Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
1
ố
ả
ứ
ẳ
s
(t
i gi n). Suy ra
ứ (1). Đ ng th c này ch ng
1. Gi
2 hay 7n m
ố ữ ỉ (cid:0) ả ử 7 là s h u t
ố
ặ
ừ
Z), ta có m2 = 49k2 (2). T (1) và (2) suy ra 7n
ừ
ế
ố
ố
ạ
2m 7M mà 7 là s nguyên t ố ỏ t 49k2 nên n2 = 7k2 (3). T (3) ta l
nên n
= = = 7 7 m 2 n (cid:0)
2 = M 7. m và n cùng chia h t cho 7 nên
ố
ả
ả
ế
ố ữ ỉ
ả
phân s ố
không t
i gi n, trái gi
thi
ậ t. V y
m n nên m i có n M 7. Đ t m = 7k (k 2 M 7 và vì 7 là s nguyên t
ỉ ố 7 là s vô t .
7 không ph i là s h u t ; do đó
ặ
ế
ử
ừ
chung, ta đ
ả c v ph i. T a)
b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
ừ
2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
(cid:0) m n ể
ậ
x = y = 1.
ứ
ượ ế 2. Khai tri n v trái và đ t nhân t 3. Cách 1 : T x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x V y min S = 2 ấ ẳ ụ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có : (x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) (cid:0)
ớ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S (cid:0)
S ≥ 2. (cid:0)
ặ ố ươ
ấ ẳ
ụ
ầ ượ
ng
, ta l n l
t
(cid:0)
ứ 4. b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho các c p s d
; và và và ca b ab ca ; b c ab c
ừ
ế
ộ
có:
;
c ng t ng v ta đ
ượ c
mim S = 2 khi x = y = 1 bc a ca b
ứ ầ
ấ
ả
+ = + = + = (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2c; 2b 2 2 2 2a bc ab . c a bc a ca b bc a ca ab . b c ab c bc ca . b a ứ ab c ằ bc a ấ ẳ b t đ ng th c c n ch ng minh. D u b ng x y ra khi a = b = c.
ố ươ
ớ
ấ ẳ
ứ
c) V i các s d
ng 3a và 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có :
.
(cid:0) 3a.5b + 3a 5b 2
.
(cid:0)
(3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) (cid:0)
122 ≥ 60P (cid:0)
P ≤
max P =
ả
ằ
ấ
a = 2 ; b = 6/5.
ấ
ả
(cid:0) 12 5 12 5 (cid:0)
ậ
a = b = ½ .
(cid:0)
ặ
b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
ạ
ớ
ả ằ
ế
i có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. 3 + b3 = 2 và a + b = 2. V y max N = 2 khi a = b = 1. ậ 2(a + b).
D u b ng x y ra khi 3a = 5b = 12 : 2 5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . D u “=” x y ra khi a = ½ . V y min M = ¼ 6. Đ t a = 1 + x Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta l V i a = 1, b = 1 thì a ệ ủ ế 7. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b) 8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | (cid:0)
(cid:0)
a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 ấ
ậ
ab > 0. V y a và b là hai s cùng d u.
ố 2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
ấ ẳ
ứ
ế ề ươ
ng, nên : [(a
ượ
ể
ọ
c :
ậ
4ab > 0 (cid:0) ệ 9. a) Xét hi u : (a + 1) b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các b t đ ng th c này có hai v đ u d + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. V y (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8. ậ 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n, ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c)
2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
(cid:0)
11. a)
(cid:0) = 4 x (cid:0) - = - 2x 3 1 x (cid:0) 2 - = - 2x 3 1 x � ���� - = - 2x 3 x 1 � = 3x � � = x � = (cid:0) 4 3 2
(x – 2)2 ≤ 33 (cid:0)
ư
1 ≤ x ≤ 5. ể ỉ
| x – 2 | ≤ 3 (cid:0) (2x – 1)2 ≤ 0. Nh ng (2x – 1)
2 ≥ 0, nên ch có th : 2x – 1 = 0
ế ẳ
ướ ạ
ế ủ
ớ
i d ng : a
2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai v c a (1) v i 4 r i ồ
b) x2 – 4x ≤ 5 (cid:0) c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 (cid:0) ậ V y : x = ½ . 12. Vi ư ề ạ đ a v d ng : a
ứ t đ ng th c đã cho d 2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
M ≥ 1998.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 (cid:0)
x 3 ≤ x – 2 ≤ 3 (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
ấ
ả
ồ
ờ
ậ
D u “ = “ x y ra khi có đ ng th i :
V y min M = 1998
a = b = 1.
ng t
ả ươ i t ư ẳ
ự ứ
2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
14. Gi bài 13. 15. Đ a đ ng th c đã cho v d ng : (x – 1)
(cid:0) + - = a b 2 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - = a 1 0 - = b 1 0
.
2
16.
= = = A . max A= x 2 - - x 1 + 4x 9 1 5 5
< 7
ề ạ 1 1 �� ) 2 + 5 = + = . V y ậ + = + + = =
( x 2 + +
+ + 15
.
17. a) 7 + b) 17
> < 15 + > 5 1 3 4 7 16 4 1 4 2 1 7 7 49 45
.
c)
2
2
- - - < < = = = 5 25 27 23 2 19 3 9 16 23 2 16 3 23 2.4 3
ả ử s
.
d) Gi
> > > > � � � � 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 > 18 12
)
)
(
(
ấ ẳ
ứ
.
ố B t đ ng th c cu i cùng đúng, nên : +
> 3 2 2 3
ể
ố
18. Các s đó có th là 1,42 và
2 3
2
2
2
2
ướ ạ
ươ
i d ng :
.
ế ạ t l
i ph
ng trình d
= - + + 6 (x 1) + 3(x 1) + + 4
ỏ ơ
ỉ ả
ứ
ế
ả
ậ
ẳ
ả
19. Vi ươ ủ ế V trái c a ph ằ ế ề hai v đ u b ng 6, suy ra x = 1.
2
16 ơ + 5(x 1) ớ ng trình không nh h n 6, còn v ph i không l n h n 6. V y đ ng th c ch x y ra khi c
ấ ẳ
ứ
vi
ế ạ ướ ạ i d
t l
i d ng
(*) (a, b ≥ 0).
20. B t đ ng th c Cauchy
ấ ẳ
ụ
ứ
ớ
ượ
Áp d ng b t d ng th c Cauchy d
(cid:0) ab ab
c :
+ a b 2 ướ ạ i d ng (*) v i hai s d
ả
ấ
ứ
max A = 2 (cid:0)
= (cid:0) 4 2x.xy +� � a b (cid:0) � � 2 � � ố ươ ng 2x và xy ta đ 2 � � � +� 2x xy � 2 � (cid:0)
ấ ẳ
ứ
ế ạ ướ ạ i d
i d ng :
t l
.
21. B t đ ng th c Cauchy vi
D u “ = “ x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2. 2 ụ + . Áp d ng ta có S > a b
x = 2, y = 2. 1998 1999
2
2
> 2. 1 ab
ư x
. V y ậ
23. a)
ứ x y
2
2
2
+ - - + (cid:0) 2xy = (cid:0) 2 0 x y y x
. Theo câu a :
b) Ta có :
2
2
2
2 + 2
22. Ch ng minh nh bài 1. 2 y y + - = 2 xy x � � �
2
2
= + - - A 2 y x x + y y x y x x + y y + x y x � � = � � � � � � � � x + � � � � y � � � � � x � y � � � �
2
2
2 � � � � � � � 1 � � � � � � � � � �
4
4
+ (cid:0) - - - (cid:0) A 2 0 (x y) xy � x � y � 2 + 1 y x x y y x x + y y x � x � y �
ừ
. Vì
(câu a). Do đó :
c) T câu b suy ra :
2 + 2
4
4
2
4
4
2
+ + - (cid:0) (cid:0) 2 0 y x y x x y y x + = 2 � � � � 2 � x � y �
.
