Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.5

BTN_7_5<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN<br /> Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ<br /> <br /> KIẾ THỨ CƠ BẢ<br /> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> ́<br /> I. MẶT NON<br /> <br /> 1/ Mă ̣t nó n trò n xoay<br /> <br /> Hınh 1<br /> ̀<br /> <br /> Hınh 2<br /> ̀<br /> <br /> Trong mă ̣t phẳ ng ( P ) , cho 2 đường thẳ ng d , ∆ cắ t nhau ta ̣i O và chú ng ta ̣o thà nh gó c β vớ i<br /> 00 < β < 900 . Khi quay mp ( P ) xung quanh tru ̣c ∆ vớ i gó c β không thay đổ i đươ ̣c go ̣i là mă ̣t nó n trò n<br /> xoay đınh O (hınh 1).<br /> ̉<br /> ̀<br /> Ngườ i ta thườ ng go ̣i tắ t mă ̣t nó n trò n xoay là mă ̣t nó n.<br /> Đường thẳ ng ∆ go ̣i là tru ̣c, đường thẳ ng d đươ ̣c go ̣i là đường sinh và gó c 2 β goị là gó c ở đınh.<br /> ̉<br /> 2/ Hınh nó n trò n xoay<br /> ̀<br /> Cho ∆OIM vuông taị I quay quanh canh gó c vuông OI thı̀ đường gấ p khú c OIM tao thà nh môṭ hınh,<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> goị là hınh nó n trò n xoay (goị tắ t là hınh nó n) (hınh 2).<br /> ̀<br /> ̀<br /> ̀<br /> Đường thẳ ng OI goị là truc, O là đınh, OI goị là đường cao và OM goị là đường sinh củ a hınh<br /> ̣<br /> ̉<br /> ̀<br /> nó n.<br /> Hınh trò n tâm I , bá n kınh r = IM là đá y củ a hınh nó n.<br /> ̀<br /> ́<br /> ̀<br /> 3/ Công thưc diên tı́ch và thể tı́ch củ a hınh nó n<br /> ̣<br /> ́<br /> ̀<br /> Cho hınh nó n có chiề u cao là h , bá n kınh đá y r và đường sinh là l thı̀ có :<br /> ̀<br /> ́<br /> <br /> Diên tıch xung quanh: S xq = π .r.l<br /> ̣ ́<br /> Diên tıch đá y (hınh trò n): Sð = π .r 2<br /> ̣ ́<br /> ̀<br /> Thể tıch khố i nó n: Vnon =<br /> ́<br /> <br /> ⇒ Diên tıch toà n phầ n hınh nó n: Stp = S xq + Sð .<br /> ̣ ́<br /> ̀<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> Sð .h = π .r 2 .h .<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 4/ Tı́nh chấ t:<br /> TH1: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp ( P ) đi qua đınh thı̀ có cá c trường hơp sau xả y ra:<br /> ̣<br /> ̉<br /> + Nếu mp ( P ) cắ t măṭ nó n theo 2 đường sinh ⇒ Thiế t diên là tam giá c cân.<br /> ̣<br /> + Nếu mp ( P ) tiế p xú c với măṭ nó n theo môṭ đường sinh. Trong trường hơp nà y, người ta goị đó<br /> ̣<br /> <br /> là măṭ phẳ ng tiế p diên củ a măṭ nó n.<br /> ̣<br /> TH2: Nế u cắ t măṭ nó n trò n xoay bởi mp (Q ) không đi qua đınh thı̀ có cá c trường hơp sau xả y ra:<br /> ̣<br /> ̉<br /> + Nế u mp (Q ) vuông gó c với truc hınh nó n ⇒ giao tuyế n là môṭ đường trò n.<br /> ̣ ̀<br /> + Nế u mp (Q ) song song với 2 đường sinh hınh nó n ⇒ giao tuyế n là 2 nhá nh củ a 1 hypebol.<br /> ̀<br /> + Nế u mp (Q ) song song với 1 đường sinh hınh nó n ⇒ giao tuyế n là 1 đường parabol.<br /> ̀<br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 1|THBTN<br /> <br /> BTN_7_5<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> II. MẶT TRỤ<br /> 1/ Mă ̣t tru ̣ trò n xoay<br /> ∆<br /> <br /> Trong mp ( P ) cho hai đường thẳ ng ∆ và l song song nhau, cá ch nhau<br /> môṭ khoả ng r . Khi quay mp ( P ) quanh truc cố đinh ∆ thı̀ đường<br /> ̣<br /> ̣<br /> <br /> r l<br /> A<br /> thẳ ng l sinh ra môṭ măṭ trò n xoay đươc go ị là măṭ tru ̣ trò n xoay hay<br /> ̣<br /> goị tắ t là măṭ tru.