Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.5

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

A.A.A.A. KIKIKIKIẾẾẾẾN THN THN THN THỨỨỨỨC CC CC CC CƠ BƠ BƠ BƠ BẢẢẢẢNNNN

I. MẶT NÓ N

Hı̀nh 1

Hı̀nh 2

1/ Mă ̣t nón tròn xoay Trong mă ̣t phẳ ng (

)P , cho 2 đườ ng thẳ ng d , ∆ cắ t nhau ta ̣i O và chú ng ta ̣o thành gó c β vớ i

0

0

0

. Khi quay

90β< <

(

)

mp P xung quanh tru ̣c ∆ vớ i gó c βkhông thay đổ i đươ ̣c go ̣i là mă ̣t nó n trò n

xoay đı̉nh O (hı̀nh 1). (cid:1) Ngườ i ta thườ ng go ̣i tắ t mă ̣t nó n trò n xoay là mă ̣t nó n. (cid:1) Đườ ng thẳ ng ∆ go ̣i là tru ̣c, đườ ng thẳ ng d đươ ̣c go ̣i là đườ ng sinh và gó c 2β go ̣i là gó c ở đı̉nh.

2/ Hı̀nh nó n tròn xoay

vuông ta ̣i I quay quanh ca ̣nh gó c vuông OI thı̀ đườ ng gấp khú c OIM ta ̣o thành mô ̣t hı̀nh,

Cho OIM∆ go ̣i là hı̀nh nó n trò n xoay (go ̣i tắt là hı̀nh nó n) (hı̀nh 2). (cid:1) Đườ ng thẳng OI go ̣i là tru ̣c, O là đı̉nh, OI go ̣i là đườ ng cao và OM go ̣i là đườ ng sinh củ a hı̀nh

nó n.

IM=

là đáy củ a hı̀nh nó n.

(cid:1) Hı̀nh trò n tâm I , bán kı́nh r

3/ Công thứ c diê ̣n tı́ch và thể tı́ch củ a hı̀nh nó n

r lπ= . .

xqS

Cho hı̀nh nó n có chiều cao là h , bán kı́nh đáy r và đườ ng sinh là l thı̀ có : (cid:1) Diê ̣n tı́ch xung quanh:

=

+

S

S

S

.

⇒ Diê ̣n tı́ch toàn phần hı̀nh nó n:

tp

xq

ð

2. rπ=

ðS

(cid:1) Diê ̣n tı́ch đáy (hı̀nh trò n):

.

V

=

=

2 r hπ . .

non

S h . ð

(cid:1) Thể tı́ch khố i nó n:

1 3

1 3

4/ Tı́nh chấ t:

(

mp P đi qua đı̉nh thı̀ có các trườ ng hơ ̣p sau xảy ra:

(cid:1) TH1: Nếu cắt mă ̣t nó n trò n xoay bở i )

(

(

)

+ Nếu + Nếu

) mp P cắt mă ̣t nó n theo 2 đườ ng sinh ⇒ Thiết diê ̣n là tam giác cân. mp P tiếp xú c vớ i mă ̣t nó n theo mô ̣t đườ ng sinh. Trong trườ ng hơ ̣p này, ngườ i ta go ̣i đó

là mă ̣t phẳng tiếp diê ̣n củ a mă ̣t nó n. (cid:1) TH2: Nếu cắt mă ̣t nó n trò n xoay bở i mp (

)Q không đi qua đı̉nh thı̀ có các trườ ng hơ ̣p sau xảy ra:

)

(

(

)

(

)

+ Nếu + Nếu + Nếu

mp Q vuông gó c vớ i tru ̣c hı̀nh nó n ⇒ giao tuyến là mô ̣t đườ ng trò n. mp Q song song vớ i 2 đườ ng sinh hı̀nh nó n ⇒ giao tuyến là 2 nhánh củ a 1 hypebol. mp Q song song vớ i 1 đườ ng sinh hı̀nh nó n ⇒ giao tuyến là 1 đườ ng parabol.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

II. MẶT TRỤ 1/ Mă ̣t tru ̣ tròn xoay

∆

Trong

(

)

mp P cho hai đườ ng thẳ ng ∆ và l song song nhau, cách nhau

mô ̣t khoảng r . Khi quay

(

)

mp P quanh tru ̣c cố đi ̣nh ∆ thı̀ đườ ng

l

r

A

D

thẳng l sinh ra mô ̣t mă ̣t trò n xoay đươ ̣c go ̣i là mă ̣t tru ̣ trò n xoay hay go ̣i tắt là mă ̣t tru ̣. (cid:1) Đườ ng thẳng ∆ đươ ̣c go ̣i là tru ̣c. (cid:1) Đườ ng thẳng l đươ ̣c go ̣i là đườ ng sinh. (cid:1) Khoảng cách r đươ ̣c go ̣i là bán kı́nh củ a mă ̣t tru ̣.

2/ Hı̀nh tru ̣ tròn xoay

B

r

C

=

= đươ ̣c go ̣i là chiều cao củ a hı̀nh tru ̣.

đươ ̣c go ̣i là 2 đáy củ a

Khi quay hı̀nh chữ nhâ ̣t ABCD xung quanh đườ ng thẳng chứ a mô ̣t ca ̣nh, chẳ ng ha ̣n ca ̣nh AB thı̀ đườ ng gấp khú c ABCD ta ̣o thành mô ̣t hı̀nh, hı̀nh đó đươ ̣c go ̣i là hı̀nh tru ̣ trò n xoay hay go ̣i tắt là hı̀nh tru ̣. (cid:1) Đườ ng thẳng AB đươ ̣c go ̣i là tru ̣c. (cid:1) Đoa ̣n thẳng CD đươ ̣c go ̣i là đườ ng sinh. (cid:1) Đô ̣ dài đoa ̣n thẳng AB CD h (cid:1) Hı̀nh trò n tâm A , bán kı́nh r AD=

và hı̀nh trò n tâm B , bán kı́nh r BC=

hı̀nh tru ̣.

(cid:1) Khố i tru ̣ trò n xoay, go ̣i tắt là khố i tru ̣, là phần không gian giớ i ha ̣n bở i hı̀nh tru ̣ trò n xoay kể cả

hı̀nh tru ̣.

3/ Công thứ c tı́nh diê ̣n tı́ch và thể tı́ch củ a hı̀nh tru ̣

rhπ= 2

xqS

Cho hı̀nh tru ̣ có chiều cao là h và bán kı́nh đáy bằ ng r , khi đó : (cid:1) Diê ̣n tı́ch xung quanh củ a hı̀nh tru ̣:

2

S

S

S

rh

2.

2 π

r 2 π

=

+

=

+

tp

xq

Ðay

(cid:1) Diê ̣n tı́ch toàn phần củ a hı̀nh tru ̣:

V

B h .

=

=

2 r hπ

(cid:1) Thể tı́ch khố i tru ̣:

4/ Tı́nh chấ t:

(

)

(cid:1) Nếu cắt mă ̣t tru ̣ trò n xoay (có bán kı́nh là r ) bở i mô ̣t

mp α vuông gó c vớ i tru ̣c ∆ thı̀ ta đươ ̣c đườ ng trò n có tâm trên ∆ và có bán kı́nh bằ ng r vớ i r cũng chı́nh là bán kı́nh củ a mă ̣t tru ̣ đó .

(

)

mp α không vuông gó c vớ i tru ̣c ∆ nhưng

(cid:1) Nếu cắt mă ̣t tru ̣ trò n xoay (có bán kı́nh là r ) bở i mô ̣t

cắt tất cả các đườ ng sinh, ta đươ ̣c giao tuyến là mô ̣t đườ ng elı́p có tru ̣ nhỏ bằng 2r và tru ̣c lớ n

0 0

.

0 90ϕ< <

bằ ng

(

, trong đó ϕ là gó c giữa tru ̣c ∆ và

) mp α vớ i

(cid:1) Cho

)

mp α song song vớ i tru ̣c ∆ củ a mă ̣t tru ̣ trò n xoay và cách ∆ mô ̣t khoảng d .

r 2 sin ϕ ( + Nếu d

r< thı̀

mp α cắ t mă ̣t tru ̣ theo hai đườ ng sinh ⇒ thiết diê ̣n là hı̀nh chữ nhâ ̣t.

+ Nếu d

mp α tiếp xú c vớ i mă ̣t tru ̣ theo mô ̣t đườ ng sinh.

r= thı̀

mp α không cắ t mă ̣t tru ̣.

+ Nếu d

( ( (

) ) )

r> thı̀

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

2 | T H B T N

BTN_7_5

(cid:7)

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) III. MẶT CẦ U 1/ Đi ̣nh nghı ̃a

; R

; R

|

. Khi đó

=

} M OM R

( S O

( S O

{

)

Tâ ̣p hơ ̣p các điểm M trong không gian cách điểm O cố đi ̣nh mô ̣t khoảng R go ̣i là mă ̣t cầu tâm O , ) bán kı́nh R , kı́ hiê ̣u là: =

2/ Vi ̣ trı́ tương đối củ a mô ̣t điểm đố i vớ i mă ̣t cầu

S O

; R

)

và mô ̣t điểm A bất kı̀, khi đó :

A S O

OA

; R

R

Cho mă ̣t cầu ( (cid:1) Nếu

)

. Khi đó OA go ̣i là bán kı́nh mă ̣t cầu. Nếu OA và OB là hai bán

( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OB

= −

B

thı̀ đoa ̣n thẳ ng AB go ̣i là một đườ ng kı́nh củ a

O

A

A

A A

(cid:1) Nếu (cid:1) Nếu

< ⇔ nằ m trong mă ̣t cầu. > ⇔ nằ m ngoài mă ̣t cầu.

; R

.

= ⇔ ∈ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) kı́nh sao cho OA mă ̣t cầu. OA R OA R ⇒ Khố i cầu

R

OM ≤

)

là tâ ̣p hơ ̣p tất cả các điểm M sao cho

A

S O

; R

( S O 3/ Vi ̣ trı́ tương đối củ a mă ̣t phẳ ng và mă ̣t cầu )

Cho mă ̣t cầu (

(

và mô ̣t

mp P . Go ̣i d là khoảng cách từ tâm O củ a mă ̣t cầu đến

) mp P và

d OH

.

⇒ =

( ( mp P

) )

; R

mp P cắ t mă ̣t cầu

H là hı̀nh chiếu củ a O trên (cid:1) Nếu d R< ⇔ (

)

( S O

)

(

theo giao tuyến là đườ ng trò n nằ m trên

) mp P có

2

2

2

2

r HM

R

d

=

=

−

R OH −

(hı̀nh a).

d

; R

(cid:1) Nếu

không cắ t mă ̣t cầu

)

= ( S O

(hı̀nh b).

d

; R

R = ⇔

(cid:1) Nếu

tâm là H và bán kı́nh ) R > ⇔ )

( mp P ( mp P

( S O

)

( mp P .

)

có mô ̣t điểm chung duy nhất. Ta nói mă ̣t cầu

; R

R=

(

)

( S O

)

(

)

Do đó, điều kiê ̣n cần và đủ để

mp P tiếp xú c vớ i mă ̣t cầu

là

(hı̀nh c).

( d O P ,

tiếp xú c )

d

d =

Hı̀nh a

Hı̀nh b

Hı̀nh c

S O

; R

4/ Vi ̣ trı́ tương đối củ a đườ ng thẳ ng và mă ̣t cầu ) và mô ̣t đườ ng thẳ ng ∆ . Go ̣i H là hı̀nh chiếu củ aO trên đườ ng là khoảng cách từ tâmO củ a mă ̣t cầu đến đườ ng thẳ ng ∆ . Khi đó :

d =

S O

; R

d .

)

S O

; R

ta ̣i hai điểm phân biê ̣t.

R> ⇔ ∆ không cắ t mă ̣t cầu ( )

Cho mă ̣t cầu ( thẳ ng ∆ và d OH= (cid:1) Nếu d (cid:1) Nếu d R< ⇔ ∆ cắ t mă ̣t cầu ( (cid:1) Nếu d

d

,

R= ⇔ ∆ và mă ̣t cầu tiếp xú c nhau (ta ̣i mô ̣t điểm duy nhất). Do đó : điều kiê ̣n cần và đủ để R ∆ = .

=

( d O

)

đườ ng thẳ ng ∆ tiếp xú c vớ i mă ̣t cầu là

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

; R

( S O

)

; R

.

thı̀: )

( S O

; R

.