4
4
2 + 2
2
+ - (cid:0) 2 y x � � x � � y � � � x � y �
ố ữ ỉ
= m (m : s h u t )
24. a) Gi
ố ữ ỉ 2 là s h u t (vô lí)
ả ử 1 s
(cid:0) � � � � � � � � x x y y + + � � � � � y y x x � � � � � 2 = m2 – 1 (cid:0)
ả ử
ố ữ ỉ
s m +
= a (a : s h u t )
= a – m (cid:0)
b) Gi
3 = n(a – m) (cid:0)
ố ữ ỉ 3 là s h u t , vô lí.
(cid:0)
2+ 3 n 3 n
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
3
ạ
ẳ 25. Có, ch ng h n
-
2
2
2
ễ
ứ
. D dàng ch ng minh
nên a2 ≥ 4, do đó
26. Đ t ặ
2
2
2
2
= 2) 5 2 + = + + = + (cid:0) � 2 a a 2 x y
ươ
| a | ≥ 2 (1). B t đ ng th c ph i ch ng minh t
ng đ
ươ (a – 1)(a – 2) ≥0 (2)
ứ a2 – 3a + 2 ≥ 0 (cid:0)
ặ
ế
ế
ượ
c
ừ ứ
ứ
ứ
ả
2
2
T (1) suy ra a ≥ 2 ho c a ≤ 2. N u a ≥ 2 thì (2) đúng. N u a ≤ 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán đ ch ng minh. ấ ẳ 27. B t đ ng th c ph i ch ng minh t +
ng đ + 2
+ 2 (5 2 x y ứ y x ả y x ấ ẳ y x y x 2 – 2 + 4 ≥ 3a ớ ng v i : a (cid:0)
)
ươ 4 y x
4 2 x z
ươ 4 z x
.
ớ ng v i : ( + + 2 2 x z y x z y xyz 2 2 2 x y z
ể ả ử
ố ớ
ấ
ườ
ứ ị
3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1) y z x nên có th gi
s x là s l n nh t. Xét hai tr
ng
ở
ươ
ươ
(1) thành – (x – y + y – z), (1) t
ng đ
ầ ử ứ C n ch ng minh t không âm, t c là : x ổ ứ ể Bi u th c không đ i khi hoán v vòng x h p :ợ a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x
- (cid:0) 0
ớ ng v i : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0
ễ ấ
3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên b t đ ng th c trên đúng.
ươ
ươ
ấ ẳ ng đ
ứ ớ ng v i :
D th y x – y ≥ 0 , x b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y
(cid:0)
ở (1) thành x – z + z – y , (1) t x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0 z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
ễ ấ
ứ
ứ
ươ
ươ
ấ ẳ ế
ổ ấ ẳ
ả
ớ ng v i :
D th y b t đ ng th c trên dúng. ứ Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh t
(cid:0)
.
ủ ố ữ ỉ
- - - (cid:0) + 1 3 z x
ng đ 2 z � � � � x � � � � s t ng c a s h u t a v i s vô t b là s h u t c. Ta có : b = c –
ậ
ố
ớ
ứ ấ
ố ữ ỉ
� � � ỉ y z ả ử ổ
ố ữ ỉ ế ả thi
ả t. V y c ph i là s vô
ượ
(a + b)2 ≤ 2(a2 + b2). ọ ể
c :
2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
x y ả ứ ố ữ ỉ y z ớ ố ố ữ ỉ
(a + b)3 > 8 (cid:0)
a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 (cid:0)
2 + 3ab(a + b) > 8
(cid:0)
ố ươ
ế
ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v cho s d
ng a + b : ab > a
2 – ab + b2
(cid:0)
ố
ượ
t
]y là s nguyên không v
]x + [ ấ
ố
ượ
]x + [ [ x y+
]y ≤ x + y. Suy ra [ ] ớ là s nguyên l n nh t không v
ừ t quá x + y (2). T
]
ầ x y+
.
[
]y < 1.
ế
]x < 1 ; 0 ≤ y [ ườ ợ ng h p : = [ ] x y+
]y (1)
]x + [
(cid:0)
]y ≤ [ ầ ]x + [ [ [
]x + [ ]x + [
[
]
2 2 � � � x + + + + 1 1 � � � � � � � y � � � ằ 28. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi ệ ủ a. Ta th y, hi u c a hai s h u t c và a là s h u t , nên b là s h u t , trái v i gi t .ỉ 29. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) (cid:0) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai tri n và rút g n ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c) ậ ự ư ươ ng t c) T nh câu b ả ử s a + b > 2 30. Gi ab(a + b) > 2 (cid:0) (a – b)2 < 0, vô lí. V y a + b ≤ 2. ậ ]y ≤ y nên [ 31. Cách 1: Ta có : [ ]x ≤ x ; [ ị quá x + y (1). Theo đ nh nghĩa ph n nguyên, ]x + [ (1) và (2) suy ra : [ ị Cách 2 : Theo đ nh nghĩa ph n nguyên : 0 ≤ x ]y ) < 2. Xét hai tr Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ([ ]y ) < 1 thì [ ]y ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ([ ợ
ườ
ế x y+
N u 0 ≤ (x + y) – (
]x + [ ề ng h p ta đ u có :
]y + 1 (2). Trong c hai tr
]y ≤ [
ẫ ủ
ử
ớ
và m u c a A là các s d
]y + 1) < 1 nên ]x + [ [ x y+ ố ươ ng , suy ra A > 0 do đó : A l n
]x + [ ả 32. Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên t
ỏ
ỏ
nh t ấ (cid:0)
ấ (cid:0) nh nh t
x2 – 6x + 17 nh nh t. ấ
N u 1 ≤ (x + y) – ( = [ ]
1 A
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ậ
V y max A =
(cid:0)
x = 3.
ị
ả ử
s x ≥ y ≥ z.
4
ứ
ấ ẳ
1 8 ượ c dùng phép hoán v vòng quanh x ụ
3
y z x và gi 33. Không đ ố ươ Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng x, y, z : x y z z y z x x
= = (cid:0) A 3 . . 3 y + + z x y
Do đó
= = � � x = = y z 3 min y + + z z x y z � x � y �
ể ứ
. Ta đã có
(do x, y > 0) nên đ ch ng minh
Cách 2 : Ta có :
+ (cid:0) = 2 x y y x z + - x y x x y y + + z � = � � z x x y � � �
ỉ ầ
ứ
ta ch c n ch ng minh :
(1)
ế ớ ố ươ
xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai v v i s d
ng xz)
(cid:0) (cid:0) 3 1 x y y + + z z x x z y x � � � y y + + � � � z x � � � y z z + - x y x
ỏ
(x – z)(y – z) ≥ 0 (2) ượ ừ
ấ
ố
ố
y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (cid:0) t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) đúng. T đó tìm đ
ỏ ị c giá tr nh
ấ ủ nh t c a
ạ
ừ
x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l
i có (x – y)
2 ≥ 0 (cid:0)
x2 – 2xy + y2 ≥ 0. T đó suy ra 2(x
2 + y2) ≥
ỉ
ấ ẳ
ụ
ứ
ố
(1) (cid:0) xy + z2 – yz – xz ≥ 0 (cid:0) ớ ế ằ ả thi (2) đúng v i gi x z y + + . x y z 34. Ta có x + y = 4 (cid:0) 16 (cid:0) x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và ch khi x = y = 2. 35. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm :
(cid:0)
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) +
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)
ế ề
ế ủ
ừ
ớ
Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 ≥ 9.
A ≤
3 A (cid:0)
(2) 3 2 � � � � 9 � �
ỉ
.
max A =
khi và ch khi x = y = z =
+ +
3 2 � � � � 9 � �
ể
ệ ủ ế
ế
2(a + b).