̣<br /> D<br /> Đường thẳ ng ∆ đươc goị là truc.<br /> ̣<br /> ̣<br /> Đường thẳ ng l đươc goị là đường sinh.<br /> ̣<br /> Khoả ng cá ch r đươc goị là bá n kınh củ a măṭ tru.̣<br /> ̣<br /> ́<br /> 2/ Hınh tru ̣ trò n xoay<br /> ̀<br /> Khi quay hınh chữ nhâṭ ABCD xung quanh đường thẳ ng chứa môṭ<br /> ̀<br /> B<br /> canh, chẳ ng han canh AB thı̀ đường gấ p khú c ABCD tao thà nh môṭ<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̣<br /> r<br /> hınh, hınh đó đươc goị là hınh tru ̣ trò n xoay hay goị tắ t là hınh tru.̣<br /> ̣<br /> C<br /> ̀<br /> ̀<br /> ̀<br /> ̀<br /> Đường thẳ ng AB đươc goị là truc.<br /> ̣<br /> ̣<br /> Đoan thẳ ng CD đươc goị là đường sinh.<br /> ̣<br /> ̣<br /> Đô ̣ dà i đoan thẳ ng AB = CD = h đươc goị là chiề u cao củ a hınh tru.̣<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> Hınh trò n tâm A , bá n kınh r = AD và hınh trò n tâm B , bá n kı́nh r = BC đươc goị là 2 đá y củ a<br /> ̣<br /> ̀<br /> ́<br /> ̀<br /> hınh tru.̣<br /> ̀<br /> Khố i tru ̣ trò n xoay, goị tắ t là khố i tru,̣ là phầ n không gian giới han bởi hınh tru ̣ trò n xoay kể cả<br /> ̣<br /> ̀<br /> hınh tru.̣<br /> ̀<br /> 3/ Công thưc tı́nh diên tı́ch và thể tı́ch củ a hınh tru ̣<br /> ̣<br /> ́<br /> ̀<br /> Cho hınh tru ̣ có chiề u cao là h và bá n kınh đá y bằ ng r , khi đó :<br /> ̀<br /> ́<br /> <br /> Diên tıch xung quanh củ a hınh tru:̣ S xq = 2π rh<br /> ̣ ́<br /> ̀<br /> Diên tıch toà n phầ n củ a hınh tru:̣ Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r 2<br /> ̣ ́<br /> ̀<br /> Thể tıch khố i tru:̣<br /> ́<br /> <br /> V = B.h = π r 2 h<br /> <br /> 4/ Tı́nh chấ t:<br /> <br /> Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kınh là r ) bởi môṭ mp (α ) vuông gó c với truc ∆ thı̀ ta đươc<br /> ̣<br /> ̣<br /> ́<br /> đường trò n có tâm trên ∆ và có bá n kınh bằ ng r với r cũ ng chınh là bá n kınh củ a măṭ tru ̣ đó .<br /> ́<br /> ́<br /> ́<br /> Nế u cắ t măṭ tru ̣ trò n xoay (có bá n kınh là r ) bởi môṭ mp (α ) không vuông gó c với truc ∆ nhưng<br /> ̣<br /> ́<br /> <br /> cắ t tấ t cả cá c đường sinh, ta đươc giao tuyế n là môṭ đường elıp có tru ̣ nhỏ bằ ng 2r và truc lớn<br /> ̣<br /> ̣<br /> ́<br /> 2r<br /> bằ ng<br /> , trong đó ϕ là gó c giữa truc ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 .<br /> ̣<br /> sin ϕ<br /> Cho mp (α ) song song với truc ∆ củ a măṭ tru ̣ trò n xoay và cá ch ∆ môṭ khoả ng d .<br /> ̣<br /> + Nế u d < r thı̀ mp (α ) cắ t măṭ tru ̣ theo hai đường sinh ⇒ thiế t diên là hınh chữ nhât.<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> + Nế u d = r thı̀ mp (α ) tiế p xú c với măṭ tru ̣ theo môṭ đường sinh.<br /> + Nế u d > r thı̀ mp (α ) không cắ t măṭ tru.