120.

Baøi 11: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 ch ỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

ười đó có 6 pho tượng khác nhau? ười đó có 4 pho tượng khác nhau? ười đó có 8 pho tượng khác nhau? ĐS: a) 6!. b) 360. c) 20160.

5 số

a) Ng b) Ng c) Ng Baøi 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số: a) Các ch b) Hai ch ữ số khác nhau? ữ số kề nhau phải khác nhau?

99.A b) Có 9

ĐS: a)

Baøi 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu: a) S b) S c) S ố gồm 5 chữ số khác nhau? ố chẵn gồm 5 chữ số khác nhau? ố gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?

3 6.3.5A 5

3 A 5

ĐS: a) 6. +

4 6A b) ố gồm 5 chữ số có dạng: abcde

c) S

Trang 27

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

4 6A số

• Nếu a = 5 thì có

cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại (cid:222) có • Nếu a „ 5 thì a có 5 cách ch ọn. Số 5 có th ể đặt vào 1 trong các v ị trí b, c, d, e (cid:222) có 4 3 5A cách chọn.

4 A 6

3 A 5

= 1560 số 4.5. + (cid:222) Có

Baøi 14: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?

3 A - = 999 10 1

ĐS:

ữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? ữ số đầu và cuối khác nhau? Baøi 15: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với: a) Ch b) Ch c) Hai ch ữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 9.

4 10A = 9.104 số 6 5 1010A

A- = 9.105 số gồm 6 chữ số (cid:222) Có 9.105 – 9.104 số

ố

ất cả: b) Có t c) Có 9.10.10.10 = 9000 s Baøi 16: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 ch ữ số? Trong đó có bao nhiêu s ố điện thoại có 6 ch ữ số khác nhau?

6 10A = 106 b)

6 10A = 15120

ĐS: a)

Baøi 17: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, 9. Hỏi: a) Có bao nhiêu bi ển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các ch ữ số đôi một khác nhau? ển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ giống nhau? b) Có bao nhiêu bi ĐS: a) S ố cách chọn 2 chữ cái: 26 · 26 – 1 = 675 cách

4 10A = 5040 cách

Số cách chọn 4 chữ số:

• Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)

(cid:222) Số biển số xe: 675 · 5040 = 3.402.000 số • Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn b) Ch ữ cái thứ hai: có 25 cách chọn (cid:222) Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ.

4C cách

4C cách sắp xếp cặp số lẻ. • Còn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn:

Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí (cid:222) có

(cid:222) Có 5. Ch Ch ữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn ữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn

4C · 5 · 5 = 487500 cách

(cid:222) Có 26 · 25 · 5 ·

ố

ắt đầu bằng số 24. c) B ắt đầu bằng số 345. ố chẵn. b) B ắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1? Baøi 18: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đó bằng 18? b) H ỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? ĐS: Chú ý: 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8 18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7 18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6 a) 3 · 5 · 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 s Baøi 19: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả: a) S d) B ĐS: a) 312. b) 24. c) 6. d) 120 ; 480.

Trang 28

Baøi 20: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có th ể lập được bao nhiêu s ố n gồm 5 chữ số

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau: ố chẵn? a) n là s b) M ột trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a) 3000. b) 2280.

Baøi 21: a) Từ 5 ch ữ số 0, 1, 3, 6, 9 có th ể lập được bao nhiêu s ố gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3. b) T ừ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có th ể lập được bao nhiêu s ố khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.

c) T (HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999) ừ 8 ch ữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có th ể lập được bao nhiêu s ố gồm 6 ch ữ số khác nhau

trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4. ĐS: a) 18. b) 42000. c) 13320.

Baøi 22: a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8. b) Có bao nhiêu s ố tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3,

4. Tính tổng của các số này. ĐS: a) 37332960. b) 96 ; 259980.

Baøi 23: a) Có bao nhiêu s ố tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia h ết cho 10 (ch ữ số hàng vạn khác 0).

b) Cho 10 ch ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) ( ữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu s ố lẻ có 6 ch ữ số khác nhau nh ỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho. (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a) 3024. b) 36960.

Trang 29

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

IV. Tổ hợp 1. Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) ph ần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

k n

k A n = kkn k !!()!

nC = 1

C = Số các tổ hợp chập k của n phần tử: n ! -

Tính ch • Qui ước: ất:

1 ;

-- C =

nknkkkkk 01 1;; CCCCCCCC ====+ nnnnnnnn

1 -

n k - + k

}

2;;...;

2. Tổ hợp lặp: và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là a aa 1

1 -

Cho tập A = { một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

kk CC = nnkn k

m C = 1 +-+ -

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

k n

k Ak C= n T ổ hợp: không có thứ tự.

! • Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:

• Chỉnh hợp: có thứ tự.

ược lại, là tổ hợp. (cid:222) Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ng

+ Không th ứ tự, không hoàn lại:

ứ tự, không hoàn lại: + Có th

ứ tự, có hoàn lại: • Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n): k nC k nA k nA + Có th

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp

Baøi 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

2 A 3

7 C- -

2313 251510

6 C

8910 2+ 151515 C

434 CCC - 778 56 CC - 101011

1 CC ++ + B = C = A = CC 3 + 1 ++ P 2 C 10 17

7 C 7 17

56 CC 2+ 151515 C ĐS: A = – 165 B = 4

+ D =

Baøi 2: Rút gọn các biểu thức sau:

n nn CC C . . n nn

8910 2 + 151515 C

CC + ; B = A = ; +

P n k AP . nn k C 10 17

1 Ck n

2 CC nn 2...... ++++ + 11 CC nn

k C n 1 C- n

C = n

n (3)! ĐS: A = B = (n+1)(n+2) + 1 C = n n + (1) 2 n (!)

Trang 30

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp

Baøi 1: Chứng minh các hệ thức sau:

k kpkp CCC C- . - = nnkn p

k n

k 1 - 1 n -

b) a) C C . (1 £ k £ n) = (k £ p £ n)

kkk 11 +- CCC nnn

- -

3 +

d) c) . 2 ++ (0 £ k £ m £ n) n k mkkm k CCC C. = nmnn k

k n

k 2 - 2 n -

3 -

e) f) ( 2 < k < n) (1)(1) kkCnn -= C -

4 -

g) (3 £ k £ n)

kkkkk CCCCC 25 +++= nnnnn kkkk 3 CCCC +++ nnnn kkkkk CCCCC 46 ++++ nnnnn

k 1 + C = n C1232 k 4++++ + n 12 k C-- 3 = n k C123 --- 4 = n

h) (4 £ k £ n)

kk k 1 C- CC + nn n

1 +

ĐS: Sử dụng tính chất: =

ppp

p 0

Baøi 2: Chứng minh các hệ thức sau:

2 =

011 CCCCCC ..... +++ rqrqrqr q

0212 CCC ()()...( nnn

n 2

b) a) . C- = ) +++ C n

024213212 CCCCCCC 222222

1 ppppp

ppp

12 CCCC 1...(1)(1) -+-++-= - nnnn

c) ++++=+++ c 2 ...... = p

1 -

C n ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế.

ử dụng câu a) với p = q = r = n ử dụng (x+y)2p và (x–y)2p d) b) S c) S

rr CC nn

r 1 C- 1 n -

1 -

d) Sử dụng , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1. = +

Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp

n C . 2 n

1 Baøi 1: Chứng minh rằng: < ( n ˛ N, n ‡ 1) 1 n 2 1 2

n HD: Biến đổi vế trái: = - 2.4.6...(2 ) n n 2 + 1(2)!1.3.5...(21) n n C . = 2 n n 2 22.! !

1 V ậy ta phải chứng minh: < 1 + 2 n 2 k 1 n n 1.3.5...(21) n - n 2.4.6...(2 ) 2 - Ta có: = =< kkk 21(21)(21)2 --- k 2 k 2 1 + k 44 1 - Cho k l k ần lượt từ 1, 2, …, n. Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. 2 (v Baøi 2: Chứng minh rằng: ới k, n ˛ N, 0 £ k £ n)

Ta ch

nn n CC .( C ) - £ nknk 22 2 n + n n - (k = 0;1;…;n) HD: • Đặt uk = 2 C+ 2. C nkn k ứng minh: uk > uk+1 (*) n nnn ật vậy, (*) (cid:219) 22212 C CCC . +-++- - > nknknkn k 1

Th . (cid:219) n + 2nk > 0

Điều này luôn luôn đúng (cid:222) đpcm.