1 3
ấ ẳ
ụ
ứ
ớ
v i x, y > 0 :
38. Áp d ng b t đ ng th c
2
ể 36. a) Có th . b, c) Không th . ả ằ 37. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a – b) 1 xy
(cid:0)
2
2
(1)
2 c ) 2
4 + (x y) 2 + + + a 4(a = + (cid:0) a + b c c + d a
ươ
ự
T
ng t
(2)
2
2
2
+ + ad bc c + + (b c)(a d) 2 4(b + (cid:0)
ộ
ớ
= 4B
C ng (1) v i (2)
2
ứ
ầ
ấ ẳ
ứ
ươ
ươ
C n ch ng minh B ≥
, b t đ ng th c này t
ng đ
ớ ng v i :
+ 4(a b + ad bc + ab cd) + + + (cid:0) b + c d c + d a d + a b d + a b + + ad bc + + + (a b c d) + + 2 ab cd d ) + + + (a b c d) + + + + 2 2 d c + + + (a b c d) b + c d
a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 (cid:0)
2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng.
[
]x < ½ thì 0 ≤ 2x 2[
]x < 1 nên [
]2x = 2[
ế 39. N u 0 ≤ x
[
ế
]x . ]x + 1) < 1 (cid:0)
[
]2x = 2[
]x + 1
]x < 2 (cid:0) ố ự
]x < 1 thì 1 ≤ 2x 2[ ồ ạ i các s t
0 ≤ 2x – (2[ nhiên m, p sao cho :
N u ½ ≤ x ẽ ứ 40. Ta s ch ng minh t n t
a + b c 1 2 2B ≥ 1 (cid:0) (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
5
96000...00 14 2 43 mchöõsoá0 97000...00 ≤ a + 15p < 14 2 43 mchöõsoá0
ứ
ữ ố
ố
ọ
T c là 96 ≤
< 97 (1). G i a + 15 là s có k ch s : 10
k – 1 ≤ a + 15 < 10k
+ a m 10 15p m 10
. Theo (2) ta có x1 < 1 và
< 1.
(2). Đ t ặ
ậ ầ ượ
ơ
ị
ị
ỗ ầ
t các giá tr 2, 3, 4, …, các giá tr c a x
ẽ ả
ứ
ế
ộ
ị
ầ � �� �px = 96. Khi đó 96 ≤ xp < 97 t c là 96 ≤ nx s tr i qua các giá tr 1, 2, 3, … Đ n m t lúc nào đó ta có
< + = + (cid:0) (cid:0) 1 x n a k 10 15 k 10 15p k 10 15 k 10 ị ủ n tăng d n, m i l n tăng không quá 1 đ n v , khi
ấ ẳ
ượ
ứ
ứ
< 97. B t đ ng th c (1) đ
c ch ng minh.
ế ủ ấ ẳ
+ 15p k 10
ứ | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2
1 a k 10 10 Cho n nh n l n l ] đó [ a k 10 42. a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :
ấ ẳ
ứ
| A + B | ≤ | A | + | B | (cid:0) A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB | (cid:0)
AB ≤ | AB | (b t đ ng th c đúng)
ả
ấ
(cid:0)
ả
ả
ậ
ỉ
ấ
2 ≤ x ≤ 3 (l p b ng xét d u)
(cid:0)
(cid:0)
ươ
| 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x |
D u “ = “ x y ra khi AB ≥ 0. b) Ta có : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. ấ D u “ = “ x y ra khi và ch khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0 ậ V y min M = 5 2 ≤ x ≤ 3. c) Ph
(cid:0)
ng trình đã cho (2x + 5)(4 – x) ≥ 0 (cid:0)
5/2 ≤ x ≤ 4
(cid:0)
ệ ồ ạ ủ
ề
ươ
i c a ph
ng trình : x
2 – 4x – 5 ≥ 0 (cid:0)
43. Đi u ki n t n t
(cid:0) - (cid:0) x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 5
ượ
ặ ẩ
, ta đ
c : 2y
2 – 3y – 2 = 0 (cid:0)
(y – 2)(2y + 1) = 0.
ệ ồ ạ ủ
i c a
min A = 0 (cid:0)
x = 0.
ề
ặ
x = 3 – y2.
ụ 2x Đ t n ph 45. Vô nghi mệ ề 46. Đi u ki n t n t ệ 47. Đi u ki n : x ≤ 3. Đ t
B = 3 – y2 + y = (y – ½ )2 +
. max B =
≤
(cid:0)
y = ½ (cid:0)
x =
.
- = (cid:0) - y 0 4x 5
ừ
ậ
ằ
ố
. V y hai s này b ng nhau.
13 4 11 4 x là x ≥ 0. Do đó : A = x + x ≥ 0 (cid:0) = y ≥ 0, ta có : y2 = 3 – x (cid:0) 3 x- 13 13 4 4 48. a) Xét a2 và b2. T đó suy ra a = b.
+ - - - -
) (
) = n
.
- = 13 4 3 + - n 2 = 4 2 3 ) = + n 1 1 và n+1 n + + n 1 1
.
b) 5 c) Ta có : ( + + Mà n 2 49. A = 1 | 1 – 3x | + | 3x – 1 |2 = ( | 3x – 1| ½ )2 + ¾ ≥ ¾ .
= + 5 (2 3 1) ) ( + + + n 2 n 1 + + + > - 3 1 ( + < n 1 n nên n 1 n 1 n+2 + - n 1 n
T đó suy ra : min A = ¾
ặ x = ½ ho c x = 1/6
ừ 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = 3.
(cid:0)
.
53. P = | 5x – 2 | + | 3 – 5x | ≥ | 5x – 2 + 3 – 5x | = 1. min P = 1 (cid:0)
ộ ố ươ
ả
ớ
ầ
ạ ng trình d ng sau :
(cid:0) (cid:0) x 2 5 3 5
2
i m t s ph A 0 (B 0) = A B
.
54. C n nh cách gi � � � B 0 = (cid:0)� A B = -
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = + � � � B a) A b) A B c) A = B 0 � = A 0 = B 0 (cid:0) B 0 = A B � � � (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = = � � d) A B + e) A B 0 (cid:0) = A 0 � = B 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) A B (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ươ
ề ạ
ng trình v d ng :
.
ươ
ề ạ
ng trình v d ng : +
ươ
ạ
ng trình có d ng :
6
A
ề ạ ề ạ
ư
ề ạ
ế
ấ
ng trình v d ng : | y – 2 | + | y – 3 | = 1 . Xét d u v trái.
ư a) Đ a ph ư b) Đ a ph c) Ph ư d) Đ a ph ư e) Đ a ph g, h, i) Ph k) Đ t ặ
ươ - = (cid:0)
B= A A B= . = . B 0 A B= .
.
l) Đ t : ặ
ươ ươ ươ x 1- 8x 1
ng trình v d ng : ng trình v d ng : | A | + | B | = 0 ệ ng trình vô nghi m. = y ≥ 0, đ a ph + = (cid:0) u
- = (cid:0) 0 ; 3x 5 v 0 ; 7x 4 + = (cid:0) z 0 ; 2x 2 t 0
ượ ệ
ừ
ứ
Ta đ
c h :
. T đó suy ra : u = z t c là :
.
2
2
2
2
2
+ = + (cid:0) + = (cid:0) 8x 1 + 7x 4 =� x 3 t 2 u v 2 z = 2 - - (cid:0) z u t
.
55. Cách 1 : Xét
2
2
2
2
v + = - - - - - - (cid:0) x = 2 2(x y) + 2 x y (x y 2) 0 y
ổ ươ
ế
ươ
Cách 2 : Bi n đ i t
ng đ
ng
(x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
2
)
+ + - 2 2(x y) 2 2xy ) ( 2 + y (cid:0) �۳ 2 2 8 - - x ( x y
(cid:0)
(x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 (cid:0)
(x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
2
2
2
y x x y (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 (cid:0)
ử ụ + 2 x
ứ 2xy 2xy
(x > y).
ấ ẳ Cách 3 : S d ng b t đ ng th c Cauchy : + + 2 x (x y) y x y
+ - - y 2.1 = = = - (cid:0) - + (x y) 2 (x y). - - - - - x y x y 2 x y 1 x y
ứ ả
ấ
ẳ
D u đ ng th c x y ra khi
ho c ặ
+ - - - - 2 6 2 + 6 2 2 6 6 = = = = x ; y x ; y 2 2 2
=
62.
