CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
1
CHƢƠNG I - ĐẠI CƢƠNG VỀ VÉCTƠ
A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
Vectô laø ñoaïn thaúng coù dònh höôùng Kyù hieäu :
AB
;
CD
hoaëc
a
;
b
Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái : Kyù hieäu
0
Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng nhau
Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng
Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi
TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Ñònh nghóa: Cho
AB a
;
BC b
. Khi ñoù
Tính chaát : * Giao hoaùn :
ab
=
ba
* Keát hôïp (
ab
) +
c
=
(ab
+
c
)
* Tín h chaát vectô –khoâng
a
+
0
=
a
Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù :
AB
+
BC
=
AC
Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì
AB
+
AD
=
AC
Quy taéc veà hieäu vec tô : Cho O , B ,C tuøy yù ta coù :
CBOCOB
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
Cho kR , k
a
laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:
* Neáu k 0 thì k
a
cuøng höôùng vôùi
a
; k < 0 thì k
a
ngöôïc höôùng vôùi
a
* Ñoä daøi vectô k
a
baèng k .
a
Tính chaát :
a) k(m
a
) = (km)
a
b) (k + m)
a
= k
a
+ m
a
c) k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b
d) k
a
=
0
k = 0 hoaëc
a
=
0
b
cuøng phöông
a
(
a
0
) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa
b
=k
a
Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho
AB
=k
AC
Cho
b
khoâng cuøngphöông
a
,
x
luoân ñöôïc bieåu dieãn
x
= m
a
+ n
b
( m, n duy nhaát )
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
2
I - CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VÉCTƠ
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD
AB MN CB PQ CA NM
2) Chứng minh rằng
a)
AB
+
CD
=
AD
+
CB
b)
AC
+
BD
=
AD
+
BC
c)
AB
+
CD
+
EA
=
ED
+
CB
d)
AD
+
BE
+
CF
=
AE
+
BF
+
CD
=
AE
+
BD
+
CE
e)
AB
+
CD
+
EF
+
GA
=
CB
+
ED
+
GF
3) Chohình bình hành ABCD tâm O.
CMR :
AO BO CO DO O
, Với I bất kì
4IA IB IC ID IO
4) Cho tam gi c C a iểm M N v P n t trung iểm C C CMR:
MN BP
;
MA PN
.
5) Cho töù giaùc ABCD, goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD, DA.
Chöùng minh :
;MN QP NP MQ
6) Cho tam giaùc ABC coù tröïc taâm H vaø O taâm laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp . Goïi B’ laø ñieåm ñoái xöùng
B qua O . Chöùng minh :
CBAH '
.
7) Cho hình bình haønh ABCD . Döïng
BCPQDCNPDAMNBAAM ,,,
.
Chöùng minh
OAQ
8) Cho 4 iểm bất M N P Q Chứng minh c c ng thức sau:
a.
PQ NP MN MQ
; c)
NP MN QP MQ
;
b.
MN PQ MQ PN
;
9) Cho ng gi c C Chứng minh rằng:
a.
0AD BA BC ED EC
;
b.
AD BC EC BD AE
10) Cho 6 iểm M N P Q R S Chứng minh:
a)
PNMQPQMN
. b)
RQNPMSRSNQMP
.
11) Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chöùng minh raèng :
a.
AB
+
CD
+
EA
=
CB
+
ED
b.
AD
+
BE
+
CF
=
AE
+
BF
+
CD
c.
AB
+
CD
+
EF
+
GA
=
CB
+
ED
+
GF
d.
AB
-
AF
+
CD
-
CB
+
EF
-
ED
=
0
12) Cho h nh b nh h nh C c t m O CMR:
0OA OB OC OD
.
thức trung iểm Cho 2 iểm v
13) Cho M trung iểm CMR với iểm bất :
2IA IB IM
.
14) Với N sao cho
2NA NB
CMR với bất :
23IA IB IN
15) Với P sao cho
3PA PB
CMR với bất :
32IA IB IP
16) thức trọng t m Cho tam gi c C c trọng t m :
CMR:
0GA GB GC
Với bất :
3IA IB IC IG
.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
3
M thu c o n v M
1
4
GA . CMR
20MA MB MC
17) thức h nh b nh h nh Cho h nh b nh h nh C t m O CMR:
a)
0OA OB OC OD
;
b với bất :
4IA IB IC ID IO
.