Trang 31

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức tổ hợp

nC là lớn nhất.

k n

Baøi 1: a) Chứng minh: C với n = 2m, k £ m. Từ đó suy ra m

k n

b) Ch ứng minh: C với n = 2m + 1, k £ m.

1k C- < n 1k C- < n m n

Từ đó suy ra C C + là lớn nhất. ;m n

1 -

k n

k C n k 1 C - n

1 n 1 HD: a) Theo tính chất: C C . = = - 1 (cid:222) n k - + k + k

k n

1 k C - n

1 n V C > ới k £ m (cid:222) 2k £ n (cid:222) - > (cid:222) 1 1

kn k C - C = n n ương tự

nên + k nC lớn nhất. Vì b) T

p nC .

Baøi 2: Cho n > 2, p ˛ [1; n]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

pn p = n

HD: Vì C nên ta chi cần xét 1 £ p £ C - n n 2

p n

1 p C - n

p C n 1 p C - n

1 1 Ta có: C > = (cid:219) > 1 (cid:219) p < n p - + p n + 2

1 n

1n C - n

V ậy = n C =

nC lớn nhất khi p =

1 (nếu n lẻ) hoặc p = (nếu n chẵn)

nC nhỏ nhất khi p = 1 hoặc p = n – 1, ứng với n n - 2 2 nC lớn nhất.

Baøi 3: Với giá trị nào của p thì

p C m p 1 C - m

mp m 1 + HD: Ta có: . Tỉ số này giảm khi p tăng. 1 == 1 - -+ p p

p m

1 p C - m

1 1 C 1 • > ‡ , do đó: p (cid:219) £ m p - + p m + 2

• Nếu m chẵn: m = 2k (cid:222) p £ k +

p m

p 1 C - m

Để C > , vì p, k ˛ N nên chọn p = k ta phải có: p £ k + 1 2 1 2

• Nếu m lẻ: m = 2k + 1 (cid:222) p £ k + 1, ta sẽ có:

p m

1 k + C 2 k 1 +

p C m p 1 C - m

1 C = = = khi p = k + 1 (cid:222) k (21)! k + k (1)! ! +

ụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác. Ví dụ: * Áp d Có 25 h ọc sinh. Muốn lập thành những nhóm gồm p học sinh. Tìm giá tr ị của p để được s ố cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó.

pC . 25

* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm có thể lập là

pC lớn nhất khi p = k + 1 = 13.

Theo trên, ta có m = 25 (l

25C = 5200300.

ẻ) với k = 12 do đó 25 13 ậy p = 13, khi đó: số nhóm tối đa có thể lập:

Trang 32

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

Dạng 5 : Giải phương trình, bất phương trình có chứa biểu thức tổ hợp

Baøi 1: Giải các phương trình sau:

123 CCCx xx

2 66914 x

4 A n n C - - n

b) a) c) = - ++= x - 24 23 1 = x C 6

x - x +

x C - x 2 -

e) d) f) C C 101 = 0 = 11 xx CC 45 22 x 1 xCxC C-+ .. 43

3 A x

2 A - + x 2 3 AC + x

x x

3 3 x 27(1) - 1 x -

g) h) i) 5 = += x 14 =

3 x =

1 CCC ++ xx

2 x

x 2 - CC 1 x + x 2 C 28 x 2 - 24

3 A n 1 + 4210 x + = 1010 x + 3 x + C 8 x + 5 A x x 5 - 2 x -

12310

l) m) k) 336 = = 7 2 225 52 C C

xxx --- CCC xxx

x - C x

1 +

o) n) ...1023 ++++ = - 6 11 12 CC xx 7 = 1 C x ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 7 d) x = 14 e) x = 3

f) x = 10 g) x = 17 h) x = 5 i) x = 5 k) x = 8 l) x = 7 m) x = 4 n) x = 10 o) x = 3; x = 8 Baøi 2: Giải các bất phương trình:

k A n

2 + 3 +

43 CC nn 11 --

n 3 - 1 n - 4 A n 1 +

C a) b) c) 60 0 < < £ -- 5 2 A n 2 - 4 P n 5 + n k ()! - 1 P 14 3

2 A x

22 AA xx 2

2 2330+ + C x 1

n C2 - - n 1 +

n 1 - n 1 +

d) e) f) 10 100 C -£ < £ 1 2

6 3 C + x x ĐS: a) đk: n ‡ 3, n2 + n – 42 > 0 (cid:219) n ‡ 6

b) (cid:236) £ n k (cid:237) (5)(4)(1) 0 nnn k ++-+ £ (cid:238)

• Xét với n ‡ 4: bpt vô nghiệm • Xét n ˛ {0,1,2,3} ta được các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3)

đk: n ‡ 5, n2 – 9n – 22 < 0 (cid:222) n = 5; 6; 7; 8; 9; 10

1 -

1 +

x A y

c) d) x = 2 e) x = 3, x = 4 Baøi 3: Giải các hệ phương trình:

y x - y

1 +

yy CC xx 1 + = 6

y C 1 + x 5

y x C 45

y x C

1 +

1 -

0 C C 126 + = a) b) c) = 2 - = - y x = 1 y - 0 x (cid:236) C (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 720 = P x P x (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

x y +

y x

1 -

y x

y 2590 A + x y 5280 A - x

y x y x

1 +

1 - -

= C 3 = C = d) e) f) C C = = (cid:236) 5 C (cid:239) (cid:237) C (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) = 1 3 1 24 (cid:236) x C C : (cid:239) y (cid:237) x x (cid:239) C A : y y (cid:238)

y x y

x A y P x

y x =

y - A 5 x y - 4 C 4 x

y - A 5 x y - 7 C x 5

y 2180 A + x y A C - x

7 = = 126 C + = g) h) 36 = C y x (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) 720 = P x (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239) (cid:238)

2 + lập thành một cấp số cộng.

d) x = 5, y = 2. b) c) ĐS: a) 17 8 5 7 8 3 (cid:236) = x (cid:237) y =(cid:238) (cid:236) = x (cid:237) y =(cid:238) e) x = 4, y = 8. f) x = 7, y = 4

kk CC , 141414

(cid:236) = x (cid:237) y =(cid:238) 1 k C+ ,

Baøi 4: Tìm số tự nhiên k sao cho ĐS: k = 4; 8.

Trang 33

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Dạng 6: Tìm số tổ hợp trong các bài toán số học Baøi 1: Cho 10 câu h ỏi, trong đó có 4 câu lý thuy ết và 6 bài t ập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?

ĐS: • Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:

1 6.36C C = 2 6.60C C =

2 4 1 4

• Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:

ậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.

V Baøi 2: Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 n ữ. Giáo viên ch ủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: ồm 4 học sinh tuỳ ý. b) Có 1 nam và 3 n ữ. c) Có 2 nam và 2 n ữ. ất 1 nam và 1 nữ. a) G d) Có ít nh

2 2515.C C d)

132231 CCCCCC C . . ++ 25152515251525

ĐS: a) . + ất 1 nam. e) Có ít nh 3 2515.C C c)

4 40C b) 4 44 C- CC - 402515

Baøi 3: Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ

tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy? ĐS: 20 ; 10.

Baøi 4: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì th ư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì th ư và dán 3 tem th ư ấy lên 3 bì th ư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem th ư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? ĐS: 1200.

Baøi 5: Một túi ch ứa 6 viên bi tr ắng và 5 viên bi xanh. L ấy ra 4 viên bi t ừ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: ắng, 2 viên bi xanh? ĐS: a) 20. b) 150.

a) 4 viên bi cùng màu? b) 2 viên bi tr Baøi 6: Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy

viên. Hỏi có mấy cách chọn? ĐS: 4651200.