2 � � �
+ + = + + + + + + + + 2 1 1 1 + + a b c 1 2 a 1 2 b 1 2 c 1 2 a 1 2 b 1 2(c b a 2 c abc � � � � = � �
ứ
ề
ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh.
2
ệ
.
ề 63. Đi u ki n :
x > 6.
ệ
2 – 16x + 60 < x2 – 12x + 36 (cid:0) ng trình đã cho : x ≥ 10.
ể
ế
2 ≥ 3. Chuy n v :
≤ x2 – 3 (1)
ế ươ Bình ph ng hai v : x ươ ủ ấ Nghi m c a b t ph ệ ề 64. Đi u ki n x
2x 3-
+ + 1 = 2 a 2 1 1 1 � � ab bc ca � 1 1 2 2 c b (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 6 - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (x 6)(x 10) 0 (cid:0) + x 16x 60 0 (cid:0) x 10 x 10 � ��۳ � (cid:0) - (cid:0) x 6 (cid:0) x 6 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) �(cid:0) x 6
2
ừ
ặ
Đ t th a chung :
.(1
) ≤ 0 (cid:0)
2x 3-
2x 3-
2
ậ
ệ
ươ
ủ ấ
; x ≥ 2 ; x ≤ 2.
(cid:0) = (cid:0) x 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ۳ (cid:0) - - (cid:0) x 3 0 - = x 3 0 (cid:0)� 1 - x 2 � (cid:0) x 2 (cid:0)
(x2 + y2)2 – 4(x2 + y2) + 3 = x2 ≤ 0.
(A – 1)(A – 3) ≤ 0 (cid:0) x = 0, khi đó y = ± 1. max A = 3 (cid:0)
1 ≤ A ≤ 3. x = 0, khi đó y = ± 3.
ng trình : x = V y nghi m c a b t ph 65. Ta có x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 (cid:0) Do đó : A2 – 4A + 3 ≤ 0 (cid:0) min A = 1 (cid:0) 66. a) ½ ≤ x ≠ 1.
3(cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
7
2 16 x
.
b) B có nghĩa (cid:0)
2
2 (x 4) � � � x
2
67. a) A có nghĩa (cid:0)
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 4 x 4 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 4 x 4 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) � ��� 8 x 4 2 2 � (cid:0) 1 - < 2 (cid:0) x 4 2 2 + x 4 2 2 � � - + > 2x 1 0 + (cid:0) x 8x 8 0 (cid:0) > - (cid:0) (cid:0) 1 2 > - � �(cid:0) � x (cid:0) 1 2 (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x 2x 0 (cid:0) x(x 2) 0 � � (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 2 < x 0 (cid:0) � 2 x x 2x (cid:0) � x x 2x (cid:0)
ớ
v i đi u ki n trên.
-
22 x 2x
ề < 1 (cid:0)
ệ x2 – 2x < 1 (cid:0)
(x – 1)2 < 2 (cid:0)
kq
b) A = c) A < 2 (cid:0)
2 < x – 1 < 2 (cid:0)
2x 2x
ữ ố ậ
ẽ ứ
ủ
ầ
ố
-
68. Đ t ặ
ữ ố a là các ch s 9. Mu n
14 2 43 = a. Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên c a 0,999...99 20chöõsoá9
ậ ậ
ỉ ầ
a(a – 1) < 0 (cid:0)
a2 – a < 0 (cid:0)
a2 < a. T ừ
ứ ậ v y ch c n ch ng minh a < a2 < a < 1 suy ra a < a < 1.
V y ậ
(cid:0) a < 1. Th t v y ta có : 0 < a < 1
ấ
ẳ
ạ
max A = 6 + 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)
ấ
ị
ẳ
ạ
min A = 4 2 (khi ch ng h n x = 2, y = 3)
ụ ị ớ 69. a) Tìm giá tr l n nh t. Áp d ng | a + b | ≥ | a | + | b |. A ≤ | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 (cid:0) ụ ỏ b) Tìm giá tr nh nh t. Áp d ng | a – b | ≥ | a | | b . A ≥ | x | 2 | y | 1 = 4 2 (cid:0) 70. Ta có : x4 + y4 ≥ 2x2y2 ; y4 + z4 ≥ 2y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2. Suy ra :
x4 + y4 + z4 ≥ x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)
ứ
ễ
ặ
ượ
ế
M t khác, d dàng ch ng minh đ
c : N u a + b + c = 1 thì a
2 + b2 + c2 ≥
.
= 0,999...99 0,999...99 14 2 43 . 20chöõsoá9 14 2 43 20chöõsoá9
ế
Do đó t
ừ ả gi
thi
t suy ra : x
2y2 + y2z2 + z2x2 ≥
(2).
1 3
1 3
ừ
(cid:0)
T (1) , (2) : min A =
x = y = z =
(cid:0) 1 3
ư
và
71. Làm nh bài 8c (§ 2). Thay vì so sánh
+ + n 1
ế
ứ ướ ấ
� 3 3 + n + - n 1 + - . Ta có : n 2 + < n 1 n + - ta so sánh n 2 + 2 n 1 + - n 1 n
. ặ
ộ ổ
ệ
ộ
ng c a m t t ng ho c m t hi u.
ể t các bi u th c d ồ
ụ ứ
ằ
ả
72. Cách 1 : Vi Cách 2 : Tính A2 r i suy ra A. 2 – b2. 73. Áp d ng : (a + b)(a – b) = a ứ 74. Ta ch ng minh b ng ph n ch ng.
+ < n 2 ủ n 2 và 2 n+1 + n ươ i d u căn thành bình ph
2r
ế
ố
ỉ
s t n t
= r (cid:0)
. V trái là s vô t ,
a) Gi
ả ử ồ ạ ố ữ ỉ r mà 3 i s h u t
3 + 2 15 + 5 = r2 (cid:0)
ậ
ả
ỉ ố là s vô t .
- 8 = 15 5+ 2
5+ 3
ổ ươ
ế
ươ
ng đ
ng :
2
= > - � 3 3 3 2 2 1 > 3 3 + 2 2 2
ậ
. V y a > b là đúng.
ồ
ố ữ ỉ ế v ph i là s h u t , vô lí. V y ự . ng t b), c) Gi 75. a) Gi ) ( b) Bình ph
ả ươ i t ả ử ồ s a > b r i bi n đ i t ) ( 2 ế ươ ng hai v lên r i so sánh. +
> + (cid:0) � � � 2 2 2 3 3 > + + 27 8 4 8 2 > 15 8 2 > 225 128
ặ
, rõ ràng A > 0 và A2 = 2 (cid:0)
76. Cách 1 : Đ t A =
A = 2
- - 4 7 4 7
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
8
ặ
Cách 2 : Đ t B =
(cid:0)
B =
0.
+ + - - - - - � 4 7 4 7 2 = 2.B 8 2 7 - = 8 2 7 2 0
(
)
.
77.
) +
( +
+ + + + + 2 3 4 2 2 3 4 + + 2 3 = = Q = + 1 2 + + 2.3 + 3 2 4
ậ
.
t ế
78. Vi
2
+ 2.4 2 4 4 = = = + + 3 2 . V y P = 40 2 2.5 ; 56 2 5.7 2 5 7
ừ ả
ế
ươ
ế ủ ẳ
ứ
thi
t ta có :
. Bình ph
ng hai v c a đ ng th c này ta đ
ượ c :
79. T gi
2
2 2.7 ; 140 = - 2 - - x 1 y 1 y 1 x
ừ
2 + y2 = 1.
. T đó : x
ậ
x = 0.
= - 1 x
2
2 (cid:0)
2 =
(
(
)
x = ± 1 ; max A = 2 (cid:0) )
.