̣<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 2|THBTN<br /> <br /> BTN_7_5<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> <br /> III. MẶT CẦ U<br /> 1/ Đinh nghıa<br /> ̣<br /> ̃<br /> Tâp hơp cá c điể m M trong không gian cá ch điể m O cố đinh môṭ khoả ng R goị là măṭ cầ u tâm O ,<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̣<br /> <br /> bá n kınh R , kı́ hiêu là : S (O; R ) . Khi đó S (O; R ) = {M | OM = R}<br /> ̣<br /> ́<br /> 2/ Vi trı́ tương đố i củ a mô ̣t điể m đố i vớ i mă ̣t cầ u<br /> ̣<br /> <br /> Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ điể m A bấ t kı, khi đó :<br /> ̀<br /> Nế u OA = R ⇔ A ∈ S (O; R ) . Khi đó OA goị là bá n kınh măṭ cầ u. Nế u OA và OB là hai bá n<br /> ́<br /> kınh sao cho OA = −OB thı̀ đoan thẳ ng AB goị là một đường kınh củ a<br /> ̣<br /> ́<br /> ́<br /> măṭ cầ u.<br /> Nế u OA < R ⇔ A nằ m trong măṭ cầ u.<br /> Nế u OA > R ⇔ A nằ m ngoà i măṭ cầ u.<br /> <br /> B<br /> O<br /> A<br /> <br /> ⇒ Khố i cầ u S (O; R ) là tâp hơp tấ t cả cá c điể m M sao cho OM ≤ R .<br /> ̣<br /> ̣<br /> 3/ Vi trı́ tương đố i củ a mă ̣t phẳ ng và mă ̣t cầ u<br /> ̣<br /> <br /> A<br /> <br /> A<br /> <br /> Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ mp ( P ) . Goị d là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n mp ( P ) và<br /> H là hınh chiế u củ a O trên mp ( P ) ⇒ d = OH .<br /> ̀<br /> <br /> Nế u d < R ⇔ mp ( P ) cắ t măṭ cầ u S (O; R ) theo giao tuyế n là đường trò n nằ m trên mp ( P ) có<br /> tâm là H và bá n kınh r = HM = R 2 − d 2 = R 2 − OH 2 (hınh a).<br /> ́<br /> ̀<br /> Nế u d > R ⇔ mp ( P ) không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) (hınh b).<br /> ̀<br /> Nế u d = R ⇔ mp ( P ) có môṭ điể m chung duy nhấ t. Ta nói măṭ cầ u S (O; R ) tiế p xú c mp ( P ) .<br /> Do đó , điề u kiên cầ n và đủ để mp ( P ) tiế p xú c với măṭ cầ u S (O; R ) là d (O, ( P ) ) = R (hınh c).<br /> ̣<br /> ̀<br /> <br /> d<br /> <br /> Hınh a<br /> ̀<br /> <br /> Hınh b<br /> ̀<br /> <br /> d=<br /> <br /> Hınh c<br /> ̀<br /> <br /> 4/ Vi trı́ tương đố i củ a đường thẳ ng và mă ̣t cầ u<br /> ̣<br /> <br /> Cho măṭ cầ u S (O; R ) và môṭ đường thẳ ng ∆ . Goị H là hınh chiế u củ a O trên đường<br /> ̀<br /> thẳ ng ∆ và d = OH là khoả ng cá ch từ tâm O củ a măṭ cầ u đế n đường thẳ ng ∆ . Khi đó :<br /> d<br /> d=<br /> Nế u d > R ⇔ ∆ không cắ t măṭ cầ u S (O; R ) .<br /> Nế u d < R ⇔ ∆ cắ t măṭ cầ u S (O; R ) taị hai điể m phân biêt.<br /> ̣<br /> Nế u d = R ⇔ ∆ và măṭ cầ u tiế p xú c nhau (taị môṭ điể m duy nhấ t). Do đó : điề u kiên cầ n và đủ để<br /> ̣<br /> đường thẳ ng ∆ tiế p xú c với măṭ cầ u là d = d (O , ∆ ) = R .<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 3|THBTN<br /> <br /> BTN_7_5<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> Đinh lı́: Nế u điể m A nằ m ngoà i măṭ cầ u S (O; R ) thı:<br /> ̣<br /> ̀<br /> <br /> Qua A có vô số tiế p tuyế n với măṭ cầ u S (O; R ) .<br /> Đô ̣ dà i đoan thẳ ng nố i A với cá c tiế p điể m đề u bằ ng nhau.<br /> ̣<br /> Tâp hơp cá c điể m nà y là môṭ đường trò n nằ m trên măṭ cầ u S (O; R ) .<br /> ̣<br /> ̣<br /> 5/ Diên tı́ch và thể tı́ch mă ̣t cầ u<br /> ̣<br /> 4<br /> • Thể tıch măṭ cầ u: VC = π R 3 .