Baøi 7: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem nh ư đôi một khác nhau), ng ười ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó: đúng 1 bông hồng đỏ? ất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ? ĐS: a) 112 b) 150.

a) Có b) Có ít nh Baøi 8: Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có th ể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8

chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần. (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) ĐS: 544320.

ẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2? Baøi 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số: a) Ch b) G ồm 5 chữ số khác nhau t ừng đôi một sao cho 5 ch ữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2

chữ số lẻ? ĐS: a) 360. b) 2448. (ĐH Cần Thơ, 2001)

Baøi 10: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0), trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có chữ số 1). b) Có bao nhiêu s ố tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có

mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. ĐS: a) 33600 b) 11340. (ĐH QG, Tp.HCM, 2001)

Trang 34 Baøi 11: Người ta vi ết các số có 6 ch ữ số bằng các ch ữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh ư sau: Trong m ỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các ch ữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

bao nhiêu số như vậy? ĐS: 1800. (ĐH Sư phạm Vinh, 1998)

Baøi 12: Từ một tập thể 14 ng ười gồm 6 năm và 8 n ữ trong đó có An và Bình, ng ười ta mu ốn

chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:

ổ phải có cả nam lẫn nữ? ổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? ĐS: a) 2974. b) 15048.

ẩn bị đi tàu. a) Trong t b) Trong t (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001) Baøi 13: Một đồn tàu có 3 toa ch ở khác. Toa I, II, III. Trên sân ga có 4 khách chu Biết mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống. Hỏi:

ắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa. ắp xếp cho 4 vị khách lên tàu có 1 toa có 3 trong 4 vị khách nói trên. (ĐH Luật Hà Nội, 1999)

a) Có bao nhiêu cách s b) Có bao nhiêu cách s ĐS: a) 99. b) 24. Baøi 14: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia s ố học sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá. ĐS: 3780. (HVKT Quân sự, 2001)

Dạng 7: Tìm số tổ hợp trong các bài toán hình học Baøi 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau t ừng đôi một, nhưng không có 3 đường

2 n

ĐS: C • Số giao điểm: = nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? (1) n n - 2

3 n

nn - C • Số tam giác: = (1)(2) n - 6

đường thẳng đi qua từng cặp điểm? ơ nối từng cặp điểm? đỉnh là 3 trong 10 điểm trên? Baøi 2: Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a) Có bao nhiêu b) Có bao nhiêu vect c) Có bao nhiêu tam giác có d) N ếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu t ứ diện được

10C b)

10C d)

4 10C

tạo thành? 2 ĐS: a)

để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?

2 10A c) Baøi 3: Cho đa giác lồi có n cạnh (n ‡ 4) a) Tìm n b) Gi

ả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính s ố giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?

ĐS: a) n- = (cid:219) n = 5

2 nCn điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không ph ải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm

b) Giao

4 nC

phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác:

b˛ ‡

. ố đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo? đỉnh trùng với đỉnh của đa giác? Baøi 4: Cho một đa giác lồi có n-cạnh (,3)n a) Tìm s b) Có bao nhiêu tam giác có c) Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?

- (2)(1) nn - - c) . ĐS: a) n ;5. . = b) (3) n n - 2 (1)(2)(3) n nnn -- 24

n 6 Trang 35

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

đường tròn phân biệt? đường thẳng phân biệt? b) 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ĐS: a) 45. b) 90. c) 335.

Baøi 5: Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 c) 10 Baøi 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) l ấy 17 điểm phân bi ệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2). ĐS: 5950. (ĐH SP Quy Nhơn, 1997)

Baøi 7: Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 c ạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H. a) Có t ất cả bao nhiêu tam giác nh ư vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H? đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có

b) Có bao nhiêu tam giác có cạnh nào là cạnh của H? ĐS: a) 1140; 20. b) 320 ; 80. (HVNH, 2000, khối D)

Baøi 8: Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. a) N ối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B? b) Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác ch ứa điểm A? Bao

nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ĐS: a) 45; 28. b) 120 ; 36 ; 8.

Baøi 9: Có p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối p điểm đó lại với nhau. Hỏi: a) Có bao nhiêu đường thẳng? b) Chúng t ạo ra bao nhiêu tam giác?

ĐS: a) . b) . ppq q--- + (1)(1)2; (1)(2)(1)(2) q pppqq ---- - 1 2 1 6

Baøi 10: Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó. Hỏi: a) Có bao nhiêu m ặt phẳng khác nhau? b) Chúng t ạo ra bao nhiêu tứ diện?

3 p

3 1. + b) q

4 p

4. q

ĐS: a) C C C- C-

Baøi 11: Cho p điểm trong đó có q điểm cùng nằm trên 1 đường tròn, ngoài ra không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có bao nhiêu:

a) Đường tròn, mỗi đường đi qua ba điểm? b) T ứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó?

3 p

3 1. + b) q

4 p

4. q

ĐS: a) C C C- C-

Trang 36

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

V. Nhị thức Newton 1. Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi n˛N và với mọi cặp số a, b ta có:

n nknk k = (cid:229) b k 0 =

( abCa ) +

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1 2. Tính chất: 2) T

nCa

( k =0, 1, 2, …, n) ổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n knk k b- ố hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 =

3) S 4) Các h

kn k = n

C ệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: C - n

1 kk k C- CC + nn n

n n

1 +

C C= = , 1 =

0 n ận xét: Nếu trong khai tri ển nhị thức Newton, ta gán cho a và b nh ững giá trị đặc biệt

n =

5) * Nh thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:

1 ++ +

1 +++

n C- ... n

nnn 1

n =

(1+x) 2 (cid:222) ... C = n

n 0

n -++ -

1 -++-

01 nn CxCx nn 01 CxCx nn

0 CC nn 0 CC nn

...(1) (cid:222) C ...(1) n C = n

(x–1)

Dạng 1: Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton

Baøi 1: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:

15 xM x

a) b) c) (2) (21) = = ;- =

d) e) f) (13) (3) (25) = ;- ;- = ;- =

13 xM x 14 (cid:246) 2 yM y (cid:247) y ł

g) h) i) ; ; 2 ; = - = - = (cid:230) (cid:231) Ł xM x12 ;- xxM x21215 12 (cid:246) 1 xM x (cid:247) x ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł

3152510 ;+ () xxyMx y

l) k) xM x9 (3) ;- 11 xM x 10 (cid:246) 211 2 xM x - (cid:247) x ł xyMx y178 9 (23) xyMx y251213 (23) ;+ = = ;- =

ĐS:

k) Baøi 2: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: 5

6 (cid:246) (cid:247) ł

a) c) d) b) x x x + - - 1 4 1 4 1 2 1 x (cid:230) (cid:231) Ł x x x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) x +(cid:231) Ł

10 (cid:246) (cid:247) ł 10 (cid:246) (cid:247) ł

10 (cid:246) (cid:247) ł

12 (cid:246) (cid:247) ł 10 (cid:246) (cid:247) ł

15 (cid:246) (cid:247) ł

e) f) g) h) 2 x x x - + + 1 3 2 2 1 x 1 x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) x +(cid:231) Ł x x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:230) (cid:231) Ł ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15 e) –8064 f) 210

Baøi 3: Khai triển đa thức P(x) dưới dạng: Pxaaxaxa x . Xác định hệ số ak: ()...=+++ + 01

a) ? Pxxxx ()(1)(1)...(1) a 91014 ; =++++ + +

2320 ;

? b) Pxxxxx ()(1)2(1)3(1)...20(1) a + =+++++++

0128078

? c) Pxxaaxaxax ()(2)... a80280 ; =-=+++ +

0125046

d) ? Pxxaaxaxax ()(3)... a50250 ; =+=+++ +

Trang 37

4530

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

e) ? ()(1)(1)(1)...(1) Pxxxxx ; a 3 =++++++ + +

46 = 18654300

k m

3 a78 , tìm số hạng chứa

b) c) d) a 3003 400995 12640 = = = ĐS: a) a9

(k, m < n) xy x y. a15 ) z + +

n k -

Baøi 4: Trong khai triển ( ĐS: Trước hết tìm tất cả số hạng chứa xk.