81. Ta có :
= + + + + (cid:0) - (cid:0) y 2 ≤ 4. V y : min A = 80. Xét A2 đ suy ra : 2 ≤ A ể ( ) 2 M b b a a a 2a 2b 2 b
.
(cid:0) = (cid:0) b = max M 2 = = b (cid:0) 1 2 (cid:0) a + = a b 1
) +
)
)
( + -
ổ
ủ
) + + c d 2 cd
=
2
2 +
+ - + - ��(cid:0) ( = 2c d 2 ab a ( + + - a b 2 ab a c
)
)
ố ( 82. Xét t ng c a hai s : ( ( = (
.
+ + - - (cid:0) 2a b 2 cd ) b a c a d c + > a c 0
2
2
= + + = + + + + = 12 8 3 4 4 6 4 2 2
=
83. N (
)
)
2
+ + + + + + + ( 2 3 2 + 4 6 8 3 4 2 18 ) ( 2 2 2 3 2 + = 2 2 3
2 +
)
(cid:0)
.
84. T ừ x y z
) 2 + z
ậ
i ( i = 1, 2, 3, … n ).
ấ ẳ ấ ẳ
ụ ụ
ứ ứ
ớ
+ + = + + - - - = ( 2 ) + . 2 2 ( 2 3 2 ( xy yz zx y z x y = x 0
V y x = y = z. 85. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 1 và a ố 86. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i hai s a + b ≥ 0 và 2 (
) 2
.
ấ
ả D u “ = “ x y ra khi a = b.
2
2
+ + + + (cid:0) (cid:0) 2 2(a b) ab hay a b 2 ab b a ab ≥ 0, ta có : + 2 2(a b) ab
ả ử
)
(
)
s a ≥ b ≥ c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2
87. Gi
+ > b c a bc > a hay (
ậ ượ
ậ
ạ
ẳ
ộ c thành m t tam giác.
. V y ba đo n th ng ườ
+ > a , b , c l p đ
Do đó : b a ề 88. a) Đi u ki n : ab ≥ 0 ; b ≠ 0. Xét hai tr
c ệ
ợ ng h p : b)
ườ
ợ
* Tr
ng h p 1 : a ≥ 0 ; b > 0 :
.
ườ
ợ
* Tr
ng h p 2 : a ≤ 0 ; b < 0 :
.
2
2
ề
ệ
ệ
ớ
ề . V i các đi u ki n đó thì :
b) Đi u ki n :
2
2
- - b.( a a b = - - A 1 a = b a = - b b b. b 2 - ab b = - A 1 1 2 - a = - b a + - b a = - b a b b (cid:0) (cid:0) - (cid:0) 8x 0 (cid:0) > (cid:0) (cid:0) 0 + (x 2) > (cid:0) 0 x � (cid:0) x � (cid:0) x 2 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) x 0 (cid:0) (cid:0) 2 x
.
- - - + (x 2) 8x = = = B - - (x 2) . x x 2 x 2 . x x 2 - x 2 x
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
9
ế
N u 0 < x < 2 thì | x – 2 | = (x – 2) và B =
ế
N u x > 2 thì | x – 2 | = x – 2 và B =
2
(cid:0) x . (cid:0) x
2
+ +
) 2
(
2
ấ ẳ
ứ
ụ
. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy:
89. Ta có :
2
2
2
2
2
ẳ
. V y ậ
ứ ả . Đ ng th c x y ra khi :
2
2
a 1 1 + a = = a + + 1 1 2 2 + + + 1 a 1 a 1 + a + = (cid:0) (cid:0) a + + 1 2 a 1. 2 2 a 1 2 1 2 + 2 + + a 1 1 a a 1
.
a + = 1 =� a 0 1 2 1
ế ủ
ượ
(cid:0)
5/2 ≤ x ≤ 3.
c :
ớ 93. Nhân 2 v c a pt v i
ứ
ọ
ằ 94. Ta ch ng minh b ng qui n p toán h c :
- + a - + + 2x 5 3 - = 2x 5 1 4
ớ
a) V i n = 1 ta có :
(*) đúng.
ả ử
b) Gi
s :
ứ
c) Ta ch ng minh r ng (*) đúng khi n = k + 1 , t c là :
< = P 1 1 2 - < < � P k + (1) 2 , ta đ ạ 1 3 1.3.5...(2k 1) 2.4.6...2k 1 2k 1 1 + 2k 1 ằ
ứ 1.3.5...(2k 1) 2.4.6...(2k 2)
< < � P + k 1 + + + (2) 1 2k 3
ọ ố
ớ
ươ
(3)
V i m i s nguyên d
ng k ta có :
ấ ẳ
ừ
ứ
ế
ượ ấ ẳ
ứ
Nhân theo t ng v các b t đ ng th c (1) và (3) ta đ
n (cid:0)
Z+ ta có
< 1 + 2k 3 + 2k 1 + 2k 2 + 2k 1 + 2k 3
ậ (cid:0) c b t đ ng th c (2). V y 1 + 2n 1
2
2
3
3
- = < P n 1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n
ổ ươ
ươ
ng đ
ng :
ế 95. Bi n đ i t
+ a b + + + � � � a b a b a b b a ab
) 2
(
(đúng).
ệ
ề 96. Đi u ki n :
2
+ - ( a b)(a + ab b) + (cid:0) - -+ � � � � b a ab a ab b 0 b a ab (cid:0) - - (cid:0) x 4(x 1) 0 (cid:0) < < (cid:0) + (cid:0) - (cid:0) 2 x 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 x > 2 x - (cid:0) x 4(x 1) - > 4(x 1) 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) x 1 0
ế
ả
ả
Xét trên hai kho ng 1 < x < 2 và x > 2. K t qu :
105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đ t ặ
= y ≥ 0, ta có : 2x – 1 = y2.
= A và A= - 2 1 x 2 x1
2
2
2x 1-
- + + - - - y 1 + + y 1 2y = + - y 1 2y = - - - A 2x 2 2x 1 2 2x 2 2x 1 = 2 y 1 2 2 2 2
ớ
ứ V i y ≥ 1 (t c là x ≥ 1),
.
= A + - + = (y 1 y 1) 2 1 2
ứ
ớ
V i 0 ≤ y < 1 (t c là
≤ x < 1),
.
= - A + + - = (y 1 y 1) = y 2 4x 2 1 2 2y = 2 1 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ế
ế
.
10
ế ồ
ọ
ượ
ng hai v r i rút g n, ta đ
c :
108. N u 2 ≤ x ≤ 4 thì A = 2 + - + x y 2
ạ
ươ
ế ồ
ọ
. L i bình ph
ế ổ 109. Bi n đ i : = + - 2(x y 2)
x 2- ươ 2 . N u x ≥ 4 thì A = 2 . Bình ph = 2 + x y
ng hai v r i rút g n : (2 – y)(x – 2) = 0. Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2.
ươ
ng đ
2
xy
)
) ( 2 2 2 a b c d
≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd
2
+ +
ế ổ ươ 110. Bi n đ i t ng : a2 + b2 + c2 + d2 + 2 ( (1) (cid:0) ) ( ( 2 2 2 a b c d
≥ ac + bd
(2)
ế ế
ứ ươ
) ượ ươ
c ch ng minh. ớ ng v i : ng đ
* N u ac + bd < 0, (2) đ * N u ac + bd ≥ 0, (2) t (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd (cid:0)
+ + (cid:0)
ấ ẳ
ấ ẳ
ứ
a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ứ
ượ
ứ
ậ
(ad – bc)2 ≥ 0 (3). B t đ ng th c (3) đúng, v y b t đ ng th c (1) đ
c ch ng minh.
ấ ẳ
111. Cách 1 : Theo b t đ ng th c Cauchy :
(cid:0)
.
ứ + b c (cid:0) = = 4
2 a + b c
2 a + b c
+ b c - 2 +� 2. a a + b c 4
ươ
ự
ng t
:
T
.