<br /> ́<br /> 3<br /> <br /> • Diên tıch măṭ cầ u: SC = 4π R 2 .<br /> ̣ ́<br /> <br /> BẢ<br /> B. KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> I. Mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p khố i đa diên<br /> ̣<br /> 1/ Cá c khá i niêm cơ bả n<br /> ̣<br /> Tru ̣c củ a đa giá c đáy: là đường thẳ ng đi qua tâm đường trò n ngoaị tiế p củ a đa giá c đá y và vuông<br /> gó c với măṭ phẳ ng chứa đa giá c đá y.<br /> ̣<br /> ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên truc củ a đa giá c thı̀ cá ch đề u cá c đınh củ a đa giá c đó .<br /> ̉<br /> Đường trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là đường thẳ ng đi qua trung điể m củ a đoan thẳ ng và vuông<br /> ̣<br /> gó c với đoan thẳ ng đó .<br /> ̣<br /> ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên đường trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoan thẳ ng.<br /> ̣<br /> Mă ̣t trung trực củ a đoa ̣n thẳ ng: là măṭ phẳ ng đi qua trung điể m củ a đoan thẳ ng và vuông gó c với<br /> ̣<br /> đoan thẳ ng đó .<br /> ̣<br /> ⇒ Bấ t kı̀ môṭ điể m nà o nằ m trên măṭ trung trực thı̀ cá ch đề u hai đầ u mú t củ a đoan thẳ ng.<br /> ̣<br /> 2/ Tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hınh chó p<br /> ̀<br /> Tâm mă ̣t cầ u ngoa ̣i tiế p hınh chó p: là điể m cá ch đề u cá c đınh củ a hınh chó p. Hay nó i cá ch khá c,<br /> ̉<br /> ̀<br /> ̀<br /> nó chınh là giao điể m I củ a truc đường trò n ngoai tiế p mặt phẳ ng đá y và mặt phẳ ng trung trực củ a<br /> ̣<br /> ̣<br /> ́<br /> môt canh bên hınh chó p.<br /> ̣ ̣<br /> ̀<br /> Bá n kı́nh: là khoả ng cá ch từ I đế n cá c đınh củ a hı̀nh chó p.<br /> ̉<br /> 3/ Cá ch xá c đinh tâm và bá n kı́nh mă ̣t cầ u củ a mô ̣t số hınh đa diên cơ bả n<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> a/ Hınh hô ̣p chữ nhâ ̣t, hınh lâ ̣p phương.<br /> ̀<br /> ̀<br /> - Tâm: trù ng với tâm đố i xứng củ a hınh hôp chữ nhâṭ (hınh lâp phương).<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> ̀<br /> ⇒ Tâm là I , là trung điể m củ a AC ' .<br /> - Bá n kı́nh: bằ ng nửa đô ̣ dà i đường ché o hınh hôp chữ nhâṭ (hınh lâp phương).<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> ̀<br /> AC '<br /> A<br /> B<br /> A<br /> .<br /> ⇒ Bá n kınh: R =<br /> ́<br /> 2<br /> D<br /> C<br /> I<br /> I<br /> A’<br /> B’<br /> b/ Hınh lăng tru ̣ đưng có đáy nô ̣i tiế p đường trò n.<br /> ́<br /> ̀<br /> '<br /> 1<br /> <br /> '<br /> 2<br /> <br /> '<br /> 3<br /> <br /> '<br /> n<br /> <br /> Xé t hınh lăng tru ̣ đứng A1 A2 A3 ... An . A A A ... A , trong đó có 2 đá y<br /> ̀<br /> '<br /> 1<br /> <br /> '<br /> 2<br /> <br /> '<br /> 3<br /> <br /> C’<br /> <br /> C’<br /> <br /> D’<br /> <br /> An<br /> <br /> A1<br /> A2<br /> <br /> '<br /> n<br /> <br /> A1 A2 A3 ... An và A A A ... A nô ị tiế p đường trò n (O ) và (O ' ) . Lú c đó ,<br /> <br /> măṭ cầ u nôị tiế p hınh lăng tru ̣ đứng có :<br /> ̀<br /> - Tâm: I với I là trung điể m củ a OO ' .<br /> '<br /> - Bá n kı́nh: R = IA1 = IA2 = ... = IAn .