n =

(

)

k k n

) ø z ß

- -

Ta có: (x + y + z) ...... +

( xyzCxy ++=++ n–k = ...... mmnk m +

- -

mà (y + z) +

Ø º n kCy z - k m là: x y. (cid:222) số hạng chứa

.kmkmnk m nn kCCxy z - Baøi 5: Tìm hệ số của số hạng chứa M trong khai triển của nhị thức, với:

a) b) (1) (12) ;-+ = ;++ =

25 (1) ;+- xxM x

xxM x210 3 c) d) xxM x21017 238 xxM x = (1) ;+-

2310 xxxM x

2 ; xxM x

e) f) (1) ;+++ = = 8 = Ø 1(1) +- º ø ß

Baøi 6:

tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ a) Cho bi ết trong khai triển x + 1 2 x (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

ba bằng 11. Tìm hệ số của x2 .

b) Cho bi ết trong khai triển tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ x , + (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) 1 (cid:247) x ł ba là 46. Tìm hạng tử không chứa x.

là 97. Tìm c) Cho bi ết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai tri ển x - 2 3 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł hạng tử của khai triển chứa x4.

d) Tìm h , biết rằng: x + ệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển x 1(cid:230) (cid:231) 4 Ł (cid:246) (cid:247) ł

1220 CC nn 21212 ++

. C 1 +++= 1 ...2 - n +

nx )+

, biết rằng: e) Tìm h (2

- C = n

ệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nnn 00112 2 333...(1)2048- CCC -+-+- nnn

d) n = 10; ĐS: a) n 4, 6 = = b) n = 9 ; 84 c) n = 8; 1120 x4 210 x26 C2 4

22 x10

3 3

e) n = 11; Baøi 7: a) Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: ( 2+

1 b) Tìm s ố mũ n của biểu thức . Biết tỉ số giữa các hệ số của số hạng thứ 5 và b + 12 (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł thứ 3 trong khai triển của nhị thức đó là 7:2. Tìm số hạng thứ 6?

15 (cid:246) (cid:247) ł

c) Tìm s ố hạng thứ 6 của khai triển x . - 1 x (cid:230) (cid:231) Ł

12 (cid:246) (cid:247) ł

d) Tìm s ố hạng chứa a7 trong khai triển a a . + 3 64 2 3 (cid:230) (cid:231) Ł

Trang 38

e) Tìm s

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

10 (cid:246) (cid:247) ł

ố hạng giữa của khai triển x . + 1 5 x (cid:230) (cid:231) Ł

12 (cid:246) (cid:247) ł

f) Tìm s ố hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức: . x (cid:230) 1 +(cid:231) x Ł

16 (cid:246) (cid:247) ł

g) Tìm h ạng tử độc lập với x trong khai triển x . + 1 x (cid:230) (cid:231) Ł

5 C 9

2 5 .3.260 =

ĐS: a) c) b . C . C= b) n = 9 (cid:222) T6 = T 615

(

)

5 (cid:246) 1126 (cid:247) = (cid:247) 2 bb b ł

730

(cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł

153015 ..

- .

d) e) f) 495. g) 1820. . y= a 924.2 TCx 1630

k -

a , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa Baøi 8: Trong khai triển của nhị thức: + b 3 b a (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł giống nhau?

2121 kkk - - 362 b

6 .

kCa 21.

k 21

21 - (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

a = . C . ĐS: Ta có: Tk+1 = b 3 b a (cid:230)(cid:246)(cid:230) (cid:231)(cid:247)(cid:231) 3 (cid:231)(cid:247)(cid:231) ŁłŁ

5 2

5 9 2 Ca b 21.

kkk k - . (cid:222) (cid:222) k = 9. Vậy số hạng cần tìm là: T10 = 2121 - 362 -= - 6

Baøi 9: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên trong khai triển sau:

4()

a) b) .x . x+ 1 3 x (cid:230) x +(cid:231) Ł

2671010 CxCxC x 101010,,

13 (cid:246) (cid:247) ł 0133965 9 CxCxCxC x 13131313, 3 9

ĐS: a) b) . ,, .

là một số nguyên. Baøi 10: a) Tìm số hạng của khai triển (32 )+

b) Tìm s ố hạng hữu tỉ của khai triển (315) .-

5 (37)

3 .+

124

c) Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển

d) Có bao nhiêu h ạng tử nguyên của khai triển (35)

4 .+ T 27,2005,10125,3375. = 7

b) T = === TTT 135

d) 32 s ố hạng ĐS: a) 410 4536,8. T = c) T . TT ,, 72237

2 C C = :4:1. n

3 n

nếu Baøi 11: a) Tìm số hạng thứ ba của khai triển 13 a + a 1 a- (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

= . Tìm n và x? b) Trong khai tri theo lũy thừa tăng của x, cho biết : ển (1 )nx+ = T 6 T 4 5 40 3 (cid:236) T 3 (cid:239) (cid:237) T (cid:239)(cid:238) 4

c) Trong khai tri ển cho biết hiệu số giữa hệ số của hạng tử thứ ba và thứ hai là a a + 1 4 a (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł 44. Tìm n.

13 51 .

ĐS: a) b) c) n = 11 n . nT = a = 6, x == – 14,91 3 1 2

Trang 39

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp

): Baøi 1: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ( )+ a b

a) HD: Sử dụng: , với x = 1 SCC (1 C x 6 )+

6 6... 5 22... 2 C

HD: Sử dụng: , với x = 2 b) (1 SCCC x 5 )+

c) HD: Sử dụng: , với x = 1 SC C (1 x 2010 ... )+

HD: Sử dụng: , với x = 2 (1 x 2010 22... 2 d) SCCC C )+ =+++ +

HD: Sử dụng: , với x = 1 e) (1 x 11 )+ C + SCC =+ C +

f) , với x = 3 HD: Sử dụng: x SCCC (1)-

01 =++ + 66 01225 =+++ + 555 0122010 CC =+++ + 2010201020102010 012220102010 2010201020102010 67 891011 CC ++ 111111111111 16015114216 333... C =-+- + 16161616 17011611717 34.3.... 4 171717

HD: Sử dụng: , với x = 1 C g) SCC (34)+ x =++ +

): Baøi 2: Tính các tổng sau (sử dụng trực tiếp khai triển ( )+ a b

nx )+

01 SCCC =+++ + nnn

HD: Sử dụng: , với x = 1 a) . (1 C ...

nx 2

2 C 2

b) HD: Sử dụng: , với x = 1 (1 )- =+ SC 12 ... n

=+ SC 22 C 2 ... n

nx )+

HD: Sử dụng: , với x = 3 c) SCCC (1

nx )+

d) HD: Sử dụng: , với x = 6 SCCC (1

222... 2 C

nx )+

024 CC ++ + 22 n nn 1352 1 CC ++ + 22 n nn 333... 3 012 C =+++ + nnn 266... 6 012 C =+++ + nnn 012 =+++ + nnn

HD: Sử dụng: d) , với x = 2 SCCC (1

): ( Baøi 3: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng trực tiếp khai triển )+ a b

nx 2

1 C ...... +++=++ + 2 n

a) HD: , với x = 1 (1 )-

nx 2

2 +++

022132 CCCCC 22222 nnnnn 012 C + n 2

2... C = n

nnn -

b) HD: , với x = 1 4 (1 )+

nx 2

nnn

c) HD: , với x = 10 (1 )- C n 2

d) + CC nn 22 122332121 2 CCC 110.10.10....101081 . = -+-+-+ nnn 222 022442221 CCC ++++= nnn 222 33...32.(21) C n 2

n 2 x ) (1)(1 ++ -

2004

HD: , với x = 3 x

0224420042004 22... 2 +++ 2004200420042004

3 1 + e) C SCCC =+ = 2

20042004 x ) (1)(1 ++ -

HD: , với x = 2 x

, chứng minh rằng: mnm n ) x xx ++= +

......., n

Baøi 4: Dùng đẳng thức (1).(1)(1 k 0112 kkkmkm 2 -- CCCCCCCCCmk . ++++=£ £ mnmnmnmnm n a) (H ệ thức Van der mon de (Van đec mon)).