(
ấ ẳ
ừ
ứ
ế
ộ
C ng t ng v 3 b t đ ng th c :
2 c + a b ) + + a b c
2 c +
2 a . + b c 4 2 b + a c 2 2 b a + + b c c a a b Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có :
2
2
2
2
(cid:0) - (cid:0) - b c ; a 2 + a c 4 + a b 4 + + + + a b c a b c = + + (cid:0) - 2 2
)
(
(
)
) + c a
2 � � + � � � �
2 � � + � � � �
+ + + b c + a b � ≥ � � a + b c b + c a c + a b � � � � � � � � ( � � X � � � � � � �
≥
2 � � �
+ + + + . b c . c a + . a b b + c a
.
2 c +
2 2 b a + + b c c a a b
+ + + + + + (cid:0) � + + 2 (a b c) � � � � � 2 c + c + a b 2 2 b a + + b c c a a b + + a b c 2 a + b c � [ ] . 2(a b c) � � � � �
ổ
ướ ạ
ụ
ộ
i d ng m t tích 1.(a + 1) và áp d ng bđt Cauchy :
112. a) Ta nhìn t ng a + 1 d
(cid:0) xy + x y 2 + + + = (cid:0) a 1 + 1.(a 1) 1 (a 1) 1 a = + 2 2
ươ
ự
T
ng t
:
+ = + + = + b 1 1 ; c 1 1 b 2 c 2
ấ ẳ
ừ
ứ
ế
ộ
C ng t ng v 3 b t đ ng th c :
.
+ + + + + = a 1 b 1 + (cid:0) c 1 3 3,5
ả
ấ
D u “ = ” x y ra
ậ
a + 1 = b + 1 = c + 1 (cid:0) V y :
(cid:0)
ụ
ấ ẳ
ứ
ớ
2
2
2
a 1 + + a b c 2 ớ ế ả t a + b + c = 1. thi + < . c 1 3,5
(
)
)
(
)
+ + + + + + + (cid:0) 1. a b 1. b c 1. c a + + (1 1 1)X + a b + b c + c a + + ộ ( � � � � (cid:0) � �
a = b = c = 0, trái v i gi + + b 1 ố b) Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki v i hai b ba s : ) ( 2 (
) 2
≤ 3(a + b + b + c + c + a) = 6(cid:0)
+ + + + + + + + + c a a b b c a b b c + (cid:0) c a 6
C
B
b
c
ứ
ể
ườ
giác ABCD có AC
BD, O là giao đi m hai đ
ng chéo.
113. Xét t
(cid:0)
d
O
a
D
A
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ớ
2
2
2
2
11
OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d v i a, b, c, d > 0. Ta có : = +
2 a c ; BC
2 b c ; AD
2 a d ; CD
ứ
ậ ậ
ABC ; AD.CD ≥ 2SADC. Suy ra :
2
2
2
2
2
= + = = + + 2 b d
(
)
(
)
) ( 2 a d b d
) ( 2 2 a c b c
V y : ậ
.
ả ằ
ụ
ứ
) (
(
)
AB ầ AC = a + b ; BD = c + d. C n ch ng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC.BD. Th t v y ta có : AB.BC ≥ 2S Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC.BD. + + + + + + + (cid:0) (a b)(c d)
ấ ẳ Chú ý : Gi i b ng cách áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 v i m = a , n = c , x = c , y = b ta có : ớ + 2 2 (a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 (cid:0) c b
≥ ac + cb (1)
2
2
+ 2 2 a c
(
)
ươ
ự
ộ
) ( 2 2 a d d b
T
ng t
:
≥ ad + bd (2) . C ng (1) và (2) suy ra đpcm.
+ +
ờ
ả
i sai
:
.
114. L i gi
21 � � 2 �
ứ
ư
ỉ
ườ
ả
ợ
Phân tích sai l mầ : Sau khi ch ng minh f(x) ≥
, ch a ch ra tr
ng h p x y ra f(x) =
= + = + - (cid:0) - A x x x = - . Vaäy minA 1 4 1 4 � � �
1 4 1 4 1 4
ứ
ả
ẳ
ấ
ỉ
X y ra d u đ ng th c khi và ch khi
. Vô lí.
ả
ả
ờ L i gi
i đúng
: Đ t n t
x = 0.
ể ồ ạ +
= - x 1 2
i + 2 (x a)(x b) x
.
115. Ta có
+ x ph i có x ≥ 0. Do đó A = x + ax+bx+ab = + = = A + (a b) x x x ≥ 0. min A = 0 (cid:0) � + � � � x � �
ấ ẳ
ứ
) 2
.
Theo b t đ ng th c Cauchy :
) 2
min A = (
khi và chi khi
.
ụ
ứ
ớ ạ ấ ẳ
+ (cid:0) 2 ab x a b+ ab x nên A ≥ 2 ab + a + b = ( ab x (cid:0) = (cid:0) x (cid:0) =� x ab a b+ (cid:0) (cid:0)
i b t đ ng th c Bunhiacôpxki :
ể 116. Ta xét bi u th c ph : A
2 = (2x + 3y)2. Nh l (am + bn)2 ≤ (a2 + b2)(m2 + n2)
(1)
ụ
ế
ớ
N u áp d ng (1) v i a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :
α
ế
ờ
ướ ạ
A2 = (2x + 3y)2 ≤ (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2). 2 d α ượ ằ
ố c h ng s
. Bây gi
mà A
, ta vi
2 ≤
t A
i d ng :
ụ
ồ
r i áp d ng (1) ta có :
2
2
2
2
2
2
2
ab x > x 0 ứ
Vói cách trên ta không ch ra đ A2 = ( + (
)
(
) y 3
ỉ ) 2 3. 3y ( ) �� 3 �� ��
( � � �
= + + + = + (cid:0) 2. 2x ) A 2 x 2 (2 3)(2x 3y ) 5.5 25 � = � �
Do A2 ≤ 25 nên 5 ≤ A ≤ 5. min A = 5 (cid:0)
(cid:0) = = - (cid:0) � x y 1 = x y + = (cid:0)
max A = 5 (cid:0)
ề
ặ
= y ≥ 0, ta có : y2 = 2 – x.
ệ 117. Đi u ki n x ≤ 2. Đ t
(cid:0) (cid:0) � = = x y 1 2x 3y 5 = x y + = (cid:0) 2x 3y 5
2 x-
2 1 � � + � � 2 � �
ề
ệ
x ≥ 1.
2
= - + = - = - 2 a 2 y y y ��� maxA = y = � x 9 9 4 4 9 4 1 2 7 4 (cid:0)
ươ
ể
ế
118. Đi u ki n x ≥ 1 ; x ≥ 1/5 ; x ≥ 2/3 ế ồ Chuy n v , r i bình ph
ng hai v : x – 1 = 5x – 1 + 3x – 2 +
(3)
+ - 2 15x 13x 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
12
ọ
ệ
ầ
Rút g n : 2 – 7x =
ề . C n có thêm đi u ki n x ≤ 2/7.
+ -
ươ
Bình ph
ng hai v : 4 – 28x + 49x
11x2 – 24x + 4 = 0
x1 = 2/11 ; x2 = 2.
ề
ả
ậ
ươ
ệ
ng trình đã cho vô nghi m.
ề
2 = 4(15x2 – 13x + 2) (cid:0) (11x – 2)(x – 2) = 0 (cid:0) ệ ệ C hai nghi m đ u không th a mãn đi u ki n. V y ph ổ ươ ệ 119. Đi u ki n x ≥ 1. Ph - =
2 15x 13x 2 ế
ề ỏ ế ng trình bi n đ i thành : - + + x 1 1
- + - = - - x 1 1 2 � x 1 x 1 1 1
ế
ả
ộ
* N u x > 2 thì :
, không thu c kho ng đang xét.
ế
* N u 1 ≤ x ≤ 2 thì :
- = - = = - - + x 1 x 1 1 1 � x 1 1x 2
ệ
2 + 7x + 7 ≥ 0. Đ t ặ
ệ ố . Vô s nghi m 1 ≤ x ≤ 2 ậ ế K t lu n : 1 ≤ x ≤ 2. + = y ≥ 0 (cid:0) +
x2 + 7x + 7 = y2.