( S O

)

Đi ̣nh lı́: Nếu điểm A nằ m ngoài mă ̣t cầu (cid:1) Qua A có vô số tiếp tuyến vớ i mă ̣t cầu (cid:1) Đô ̣ dài đoa ̣n thẳ ng nố i A vớ i các tiếp điểm đều bằ ng nhau. (cid:1) Tâ ̣p hơ ̣p các điểm này là mô ̣t đườ ng trò n nằ m trên mă ̣t cầu

5/ Diê ̣n tı́ch và thể tı́ch mă ̣t cầu

2

3

.

.

Rπ= 4

CV

CS

• Diê ̣n tı́ch mă ̣t cầu:

• Thể tı́ch mă ̣t cầu:

4 Rπ= 3

B.B.B.B. KKKKỸỸỸỸ NĂNG CƠ B NĂNG CƠ BẢẢẢẢNNNN NĂNG CƠ B NĂNG CƠ B

I. Mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp khố i đa diê ̣n

1/ Cá c khá i niê ̣m cơ bả n (cid:1) Tru ̣c củ a đa giá c đá y: là đườ ng thẳ ng đi qua tâm đườ ng trò n ngoa ̣i tiếp củ a đa giác đáy và vuông

gó c vớ i mă ̣t phẳ ng chứ a đa giác đáy. ⇒ Bất kı̀ mô ̣t điểm nào nằ m trên tru ̣c củ a đa giác thı̀ cách đều các đı̉nh củ a đa giác đó .

(cid:1) Đườ ng trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là đườ ng thẳ ng đi qua trung điểm củ a đoa ̣n thẳ ng và vuông

gó c vớ i đoa ̣n thẳ ng đó . ⇒ Bất kı̀ mô ̣t điểm nào nằ m trên đườ ng trung trực thı̀ cách đều hai đầu mú t củ a đoa ̣n thẳ ng.

(cid:1) Mă ̣t trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là mă ̣t phẳ ng đi qua trung điểm củ a đoa ̣n thẳ ng và vuông gó c vớ i

đoa ̣n thẳ ng đó . ⇒ Bất kı̀ mô ̣t điểm nào nằ m trên mă ̣t trung trực thı̀ cách đều hai đầu mú t củ a đoa ̣n thẳ ng.

2/ Tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hı̀nh chóp (cid:1) Tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hı̀nh chó p: là điểm cách đều các đı̉nh củ a hı̀nh chó p. Hay nó i cách khác, nó chı́nh là giao điểm I củ a tru ̣c đườ ng trò n ngoại tiếp mặt phẳng đá y và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hı̀nh chó p.

(cid:1) Bá n kı́nh: là khoảng cách từ I đến các đı̉nh củ a hı̀nh chó p. 3/ Cá ch xá c đi ̣nh tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầu củ a mô ̣t số hı̀nh đa diê ̣n cơ bả n

a/ Hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t, hı̀nh lâ ̣p phương. - Tâm: trù ng vớ i tâm đố i xứ ng củ a hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t (hı̀nh lâ ̣p phương). ⇒ Tâm là I , là trung điểm củ a 'AC . - Bá n kı́nh: bằ ng nử a đô ̣ dài đườ ng chéo hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t (hı̀nh lâ ̣p phương).

'

A

B

A

.

R =

⇒ Bán kı́nh:

AC 2

D

C

I

I

A’

B’

C’

C’

D’

An

A1

...

.

A A A A A A A A , trong đó có 2 đáy

' n

n

' 2

' 3

' 1

1

2

3

b/ Hı̀nh lăng tru ̣ đứ ng có đá y nô ̣i tiếp đườ ng tròn. Xét hı̀nh lăng tru ̣ đứ ng

O

'

A2

... A A A A nô ̣i tiếp đườ ng trò n (

)O và (

)'O . Lú c đó,

' n

n

1

2

' 1

' 2

3...

A3

I

A’n

A’1

...

.

=

=

=

IA 2

A A A A và 3... mă ̣t cầu nô ̣i tiếp hı̀nh lăng tru ̣ đứ ng có : - Tâm: I vớ i I là trung điểm củ a 'OO . - Bá n kı́nh: ' R IA IA = n 1

O’

A’2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

A’3 4 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

=

.S ABC có (cid:3) (cid:3) 090

c/ Hı̀nh chó p có cá c đı̉nh nhı̀n đoa ̣n thẳ ng nối 2 đı̉nh còn la ̣i dướ i 1 gó c vuông. - Hı̀nh chó p .

S

S

R

IA IB IC

.

=

=

=

=

SAC SBC = + Tâm: I là trung điểm củ a SC . + Bán kı́nh:

I

SC 2

I

.S ABCD có

- Hı̀nh chó p

A

.

=

=

A

C

(cid:3) (cid:3) (cid:3) 090 SAC SBC SDC = + Tâm: I là trung điểm củ a SC .

C

B

B

R

.

=

=

IA IB IC ID =

=

=

+ Bán kı́nh:

SC 2

d/ Hı̀nh chó p đều.

S

S ABC ...

SO⇒ là tru ̣c củ a đáy.

∆

M

chẳ ng ha ̣n như

Cho hı̀nh chó p đều . - Go ̣i O là tâm củ a đáy - Trong mă ̣t phẳ ng xác đi ̣nh bở i SO và mô ̣t ca ̣nh bên, )

I

( là ∆ cắ t SA ta ̣i M và cắ t SO ta ̣i I

mp SAO , ta vẽ đườ ng trung trực củ a ca ̣nh SA I⇒ là tâm củ a mă ̣t cầu.

A

- Bán kı́nh:

∼

⇒

D

SMI

SOA

∆

∆

= ⇒

O

Ta có :

Bán kı́nh là:

SM SI SO SA

B

IA IB IC

...

=

R IS =

=

=

=

=

=

C

SM SA . SO

ABC

ABC nô ̣i tiếp đươ ̣c trong

...

...

2 SA SO 2 e/ Hı̀nh chó p có ca ̣nh bên vuông gó c vớ i mă ̣t phẳ ng đá y. )...

...

S ABC đươ ̣c xác đi ̣nh như sau: . ( mp ABC ta ̣i O .

)...

,

S ABC có ca ̣nh bên SA ⊥ đáy ( và đáy Cho hı̀nh chó p . đườ ng trò n tâm O . Tâm và bán kı́nh mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hı̀nh chó p - Từ tâm O ngoa ̣i tiếp củ a đườ ng trò n đáy, ta vẽ đườ ng thẳ ng d vuông gó c vớ i - Trong

(

)

mp d SA , ta dựng đườ ng trung trực ∆ củ a ca ̣nh SA , cắ t SA ta ̣i M , cắ t d ta ̣i I .

S

d

R IA IB IC IS

...

=

=

=

=

I⇒ là tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hı̀nh chó p và bán kı́nh = - Tı̀m bán kı́nh:

M

∆

I

Ta có : MIOB là hı̀nh chữ nhâ ̣t. vuông ta ̣i M có : Xét MAI ∆

2

2

2

AO

.

R AI =

=

2 MI MA +

=

O

A

 +  

  

SA 2

C

B

f/ Hı̀nh chó p khá c.

)α củ a mô ̣t ca ̣nh bên bất kı̀.

I

I

)

- Dựng tru ̣c ∆ củ a đáy. - Dựng mă ̣t phẳ ng trung trực ( - ( α ∩ ∆ = ⇒ là tâm mă ̣t cầu ngoa ̣i tiếp hı̀nh chó p. - Bán kı́nh: khoảng cách từ I đến các đı̉nh củ a hı̀nh chó p.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

g/ Đườ ng tròn ngoa ̣i tiếp mô ̣t số đa giá c thườ ng gă ̣p.

Khi xác đi ̣nh tâm mă ̣t cầu, ta cần xác đi ̣nh tru ̣c củ a mă ̣t phẳ ng đáy, đó chı́nh là đườ ng thẳ ng vuông gó c vớ i mă ̣t phẳ ng đáy ta ̣i tâm O củ a đườ ng trò n ngoa ̣i tiếp đáy. Do đó, viê ̣c xác đi ̣nh tâm ngoa ̣i O là yếu tố rất quan tro ̣ng củ a bài toán.

O

O

O

Hı̀nh vuông: O là giao điểm 2 đườ ng chéo.

∆ đều: O là giao điểm củ a 2 đườ ng trung tuyến (tro ̣ng

Hı̀nh chữ nhâ ̣t: O là giao điểm củ a hai đườ ng chéo.

O

O

∆ vuông: O là trung điểm củ a ca ̣nh huyền.

∆ thườ ng: O là giao điểm củ a hai đườ ng trung trực củ a hai ca ̣nh ∆.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. Cho hình chóp

.

...

S A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định

2

1

S

n mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (

)α của một cạnh bên.

α

I

mp(

Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu:

∆ ∩

{ } ) Oα =

O

D

SO

- Bán kính:

. Tuỳ vào từng trường hợp.

R SA =

=

(

)

A

C

H

B

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và

:

=

∆

M

A

- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. - Bước 2: Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính chất: M MA MB MC ∀ ∈ ∆ = Suy ra: M MA MB MC ⇔ ∈ ∆ = = 2. Các bước xác định trục: VD: Một số trường hợp đặc biệt

C

H

B

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

6 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

B. Tam giác đều

C. Tam giác bất kì

∆

∆

∆

B

B

C

H

C

C

H

H

A

A

A

S

A. Tam giác vuông B 3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

M

SIA

đồng dạng với

.

∆ ⇒ =

SMO∆

O

SO SM SI SA

I

A

4. Nhận xét quan trọng:

=

⇒

.

M S ,

:

SM

là trục đường tròn ngoại tiếp ABC∆

∃

MA MB MC SA SB SC

= =

=

  

5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.

BC AB gt

⊥

SA

ABC

)

Ví dụ: Cho

. Theo đề bài:

S ABC

.

:

( ⊥ ABC B

⊥

∆

) BC SA SA

ABC

⊥

⊥

  

(

)

( (

)

  

.

I⇒ là tâm MCNT khối chóp

.S ABC và bán kính R SI=

ABC

SG

⊥

.

+ Vẽ

thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆

⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông ⇒ nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC. Gọi I là trung điểm SC Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau. .S ABC . Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều )

(

SGC , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt

)

.

+ Trên mặt phẳng ( SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp

.S ABC và bán kính R IS=

2

∼

+ Ta có

SGC

R

g

∆

∆

=

( SKI g

)

SG SC − ⇒ = ⇒ = SI SK

SC SK . SG

SC SG 2

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

SAB

ABC

⊥

Ví dụ: Cho hình chóp

và SAB∆

.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên (

)

(

)

đều. Gọi

,H M lần lượt là trung điểm của

,AB AC .

).

và

Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ 1d là trục đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Dựng Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB∆

,

I⇒ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

(do MA MB MC = = ( 1d qua M và song song SH ). 2d là trục đường tròn ngoại .S ABC

tiếp SAB∆

2d cắt

1d tại I

2

2

. Xét

.

SGI

SI

GI

SG

∆ → =

+

⇒ Bán kính R SI=

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

7 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

C.C.C.C. BÀI TBÀI TBÀI TBÀI TẬẬẬẬP TRP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHI C NGHIỆỆỆỆMMMM C NGHI C NGHI

MẶT CẦU

Câu 1. Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.

A.

B.

C.

D.

R

R

R

R

.

.

.

.

=

=

=

=

3V S

4V S

S V 3

V S 3

Câu 2. Cho mặt cầu

(

)

;

S O R và điểm A cố định với OA d= . Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với

mặt cầu

)

;

S O R tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? (

2

2

2

2

2

2

2

A.

B.

C.

D.

d

R

d

2R

.

.

.

.

d−

R−

22 d−

R+

Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

,a b c . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình

,

hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( )S theo

,a b c .

,

2

2

2

2

A.

B.

b

c

b

c

)

.

)

.

2 a ( π +

+

2 a 2 ( π +

+

2

2

2

2

2

C.

D.

a

b

c

b

c

(

)

)

.

.

+

+

2 a 4 ( π +

+

π 2

Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

,a b c . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình

,

hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( )S là

A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật. B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật. C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật. D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5. Cho mặt cầu

(

)

;

S O R và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng

S O R khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

(

)

;

∆ tiếp xúc với

.

.

A. d

B. d

D. d

R= .

R>

C. d R<

R≠ .

Câu 6. Cho đường tròn (

)C và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (

)C . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu

chứa đường tròn (

)C và đi qua A ?

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Câu 7. Cho hai điểm

,A B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. đường thẳng trung trực của AB . C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .

Câu 8. Cho mặt cầu

S O R và mặt phẳng (

(

)

;

)α . Biết khoảng cách từ O tới (

)α bằng d . Nếu d R<

thì giao tuyến của mặt phẳng (

S O R là đường tròn có bán kính bằng bao

(

)

;

)α với mặt cầu

nhiêu?

2

2

2

2

2

B.

C.

D.

R

R

R

.

.

.

A. Rd .

d+

d−

22 d−

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

8 | T H B T N

BTN_7_5

(cid:7)

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 9. Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu

S O R có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?

(

)

;

A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.

S O R tại M . Gọi H là hình

(

)

;

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu

chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây? A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA . B. Mặt phẳng trung trực của OA . C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM . D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .

S O R tại M . Gọi H là hình

(

)

;

Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu

chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:

R

3

2

3

3

3

A.

C.

D.

B.

.

.

.

.

R 2

R 3

R 4

3

3

Câu 12. Thể tích của một khối cầu là

thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy

)

π ≈

A. 6 cm .

C. 4 cm .

22 7 D. 3cm .

1 113 cm 7 B. 2 cm .

Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy

và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

π ≈

22 7

2

2

2

A.

B.

D.

379, 94 (m ) .

697,19 (m ) .

C. 190,14 cm .

95, 07 (m ) .

Câu 14. Cho hình lập phương

ABCD A B C D có độ dài mỗi cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi

.

'

'

'

'

qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:

2

2

A.

B.

S

V

S

V

150 (cm );

3 125 3 (cm )

3 500 (cm )

.

.

=

=

=

π=

100 3 (cm ); π

2

2

C.

D.

S

V

S

V

300 (cm );

3 500 3 (cm )

250 (cm );

3 500 6 (cm )

.

.

=

=

π=

π=

Câu 15. Cho đường tròn (

)C ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

đường tròn (

)C xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng

là:

3

3

3

3

aπ

aπ 4

B.

C.

D.

A.

.

.

.

.

3 3 54

aπ 4 9

27

aπ 4 3

Câu 16. Cho đường tròn (

)C ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

đường tròn (

)C xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng

là:

3

3

3

3

aπ 4

aπ

B.

C.

D.

A.

.

.

.

.

27

aπ 4 9

3 3 54

aπ 4 3

và (cid:5)

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có

BC

030

B =

trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi

a= 2 1S là diện tích toàn phần của hình nón đó và

. Quay tam giác vuông này quanh 2S là

diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số

là:

S 1 S

2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

A.

B.

C.

D.

= . 1

S 1 S

S 1 S

S 1 S

S 1 S

1 = . 2

2 = . 3

3 = . 2

2

2

2

2

MẶT NÓN

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là

1S

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích

2S . Khẳng định nào sau đây là

khẳng định đúng ?

A.

B.

C.

D.

S

S

2

.

.

.

.

S=

2

S= 3 1

S 1

S= 24

2

S= 12

S 1

2

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích

1V và hình cầu có

đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích

bằng bao nhiêu?

2V . Khi đó, tỉ số thể tích

V 1 V 2

A.

B.

C.

D.

= . 1

2 = . 3

1 = . 2

1 = . 3

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là

3a

.

2

A.

B.

C.

D.

3

.

2 3

.

2 2 aπ .

aπ 2

2aπ .

aπ

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .

Tính diện tích xung quanh của hình nón.

2

2

aπ

aπ

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2 2

aπ

2 2 4

2 2 2

aπ 2 3

Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền

bằng

. Diện tích toàn phần

2a

tpS của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho

là

2

3

2

3

2)

2

2

2

a π

a π

a π

A.

B.

S

V

S

V

.

;

;

.

=

=

=

=

tp

tp

+ (1 2

a π 12

2

4

3

2

3

2

a π

a π

− ( 2 1)

2

C.

D.

S

V

S

V

(1

2);

.

;

.

a π=

+

=

=

=

tp

tp

6

2

a π 12

và

Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

2a

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng

060 . Diện tích xung quanh

xqS của hình nón và

thể tích V của khối nón tương ứng là:

3

2

6

A.

B.

S

S

V

2 a V ;

.

;

.

π=

=

=

=

xq

xq

a π 12

a π 2

3 3 a π 12

3

3

6

6

a π

a π

2

C.

D.

S

V

S

2;

.

2 a V ;

.

a π=

=

π=

=

xq

xq

4

4

Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy là 2

3a

, góc ở đỉnh là

0120 . Tính thể tích của khối nón đó

theo a .

3

A.

B.

C.

D.

3 3

.

3 3 aπ .

3aπ .

2 3 aπ .

aπ

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

10 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

AC

a 3

. Tính độ dài đường

=

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a= và

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .

B.

C.

D.

l

.

a 3

.

.

=

A. l

l

l

a

2

a= .

a= 2

=

MẶT TRỤ

Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích

1V ; một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và

có thể tích

2V .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

h

R

A.

D.

.

.

.

.

V C. 1

V= 23

V 2

V= 13

V B. 1

V= 22

V 2

V= 1

Câu 27. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao là h .

2

2

A.

B.

C.

D.

V

V

V

.

.

.

.

R hπ=

Rhπ=

2 Rhπ=

V

Rhπ= 2

Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung

quanh của hình trụ.

A.

B.

C.

D.

2aπ .

2 2 aπ .

2 3 aπ .

2 4 aπ .

3a

.

2

2

A.

C.

B.

D.

2 3

.

.

.

Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao aπ

3

3

aπ 2

aπ

aπ 2

+

+

(

) − . 3 1

( 2 1

)

( 1

)

Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là

một hình vuông.

3

3

A.

B.

C.

D.

3 aπ .

2 aπ .

4 aπ .

3aπ .

2 3

Câu 31. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6 (cm)π

và thiết diện đi qua trục

là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) .

A.

B.

C.

D.

18

3 48 (cm )

.

3 24 (cm )

.

3 72 (cm )

.

.

π

3 34 72 (cm ) π

π

π

π

2

AB = và 1

Câu 32. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có

AD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính

diện tích toàn phần

tpS của hình trụ đó.

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

6 π=

2 π=

4 π=

10 π=

tpS

tpS

tpS

tpS

Câu 33. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

11 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. - Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu

1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và

2V là tổng thể tích của hai thùng gò

được theo cách 2. Tính tỉ số

.

V 1 V 2

B.

A.

C.

D.

= . 2

= . 1

= . 4

1 = . 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

V 1 V 2

VẬN DỤNG THẤP

Câu 34. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a .

a

a

a

a

3

6

6

2

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2

2

4

4

Câu 35. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

.S ABC , biết các cạnh đáy có độ

dài bằng a , cạnh bên

3

.

SA a=

a

2

3

a

3

6

B.

C.

D.

A.

.

.

.

.

8

a 3 8

a 3 3 2 2

2

Câu 36. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

2a .

a

2

7

a

2

2

2

14

B.

C.

D.

A.

.

.

.

.

a 7

7

2

a 2 7 3 2

Câu 37. Cho hình chóp

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

π

π

π

A.

B.

C.

D.

V

V

V

V

.

.

.

.

=

=

=

=

5 π 3

5 15 18

4 3 27

5 15 54

Câu 38. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

a

a

3

2

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

39 6

12 6

a 3

a 4 3

Câu 39. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khối

lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R .

3

3

A.

B.

C.

D.

34R .

38R .

2 2R .

4 2R .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

12 | T H B T N

(cid:7)

BTN_7_5 Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 40. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt AB A B mà (hình vẽ). Biết diện tích tứ ' '

đáy theo hai dây cung song song

,

6 cm

'

'

AB A B =

'

'

= ABB A bằng 60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.

giác

B. 4 3 cm.

D. 5 3 cm.

A. 6 2 cm.

C. 8 2 cm.

';O R . Tồn tại dây cung AB

Câu 41. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (

;O R và ( )

)

thuộc đường tròn (

)O sao cho

là tam giác đều và mặt phẳng (

O AB hợp với mặt

)

'

'O AB

∆

)O một góc

060 . Khi đó, diện tích xung quanh

phẳng chứa đường tròn (

xqS hình trụ và thể tích

V của khối trụ tương ứng là:

2

3

2

3

7

2 π

7

7

6 π

3 π

A.

B.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

R 4 π 7

R 7

R 7

R 7

2

3

2

3

R

7

7

7

3 π

2 π

3 π

π

C.

D.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

R 7

R 7

R 7

7

)

xqS

Câu 42. Cho mô ̣t hı̀nh tru ̣ trò n xoay và hı̀nh vuông ABCD ca ̣nh a có hai đı̉nh liên tiếp ,A B nằ m trên đườ ng trò n đáy thứ nhất củ a hı̀nh tru ̣, hai đı̉nh cò n la ̣i nằ m trên đườ ng trò n đáy thứ hai củ a hı̀nh tru ̣. Mă ̣t phẳ ng ( hı̀nh tru ̣ và

ABCD ta ̣o vớ i đáy hı̀nh tru ̣ gó c

045 . Diê ̣n tı́ch xung quanh

thể tı́ch V củ a khố i tru ̣ là:

2

3

2

3

a

3

2

a π

a π

A.

B.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

3

3 2 8

3

a 3 2 32

2

3

2

3

3

3

a π

a π

C.

D.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

4

a 3 3 16

2

a 3 2 16

. Khi đó, thể

ABM =

Câu 43. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung (cid:6)AB sao cho (cid:3) 060 tích V của khối tứ diện ACDM là:

A.

B.

C.

D.

3 6 3 (cm )

3 2 3 (cm )

.

.

3 6 (cm )

.

3 3(cm )

.

V =

V =

V =

V =

Câu 44. Một hình nón có chiều cao

cm, bán kính đáy

25

20

h =

r =

cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

D. 125 34 cm2.

C. 500 cm2.

A. 450 2 cm2.

B. 500 2 cm2.

Câu 45. Cho hình lập phương

ABCD A B C D có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh

. ’ ’ ’

’

xqS và thể

tích V của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình

vuông

A B C D .

’ ’ ’

’

2

3

2

3

5

5

a π

a π

A.

B.

S

V

S

V

.

.

;

;

=

=

=

=

xq

xq

2

a π 12

4

a π 4

2

3

3

3

a π

C.

D.

S

V

S

V

;

2 5;

.

.

=

=

a π=

=

xq

xq

2

a π 6

a π 4

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

13 | T H B T N

(cid:7)

SBC tạo với mặt

bằng

2a

BTN_7_5 Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 46. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền . Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp (

)

phẳng chứa đáy hình nón một góc

060 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là:

a

a

a

a

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2 2 3

2 2 6

2 3 2

2 6 3

Câu 47. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

2a

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng

và 060 . Gọi I là một điểm trên đường cao SO của

hình nón sao cho tỉ số

= . Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục

SI OI

1 3

của hình nón là:

2

2

2

aπ

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2 2 18

aπ 9

aπ 18

aπ 36

Câu 48. Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên

mặt phẳng đáy sao cho

3

. Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (

)O R sao cho

;

OI R=

. Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh

OA OI⊥

xqS của hình

nón và thể tích V của khối nón là:

3

3

A.

B.

S

R

V

S

2 2;

.

2 R V ;

.

π=

=

2 π=

=

xq

xq

R π 3

R 2 π 3

2

3

3

2

π

C.

D.

S

V

S

.

2 R V ;

.

;

=

=

π=

=

xq

xq

R 2

R π 6

R 2 π 3

3a

, góc ở đỉnh là 1200. Thiết diện qua đỉnh của

Câu 49. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng

của thiết điện đó là bao nhiêu ?

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất maxS

2

2

2

2

A.

B.

C.

D.

S

S

S

S

2

.

.

.

.

a= 2

a=

a= 4

=

max

max

max

max

a 9 8

VẬN DỤNG CAO

Câu 50. Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là

a

a

a

6

6

6

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

r =

r =

r =

r =

a 6 12

8

6

4

Câu 51. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là

R

3

3

4

3

2

A.

B.

C.

D.

3R

.

.

.

.

3

R 3

R 3

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong

hình nón theo h .

x =

A.

B.

C.

D.

.

.

x =

h x = . 2

h x = . 3

h 2 3

h 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N

(cid:7)

h

x

BTN_7_5 Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 53. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0

< < .

O

h

x

h

3

A.

B.

C.

D.

x

.

3

.