2 =

021222 CCCC ()()()...() nnnn

n 2

kkknk

b) . ++++ C n

++ C

2 0112 n CCCCCCC ...... . ++++ nnnnnnn n

c) = (2)! n ()!()! nkn k - +

2 - ++ +

n n

4 -

n -

Baøi 5: Tính giá trị các biểu thức A, B bằng cách tính A + B, A – B: 1 n B = ++ + C 2 C 2

n C

5 ++

21123312 nn -- CC 22... 2 22 nn 11335 nn -- 22.2... CC nn

B = C + + a) A = 202220 nn CC 22... 2 22 nn 0224 b) A = nn C 222... ++ n C n

Trang 40

n k -

HD: a) Ta có :

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

( . 2

)

k C 2

2 n (cid:229) 0 k =

= . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n (21)+ x x

k 2 .(2).(1)- x

knk C 2 n

n 2 (cid:229) k 0 =

= Mặt khác, . Thay x = 1 ta được A – B = 1 (2–1) x -

n (91)

Từ đó suy ra: A = + , B = - 1 2 1 2

b) Khai tri ển x(21)+ , với x = 1 (cid:222) A + B = n3

Khai tri ển x(21)- , với x = 1 (cid:222) A – B = 1

A B (cid:222) (31),(31) - 1 2 1 =+= 2

bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a x2(1) +

(HV hành chính QG, 2000)

Baøi 6: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. ĐS: a = 210. Baøi 7: Chứng minh:

k ......1001.2

02001120002001200102002 C = 2002200220022001200220022002 1

k k

- -

a) SCCCCCCC =+++++

k ...2002. C =

kk 2001 - CC - = k 200220022001

20012002

HD: a) Chú ý:

k 2001

2001 (cid:229) 0 k =

(cid:222) S = 20022002.21001.2 C = =

): Baøi 8: Tính các tổng sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ( )+ a b

0122010 23...2011 =+++ + 2010201020102010

HD: Lấy đạo hàm: , với x = 1 SCCC C (1 x 2011 )+

a) ĐS:

): Baøi 9: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng đạo hàm của khai triển ( )+ a b

nx )

12 1.2......2 n nn

a) HD: SCCnC =+++ = Ø (1 +º

n 2 n

¢ ø ß , với x = 1 ¢¢ b) , với x = 1 HD: 2.1.3.2....(1)..(1)2 - ø ß SCCnnCn n23 =+++-= nn

]

21222 12...(1).2 SCCnCn n =+++= nn

nx Ø ) (1 +º [ 2 k (1) kCkkk C =- + n

k n

1 -

c) HD: +

nx )

nnnn 112233 --- 32333....4 n SCCCnC = =++++ nnn

d) HD: Ø (3 +º ¢ ø ß , với x = 1

): Baøi 10: Chứng minh các hệ thức sau (sử dụng tích phân của khai triển (

n )

01 2... SCCC =++++ nnn

231 2223 231

+ - n +

1 a) HD: C = n 1 +

n )

01 SCCC =++++ nnn

1 + - n +

b) HD: 1 C = 1112 2 231 ... 1 n +

n )

2 C =

0 SCCC =-+-+ nnn

c) HD: - n n 11(1) 1 231 1 ... n 1 + +

n )

d) HD: SCCC (1 1 C = - ... n - n n 111(1) 01 2 =-+-+ nnn 2462(1)2(1) + + )+ a b 2 Sxdx (1 +(cid:242) = 0 1 Sxdx (1 +(cid:242) = 0 1 Sxdx (1 -(cid:242) = 0 1 Sxxdx = (cid:242) 0

Trang 41

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

n )

1 + - n +

1 Sxxdx = (cid:242) 0

n + n

HD: e) SCCC (1 C = + ... n 1 11112 01 2 =++++ nnn 2462(1)2(1) n +

n )

01 SCCC =++++ nnn

2211 2121213 --- 231

2 Sxdx (1 +(cid:242) = 1

HD: f) ... 2 C = - 1 n n + +

Dạng 3: Toán chia hết

nên an = (bq + r)n = bnqn + nbn–1qn–1r + … + nbqrn–1 + rn

đó an và rn có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: an ” rn(mod b)

n – 15n – 1 M 225

Vậy nếu a” r (mod b) thì an ” rn (mod b)

(vì 3

Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r Do Ví dụ 1: Chứng minh rằng với "n ˛ Z+, ta có: n + 15n – 1 M 9 b) 16 a) 4 HD: a) Ta có 4n = (3+1)n = 3n + n.3n–1 + … + 3n + 1 ” 3n + 1 (mod 9) k M 9 , "k ‡ 2) 4n + 15n – 1 ” 3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) Vậy 4n + 15n – 1 M 9

n = (1 + 15)n = 1 + n.15 +

2 .15

+ … + n.15n–1 + 15n b) 16 n n - (1) 2

” 1 + 15n (mod 152)

đó: 16n – 15n – 1 ” 1 + 15n – 15n – 1 ” 0 (mod 225)

n + 3.729n + 15625n + 1

n – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7

26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 M 7 HD: 26n+1 + 36n+1 + 56n+1 + 1 = 2(26)n + 3(36)n + (56)n + 1

q – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+ … + (7p+1) + 1]

đó với mọi số tự nhiên p và q thì:

ểu thức đã cho luôn chia hết cho 7.

Do Vậy 16 n – 15n – 1 M 225 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với "n ˛ Z+, ta có: = 2.64 = 2[(7.9 + 1) Do (7p+1) nên bi

Trang 42

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

B. XÁC SUẤT

• Biến cố chắc chắn: W

A = W A \ • Giao hai biến cố: A ˙ B (hoặc A.B)

I. Biến cố và xác suất 1. Biến cố

• Không gian mẫu W: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. • Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A (cid:204) W. • Biến cố không: ˘ • Biến cố đối của A: • Hợp hai biến cố: A ¨ B • Hai biến cố xung khắc: A ˙ B = ˘ • Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 2. Xác suất

• Xác suất của biến cố: P(A) = n A ) ( n W ) (

• 0 £ P(A) £ 1; P( W) = 1; P( ˘) = 0 • Qui tắc cộng: Nếu A ˙ B = ˘ thì P(A ¨ B) = P(A) + P(B)

• P( A ) = 1 – P(A) • Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A ¨ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) Baøi 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: a) T ổng hai mặt xuất hiện bằng 8. b) Tích hai m ặt xuất hiện là số lẻ. c) Tích hai m ặt xuất hiện là số chẵn.

b) c) ĐS: a) n(W) = 36. n(A) = 5 (cid:222) P(A) = 5 36 1 4 3 4

Baøi 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó gồm có 15 em h ọc khá môn Toán, 17 em h ọc khá

môn Văn. a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn. b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.

2 C 7 25

3 C 8 25

b) ĐS: a) n(A˙B) = n(A) + n(B) – n(A¨B) = 15 +17 – 25 = 7 (cid:222) P(A˙B)=

Baøi 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

ĐS: a) b) a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. 1 6 1 6

ĐS: Baøi 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau v ề màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh. 5 8

Trang 43

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

Baøi 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau v ề màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.

ĐS: 1 2

Baøi 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người

, của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. thứ nhất là 3 5 1 2

ĐS: 4 5

Baøi 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố

sau: a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.

ĐS: a) b) d) c) 25 36 1 6 1 6

11 36 Baøi 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.

ĐS: a) b) c) 1 16 1 4 11 16

Baøi 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng t ốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác

suất để lấy được: a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nh ất 1 bóng tốt.

Baøi 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.

Baøi 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.

Baøi 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 h ọc sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái.

Baøi 13: Một lớp có 30 h ọc sinh, trong đó có 8 em gi ỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Ch ọn

b) Có ít nh ất 1 học sinh giỏi ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi c) Không có học sinh trung bình.