ề 120. Đi u ki n : x
- + - x 1 1 - + = x 1 1 2
ươ
ở
Ph
ng trình đã cho tr thành : 3y
(y – 1)(3y + 5) = 0
7x 7
2x 2 – 3 + 2y = 2 (cid:0) +
ạ
ớ
y = 5/3 (lo i) ; y = 1. V i y = 1 ta có
2x
(cid:0) + = 1 (cid:0)
3y2 + 2y – 5 = 0 (cid:0) 7x 7 ỏ
x2 + 7x + 6 = 0 (cid:0) ệ
ủ
2
2
ị (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá tr x = 1, x = 6 th a mãn x + +
(cid:0)
+ + + + (cid:0) 5(x 1) 9 3(x 1) 4
ả
ớ
ị
ậ ế
ứ
ứ
ề
ẳ
ậ
2 + 7x + 7 ≥ 0 là nghi m c a (1). = . ế 121. V trái : 9 5 2 = 5 – (x + 1)2 ≤ 5. V y hai v đ u b ng 5, khi đó x = 1. V i giá tr này c hai b t ấ ằ ả ế V ph i : 4 – 2x – x ở ẳ đ ng th c này đ u tr thành đ ng th c. K t lu n : x = 1
4 ế ề
ữ ỉ
ố ữ ỉ ế
ế
ả
= a (a : h u t )
. V ph i là s h u t , v trái là
122. a) Gi
ả ử 3 s
5 2 6 = a2 (cid:0)
25 a 2
- (cid:0) = - 6 2
ỉ ố là s vô t .
ế ấ ẳ
ừ
ộ
ẽ ứ
= b, ta có a2 + b = 2. S ch ng minh a + b ≤ 2. C ng t ng v b t đ ng th c : ứ
- 2
A
.
ậ 3 ự câu a. ng t = a, 4 x- x 2- + 2 b 1 2
ẳ
(cid:0) (cid:0) a ; b
b
ễ ấ
ẻ
(cid:0)
c
a
B
C
ế ồ
ọ
ượ ấ ẳ ể ứ
ứ ươ ằ
ộ ườ ẳ ạ ng th ng. ớ ABC = BC.AH. BC v i AH = b. D th y AB.AC ≥ 2S ươ ng hai v r i rút g n, ta đ c b t đ ng th c t 2 ≥ 0. Chú ý : Cũng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. ng : (ad – bc) ả ử
ề
ng ấ ẳ s a ≥ b ≥ c > 0. Theo đ bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2
ỉ ố s vô t . Vô lí. V y ả ươ b) Gi i t 123. Đ t ặ + 2 a 1 2 ặ 124. Đ t các đo n th ng BH = a, HC = c trên m t đ K HA 125. Bình ph ươ đ 126. Gi
2
2
ứ bc > a (cid:0) >
)
(
)
ậ ượ
ạ
ậ
ộ
ộ c thành m t tam giác.
( b , c , a l p đ
ẳ V y ba đo n th ng có đ dài 127. Ta có a, b ≥ 0. Theo b t đ ng th c Cauchy :
+ > + (cid:0) b c a � b a c
ứ a b a b =
ấ ẳ + 2 (a b) 2
+ + + + + + (cid:0) a b 4 1 2 1 2 + � � 2 � � � � � ab a b � � � � �
ứ
ầ
ế
C n ch ng minh :
ệ . Xét hi u hai v :
≥ a b b a
+
=
= =
≥ 0
2 � � + � � � �
2 � � �
ứ
ả
ấ
ẳ
ặ
X y ra d u đ ng th c : a = b =
ho c a = b = 0.
- - - 1 � � 2 � ) � + +� ab a b � ( ab a b+ ab a b a b 1 2 1 2 1 2 1 + + - 2 � + +� ab a b � � � � � ab a b � � � � � � � � � � � � � � � �
1 4
ấ ẳ
ứ
.
128. Theo b t đ ng th c Cauchy :
+ = (cid:0) .1 + b c a + b c a + + b c a 2a � � � � 1 : 2 � �
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
13
ươ
ự
Do đó :
. T
ng t
:
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ; a + c + 2c + + b + 2b + + 2a + + b c a b c a b a b c
ế
ộ
.
ừ C ng t ng v :
= + + (cid:0) 2 a c a b c + + 2(a b c) + + a b c c + a b a + b c
ứ
ả
ấ
ẳ
ớ
ả
ế
X y ra d u đ ng th c :
, trái v i gi
thi
t a, b, c > 0.
ấ
ẳ
ậ
ấ ẳ
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) � + + = a b c 0 (cid:0) b + c a = + a b c = + b c a = + c a b (cid:0)
ả ứ V y d u đ ng th c không x y ra. ứ 129. Cách 1 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. Ta có : (
) (
)
.
2 y 1 x
2 x
2 2 y 1 y 1 x
+ - - - (cid:0) - - + 2 x 1 y
(
ượ
Đ t xặ
c : 1
m = 1 (đpcm).
2 + y2 = m, ta đ ế ừ ả
ế
thi
Cách 2 : T gi
t :
ng hai v :
2 ≤ m(2 m) (cid:0) = - 2 x 1 y
x2(1 – y2) = 1 – 2y
- -
) (m – 1)2 ≤ 0 (cid:0) ươ . Bình ph + y2(1 – x2) (cid:0)
+ y2
21 x-
2 1 y 1 x 21 x- )2 (cid:0)
0 = (y
y =
x2 + y2 = 1 .
21 x-
x2 = 1 – 2y (cid:0) 21 x- 1 ≤ x ≤ 2 .
. Do 0 ≤
2 ≤ 2 + 2
≤ 4
ụ 130. Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B | . min A = 2 ≤ 1 (cid:0) 21 x- 131. Xét A2 = 2 + 2
21 x-
21 x-
(cid:0)
ớ
ớ
2 ≤ A2 ≤ 4. min A = 2 v i x = ± 1 , max A = 2 v i x = 0.
(cid:0)
ấ ẳ
ứ
ụ
(bài 23)
132. Áp d ng b t đ ng th c :
+ + (cid:0) + 2 2 a b + 2 2 c d + 2 (a c) + 2 (b d)
= + + - - (cid:0) A + 2 2 x 1 + 2 2 (1 x) 2 + + 2 (x 1 x) 10
.
ậ
ị
(1)
133. T p xác đ nh :
ệ Xét hi u : ( x
- = = = minA 10 2 � � x = 2 (1 2) 1 3 (cid:0) + - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) + 2 x 4x 12 0 - � � � � 1 x 3 � - (cid:0) + 2 - (cid:0) (cid:0) 1 x x + (x 2)(6 x) 0 � + (x 1)(3 x) 0 + (cid:0) x 2x 3 0 (cid:0)
ể
ấ
ư
ả
2 + 4x + 12)( x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0. ) 2
Xét :
. Hi n nhiên A
2 ≥ 0 nh ng d u “ = ” không x y ra (vì A > 0).
2A
ế
ổ
ướ ạ
( Ta bi n đ i A
2 d
= + - - - + (x 1)(3 x) (x 2)(6 x)
=
i d ng khác : A2 = (x + 2)(6 – x) + (x + 1)(3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
+ + - -
= (x + 1)(6 – x) + (6 – x) + (x + 2)(3 – x) – (3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
+ + - -
+ 3
= (x + 1)(6 – x) + (x + 2)(3 – x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)
+ + - -
) 2
.
ớ
= ( A2 ≥ 3. Do A > 0 nên min A = 3 v i x = 0.
ệ
2 ≤ 5.
ấ ẳ
ề 134. a) Đi u ki n : x ị ớ * Tìm giá tr l n nh t
2
ứ )2 ≤ (22 + 11)(x2 + 5 – x2) = 25 (cid:0)
ụ A2 = (2x + 1.
A2 ≤ 25.
+ - - - (x 1)(6 x) + + (x 2)(3 x) 3
2 5 x
2
2 4(5 x )
.