.

x =

h=

x =

h 2 3

h x = . 3

3

Câu 54. Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu

S O r . ; )

(

Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu

S O r là ; )

(

3

3

3

3

16

16

Rπ

Rπ

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

3

3

Rπ 4 1 2 5 +

Rπ 4 2 5 1 −

5

+

(

) 5 1 −

( 1

)

Câu 55. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của

khối trụ có thể tích lớn nhất là:

A.

B.

R

h

R

h

.

;

;

.

=

=

=

=

S 2 π

S 1 2 2 π

S 4 π

S 4 π

C.

D.

R

h

R

h

.

;

4

;

2

.

=

=

=

=

S 2 3 π

S 2 3 π

S 6 π

S 6 π

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN)

Câu 56. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng

22a . Khi đó thể tích của khối nón bằng:

3

3

3

3

A.

B.

C.

D.

aπ 2 2 3

aπ 3

aπ 4 2 3

aπ 2 3

Câu 57. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D'. Khi đó S bằng:

2

a π a π

A.

B.

C.

D.

S

2 2

aπ=

2 2 2

2 2 4

S S S = = aπ=

a

Câu 58. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng

2 2

. Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện

.S V bằng:

5

5

5

5

tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích

=

a a a a S V .

A.

B.

C.

D.

=

2 3 3 π 2

2 3 π 2

2 3 π 2

2 3 6 π 2

S V . S V . S V . = =

Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có

AA

a

AB a BC a ,

3,

'

5

=

=

=

. Gọi V là thể tích

hình nón sinh ra khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'. Khi đó V bằng:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

3

3

3

5 5 3 a π

A.

B.

C.

D.

=

=

=

=

3 5 3

V V V V a 2 π 3 a 4 π 3 a 4 π 5

Câu 60. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi

đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:

C.

A. 2π

B. 4π

D. π

π 2

Câu 61. Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng:

A.

B.

C.

D.

6 3π 2 3 π 3 3π 2 3 3π

Câu 62. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc αvà độ dài đường sinh bằng l. Khi đó diện

2

2

2

2

tích toàn phần của hình nón bằng:

A.

B.

l

cos

. cos

cos

. sin

=

=

l 2 π

α

2 π

α

tpS

tpS

α 2

α 2

2

2

2

2

C.

cos

. cos

cos

. cos

=

=

l π

α

l π

α

tpS

tpS

1 2

α 2

α 2

D.

Câu 63. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng

3

3

3

trụ nói trên. Khi đó V bằng:

=

=

3 a π V V

A.

B.

C.

D.

=

=

3 3 3

V V a π 3 a 3 π 2 a π 6

a 6

Câu 64. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

. Khẳng định 3

nào sau đây sai? A. Không có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. B. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trọng tâm tam giác ABC. C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trực tâm tam giác ABC.

a 3

D. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính

R = 3

Câu 65. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng a. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam

3

3

giác có góc ở đỉnh bằng 1200. Gọi V là thể tích khối nón. Khi đó V bằng:

=

=

a π V V

A.

B.

C.

D.

=

=

3 3 3

3 3 a π 9

V V a π 6 a π 3

Câu 66. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:

3

3

3

aπ

A.

B.

C.

D.

3 2 4

aπ 4 aπ 12 aπ 4 3

ABC ) ,

Câu 67. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA ( ⊥ cạnh bên SC tạo với đáy góc 600. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

3

3

3

3

=

=

=

=

50 V V V V

A.

B.

C.

D.

a π 3 a π 3 a 5 π 3 a 500 π 3

Câu 68. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh của

2

2

2

2

hình nón có đỉnh O′ và đáy (C).

=

=

=

S S S

A.

B.

C.

D.

=

xq

xq

xq

xq

S a 3 π 2 a 5 π 2 a π 2 a 3 2 π 2

Câu 69. Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh

bằng 1. Thể tích của khối trụ đó bằng:

A.

B.

C.

D. π

π 4

π 3

π 2

Câu 70. Cho tứ diện S.ABC có 3 đường thẳng SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA = 3,

C. 75π

SB = 4, SC = 5. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: B. 50π A. 25π

D. 100π

Câu 71. Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn

đáy R bằng:

A.

B.

C.

D.

22R h

2R h

22R h

2 R h 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

17 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

D.D.D.D. ĐÁP ÁN V C NGHIỆỆỆỆMMMM I BÀI TẬẬẬẬP TRP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHI ĐÁP ÁN VÀ HÀ HÀ HÀ HƯƯƯƯỚỚỚỚNG DNG DNG DNG DẪẪẪẪN GIN GIN GIN GIẢẢẢẢI BÀI T C NGHI C NGHI I BÀI T I BÀI T ĐÁP ÁN V ĐÁP ÁN V

I – ĐÁP ÁN 7.5

2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 D A B A C B D A A B A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

* MẶT CẦU

Câu 1. Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.

A.

C.

B.

D.

R

R

R

R

=

=

=

=

4V S

S V 3

V S 3

3V S (cid:2) Hướng dẫn giải: Ta có công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là:

3

S

2 r V ;

=

=

. . . .

= . r

π 4

r π

3V S

4 3

⇒

Câu 2. Cho mặt cầu

( ) ; S O R và điểm A cố định với OA d= . Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với

2

2

2

2

2

2

2

mặt cầu ) ; S O R tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? (

B.

C.

D.

d

R

d

2R

R−

22 d−

R+

. . . .

A. d− (cid:2) Hướng dẫn giải:

M

R

Vì ∆ tiếp xúc với ( ) ; S O R tại M nên OM ⊥ ∆ tại M .

A

O

2

2

2

2

2

2

AM OA OM

d

AM

d

R

=

−

=

− ⇒ 2 R

=

−

Xét tam giác OMA vuông tại M , ta có:

.

Câu 3. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

,a b c . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình ,

2

2

2

2

hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( )S theo ,a b c . ,

A.

B.

+

+

2 a ( π +

2 a 2 ( π +

2

2

2

2

2

b c b c ) . ) .

C.

D.

a

b

c

(

)

+

+

+

2 a 4 ( π +

π 2

(cid:2) Hướng dẫn giải: Đường kính của mặt cầu ( )S chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu ( )S có

2

2

2

2

2

2

r

a

b

c

b c ) . .

=

+

+

=

+

+

2 4 ( π π =

1 2

S r a b c bán kính . Do đó diện tích mặt cầu ( )S là: ) .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

18 | T H B T N

BTN_7_5

(cid:7)

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 4. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là

,a b c . Gọi ( )S là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình ,

hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( )S là

A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật. B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật. C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật. D. tâm của hình hộp chữ nhật. (cid:2) Hướng dẫn giải: Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu ( )S chính là

tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5. Cho mặt cầu

∆ tiếp xúc với

( ) ; S O R và đường thẳng ∆ . Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d . Đường thẳng

S O R khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ? ( ) ;

. . . .

D. d

B. d

R>

C. d R<

R≠

A. d R= Hướng dẫn giải: Đường thẳng ∆ tiếp xúc với

R=

M

Δ

d=R

O

( ; . S O R khi d )

Câu 6. Cho đường tròn (

)C và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa ( )C . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu

chứa đường tròn ( )C và đi qua A ?

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

A. 2. (cid:2) Hướng dẫn giải: Trên đường tròn (

0M cố định. Gọi (

I

)α là mặt )C lấy điểm điểm

0AM và đường thẳng ∆ là trục của (

A

phẳng trung trực của )C . Gọi

Δ

α

O

M

I giao điểm của ( )α và ∆ thì mặt cầu tâm I thỏa mãn yêu cầu đề

∩ ∆ thì

)C , gọi ( bài. Ta sẽ chứng minh tâm I là duy nhất. Giả sử M là điểm bất kì khác nằm trên đường tròn ( ' I α= ( ') ')α là mặt phẳng trung trực của AM và

'I thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ta có:

mặt cầu tâm tâm

'I thuộc mặt phẳng trung trực (

=

=

∩ ∆ .

0

0AM nên

'I

I A I M I M ' ' ' ⇒ ' )α của I α= ( )

I≡ . Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Từ đó suy ra

Câu 7. Cho hai điểm

,A B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. đường thẳng trung trực của AB .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB . (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm

,A B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA IB= . Do đó

I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB .

Câu 8. Cho mặt cầu

S O R và mặt phẳng ( ) ( ; )α . Biết khoảng cách từ O tới ( )α bằng d . Nếu d R<

thì giao tuyến của mặt phẳng ( S O R là đường tròn có bán kính bằng bao ) ( ; )α với mặt cầu

2

2

2

2

2

nhiêu?

B.

C.

D.

R

R

R

d+

d−

22 d−

. . .

)α và M là điểm thuộc đường giao tuyến của ( )α và mặt cầu

A. Rd . (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi I là hình chiếu của O lên (

2

2

IM

R

d

=

−

d= nên

O

M

I

α

) ; . và OI S O R . Xét tam giác OIM vuông tại I , ta có: OM R= (

Câu 9. Từ điểm M nằm ngoài

mặt cầu S O R có thể kẻ ( ) ;

với mặt cầu ?

C. 1.

D. 2.

B. 0.

được bao nhiêu tiếp tuyến A. Vô số. (cid:2) Hướng dẫn giải: + Gọi (

T1

)α là mặt phẳng chứa đường thẳng MO thì dễ dàng

(C)

α

M

O

thấy rằng mp ( S O R theo giao tuyến ( ) ; )α luôn cắt mặt cầu

là đường tròn ( )α , ta )C có tâm O , bán kính R . Trong mp (

T2

thấy từ điểm M nằm ngoài ( )C ta luôn kẻ được 2 tiếp tuyến

1

2

,MT MT với đường tròn ( )C . Hai tiếp tuyến này cũng

S O R . ; ) ( chính là tiếp tuyến với mặt cầu

+ Do có vô số mặt phẳng ( S O R theo các giao tuyến ) ( ; )α chứa đường thẳng MO cắt mặt cầu

là đường tròn ( )C khác nhau nên cũng có vô số tiếp tuyến với mặt cầu được kẻ từ điểm M

nằm ngoài mặt cầu.

S O R tại M . Gọi H là hình ( ) ;

Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu

d

M

2

2

⇒

đường cao. Ta có:

chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây? A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA . B. Mặt phẳng trung trực của OA . C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM . D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM . (cid:2) Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ( , ) d O , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là

=

=

=

A

O

H

định. Vậy M thuộc mặt phẳng vuông góc với OA tại H .

OM OH OA OH . . Do đó H cố R R 2 R 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

20 | T H B T N

BTN_7_5

(cid:7)

S O R tại M . Gọi H là hình ) ( ;

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7) Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu

chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:

R 3 3 2 3 3

A.

B.

C.

D.

R 2

d

M

. . . . 3 R 3 R 4

(cid:2) Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ( ,

) d O , xét tam giác OMA vuông tại M có MH là

2

2

A

⇒

⇒

O

đường cao. Ta có:

=

=

=

H

3

R 3 MH HO HA MH MH . . R R 3 . 2 2 2

Câu 12. Thể tích của một khối cầu là

1 113 cm 7

thì bán kính nó là bao nhiêu ?

π ≈

22 7

(lấy )

B. 2 cm .

C. 4 cm .

D. 3cm .

A. 6 cm . (cid:2) Hướng dẫn giải:

3

=

⇒ = 3 R

= ⇒ = (cm). R

=

3.113 Thể tích khối cầu bán kính R là V R 27 3 π 4 3 V 3 4 π 4. 1 7 22 7

Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt

π ≈

22 7

2

2

2

và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy

B.

D.

697,19 (m ) .

C. 190,14 cm .

95, 07 (m ) .

2

S

2 .11

2 379, 94 (m )

=

=

379, 94 (m ) . A. (cid:2) Hướng dẫn giải:

dπ=

22 7

. Diện tích của kinh khí cầu là

Câu 14. Cho hình lập phương

ABCD A B C D có độ dài mỗi cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi

.

'

'

'

'

2

2

qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:

A.

B.

S

V

S

V

150 (cm );

3 125 3 (cm )

3 500 (cm )

=

=

=

π=

π 100 3 (cm );

2

2

. .

D.

V

S

V

S

250 (cm );

3 500 6 (cm )

3 500 3 (cm )

=

=

π=

A

D

. .

C. π= 300 (cm ); (cid:2) Hướng dẫn giải: Dễ thấy tâm O của mặt cầu chính là tâm của hình lập phương.

2

2

2

=

+

'AA C có:

B

C

AC AA Trong tam giác vuông ' ' A C ' ' .

A B C ' '

'

O

2

2

2

Trong tam giác vuông có:

=

+

A'

D'

2

A C ' ' A B ' ' B C ' ' .