Baøi 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số

Trang 44 trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: a) Số đó là số lẻ. b) Số đó chia hết cho 5 c) Số đó chia hết cho 9.

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

p 1 + p2 + … + pn = 1

II. Biến ngẫu nhiên rời rạc 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc • X = {x1, x2, …,xn} • P(X=xk) = pk 2. Kì vọng (giá trị trung bình)

n (cid:229) 1 i =

• m = E(X) = x p i i

2 m

2 x p i i

n -(cid:229) x ( i 1 i =

= )V X ( • V(X) = • s(X) = ) m - p i 3. Phương sai và độ lệch chuẩn n (cid:229) 1 i =

Baøi 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác su ất làm bàn c ủa người thứ hai, bi ết rằng xác su ất để cả hai ng ười cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94.

Baøi 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Baøi 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X.

Baøi 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X:

2 0,5 3 0,2 1 X P 0,3 ỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Tìm k Baøi 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. L ấy ngẫu nhiên 3 viên. G ọi X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Baøi 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X.

Trang 45

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II

ỏi một người khách có thể chọn bao nhiêu cách ra vào cơ quan đó? Bài 1. Một cơ quan có 4 cổng ra vào. a) H b) Có th ể chọn bao nhiêu cách vào ra c ơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau (c ổng vào khác

cổng ra)? ĐS:

Bài 2. Có 10 môn học buổi sáng và 7 môn học buổi chiều. a) H ỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và buổi chiều chỉ học 1 môn? b) H ỏi có mấy khả năng học sinh lựa chọn để buổi sáng chỉ học 1 môn và bu ổi chiều không

học môn nào? ĐS:

Bài 3. Một người có 6 cái áo, 5 cái qu ần và 3 đôi giày. Trong đó có 3 áo s ọc và 3 áo tr ắng, 2 quần đen, 2 đôi giày đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách ch ọn mặc áo – qu ần – giày, nếu:

a) Ch b) N ọn áo, quần, giày nào cũng được? ếu chọn áo sọc thì với quần nào, giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc

với quần đen và đi giày đen? ĐS: Bài 4. Một nhóm học sinh gồm có 30 em giỏi Toán và 20 em giỏi Văn. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh sao cho có ít nhất 3 em giỏi Toán? ĐS: Bài 5. Một đồn cảnh sát có 9 ng ười. Trong ngày cần cử 3 ng ười làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 5 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? ĐS: Bài 6. Trong số 10 7 số điện thoại 7 ch ữ số thì nh ững số có 7 ch ữ số khác nhau chi ếm tỉ lệ bao

nhiêu? ĐS: Bài 7. Hội đồng quản trị của một công ty gồm 15 người. Từ hội đồng đó bầu cử ra một chủ tịch,

một phó chủ tịch và 2 ủy viên kiểm tra) Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 16380 Bài 8. Trong bình hoa có 10 bông h ồng đỏ và 5 bông h ồng trắng. Có bao nhiêu cách l ấy ra từ

bình hoa 4 bông hồng cùng màu? ĐS: 215 Bài 9. Một bộ sách gồm 30 tập. Hỏi có bao nhiêu cách s ắp bộ sách đó lên kệ sách dài sao cho

tập 1 và tập 2 không đứng kề nhau. ĐS: 30! – 2 . 29! = 28 . 29! Bài 10. Hai nhân viên bưu điện cần phải chuyển 10 lá th ư đến 10 địa chỉ. Hỏi họ có bao nhiêu

cách phân công công việc đó? ĐS: 210

Bài 11. Cần phát 12 đề thi gồm 6 đề A và 6 đề B cho 12 học sinh, mỗi học sinh đều được 1 đề. Có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh ấy thành hai dãy mỗi dãy 6 học sinh sao cho các học sinh ngồi kề nhau thì không cùng đề với nhau còn các h ọc sinh ng ồi trước cùng đề với học sinh ngồi ngay phía sau. ĐS: 2 . 6! 6! Bài 12. Có thể chia 12 quyển sách khác nhau cho 4 đứa trẻ theo bao nhiêu cách biết rằng: a) Mỗi đứa trẻ được 3 quyển sách? b) Hai đứa lớn nhất được 4 quyển sách mỗi đứa và hai đứa bé nhất được 2 quyển sách mỗi đứa?

ĐS: a) 369600; b) 207900. Bài 13. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 người khách: a) Vào 5 gh ế thành 1 dãy

Trang 46

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

ế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này? ĐS: a) 120 b) 24

a) Họ ngồi thế nào cũng được? ồi kề nhau, nữ ngồi kề nhau? ỉ có nữ ngồi kề nhau?

ười trong họ muốn ngồi kề nhau? ười trong họ không muốn ngồi kề nhau? ười trong họ không muốn ngồi kề nhau đôi một?

ồi kề nhau, 2 nữ ngồi kề nhau và giữa hai nhóm này có ít nhất 1 ghế trống?

b) Vào 5 gh Bài 14. Một dãy ghế dành cho 3 nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: b) Nam ng c) Ch ĐS: a) 120; b) 24; c) 24. Bài 15. Xếp 6 người ngồi vào 1 dãy 6 ghế, có bao nhiêu cách nếu: a) Có 3 ng b) Có 2 ng c) Có 3 ng ĐS: a) 144; b) 480; c) 144. Bài 16. Có bao nhiêu cách xếp 5 người gồm 3 nam và 2 nữ vào một hàng ghế gồm 8 ghế nếu: a) H ọ ngồi thế nào cũng được? b) H ọ ngồi kề nhau? c) 3 nam ng ĐS: a) 6720; b) 480; c) 144. Bài 17. Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ chồng ngồi vào

các ghế đó nếu:

a) H ọ ngồi ghế nào cũng được? b) H ọ ngồi kề nhau? c) V ợ ngồi bên phải chồng? d. H ọ ngồi cách nhau một ghế? ĐS: a) 90; b) 18; c) 9; d) 16. Bài 18. Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào một cái bàn có 5 chỗ ngồi sao cho A và B ngồi cạnh nhau nếu?

ệt các chỗ? đánh số (có phân biệt chỗ)?

a) Cái bàn là bàn dài? b) Cái bàn là bàn tròn không phân bi c) Cái bàn là bàn tròn có ĐS: a) 48; b) 12; c) 60. Bài 19. Lớp có 12 nam trong đó có An và có 8 n ữ trong đó có Bình. Có bao nhiêu cách c ử ra 5 người đi dự trại hè qu ốc tế sao cho ph ải có ít nh ất hai nam, ít nh ất hai nữ, hơn nữa An và Bình không đồng thời được cử đi? ĐS: 9240

Bài 20. Một lớp học có 15 học sinh ưu tú trong đó có An và Bình. Có bao nhiêu cách c ử 4 học sinh ưu tú đi du học ở 4 nước khác nhau, mỗi nước một người, trong 4 ng ười đó có An và Bình.

4.3.4.3.13.121872 = = A2 13 ĐS: Bài 21. Có 5 học sinh trong đó có An và Bình. H ỏi có bao nhiêu cách x ếp họ lên một đoàn tàu gồm 8 toa nếu: ười lên 5 toa đầu? ười lên cùng một toa? b) 5 ng ười lên 5 toa khác nhau? d) An và Bình lên cùng toa đầu?

a) 5 ng c) 5 ng e) An và Bình lên cùng m ột toa? f) An và Bình lên cùng m ột toa, ngoài ra không có người nào khác lên toa này? ĐS: a) 7; b) 120; c) 6720 d) 512; e) 4096; f) 343. Bài 22. Giám đốc một công ty mu ốn chọn một nhóm 5 ng ười vào hội đồng tư vấn. Trong công ty có 12 ng ười hội đủ điều kiện để được chọn, trong đó có hai c ặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) H ội đồng này có đúng một cặp vợ chồng? b) H ội đồng này không thể gồm cả vợ lẫn chồng (nếu có)? ĐS: a) 112; b) 560. Bài 23. Cho 5 qu ả cầu màu tr ắng có bán kính khác nhau và 5 qu ả cầu màu xanh có bán kính khác nhau. Người ta muốn xếp 10 quả cầu đó vào một hàng 10 chỗ cho trước.