<br /> <br /> A3<br /> I<br /> A’n<br /> <br /> A’1<br /> A’2<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> O<br /> <br /> O’<br /> A’3<br /> 4|THBTN<br /> <br /> BTN_7_5<br /> <br /> Chuyên đề 7. Hình học không gian<br /> c/ Hınh chó p có cá c đı̉nh nhın đoa ̣n thẳ ng nố i 2 đı̉nh cò n la ̣i dướ i 1 gó c vuông.<br /> ̀<br /> ̀<br /> <br /> - Hınh chó p S . ABC có SAC = SBC = 900 .<br /> ̀<br /> + Tâm: I là trung điể m củ a SC .<br /> SC<br /> + Bá n kınh: R =<br /> = IA = IB = IC .<br /> ́<br /> 2<br /> - Hınh chó p S . ABCD có<br /> ̀<br /> <br /> S<br /> <br /> S<br /> <br /> I<br /> I<br /> <br /> SAC = SBC = SDC = 900 .<br /> A<br /> + Tâm: I là trung điể m củ a SC .<br /> SC<br /> + Bá n kınh: R =<br /> = IA = IB = IC = ID .<br /> ́<br /> 2<br /> d/ Hınh chó p đều.<br /> ̀<br /> Cho hınh chó p đề u S . ABC ...<br /> ̀<br /> - Goị O là tâm củ a đá y ⇒ SO là truc củ a đá y.<br /> ̣<br /> - Trong măṭ phẳ ng xá c đinh bởi SO và môṭ canh bên,<br /> ̣<br /> ̣<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> S<br /> ∆<br /> <br /> M<br /> <br /> chẳ ng han như mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực củ a canh SA<br /> ̣<br /> ̣<br /> là ∆ cắ t SA taị M và cắ t SO taị I ⇒ I là tâm củ a măṭ cầ u.<br /> - Bá n kınh:<br /> ́<br /> SM SI<br /> Ta có : ∆SMI ∼ ∆SOA ⇒<br /> =<br /> ⇒ Bá n kınh là :<br /> ́<br /> SO SA<br /> SM .SA SA2<br /> R = IS =<br /> =<br /> = IA = IB = IC = ...<br /> SO<br /> 2 SO<br /> e/ Hınh chó p có ca ̣nh bên vuông gó c vớ i mă ̣t phẳ ng đáy.<br /> ̀<br /> <br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> B<br /> <br /> I<br /> A<br /> D<br /> <br /> O<br /> B<br /> C<br /> <br /> Cho hınh chó p S . ABC ... có canh bên SA ⊥ đá y ( ABC ... ) và đá y ABC... nô ị tiế p đươc trong<br /> ̣<br /> ̣<br /> ̀<br /> đường trò n tâm O . Tâm và bá n kınh măṭ cầ u ngoaị tiế p hınh chó p S . ABC ... đươc xá c đinh như sau:<br /> ̣<br /> ̣<br /> ́<br /> ̀<br /> - Từ tâm O ngoaị tiế p củ a đường trò n đá y, ta vẽ đường thẳ ng d vuông gó c với mp ( ABC ... ) taị O .<br /> <br /> - Trong mp ( d , SA ) , ta dựng đường trung trực ∆ củ a canh SA , cắ t SA taị M , cắ t d taị I .<br /> ̣<br /> ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hınh chó p<br /> ̀<br /> và bá n kınh R = IA = IB = IC = IS = ...<br /> ́<br /> - Tım bá n kınh:<br /> ́<br /> ̀<br /> Ta có : MIOB là hınh chữ nhât.<br /> ̣<br /> ̀<br /> Xé t ∆MAI vuông taị M có :<br /> <br /> S<br /> <br /> d<br /> M<br /> <br /> ∆<br /> <br /> I<br /> <br /> 2<br /> <br /> R = AI = MI 2 + MA2 =<br /> <br />  SA <br /> AO 2 +   .<br />  2 <br /> <br /> f/ Hınh chó p khá c.<br /> ̀<br /> - Dựng truc ∆ củ a đá y.<br /> ̣<br /> <br /> O<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> - Dựng măṭ phẳ ng trung trực (α ) củ a môṭ canh bên bấ t kı.<br /> ̣<br /> ̀<br /> - (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p hınh chó p.<br /> ̀<br /> - Bá n kınh: khoả ng cá ch từ I đế n cá c đınh củ a hınh chó p.<br /> ̉<br /> ́<br /> ̀<br /> <br /> Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn<br /> <br /> 5|THBTN<br /> <br />