=

+

+

= ⇒ =

C'

AC

5 3

R OA =

=

=

AC AC Do đó 100 100 100 300 10 3 (cm).

B'

1 2

(cm) + Bán kính mặt cầu tâm O là

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

2

S

=

=

=

Rπ 4

2 π 300 (cm )

(cid:7) ( π 4 . 5 3

3

V

5 3

3 500 3 (cm )

=

=

=

+ Diện tích mặt cầu: .

Rπ

π

+ Thể tích khối cầu: .

(

)2 )3

4 3

4 3

Câu 15. Cho đường tròn (

đường tròn (

)C ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

)C xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng

3

3

3

là:

3 aπ aπ 4

A.

B.

C.

D.

3 3 54

(cid:2) Hướng dẫn giải:

A

. . . . aπ 4 9 27 aπ 4 3

AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên

a 3 . AH =

O

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ABC∆ 2 và , thì O AH∈

=

=

B

C

H

a 3 OA AH . 2 3 3

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn

=

3

3

a 3 ( )C quanh trục AH là . Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là: R OA= 3

3

=

=

=

 π  

  

a 3 3 V R (đvtt). π 4 3 4 3 3 a 4 π 27

Câu 16. Cho đường tròn (

đường tròn (

)C ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay

)C xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng

3

3

3

là:

3 aπ aπ 4

B.

C.

D.

A.

3 3 54

(cid:2) Hướng dẫn giải:

A

. . . . aπ 4 9 aπ 4 3 27

AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên

O

a 3 . AH = 2

ABC∆

và Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp , thì O AH∈

B

C

H

=

=

a 3 OA AH . 2 3 3

=

3

3

a 3 Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn ( )C quanh trục AH là . R OA= 3

3

=

=

=

 π  

  

a 3 3 V R Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là: (đvtt). π 4 3 4 3 3 a 4 π 27

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

và (cid:5) . Quay tam giác vuông này quanh

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông tại A có

BC

030

B =

a= 2 1S là diện tích toàn phần của hình nón đó và

2S là

trục AB , ta được một hình nón đỉnh B . Gọi

2

diện tích mặt cầu có đường kính AB . Khi đó, tỉ số là: S 1 S

C.

D.

A.

B.

= . 1

2

2

2

2

(cid:2) Hướng dẫn giải: Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có:

B

0

0

a

sin 30

;

cos 30

3

AC BC =

=

a AB BC =

=

S 1 S S 1 S S 1 S S 1 S 2 = . 3 3 = . 2 1 = . 2

300

.

B

A

O

2

2

2

S

S

R

a a .2

=

=

+

+

=

+

=

Rl π π

π

a π

a π 3

xq

day

C

A

B

S 1 . Diện tích mặt cầu đường kính AB là:

2

2

Diện tích toàn phần hình nón là:

S

AB

a

3

=

=

=

π

π

a π 3

2

(

)2

.

= . 1

2

Từ đó suy ra, tỉ số S 1 S

* MẶT NÓN

Câu 18. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , diện tích xung quanh là

1S

2S . Khẳng định nào sau đây là

và mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón, có diện tích

khẳng định đúng ?

C.

B.

D.

2

2

2

S S 2 . . . . S= S= 24 S= 12 S 1 S 1

2a .

2

Rl

(1)

=

=

S= 3 A. 1 (cid:2) Hướng dẫn giải: Bán kính đáy của hình nón là a . Đường sinh của hình nón là

π

a π 3

S 1

2a

a 3

Do đó, ta có

a

a

2

a 3 Mặt cầu có bán kính là , nên ta có 2

2

=

=

2

  

  

a 3 S (2) . 4 π a 3 π 2

2

Từ (1) và (2) suy ra . S= S 1

Câu 19. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a , có thể tích

1V và hình cầu có

đường kính bằng chiều cao hình nón, có thể tích

2V . Khi đó, tỉ số thể tích

bằng bao nhiêu? V 1 V 2

A.

B.

C.

D.

= . 1

1 = . 2 1 = . 3 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2

2 = . 3 (cid:2) Hướng dẫn giải:

2a

a 3

Hình nón có bán kính đáy là a , chiều cao 3a .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

23 | T H B T N a

a

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

3

2 a a

=

3

3

3 a π Do đó thể tích 3 . V 1 1 π= 3 3

=

=

 π  

  

a a 3 3 3 Hình cầu có bán kính . nên có thể tích V 1 2 4 3 2 a π 2

Từ đó suy ra 2 = . 3 V 1 V 2

Câu 20. Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a và đường cao là

2

3a .

B.

C.

D.

2 3

2 2 aπ .

2aπ .

3 . . aπ 2 aπ

A. (cid:2) Hướng dẫn giải:

2

=

=

=

xqS

rh 3a nên a a . 3 3 . Hình trụ có bán kính đáy a và đường cao 2 π 2 π a 2 π

Câu 21. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a .

2

Tính diện tích xung quanh của hình nón.

2 aπ aπ

A.

B.

C.

D.

2 2

2 2 4

2 2 2

a

(cid:2) Hướng dẫn giải: Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cạnh a nên đường sinh

a

. . . . aπ aπ 2 3

O

2

a 2 của hình nón là a và bán kính đáy là nên 2

=

xq

a 2 2 a π S . a . π= 2 2

Câu 22. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là tam giác vuông cân SAB có cạnh cạnh huyền

tpS của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng đã cho

bằng . Diện tích toàn phần 2a

2

3

2

3

là

2) 2 2 2 a π a π a π

A.

B.

=

=

=

=

tp

tp

3

2

3

S V S V ; . ; . (1 + 2 a π 12 2 4

2

2 ( 2 1) − a π a π

C.

D.

+

=

=

=

tp

tp

S

S V S V (1 2); . ; . a π= 6 2 a π 12

(cid:2) Hướng dẫn giải: + Do thiết diện đi qua trục là tam giác SAB∆

vuông cân tại đỉnh

S , có cạnh huyền

a

a

a 2

2

nên suy ra bán kính đáy hình nón 2 AB a=

SA SB a

=

= ; đường cao

=

a 2

A

B

O

2

a 2 là r = ; đường sinh hình nón l 2

=

a 2 h hình nón . SO= 2

2

2

2

2

+ Diện tích toàn phần hình nón là:

2

=

+

=

+

=

+

=

+

=

tp

xq

day

  

  

a a 2 2 2 2) a π a π S S S rl a (đvdt). r π π π π 2 2 2 a π 2 (1 + 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

24 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

3

2 r h

=

=

=

2 V Bh + Thể tích khối nón tương ứng là: (đvtt). π 1 3 a π 12 1 2

và

Câu 23. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

2a

060 . Diện tích xung quanh

xqS của hình nón và

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng

3

2

thể tích V của khối nón tương ứng là:

6

A.

B.

2 a V ;

=

=

=

xq

xq

3 3 a π 12

3

3

S S . V ; . π= a π 12 a π 2

2

6 6 a π a π

C.

D.

2 a V ;

=

=

xq

xq

(cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Theo giải

S

S V S 2; . . a π= π= 4 4

và góc giữa đường sinh và 2

a 2

a 2

. Trong tam giác vuông SAO , ta SAO =

600

thiết ta có đường sinh SA a= mặt phẳng đáy là (cid:3) 060 có:

O

0 cos 60

0 . sin 60

=

=

=

A

a a 2 6 a ; 2. . OA SA= SO SA =

2 xung 3 2 hình 2 nón Diện tích quanh

2

=

=

xq

2

3

a 2 S rl a . 2 (đvdt). . π π = a π 2

2 r h

=

=

=

  

  

a a 2 6 6 V Thể tích của khối nón tròn xoay . (đvtt). π π 1 3 1 3 2 2 a π 12

Câu 24. Một hình nón có đường kính đáy là 2

0120 . Tính thể tích của khối nón đó

3a , góc ở đỉnh là

3

theo a .

B.

D.

C.

3 3

3aπ .

3 3 aπ .

. 2 3 aπ . aπ

A. (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đáy, A là một điểm thuộc đường tròn đáy. Theo giả thiết dễ suy ra đường tròn đáy có bán kính

B

=

600

0 60

=

R OA a 3 (cm) = và góc (cid:3) 0 120 ASO = 2

C

A

a 3

. Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có

=

=

= . Do đó chiều cao hình nón là h

a= .

3

V

2 R h

2 a a .3 .

=

=

=

a SO a OA 0 tan 60 3 3

π

π

a π

1 3

1 3

. Vậy thể tích khối nón là

=

AC a 3 . Tính độ dài đường

Câu 25. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a= và

sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB .

B.

C.

D.

=

l . a 3 . .

A. l

l

a= .

a= 2

=

l a 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

25 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

B

a

(cid:2) Hướng dẫn giải: Độ dài đường sinh l bằng độ dài cạnh BC của tam giác vuông ABC . Theo

định

C

A

a 3

2

2

2

2

2

2

Pytago thì lý

=

+

=

+

=

BC AB AC a a a 3 a 4 2

l

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là

⇒ = BC a= 2 . * MẶT TRỤ

Câu 26. Cho một hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h và thể tích

1V ; một hình nón có đáy trùng với một đáy của hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy còn lại của hình trụ (hình vẽ bên dưới) và

2V .

có thể tích

h

R

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

D.

. . . . V C. 1 V= 23 V 2 V= 1 V 2 V B. 1 V= 22

2

V= 13 A. (cid:2) Hướng dẫn giải:

R hπ=

1V

2

. Hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h nên thể tích

R hπ=

V 2

1 3

. Hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h nên thể tích

Từ đó suy ra . V 1 V= 23

Câu 27. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao là h .

2

2

C.

B.

D.

2 Rhπ=

V

Rhπ= 2

2

V V V . . . . R hπ=

V Rhπ= A. (cid:2) Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức thể tích khối trụ, đáp án là . R hπ=

Câu 28. Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích xung

quanh của hình trụ.

B.

C.

D.

2aπ .

2 2 aπ .

2 3 aπ .

2 4 aπ .

2a

A. (cid:2) Hướng dẫn giải: Một hình trụ có bán kính đáy a , có thiết diện qua trục là một hình vuông nên chiều cao hình trụ bằng 2a . Do đó diện tích xung quanh hình trụ là

2

a

Rh

a a .2

=

=

=

π 2

π 2 .

a π 4

xqS

.

2

2

3a .

A.

C.

B.

D.

2 3

. . .

Câu 29. Tính diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy a và đường cao aπ

+

+

( 2 1

)

( 1

)

) − . 3 1

( (cid:2) Hướng dẫn giải:

2

2

3 3 aπ aπ 2 aπ 2

aπ=

=

=

a 3

dayS

xqS

Ta có: a a . 3 3 ; . 2 π a 2 π

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

26 | T H B T N

a

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

2

2

2

=

=

+

tpS

Do đó (1 3) . 3 2 + a 2 π a π a 2 π

Câu 30. Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là

3

3

một hình vuông.

A.

B.

C.

D.

3 aπ .

3aπ .

2 3

(cid:2) Hướng dẫn giải: Theo bài ra thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên hình trụ có bán kính đáy là a , chiều cao 2a . Do đó thể tích khối trụ là:

2a

2

3

2 aπ . 4 aπ .

2 R h

=

=

=

V a .2 . π a π a 2 π

Câu 31. Tính thể tích của khối trụ biết chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6 (cm)π

a

và thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) .

B.

C.

D.

18

3 24 (cm )

3 72 (cm )

π

3 π 34 72 (cm )

. . . . π π π

,

3 48 (cm ) A. (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi

'O O là hai tâm của đáy hình trụ và thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD .

B

O

A

R

3 (cm)

=

=

Do chu vi đáy của hình trụ đó bằng 6 (cm)π nên bán kính đáy của hình

C π 6 = π π 2 2

10 (cm)

trụ là .

AC =

Vì thiết diện đi qua trục là một hình chữ nhật ABCD có

=

C

2

2

2

2

O'

BC

AC

AB

'

10

6

8

h OO =

=

=

−

=

−

= (cm).

D

AB 6 (cm) nên chiều cao của hình trụ là: và R= 2

2 .3 .8

3 72 (cm )

=

=

=

2 R hπ

2

AB = và 1

V Vậy thể tích khối trụ là: . π π

Câu 32. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có

AD = . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính

tpS của hình trụ đó.

diện tích toàn phần

A.

B.

C.

D.