18) Gọi G là trọng tâm tam gi c C chứng minh rằng :
a)
0GA GB GC
b)
1
3
AG AB AC
19) Gọi ’ n t à trọng tâm của tam giác ABC và ’ ’C’
a Chứng minh rằng :
AA' ' ' 3 'BB CC GG
b)Gọi M,N,P là các iểm thoả:
1 1 1
,,
3 3 3
MA MB NB NC PC PA
Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm
20) Cho hình bình hành C v m t iểm M tùy ý Chứng minh rằng :
MA MC MB MD
21) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng Chứng minh rằng
CDGH là hình bình hành
22) Cho tam giác ABC n i tiếp trong ờng tròn O à trực tâm của tam giác
a)Gọi D là iểm ối xứng của A qua tâm O Chứng minh rằng C
b)Gọi K là trung iểm của AH và I là trung iểm của C chứng minh
OK = IH
23) Cho h nh b nh h nh C ọi v F n t trung iểm của hai c nh v C Đ ờng chéo
B n t cắt F v C t i M v N chứng minh rằng :
DM = MN = NB
24) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB
Chứng minh rằng 0
25) Từ iểm nằm ngo i ờng tròn O ta ẻ 2 tiếp tuyến v C với O ọi giao iểm của
O v C Trên ờng trung trực của o n ấy 1 iểm M Từ M ẻ tiếp tuyến M với O Chứng
minh rằng : |MA| = | MF |
26) Cho tam gi c C ên ngo i của tam gi c ta vẽ c c h nh b nh h nh J CPQ C RS Chứng
minh rằng :
0RJ IQ PS
27) Cho tam gi c C c trung tuyến M Trên c nh C ấy hai iểm v F sao cho F FC
ọi N giao iểm của M v Tính tổng
AFAE AN MN
28) Cho h nh b nh h nh C Trên ờng chéo C ấy iểm O Qua O ẻ c c ờng th ng song song
với c c c nh của h nh b nh h nh cắt v C t i M v N cắt v C t i v F Chứng minh
rằng :
a)
OA OC OB OD
b)
BD ME FN
29) Cho tam gi c ều n i tiếp ờng tròn t m O
a ãy x c ịnh c c iểm M N P sao cho:
OM
=
OA
+
OB
;
ON
=
OB
+
OC
;
OP
=
OC
+
OA
b)Chứng minh rằng
OA
+
OB
+
OC
=
0
30) Cho tam giác ABC. Gọi ’ à iểm ối xứng với qua ; ’ à iểm ối xứng với C qua ;C’ à
iểm ối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với m t iểm O bất kỳ ta có :
' ' 'OA OB OC OA OB OC
31) Cho n iểm trên mặt ph ng n An ký hi u chúng là A1, A2 … n. B n Bình ký hi u chúng là B1,
B2 … n.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
4
32) Chứng minh rằng : A1B1+ A2B2+...+ AnBn= 0
33) Cho nguõ giaùc ñeàu ABCDE taâm O Chöùng minh :
OOEODOCOBOA
34) Cho luïc giaùc ñeàu ABCDEF coù taâm laø O . CMR :
a)
OA
+
OB
+
OC
+
OD
+
OE
+
OF
=
0
b)
OA
+
OC
+
OE
=
0
c)
AB
+
AO
+
AF
=
AD
d)
MA
+
MC
+
ME
=
MB
+
MD
+
MF
( M tuøy yù ).
35) Cho tam giaùc ABC ; veõ beân ngoaøi caùc hình bình haønh ABIF ; BCPQ ; CARS
Chöùng minh raèng :
RF
+
IQ
+
PS
=
0
36) cho tứ gi c C ọi J n t trung iểm C v ọi trung iểm J CMR:
0EA EB EC ED
.
37) Cho tam gi c C với M N P trung iểm C C CMR:
a)
0AN BP CM
; b)
AN AM AP
;
c)
0AM BN CP
.