Trang 47

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

a) Có bao nhiêu cách x ếp khác nhau?

ếp sao cho hai quả cầu đứng cạnh nhau thì phải khác nhau? ếp sao cho 5 quả cầu trắng đứng kề nhau?

b) Có bao nhiêu cách x c) Có bao nhiêu cách x ĐS: a) 3628800; b) 28800; c) 86400. Bài 24. Cho 1 thập giác lồi: ố đường chéo? a) Tìm s b) Tìm s ố tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác? c) Trong các tam giác trên có bao nhiêu tam giác có ít nh ất một cạnh là cạnh của thập giác?

Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của thập giác? ĐS: Bài 25. a) Cho tr ước 15 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong số đó không cùng

nằm trên 1 đường thẳng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm trong số đó? b) Cho trước 25 điểm trong không gian sao cho 4 điểm bất kỳ trong số đó không cùng nằm trong 1 mặt phẳng. Có bao nhiêu tam giác nối 3 điểm bất kỳ trong số đó? Có bao nhiêu tứ diện nối 4 điểm bất kỳ trong số đó? ĐS: a) 105; b) 2300; 12650. Bài 26. Một họ n đường thẳng song song c ắt một họ m đường thẳng song song. H ỏi có bao

mnm n - ĐS: nhiêu hình bình hành được tạo thành? (1)(1) - 4

ố đường chéo của đa giác này? Bài 27. Cho một đa giác lồi n đỉnh (n ‡ 4) a) Tính s b) Bi ết rằng 3 đường chéo không đi qua cùng một đỉnh thì không đồng quy, hãy tính số các giao

- b) ĐS: a) ; điểm không phải là đỉnh của các đường chéo ấy? (1)(2)(3) n nnn -- 24 n n(3) - 2

ải là hình bình hành?

ắt đầu với chữ số 3? ắt đầu với chữ số 5? ắt đầu với số 54? ắt đầu với số 543? Bài 28. Cho tam giác ABC. Xét t ập hợp đường thẳng gồm 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song v ới BC và 6 đường thẳng song song v ới CA. Hỏi các đường thẳng này tạo được: a) Bao nhiêu tam giác? b) Bao nhiêu hình thang mà không ph ĐS: a) 120; b) 720. Bài 29. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau được lập nên từ các số 1, 2, 3, 4, 5 và: a) B b) Không b c) B d) Không b Bài 30. Có 100000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi có bao nhiêu vé số gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 31. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? Bài 32. Có bao nhiêu số gồm n chữ số, trong đó các chữ số chỉ là 1, 2, 3, sao cho mỗi chữ số có mặt ít nhất một lần trong mỗi số đó? Bài 33. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi sao cho tất cả các chữ số đều khác không và có mặt đồng thời các chữ số 2, 4, 5.

ữ số 1 và các chữ số đều khác nhau?

ĐS: 1800. Bài 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số trong đó a) Có m ột chữ số 1? b) Có ch ĐS: a) 1225; b) 750. Bài 35. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau. b) Tính t ổng các số ở câu a)

Trang 48

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

ĐS: a) 648; b) 355680. Bài 36. Có bao nhiêu số lớn hơn 2000 với các chữ số khác nhau từng đôi lấy từ tập X = {0, 1, 2,

3, 4} ĐS: 168. Bài 37. Có bao nhiêu s ố tự nhiên gồm 5 ch ữ số biết rằng hai ch ữ số đứng kề nhau ph ải khác

nhau? ĐS: 59049 Bài 38. Với các chữ số 2, 3, 5, 8 có thể lập được bao nhiêu ố tự nhiên lớn hơn 400 và nhỏ hơn 600? a) S b) S ố tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi và chia hết cho 4? ĐS: a) 16; b) 6. Bài 39. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có th ể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi và:

ố này lớn hơn 300000? ố này lớn hơn 300000 và chia hết cho 5? ố này lớn hơn 350000?

ố nhỏ hơn 5000? ố chẵn nhỏ hơn 7000?

a) Các s b) Các s c) Các s ĐS: a) 360; b) 120; c) 264. Bài 40. Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 người ta muốn lập những số gồm bốn chữ số khác nhau. a) Có bao nhiêu s b) Có bao nhiêu s ĐS: a) 120; b) 120. Bài 41. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 8.

ĐS: 12. Bài 42. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi biết rằng tổng 3 chữ số này

bằng 12. ĐS: 54. Bài 43. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ng ười ta mu ốn lập các số gồm 8 chữ số khác nhau t ừng đôi. Có bao nhiêu số trong đó

a) Ch b) Ch ữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần? ữ số 1 có mặt hai lần, chữ số 2 có mặt hai lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?

A5 422 2 ĐS: a) 6720 HD: 8 ; b)10080 HD: ACC C ..1..4!= 848 6 Bài 44. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số khác nhau từng đôi trong đó: ải có mặt chữ số 6? a) Ph c) Ph ải có mặt chữ số 0? b) Ph ải có mặt hai chữ số 0 và 6?

4 4 b) A 6.5.1560;- A 5 6

c) = A4 64.1440;= ĐS: a) Bài 45. Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Có bao nhiêu t AA A32 2 1.4.5..960+ = 4 54 ập con A của S trong mỗi trường

ần tử. ần tử và phần tử bé nhất của A là 3. ần tử và phần tử bé nhất của A bé hơn hay bằng 3.

ập con của {1, 2, ..., 12} chứa ít nhất một số chẵn?

hợp sau: a) A có 5 ph b) A có 5 ph c) A có 5 ph ĐS: a) 252; b) 35; c) 231. Bài 46. a) Có bao nhiêu tập con của {1, 2, ..., 11} chứa ít nhất một số chẵn? b) Có bao nhiêu t ĐS: a) 211 – 26; b) 212 – 26. Bài 47. Giả sử chỉ có một phần tư số tập con 5 phần tử của {1, 2, ..., n} chứa số 7. Hãy tìm n. ĐS: n = 20. Bài 48. Tính giá trị các biểu thức sau:

B = A = 10!8! + 8! Ø 7!4!8!9! . - Œ 10!3!5!2!7! º ø œ ß

Trang 49

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

2 A 5

2 510 + P 2

A C = D = . +

PPP 513 ++ 132 AAA 555 P 2 1 A 5 (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł A 37 P Bài 49. Giải các phương trình:

2 250( x

2 2

a) b) ) . AAx N += ˛ PA 115 P51 +++ -= nnn k

34 AC - xx

2 A = x

x 1 - AP xx 1 +

c) d) 2 3 2 + = P x 1 - 30 7

ĐS: c) x = 6 v x = 11; d) x = 7; Bài 50. Giải các hệ phương trình

y 1 + C + 22 x --

22 + -

yyyy 121 --+ CCCC xxxx = 3

xy x AP yx P x

1 +

= a) b) = 5 5 C :126 + 1 y - 720 =

1 - =

c) C11 y -- 1 x - = (cid:236) (cid:239) (cid:237) (cid:239)(cid:238) yyy AyAA + 1 xxx - 102 1

2 > nn (n˛N, n‡2) n

1 -

ĐS: a) x = 5, y = 7; b) x = 7, y = 3; c) x = 7, y = 3. Bài 51. Chứng minh rằng: a) (n!)