π= 6

π= 2

π= 4

π= 10

tpS

tpS

tpS

tpS

(cid:2) Hướng dẫn giải:

2

M

1

1

D

A

S

S

S

Rh

R

(

)

=

+

=

+

=

R h R +

. . . .

π 2

π 2

π 2

xq

tp

day

2

1

Ta có .

h MN AB

1

=

=

= và bán kính

B

C

1

R =

đáy

= . Do đó diện tích toàn phần hình trụ là:

N

AD 2

=

+

=

π 2 (1 1)

π 4

tpS

Hình trụ đã cho có chiều cao là

Câu 33. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm x 240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây):

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

27 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

- Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. - Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và

2V là tổng thể tích của hai thùng gò

được theo cách 2. Tính tỉ số

Kí hiệu

. V 1 V 2

B.

C.

D.

A.

= . 2

= . 4

= . 1

1 = . 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2 V 1 V 2

2C lần lượt là chu vi đáy của mỗi thùng đựng nước hình trụ được làm theo cách 1 và

(cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi R và r lần lượt là bán kính đáy của mỗi thùng đựng nước hình trụ được làm theo cách 1 và cách 2. 1C và

Gọi

R

=

π 2

cách 2.

2

=

C 1 C

R r

=

r π 2

  

2

C ⇒ = 1 C 2

(vì cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau nên Ta có:

). C 1 C= 22

h nên

2

2 R h

π

làm theo cả hai cách đều có cùng chiều cao ta có:

=

  

  

2 r h

2. R r 1 2 2 π V ⇒ = 1 V 2 Thùng  = V 1   V = 2

VẬN DỤNG THẤP

Câu 34. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều cạnh a .

a a a a 3 6 6 2

A.

B.

C.

D.

(cid:2) Hướng dẫn giải: Cho tứ diện ABCD đều cạnh a . Gọi I là trung điểm cạnh BC , G

D

. . . . 2 2 4 4

=

=

J

a a 3 3 AI AG ; và là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có 2 3

DG là trục của tam giác ABC . Trong mp (

O

A

=

=

C

G

DA cắt DG tại O thì OD OA OB OC nên O chính là tâm = mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Bán kính R của mặt cầu bằng

I

B

độ dài đoạn OD . Trong tam giác ADG vuông tại G , ta có:

2

2

)DAG kẻ trung trực của

2

2

2

⇒

2 DA

=

2 2 DG GA +

=

2 DA GA −

=

−

=

=

  

  

a a 3 6 DG⇒ DG a . 3 a 6 9 3

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

28 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Mặt khác do tứ nội tiếp nên ta có: giác AGOI

⇒

=

⇒ =

=

2 DA DG 2

a 6 DO R DO . . . DJ DA DO DG = 4

Câu 35. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều

.S ABC , biết các cạnh đáy có độ

dài bằng a , cạnh bên 3 . SA a=

a 2 3 a 3 6

A.

B.

C.

D.

. . . . 8 a 3 8 2 a 3 3 2 2

⊥

(cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi H là tâm của tam giác đều ABC , ta có

S

SH ABC ( ) nên SH

M

a 3

là trục của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của SA , trong thì mp ( SAH kẻ ) trung trực của SA cắt SH tại O

OS OA OB OC =

=

O

nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

= chóp

.S ABC . Bán kính mặt cầu là R SO=

A

C

a

H

.

I

SO SM = SH SA

B

. Vì hai tam giác SMO và SHA đồng dạng nên ta có

=

=

=

2 SA SH 2

6 Suy ra . R SO = SM SA . SH a 3 8

Câu 36. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

2a .

a 2 7 a 2 14 2 2

A.

B.

C.

D.

. . . . 7 a 7 2 a 7 2 3 2

.S ABCD . Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình

S

Cho hình chóp tứ giác đều

(cid:2) Hướng dẫn giải: vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của SD , trong mp SDH kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O thì (

)

=

=

M

= .S ABCD . Bán kính mặt cầu là R SO=

2a

OS OA OB OC OD = ngoại tiếp hình chóp Ta

nên O chính là tâm của mặt cầu

O

A

B

2

. có

∽∽∽∽

∆

∆

⇒ =

=

⇒ =

=

H

a

D

C

2

2

SMO SHD R SO . SO SM SD SH SD SM SD SH . SH 2

2

2

2

2

=

=

−

=

2

a SH a Với 4 . SD HD − SH⇒ = a 2 a 7 2 7 2

=

=

a 2 14 R Vậy . SD SH 2 7

Câu 37. Cho hình chóp

.S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

π

π

π

A.

B.

C.

D.

V

=

=

=

=

π 5 3

V V V . . . . 5 15 18 4 3 27 5 15 54

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

29 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

S

(cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB thì SM AB⊥

SAB

ABC

(

)

⊥

(vì tam giác

SAB đều). Mặt khác do

(

)

nên

⊥

SM ABC ( ) .

⊥

K

O

B

M

G

CM SAB Tương tự: ( ) .

//Gx SM và kẻ

C

A

đường thẳng

Gọi G và K lần lượt là tâm của các tam giác ABC và SAB . Trong mặt phẳng ( SMC , kẻ đường thẳng )

∩ , thì ta có:

=

⊥ ⊥

  

//Ky SM . Gọi O Gx Ky OG OK ( ( SAB ) ABC )

Suy ra ,OG OK lần lượt là trục của tam giác ABC và SAB .

=

=

=

=

.S ABC .

Do đó ta có: OA OB OC OD OS hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

=

MK MG= Tứ giác OKMN là hình chữ nhật có nên OKMN là hình vuông. Do đó 3 6

. OK = 3 6

SKO

2

2

Mặt khác Xét tam giác vuông tại K có . SK = 3 3

=

+

=

+

=

OS OK SK . 3 36 3 9 15 6

=

3

π

3

Suy ra bán kính mặt cầu cần tìm là . Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: R OS= 15 6

π

=

=

=

  

  

V R . . π 4 3 4 3 15 6 5 15 54

Câu 38. Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình lăng trụ đó.

a a 3 2

A.

B.

C.

D.

A'

C'

G'

. . . . 39 6 12 6 a 3 a 4 3

(cid:2) Hướng dẫn giải:

ABC A B C . Gọi '

.

'

'

B'

A B C . Ta có '

'

'

'GG chính là trục của các tam

2a

'G G lần lượt là , Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . '

'

'

O

A

C

tâm của hai đáy ABC và giác ABC và

G

a

B

R OA=

Gọi O là trung điểm của 'GG thì O cách đều 6 đỉnh của hình lăng trụ nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ. Bán kính mặt cầu là

. Xét tam vuông ta có: giác OAG tại G ,

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

30 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

2

2

2

2

=

=

+

=

3 2 3 OA a . Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là . AG GO + R = a 3 a 3 a 2 3

Câu 39. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính thể tích khối

3

3

lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho theo R .

B.

C.

D.

38R .

34R .

C'

D'

O'

.

'

'

'

'

B'

'

'

ABCD A B C D là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ BDD B là thiết diện qua trục của hình trụ đã cho nên

2 2R . 4 2R .

A. (cid:2) Hướng dẫn giải: Giả sử thì

A'

2R

R

2

=

.

'

'

'

C

D

R

3

O

. Do đó thể tích khối và cạnh đáy hình lăng trụ là 2R

R

R

R

V

.2

2

4

=

=

B

BD BB = lăng trụ (

' ABCD A B C D là ' )2

A

.

Câu 40. Cho hình trụ có bán kính đáy là 4 cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt AB A B mà (hình vẽ). Biết diện tích tứ ' '

đáy theo hai dây cung song song

6 cm

'

'

AB A B =

'

'

,

= ABB A bằng 60 cm2. Tính chiều cao của hình trụ đã cho.

giác

B. 4 3 cm.

D. 5 3 cm.

C. 8 2 cm.

A. 6 2 cm. (cid:2) Hướng dẫn giải:

'A D , ta có tứ giác

A B CD là hình chữ nhật nên

'

'

Dựng đường sinh

'B C và 6 cm

=

=

CD A B và '

//

'

//CD AB và

' ' 6 cm . Vậy CD A B = CD AB= . Do đó tứ giác ABCD là

AB

'C

BC⊥

B⊥

, mặt khác

⇒ ⊥

⊥

AB BB BCB AB hình bình hành và nội tiếp được nên là hình chữ nhật. Từ đó AB ' nên ') (

ABB C là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ

'

'

B'

A'

Vậy

10 cm

BB = '

=

=

ABB A

'

'

60 6

2

2

2

S AB BB . ' nên . Xét tam giác nhật. Ta có

=

−

C

'BB C

6 2cm

2

2

2

BB BC vuông tại có B C ' ' mà

=

−

=

=

C

B

2

6 cm

B C '

B C '

6 2 cm

=

100 28 −

= ⇒ 72

=

BC AC AB 28 nên 64 36 −

D

A

.

';O R . Tồn tại dây cung AB

Vậy chiều cao hình trụ là 6 2 cm .

Câu 41. Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (

;O R và ( )

)

'O AB

∆

thuộc đường tròn ( )O sao cho là tam giác đều và mặt phẳng ( O AB hợp với mặt ) '

060 . Khi đó, diện tích xung quanh

xqS hình trụ và thể tích

V của khối trụ tương ứng là:

2

3

2

3

phẳng chứa đường tròn ( )O một góc

7 2 π 7 7 6 π 3 π

A.

B.

=

=

=

=

xq

xq

2

3

2

3

S V S V ; . ; . R 4 π 7 R 7 R 7 R 7

π

R 7 7 7 2 π 3 π

C.

D.

=

=

=

=

xq

xq

(cid:2) Hướng dẫn giải:

S V S ; . V ; . R 7 R 7 R 7 3 π 7

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

31 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

OAB

'OO

điểm

(

* Ta trung có : Go ̣i H là

⊥

) . ⊥ ⊥ (cid:3) 0 OHO⇒ 60

=

0

OH AB O H AB , ' . ' củ a AB thı̀

=

=

x R

< <

2

2

2

OO x x ' tan 60 3 . * Giả sử OH x= . Khi đó : 0 và

=

−

2

2

AH

R

x

'

2

2

.

O A AB =

=

=

−

đều nên:

'O AB

∆

( ) 1

AH R x . * Xét OAH∆ , ta có :

vuông ta ̣iO nên:

'

AOO∆

2

2

2

2

2

R

x

R

'

'

3

.

* Mă ̣t khác, OO AO =

+

=

+

( ) 2

2

2

2

2

2

2

⇒

R

x

x

R

x

4

3

.

−

=

+ ⇒ =

* Từ ( ) ( ) 1 , 2

(

)

R 3 7

7

3

h OO

x

'

3

.

⇒ =

=

=

R 7

* Vâ ̣y, nếu kı́ hiê ̣u S là diê ̣n tı́ch xung quanh và V là thể tı́ch củ a hı̀nh tru ̣ thı̀, ta có:

2

3

7

7

6 π

3 π

S

Rh

V

2 R h

;

.

=

=

=

=

2 π

π

R 7

R 7

)

xqS

* Vı̀

Câu 42. Cho mô ̣t hı̀nh tru ̣ trò n xoay và hı̀nh vuông ABCD ca ̣nh a có hai đı̉nh liên tiếp ,A B nằ m trên đườ ng trò n đáy thứ nhất củ a hı̀nh tru ̣, hai đı̉nh cò n la ̣i nằ m trên đườ ng trò n đáy thứ hai củ a hı̀nh tru ̣. Mă ̣t phẳ ng ( hı̀nh tru ̣ và

ABCD ta ̣o vớ i đáy hı̀nh tru ̣ gó c

045 . Diê ̣n tı́ch xung quanh

thể tı́ch V củ a khố i tru ̣ là:

2

3

2

3

a

3

2

a π

a π

A.

B.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

3

3 2 8

3

a 3 2 32

2

3

2

3

3

3

a π

a π

C.

D.

S

V

S

V

;

.

;

.

=

=

=

=

xq

xq

4

a 3 3 16

2

a 3 2 16

.

'O N DC⊥

và

R OA h OO ,

.

'

=

=

,M N theo thứ tự là trung điểm củ a AB và CD . Khi đó : OM AB⊥ 'OO . Đă ̣t

(cid:2) Hướng dẫn giải: * Go ̣i Giả sử I là giao điểm củ a MN và

IM

.

OM OI =

=

vuông cân ta ̣i I nên:

* Trong IOM∆

2 2

a

.

.

h ⇔ =

h ⇒ = 2

2 2

a 2

2 2

2

2

2

R

2 OA

=

+

AM MO +

* Ta có :

2

2

2

2

2

a

2

.