38) Cho h nh thang C y ớn C y nh gọi trung iểm CMR:
EA EB EC ED DA BC
.
39) Cho 6 iểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a)
AB CD AD CB
b)
AB CD AC DB
c)
AD BE CF AE BF CD
40) Cho tam giác ABC với M, N, P là trung iểm các c nh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a)
AN BP CM O
b)
AN AM AP
c)
AM BN CP O
41) Cho hai iểm A, B. Cho M là trung iểm A, B. Chứng minh rằng với iểm I bất kì ta có :
2IA IB IM
.
42) Với iểm N sao cho
2NA NB
. CMR với I bất kì :
23IA IB IN
43) Vơi iểm P sao cho
3PA PB
. CMR với I bất ki :
32IA IB IP
.Tổng quát tính chất trên.
44) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.Chứng minh rằng
AG BG CG O
. Với I bất kì
ta có :
3IA IB IC IG
.
M thu c o n AG và
1
4
MG GA
. CMR :
2MA MB MC O
. Với I bki
24IA IB IC IM
.
45) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a)
2AD BC MN
b)
2AC BD MN
c) Tìm vị trí iểm I sao cho
IA IB IC ID O
d) Với M bất kì, CMR :
4MA MB MC MD MI
46) (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n iểm
12
, ,..., n
A A A
.
Gọi G là iểm thoả mãn
12
... n
GA GA GA O
. CMR vơi bki M :
12
... n
MA MA MA nMG
.
Gọi I là iểm thoả mãn
1 1 2 2 ... nn
n IA n GA n GA O
. CMR với M bất kì :
1 1 2 2 1
... ( .. )
n n n
n MA n MA n MA n n MG
47) Cho lục giác ều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG
5
48) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S l n l t là trung iểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA.
CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
49) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các iểm thu c BC, CA, AB sao cho :
' ' ' ' ' '
,,A B k A C B C k B A C A kC B
và
1k
. CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng
trọng tâm.
50) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung iểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và
CMQ cùng trọng tâm.
(Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp)
51) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm ờng tròn ngo i tiếp và tâm ờng tròn
n i tiếp.
a)
3OG OA OB OC
b)
OH OA OB OC
c)
2HO HA HB HC
d)
aIA bIB cIC O
e)
A tanTan HA TanBHB CHC O
f) Gọi M là iểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR :
BCM ACM ABM
S IA S IB S IC O
(M nằm
ngoài thì không còn úng).
52) (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung iểm AB
và N là m t iểm trên c nh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung iểm MN.
a) CMR :
11
46
AK AB AC
. b) D là trung iểm BC. CMR :
11
43
KD AB AC
53) Cho tam giác ABC
a X c ịnh iểm I sao cho :
20IA IB
b X c ịnh iểm K sao cho :
2KA KB CB
Cho tam giác ABC
a)Tìm iểm M thoả mãn :
0AM MB MC
b)Tìm iểm N thoả mãn :
BN AN NC BD
c)Tìm iểm K thoả mãn :
0BK BA KA CK
d)Tìm iểm M thoả mãn :
20MA MB MC
e)Tìm iểm N thoả mãn :
20NA NB NC
f)Tìm iểm P thoả mãn :
20PA PB PC
54) Cho hình bình hành ABCD. Tìm iểm M thoả mãn:
4AM AB AC AD
55) Cho lục giác ABCDEF .Tìm iểm O thoả mãn :
OF 0OA OB OC OD OE
56) Cho
ABC
. Tìm M sao cho
a/
2 3 0MA MB MC
b/
2 4 0MA MB MC
57) Cho tứ gi c C T m M sao cho
a/
2 2 0MA MB MC MD
b/
2 5 2 0MA MB MC MD
58) Cho tam giác ABC
a X c ịnh các iểm D,E thoả mãn:
4 0 ; 2 0DA DB EA EC
b)Tìm quĩ tích iểm M thoả mãn:
42MA MB MA MC
59) Cho hai iểm phân bi t A,B
a)Hãy x c ịnh các iểm P,Q,R thoả:
2 3 0; 2 0; 3 0PA PB QA QB RA RB