0 nn

1 .... CC C n

b) (n˛N, n‡2); khi nào dấu “=” xảy ra) 2 n (cid:246)- 2 (cid:247) (cid:247)- 1 ł (cid:230) £ (cid:231) (cid:231) Ł Bài 52. Chứng minh các đẳng thức sau:

+= 5 1 -

a) ! (k £ n; k, n˛N)

3 +

b) (4 £ k £ n)

222 ... PAAAnk A knnn 135 +++ kkkkk CCCCC 46 ++++ nnnnn kkkkk CCCCC 25 +++= nnnnn

1099 CCC 2191020

... =++ +

n k C123 --- 4 = n C1232 k 4++++ + n 9 d) C Bài 53. Chứng minh các đẳng thức sau:

kmkk m CCC C- - = nnkm n

1 +

a) b) ) =-

c) +++= -

d) P (1)( + n 1 - m 110110... C n --+ 12 23...(1)(2)2 n ++++= + PnP nn mmmm CCCC nnnn 0 CCCnC + nnn

213243 CCC nnn

0 C 2... n

1 + - n +

222 2 3 1 e) ++++ C n = + n 2 1 +

22 0 CCC nnn

n 2

f) +++ 341 2 ... = C n

(

)

(

)

(

)n

1 +

m ... C

1 + 1

mmmm CCCC +++= nnnpnn p 1 --+

kkk

g) -

3 -+-++-= -

012 CCCCC nnnnn

...(1)(1)

C 1 - n(n + 1)n = (1 + x)2n. So sánh hệ số của xn ở cả 2 vế. ử dụng công thức Pascal

352 24...2...

1 C

1 BCCC =++++ nnn

a) AC C 24...2... CC + h) ĐS: f. (1 + x) g. S Bài 54. Tính các tổng sau: 2 024 =++++ nnn n + n

n -

122232 SCCCkCn C 1.23...... =++++ + nnnn nnnnn n 1122 (1)(1)(1)...(1) xCxxCxxC x +-+++++ - nn

- n

Trang 50

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

...... 1 +++++ + 0!!1!(1)!2!(2)!!()!!0! n 1111 nnnknk -- -

e) ...(1) 111 nnn -+-+ - 0!!1!(1)!2!(2)!!0! - 1 n -

ĐS: a) Khai tri 1 1 2+ 2- ển các biểu thức ( và (

d) ; e) 0. !

2 + (với k+3 ‡ n ; n, k˛N) là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng.

k C1 ,+ n

Bài 55. CMR: Đạo hàm các hàm số: f(x) = (1 + x)n và g(x) = x(1 + x)n. 2 n kk , CC nn

Bài 56. Viết khai triển của biểu thức , từ đó chứng minh rằng : (3–1) x

C 2 =

1601511421616 3.3.3.... CCC -+-+ 16161616 Bài 57. Chứng minh các hệ thức sau: n

0 CCCnC + nnn

a) n 23...(1)(2).2 ++++= +

23 nn

n 2 n

b) CCnnCn n 2.13.2...(1)(1).2 +++-= -

- n

21222 c) CCnCn n 12...(1).2 +++= nn Bài 58. Chứng minh rằng:

2 1 1 .2.2(1).2 1

0 C 2 n

1 -

1222 CC 21212 nn -- -+++ 11121(1) + +++

22 n

1 n

1 a) ... C = n 1111(1) 012 CCCC -+-++ nnnn 2468222(1) - n n + + - - - b) 0 C ... = n

k n

1 +

1 k + (1).2(1).2 k

n (cid:229) k 0 =

n 3 (cid:229) k 0 =

C - Bài 59. Chứng minh: . C - = k 12 1 + n + +

1 (cid:242) 0

Bài 60. a) Tính I = xxdx (1 ) +

1 + - n +

1 2 b) Ch ứng minh : ... C = n 11112 01 CCC ++++ nnn 369333(1) n +

1 +

kk k CC e n

n (cid:229) += 0 k =

n (cid:229) 0 k =

Bài 61. Cho n˛N, chứng minh hệ thức sau: n 1 1 + + . e (1)12 + 111 nkn +++ 1 + 1 k +

Bài 62. Với giá tr ị nào của x thì số hạng thứ 4 trong khai tri ển của lớn hơn số hạng x 16 (52 )+

ĐS: . x < thứ 3 và thứ 5. 1510 < 2813

Bài 63. Số hạng thứ 3 trong khai tri ển không ch ứa x. Với giá tr ị nào c ủa x thì số 2 x + (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

. 1 x2 hạng đó bằng số hạng thứ 2 trong khai triển (1 x330 ) +

ĐS: x = 2.

Bài 64. a) Dùng khai triển của P = , CMR số các hoán vị khác nhau của m chữ a, n ( ) a b c + +

Trang 51

Đại số 11 Trần Sĩ Tùng

chữ b, p chữ c là: N = mn p ()! + + ! !! mn p

trong khai triển của P = ụng:Tính hệ số của đơn thức xy z65 4 (2–5 xy z )+

x x210 (123 + ) +

28 15

b) Áp d Bài 65. Xác định hệ số của x4 trong khai triển của P = Bài 66. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển, biết:

3 xx

nn CC nn

a) 79. x + ++ = (cid:230) (cid:231) Ł C1 n - n

1 4

1 b) , biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 64. nx 2 + nx 2 (cid:246) (cid:247) ł , biết 3 n (cid:246) (cid:247) ł (cid:230) (cid:231) Ł

)n

c) ( , biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển bằng 512. ax x +

d) , biết tổng hệ số của số hạng thứ hai và thứ 3 trong khai triển bằng 25,5. x - 1 6 x 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

a) 792. b) 240 c) 45a2 d) ĐS: 1547 1024

Bài 67. Tìm giá trị của x sao cho trong khai tri ển của , (n là số nguyên dương) 2 + 1 x 1 2 - (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

có số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135, còn các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển đó có tổng bằng 22. ĐS: x = 2; x = –1.

1 Bài 68. Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai tri ển của tỉ số của số hạng thứ 4 3 + 2 (cid:230) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) ł

và số hạng thứ 3 là 32. ĐS: n = 5.

12 (cid:246) (cid:247) ł

Bài 69. Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển của hiệu số giữa số hạng thứ k x x - (cid:230) (cid:231) Ł

+ 1 và số hạng thứ k bằng 30 còn số mũ của x trong số hạng thứ k gấp đôi số mũ của x trong số hạng thứ k + 1.

ĐS: = = x 1 ;55. x 2 2 4

Bài 70. Với những giá trị nào của x, số hạng thứ 3 của khai triển bằng 3600. x + x 1(cid:230) (cid:231) (cid:231) 7 Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł

Bài 71. Tìm giá tr ị của số thực x, sao cho trong khai tri ển tổng các số hạng 2 + 1 xx 1 - (cid:230) (cid:231) (cid:231) Ł (cid:246) (cid:247) (cid:247) ł thứ 3 và thứ 5 là 135, tổng của 3 hạng tử cuối là 22. Bài 72. Gieo một đồng tiền hai lần, xét biến cố A = “ ít nh ất một lần xuất hiện mặt sấp ”. Tính n( W) và n(A). Bài 73. Gieo đồng thời ba con xúc sắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố ba mặt không giống nhau. Tính n( W) và n(A). Bài 74. Gieo một con xúc sắc hai lần. tính xác suất của biến cố: a) A : “ tổng số chấm hai lần gieo bằng 8”.

Trang 52

Trần Sĩ Tùng Đại số 11

b) B : “ tổng số chấm hai lần gieo là một số chia hết cho 9 ”. c) C : “ tổng số chấm hai lần gieo là như nhau ”. Bài 75. Gieo một con xúc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố:

a) A : “ lần đầu được mặt có số chấm lẻ, lần sau được mặt có số chấm lớn hơn 2 ”. b) B : “ một lần được số chấm là chẵn, một lần được số chấm là lẻ ”. Bài 76. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số

trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: a) Số đó là số lẻ. b) Số đó chia hết cho 5 c) Số đó chia hết cho 9. Bài 77. Một hộp đựng 8 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ, cân đối, đồng chất. Lấy ngẫu nhiên 4 viên.

b) 4 viên bi màu đỏ. Tính xác suất để được: a) 4 viên bi màu xanh. c) 2 viên bi màu xanh và 2 viên bi màu đỏ. Bài 78. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác

suất để lấy được: a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nh ất 1 bóng tốt.

Bài 79. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. Bài 80. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. Bài 81. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 h ọc sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái. Bài 82. Một lớp có 30 h ọc sinh, trong đó có 8 em gi ỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Ch ọn

ất 1 học sinh giỏi ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nh c) Không có học sinh trung bình.

Trang 53