=

+

=

+

=

  

  

a 2

4

a 4

a 8

a 3 8

  

  

2

2

3

a

a

a

2

3

2

a π

Rh

V

2 R h

.

;

.

.

=

=

=

=

=

2 π

2 π

π

π

⇒ = S xq

2

2

a 3 8

2

a 3 2 16

3 2 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

32 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

. Khi đó, thể

ABM =

Câu 43. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3 cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O . Gọi M là điểm thuộc cung (cid:6)AB sao cho (cid:3) 060 tích V của khối tứ diện ACDM là:

B.

C.

D.

3 2 3 (cm )

3 6 3 (cm )

.

3 6 (cm )

.

3 3(cm )

.

V =

V =

V =

V =

⇒

BM AD BM AM BM

ADM

A. . (cid:2) Hướng dẫn giải: , Ta có:

(

)

⊥

⊥

⊥

⇒

BC AD //

BC ADM //(

)

⇒

BM

d C ADM , (

[

)]

d B ADM , (

[

)]

=

=

BM S

BM AM AD

.

.

.

.

.

(1).

⇒ = V

=

ADM

∆

1 3

1 6

Vì

đều

OBM∆

2

2

⇒

BM

AM

AB

BM

3

= ⇒ 3

=

−

= (cm)

(1)

. 3.3.2 3

3 3(cm )

.

V⇒ =

=

1 6

Câu 44. Một hình nón có chiều cao

cm, bán kính đáy

25

20

h =

r =

cm. Một thiết diện đi qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

D. 125 34 cm2.

C. 500 cm2.

B. 500 2 cm2.

A. 450 2 cm2. (cid:2) Hướng dẫn giải:

Tính diện tích thiết diện

SABS

S

IA SI

AB SI .

2 .

IA SI .

+ Ta có

=

=

=

SAB

∆

1 2

1 2 + Xét tam giác vuông SOI , ta có:

⇒

15 (cm)

.

=

+

=

+

⇒ = OI

2

2

2

2

2

2

1 OI

1 OS

1 OI

1 12

1 20

1 OH + Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì:

OI OS .

SI OH .

25

(cm).

=

⇒ = SI

=

=

OI OS . OH

20.15 12

+ Trong tam giác vuông AIO , ta có:

2

IA

2 25

2 15

20

(cm).

=

2 OA OI −

=

−

=

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

33 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

S

+ Từ đó suy ra:

IA SI .

20.25

500

(cm2).

=

=

=

SAB

∆

Câu 45. Cho hình lập phương

ABCD A B C D có cạnh là a . Hãy tính diện tích xung quanh

. ’ ’ ’

’

xqS và thể

tích V của khối nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình

vuông

A B C D .

’ ’ ’

’

2

3

2

3

5

5

a π

a π

A.

B.

S

V

S

V

.

.

;

;

=

=

=

=

xq

xq

2

a π 12

4

a π 4

2

3

3

3

a π

C.

D.

S

V

S

V

;

.

2 5;

.

=

=

=

a π=

xq

xq

2

a π 6

a π 4

(cid:2) Hướng dẫn giải:

Khối nón có chiều cao bằng a và bán kính đáy

.

r =

Diện

tích

xung

quanh

khối

là

a 2 nón

2

2

5

a π

2

S

rl

a a . .

(đvdt)

=

+

=

π π =

xq

  

  

a 2

2

2

3

V

Bh

2 r h

a

Thể tích của khối nón là:

(đvtt)

=

=

=

=

π

π

  

  

1 3

1 3

1 3

a 2

a π 12

SBC tạo với mặt

bằng

2a

Câu 46. Thiết diện đi qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền . Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, sao cho mp (

)

phẳng chứa đáy hình nón một góc

060 . Diện tích tam giác SBC tính theo a là:

a

a

a

a

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2 2 3

2 2 6

2 3 2

2 6 3

(cid:2) Hướng dẫn giải:

vuông cân tại đỉnh S , có cạnh huyền

2

+ Do thiết diện đi qua trục là tam giác SAB∆

AB a=

a

2

nên suy ra bán kính đáy hình nón là

r =

; đường sinh hình nón l

SA SB a

=

= ; đường

=

2

a

2

h

cao hình nón

.

SO=

=

2

(1)

+ Gọi I là trung điểm BC thì OI

BC⊥

Ta lại có:

(2)

SOI

(

)

BC SI

⇒ ⊥ BC

⇒ ⊥

BC OI ⊥ BC SO ⊥

  

(SBC) BC

(3)

Gọi (

=

)α là mặt phẳng chứa đáy thì (

SIO

), (SBC)

(

)

.

=

=

=

Từ (1), (2) và (3) suy ra (

Xét

tam

giác

vuông

ta

có:

) α ∩ )(cid:3) (cid:3) (cid:3) 0 SI OI ( 60 , α SOI

tại O ,

a

2

SO

a

6

SI

.

=

=

=

3

(cid:3) SIO

sin

2 3 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

34 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

2

a

a

6

3

2

2

2

IB

SB

SI

a

Xét

tại

I ,

ta có:

=

−

=

−

=

tam giác SIB vuông

3

3

  

  

3

IB

2

.

⇒ = BC

=

a 2 3

2

a

3

2

S

SI BC .

6 2 .

(đvdt).

=

=

=

Diện tích thiết diện SBC là:

SBC

∆

1 2

a 1 2 3

a 3

3

Câu 47. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng

2a

góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng

và 060 . Gọi I là một điểm trên đường cao SO của

hình nón sao cho tỉ số

= . Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục

SI OI

1 3

của hình nón là:

2

2

2

aπ

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

2 2 18

aπ 9

aπ 18

aπ 36

hình vẽ. Gọi diện tích này là

.

(cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính như tdS . Theo giả thiết ta có đường sinh và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là (cid:3) 060

2

SAO =

SA a=

a

2

0 cos 60

.

OA SA=

=

Trong tam giác vuông SAO có

2

a

2

2

IB

OA .

=

=

Ta có SIB

SOA

∆

∆∽

SI IB ⇒ = ⇒ = SO OA

SI SO

a 1 3 2

6

2

2

a

2

2

⇒

S

IB

.

=

=

=

π

. π

td

6

a π 18

  

  

Câu 48. Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R . Gọi I là một điểm nằm trên

OI

mặt phẳng đáy sao cho

3

. Giả sử A là điểm nằm trên đường tròn (

)O R sao cho

;

R=

. Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S . Khi đó, diện tích xung quanh

OA OI⊥

xqS của hình

nón và thể tích V của khối nón là:

3

3

A.

B.

S

R

V

S

2 2;

.

2 R V ;

.

=

=

π=

2 π=

xq

xq

R π 3

R 2 π 3

2

3

3

2

π

C.

D.

S

V

S

;

.

2 R V ;

.

=

=

=

π=

xq

xq

R 2

R π 6

R 2 π 3

S

(cid:2) Hướng dẫn giải: + Xét tam giác AOI vuông tại O , có:

2

2

2

2

2 IA

R

R

R

R 3

4

2

=

2 OA OI +

=

+

=

⇒ = IA

+ Do tam giác SAI vuông cân tại S nên ta có:

O

I

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

35 | T H B T N

A

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

IA

R

2

R

2

2

IA SA =

⇒ = SA

=

=

.

2

2

+ Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có:

2

2

2

2

SO

R

R

R

2

.

=

SA OA −

=

−

=

2

Rl

R

R R .

2

2

(đvdt).

+ Diện tích xung quanh của hình nón là:

=

=

=

π

π

π

xqS

3

V

Bh

2 R h

2 R R

+ Thể tích của khối nón tương ứng là:

(đvtt).

=

=

=

=

π

π

1 3

1 3

1 3

R π 3

3a

, góc ở đỉnh là 1200. Thiết diện qua đỉnh của

Câu 49. Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng

của thiết điện đó là bao nhiêu ?

hình nón là một tam giác. Diện tích lớn nhất maxS

2

2

2

2

A.

B.

C.

D.

S

S

S

S

2

.

.

.

.

a= 2

a=

a= 4

=

max

max

max

max

a 9 8

(cid:2) Hướng dẫn giải: Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua

đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM . Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy

R OA a

3 cm

=

=

. Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có:

, (cid:3) 0 ASB = 120

nên (cid:3) 060 ASO =

0

SA

a

sin 60

2

.

= ⇒ =

=

0

OA SA

OA sin 60

S

(cid:3) ASM

(cid:3) ASM

a

(cid:3)2 ASM

SA SM .

. sin

a a 2 .2 .sin

2

sin

Diện tích thiết diện là:

=

=

=

SAM

∆

1 2

1 2

S

lớn nhất khi và chỉ

1

≤ nên

SAM

S∆

1

ASM = hay khi tam giác ASM vuông cân

0

nên tồn tại tam

90

>

O

B

A

Do (cid:3)0 sin ASM < khi (cid:3)sin tại đỉnh S (vì (cid:3) 0 ASB = 120 giác ASM thỏa mãn).

M

2

S

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là:

a= 2

max

(đvtt).

VẬN DỤNG CAO

Câu 50. Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là

a

a

a

6

6

6

A.

C.

B.

D.

.

.

.

.

r =

r =

r =

r =

8

6

4

a 6 12 (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a .

A

a

V

Ta tính được thể tích khối tứ diện đều là

.

=

ABCD

3 2 12

Mặt

khác,

ta

lại

có:

O

V

V

V

V

V

(*)

=

+

+

+

ABCD

O ABC

O ACD

O BCD

O ABD

.

.

.

.

B

D

Mỗi hình tứ diện đỉnh O đều có chiều cao r và diện tích đáy là

C

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

36 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

a

.

2 3 4

3

2

a

a

2

3

V

r

Do đó, từ (*) ta suy ra:

4.

.

.

=

=

⇒ = r

ABCD

12

1 3

4

a 6 12

Câu 51. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là

R

3

3

4

3

2

A.

B.

C.

D.

3R

.

.

.

.

3

R 3

R 3

x R

)

(xem hình vẽ)

< <

(cid:2) Hướng dẫn giải: Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0

2

2

r

R

x

. Thể tích khối trụ là:

Bán kính của khối trụ là

=

−

x

R

2

2

2

2

V

R

x

x

R

x

x R

)2

. Xét hàm số

V x ( )

x )2 , 0

−

−

< <

( π=

( π=

O

x

R

3

2

R

x

Ta

có

V x '( )

2 x 3 )

0

.

−

= ⇔ =

2 ( π=

3

Bảng biến thiên:

R

3

x

0

R

3

V x '( )

+ 0 −

3

3

Rπ 4 9

( )V x

0 0

3

2

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là

;

R 3

3

3

4 π

V

.

=

max

R 9

Câu 52. Cho hình nón có chiều cao h . Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong

hình nón theo h .

h

x =

B.

C.

D.

A.

.

.

.

.

x =

x =

x =

h 3

h 2 3

h 2

3

O

B

h

J

x

R

r

I

A

(cid:2) Hướng dẫn giải:

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

37 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Gọi

,r R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là

tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình

h

x

h

x

(

)

.

=

⇒ = r

−

nón, B là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có:

r R

− h

R h

2

2

2

V

xR

h

x

)

Thể tích khối trụ là:

=

=

−

π

x π

R 2 ( h

2

h

x

h

x

Xét hàm số

V x ( )

(

2 ) , 0

−

< < .

x π=

R 2 h

2

h

x

x

Ta có

V x '( )

(

x h )(

x 3 )

0

hay

h .

−

−

= ⇔ =

=

π=

R 2 h

h 3

Bảng biến thiên:

0

h

x

h 3

V x '( )

( )V x

+ 0 − 0 2 R hπ 4 27

0 0

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là

;

x =

h 3

V

.

=

max

2 R h 4 π 27

Câu 53. Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h . Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O đã cho (hình vẽ). Tính chiều cao x

h

x

của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết 0

< < .

O

h

x

h

3

A.

B.

C.

D.

x

.

.

3

.

.

x =

x =

h=

x =

h 2 3

h 3

3

(cid:2) Hướng dẫn giải:

h

x

x

)

Từ hình vẽ ta có

.

=

⇒ = JB

JB OJ = IA OI

− h

R h ( − h

2

2

O

V

h

x

x

Thể tích khối nón cần tìm là:

(

)

.

−

R 2 h

1 π= 3

2

2

h

x

x

h

x

V x ( )

(

)

, 0

Xét hàm số

−

< < .

J

B

R 2 h

h

1 π= 3

2

x

h

x

h

x

Ta có

V x '( )

(

x h )(

x 3 )

0

hay

.

−

−

= ⇔ =

=

R 2 h

1 π= 3

h 3

I

A

R

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

38 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

Bảng biến thiên:

0

h

x

h 3

V x '( )

+ 0 − 0

( )V x

2 R hπ 4 81

0 0

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất khi chiều cao của nó là

;

x =

h 3

V

.

=

max

2 R h 4 π 81

Câu 54. Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu

S O r . ; )

(

Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu

S O r là ; )

(

3

3

3

3

16

16

Rπ

Rπ

A.

B.

C.

D.

.

.

.

.

3

3

Rπ 4 1 2 5 +

Rπ 4 2 5 1 −

5

+

(

( 1

)

O

) 5 1 − (cid:2) Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O và đường kính đáy là AB .

2

2

R

R

Ta có

R (2 )

5

.

OA OB =

=

+

=

2R

S

,

22 R=

Tam giác OAB có diện tích là

r

O

p

2 (1

5)

chu vi là 2

. Do đó bán kính khối cầu

S O r là ; )

(

R=

+

A

B

R

R

2

r

=

=

.

S p

1

5

+

3

R

16

π

3

V

2 r h

Thể tích khối trụ cần tìm là:

.

=

=

=

π

r π 2

tru

3

5

+

( 1

)

Câu 55. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của

khối trụ có thể tích lớn nhất là:

A.

B.

R

h

R

h

;

.

;

.

=

=

=

=

S 2 π

S 1 2 2 π

S 4 π

S 4 π

C.

D.

h

R

R

h

;

4

.

;

2

.

=

=

=

=

S 2 3 π

S 6 π

S 6 π

S 2 3 π (cid:2) Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ là V , diện tích toàn phần của hình trụ là S .

2

S

S

S

R

Rh

Ta có:

. Từ đó suy ra:

=

+

=

+

π 2

π 2

xq

day

2

2

Cauchy

2

2

2

3

R

Rh

R

R

3

hay

=

+ ⇔ =

+

=

+

+

≥

R

R

S 2 π

S 2 π

V 2 π

V 2 π

V 2 4 π

V R π

3

2

3

27

.

≤

V ⇔ ≤

  

  

S 54

V 2 π 4

S π 2

π

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

39 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

3

2

V

R

Vậy

hay

.

=

=

=

=

h

R= 2

. Dấu “=” xảy ra ⇔

max

R

S 54

Rh 2

V 2 π

2 R h π R 2 π

π

2

S

R

h

R

Khi đó

và

2

2

.

=

⇒ = R

=

=

6 π

S 6 π

S 6 π

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN)

Câu 56. Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng

22a . Khi đó thể tích của khối nón bằng:

3

3

3

3

A.

B.

C.

D.

aπ 2 2 3

aπ 3

aπ 4 2 3

aπ 2 3

Hướng dẫn giải

2

2

S

l

a

a

2

2

Ta có:

=

=

⇒ = l

1 2

Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta được đường kính đường tròn đáy

d

a

a

2

2

2

=

3

2

2

2

l

r

V

Bh

Vậy

=

−

=

=

r π

1 3

1 3

a 2 2 π 3

⇒ = r

. Câu 57. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D'. Khi đó S bằng:

a π

a π

2

A.

B.

D.

S

S

S

S

2 2

=

=

aπ=

aπ=

2 2 2

2 2 4

C. Hướng dẫn giải

+) Đáy là hình vuông cạnh a ⇒ đường chéo bằng

2

AC a=

a

2

tiếp đáy

r =

.

2

+) Đường sinh l bằng cạnh của hình lập phương

a⇒ = l

2

rl

2

=

a 2 = π π

+) Vậy

⇒ Chọn B.

xqS

a

⇒ bán kính đường tròn ngoại

Câu 58. Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng

2 2

. Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện

tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói trên. Khi đó tích

.S V bằng:

5

5

5

5

a

a

a

a

S V .

=

A.

B.

D.

S V .

S V .

S V .

=

=

=

2 3 3 π 2

2 3 π 2

2 3 π 2

2 3 6 π 2

C. Hướng dẫn giải

AB x

BD x

+) Đặt

2

= ⇒ =

a

3

2

S

a

a

x

2

x x .

2

BD a '

3

.

+) Ta có:

=

=

⇒ = ⇒

=

⇒ = R

BDD B

'

'

2

3

3

3

2

2

V

S

R

R

+) Khi đó ta có:

và

4 π

a 3 π

=

=

=

4 π= 3

a π 2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

40 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

5

a

SV

+) Vậy

⇒ Chọn A.

=

2 3 3 π 2

Câu 59. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có

. Gọi V là thể tích

AA

a

AB a BC a ,

3,

'

5

=

=

=

hình nón sinh ra khi quay tam giác AA'C quanh trục AA'. Khi đó V bằng:

3

3

3

5

5

3

a π

A.

B.

C.

D.

V

V

V

V

=

=

=

=

a 2 π 3

3 5 3

a 4 π 3

a 4 π 5

Hướng dẫn giải.

2

2

AB

BC

a

2

r AC =

=

+

=

Ta có:

3

5

V

Bh

'

=

=

=

2 r AAπ

Vậy:

1 3

1 3

aπ 4 3

Câu 60. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi

đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:

C.

A. 2π

B. 4π

D. π

π 2

rl

2

2

4 π

= ⇒ 4 π π

+) Theo đề ta có:

Hướng dẫn giải = ⇒ = (*) rl

xqS

+) Thiết diện qua trục là hình vuông

r⇒ = . Thay vào (*) ta được:

l

2

= ⇒ = r 1

l 2

V

+) Vậy

2 r lπ

2 π

=

= ⇒ Chọn A.

Câu 61. Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng:

A.

B.

C.

D.

6 3π

2 3 π

3 3π

2 3 3π

Hướng dẫn giải

3

+) Thể tích khối lập phương

.

V a=

⇒

AC a

A C a

+) Đăt AB = a

2

'

3

⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương là

⇒ =

=

3

a

3

3

3

⇒

R

V

R

(**).

π

=

=

=

Câu

2

4 3

a π 2

V

⇒ Chọn D

Từ (*) và (**) suy ra:

=

lâp phuong V

2 3 3 π

CAU

Câu 62. Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc αvà độ dài đường sinh bằng l. Khi đó diện

tích toàn phần của hình nón bằng:

2

2

2

2

A.

B.

l

cos

. cos

cos

. sin

=

=

l 2 π

α

2 π

α

tpS

tpS

α 2

α 2

2

2

2

2

C.

cos

. cos

cos

. cos

=

=

l π

α

l π

α

D.

tpS

tpS

1 2

α 2

α 2

Hướng dẫn giải

l

cos

cos

=

⇒ = r

α

α

+) Ta có:

r l

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

41 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

+)

2

2

2

2

2

2

2

S

S

S

rl

cos

cos

cos

2

)

cos

cos

=

+

=

=

+

(1 cos +

l r π π π

l α π +

l α π =

α

l α π =

α

TP

XQ

Đ

α 2

+) Vậy chọn A.

Câu 63. Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng A. Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng

trụ nói trên. Khi đó V bằng:

3

3

3

3

a π

V

V

=

=

A.

B.

C.

D.

V

V

=

=

3 3 3

a π 3

a 3 π 2

a π 6

Hướng dẫn giải

+) Gọi I, G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC.

a

a

a

3

3

3

+) Tam giác ABC đều

.

⇒ = AI

⇒ = AG

=

r =

2

2 3

2

3

+) l

a= .

3

V

2 r l

π=

=

+) Vậy

⇒ Chọn B.

a π 3

a

6

Câu 64. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

. Khẳng định

3

nào sau đây sai? A. Không có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. B. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trọng tâm tam giác ABC. C. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trực tâm tam giác ABC.

a

3

D. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính

R =

3

Câu 65. Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng A. Thiết diện qua trục của hình nón là một tam

giác có góc ở đỉnh bằng 1200. Gọi V là thể tích khối nón. Khi đó V bằng:

3

3

a π

V

V

=

=

A.

B.

C.

D.

V

V

=

=

a π 6

3 3 3

3 3 a π 9

a π 3

Hướng dẫn giải

+ ) r

a=

a

3

+) Góc ở đỉnh

0 120

=

⇒ = h

=

0

a tan 60

3

3

3

a π

V

2 r h

+)

⇒ Chọn C.

π

=

=

=

S h . Đ

1 3

1 3

9

Câu 66. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng:

3

3

3

aπ

A.

B.

C.

D.

aπ 4

aπ 12

aπ 4 3

3 2 4

Hướng dẫn giải

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

42 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

r

và l

=

+) Ta có:

= a

a 2

3

2 r l

.

π

V B h =

=

=

+)

a π 4

ABC

)

,

Câu 67. Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA ( ⊥ cạnh bên SC tạo với đáy góc 600. Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là:

3

3

3

3

50

V

V

V

V

=

=

=

=

A.

B.

C.

D.

a π 3

a π 3

a 5 π 3

a 500 π 3

Hướng dẫn giải

vuông tại S(*).

+) Ta có: SAC∆

+)

vuông tại B(**)

SAB

SBC

(

)

⇒ ⊥ BC

⇒ ⊥ ⇒ ∆ BC SB

BC AB ⊥ BC SA ⊥

  

0

2

2

BC

AC

AB

SC

a

a Mà 5 .

cos 60

10

2

a 5

= ⇒ =

⇒ = R

=

=

=

=

+

=

+) Ta có: AC

AC SC

+) Từ (*) và (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là trung điểm đoạn SC. SC 2

1 2

3

3

V

R

=

+) Vậy

⇒ Chọn D.

4 π= 3

a 500 π 3

Câu 68. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A′B′C′D′ có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a . Biết rằng O′ là tâm của A′B′C′D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Diện tích xung quanh của

hình nón có đỉnh O′ và đáy (C).

2

2

2

2

S

S

S

=

=

=

A.

B.

C.

D.

S

=

xq

xq

xq

xq

a 3 π 2

a 5 π 2

a π 2

a 3 2 π 2

Hướng dẫn giải

+) ABCD. A'B'C'D' là lăng trụ tứ giác đều ⇒ đáy ABCD là hình vuông. Khi đó bán kính

2

.

đường tròn ngoại tiếp đáy là r =

AC a = 2

2

2

2

2

2

2

l O A

AA

a

+) Đường sinh

'

'

A O '

4

.

=

=

+

=

+

=

a 2

a 3 2

2

a

2

S

rl

+) Vậy

⇒ Chọn A.

=

. = π π

=

XQ

a 2 3 . 2

2

a 3 π 2

Câu 69. Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh

bằng 1. Thể tích của khối trụ đó bằng:

A.

B.

C.

D. π

π 4

π 3

π 2

Hướng dẫn giải

r =

+) Ta có:Đường tròn đáy nội tiếp hình vuông cạnh bằng 1 ⇒ bán kính

1 2

+) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh của hình lập phương ⇒ 1 l =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

43 | T H B T N

BTN_7_5

Chuyên(cid:7)đề(cid:7)7.(cid:7)Hình(cid:7)học(cid:7)không(cid:7)gian(cid:7)

(cid:7)

2

V

2 r l

+) Vậy

.1

Chọn A.

π

=

=

 π  

  

1 2

π = ⇒ 4

Câu 70. Cho tứ diện S.ABC có 3 đường thẳng SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một, SA = 3,

C. 75π

SB = 4, SC = 5. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: B. 50π A. 25π

D. 100π

Hướng dẫn giải

+) Tam giác SBC vuông tại S nên từ trung điểm I của cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vuông góc với (SBC) (tức là d // SA), khi đó d chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC. +) Trong mp được xác định bởi 2 đường thẳng song song d và SA ta dựng đường trung trực của SA cắt d tại J. Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC

SJ⇒ là bán kính.

2

2

BC

2 SA

2

SJ

SI

+)

=

+

=

=

  

  

SA 2

+ 4

5 2 2

2

S

50

=

=

=

Rπ 4

4 π

π

+

⇒ Chọn B

50 4

Câu 71. Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn

đáy R bằng:

A.

B.

C.

D.

22R h

2R h

22R h

2 R h 2

V

S

AA

2 AB h

.

'

Hướng dẫn giải 2 AB OO .

'

=

=

=

+) Ta có:

(*)

LTRU

ABCD

OA

R

2

2

=

=

R h

+ Thay vào (*) ta được:

.

+) Tính AB: Ta có tam giác OAB vuông cân tại O nên AB 22V =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

44 | T H B T N