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = - (cid:0) (cid:0) = x 0 = - �� 25 A � = x 2
ấ : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : 5 x- x 2 � � 2 x
2 x � � 2 x
ớ
ớ
ỏ
ị
ậ V i x = 2 thì A = 5. V y max A = 5 v i x = 2. ằ
ư
ả
* Tìm giá tr nh nh t
ấ : Chú ý r ng tuy t
ừ 2 ≤ 25, ta có – 5 ≤ x ≤ 5, nh ng không x y ra
A
(cid:0) (cid:0) 5 (cid:0) 5 (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ị
ậ
ủ
5 ≤ x ≤ 5 . Do đó : 2x ≥ 2 5 và
2
2
ớ
2 ≤ 5 (cid:0) ≥ 2 5 . Min A = 2 5 v i x =
14
ứ
ứ
5 5 x-
ấ ẳ +
≥ 0. Suy ra :A = 2x + ụ ể + x 99. 99 1. 101 x
b) Xét bi u th c ph | A | và áp d ng các b t đ ng th c Bunhiacôpxki và Cauchy : < 2 x .10. 200 x
A2 = 5. Do t p xác đ nh c a A, ta có x 5 x- ụ )2
= + - (cid:0) - - A = 2 x (99 1)(99 101 x )
(
2
2 x 200 x 2 2
+ - < = 10. 1000
. Do đó : 1000 < A < 1000.
2 x
2 101 x 2 200 x
ớ
(cid:0) (cid:0) x 101 (cid:0) (cid:0) 99 = = = (cid:0) A 1000 � � x � 10 - (cid:0) (cid:0) 99 1 = - (cid:0)
min A = 1000 v i x = 10 ; max A = 1000 v i x = 10. )
.
135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =
+ + + x y = + a b ay x bx y
ứ
ấ ẳ
ớ
ng :
.
ớ � �+ a b ( � � x y � � ay x
+ = (cid:0) 2 2 ab bx y ay bx . y x
ố ươ Theo b t đ ng th c Cauchy v i 2 s d ) 2
(
Do đó
.
= + (cid:0) + + A a b 2 ab b a
(
) 2
v i ớ
ấ ẳ
ứ
Cách 2 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :
2
(cid:0) = (cid:0) bx y (cid:0) (cid:0) ab + = + = (cid:0) 1 min A a b (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � � y = + a = + b ab (cid:0) ay x a b � � y x > x, y 0 (cid:0) (cid:0)
(
)
.
2 � � �
ừ
ấ ủ
ượ
ị
ỏ c giá tr nh nh t c a A.
= + = + + = + (cid:0) A (x y).1 (x y) x. y. a b a x a x b y � � � b + � � � y � � �
T đó tìm đ 136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz 2 xyz(x y z)
ẳ
ạ
min A = 2 khi ch ng h n y = z = 1 , x =
+ + = (cid:0) 2
2 1.
ấ ẳ
ứ
.
137. Theo b t đ ng th c Cauchy :
+ = (cid:0) 2 2y yz x xy yz . x z
ươ
ự
T
ng t
:
. Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2.
ớ min A = 1 v i x = y = z =
.
+ + (cid:0) (cid:0) 2z ; 2x yz x zx y zx y xy z xy z
2
2
2
1 3
ậ
ấ ẳ
ứ
. Theo b t đ ng th c Cauchy :
138. Theo bài t p 24 :
+ + (cid:0) x + x y z + z x + + x y z 2
+ + xy zx (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) xy ; yz ; zx nên y + y z + y z 2 + x y 2 + z x 2 x+y+z 2 yz 2 1 = . 2
min A =
.
= = = � y z x 1 2 1 3
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
15
2 =
(
)
(
)
(
)
.
139. a)
= + + + + (cid:0) - (cid:0) A a b a b a b 2a 2b 2
4
4
(cid:0) = (cid:0) b = ��(cid:0) max A 2 = = b a (cid:0) 1 2 (cid:0)
)
(
b) Ta có : (
4
4
2
2
2
2
+ + + + 2 (cid:0) - a + = a b 1 ) 4 = a b a b 2(a a b b
4
4
2
2
2
2
+ + + + + + (cid:0) (cid:0) a c 2(a c 6ac) ; 2(a d 6ad) a d
ươ
ự
T
ng t
:
4
2
2
+ + + + + + (cid:0) (cid:0) + 2 ( ( 6ab) ) ) b c 2(b c 6bc) ; b 2(b d 6bd) d
( ( ( (
) ) ) )
+ + + (cid:0) c d 2(c d 6cd)
Suy ra : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ 6 =
x
y
y
x
+ x y
4
(cid:0) = = (cid:0) d = ��(cid:0) max B 6 = = = = c b d a (cid:0) 1 4 (cid:0) a c b + + + = a b c d 1
ớ
ả ử
s a + b ≥ c + d. T gi
t suy ra :
140. 141. Không m t tính t ng quát, gi
.
+ = = = (cid:0) = A 3 2 3 2. 3 18 2. 3 .3 ổ 3 ấ
. min A = 18 v i x = y = 2. ế ừ ả thi + + + a b c d 2
+ (cid:0) b c
ặ
ớ
+ = = - - (cid:0) - - A c + a b + + + a b c d + 2(c d) + c d + c d + c d + a b c + c d c + a b + b c + c d � � � � � � � � � � � �
(cid:0) - (cid:0) - 2. 2 A y = x y x 1 2 x y - = . 2y x 1 2 1 2 b + c d Đ t a + b = x ; c + d = y v i x ≥ y > 0, ta có : + x y 2y y - + y y = x � x + � 2y � � � �
ạ
= + - � � ; ch ng h n khi ẳ = d min A 2 = 0 , x y 2 , b c + a d x 1 + - + 1 2y 2 1 2 = = - a + 2 1, b = 2 1,c = 2,d 0
142. a)
+ 2 - - ( x = 2 3)
ế ư ề
ố
ố . Đáp s : x = 3. 2 + 8)(x2 – 8x + 8) = 0. Đáp s : x = 4 + 2
ả ớ
ệ
ế
ế
ơ
. V ph i l n h n v trái. Vô nghi m.
(x 3) ươ 0 ng hai v , đ a v : (x 2 .
ươ
ế
ố
. Bình ph
ng hai v . Đáp s : x = 1.
b) Bình ph ố c) Đáp s : x = 20. + - = + d) x 1 x 1 2 ế ể e) Chuy n v :
ươ
ố
ế ng hai v . Đáp s :
≤ x ≤ 1
g) Bình ph
- - x 1
ư ề ạ
ấ ẳ
ứ
ế
= 1. Chú ý đ n b t đ ng th c :
h) Đ t ặ
ượ
ố
. Tìm đ
- + - y 3 - = + x 2 x 1 1 1 2 = y. Đ a v d ng x 2- - + - y 2 = (cid:0) y 2 3 y - + - y 2 3 y 1
ế
ạ
ồ
ươ
ng hai v . Đáp : x = 0 (chú ý lo i x =
)
, r i bình ph
ế ể i) Chuy n v :
c 2 ≤ y ≤ 3. Đáp s : 6 ≤ x ≤ 11. 16 25
.
k) Đáp s : ố
+ - x 1 x = - 1 x
ề
ệ
ặ
l) Đi u ki n : x ≥ 1 ho c x = 1. Bình ph
2
16 25
.
ươ
Bình ph
ế ng hai v : 8(x + 1)
(x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = 0
ế ồ ươ ọ ng hai v r i rút g n : + + = 2 2 2(x 1) (x 3)(x 1) 2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 (cid:0)
- - x 1
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
16
ệ
ạ
lo i. Nghi m là : x = ± 1.
ơ
ớ
ớ
ệ
= - x
ệ
ế ề
ươ
ệ
ng trình vô nghi m. ệ ng hai v , xu t hi n đi u ki n x ≤ 1. Nghi m là : x = 1. ế ằ ặ ằ
ề ỏ ơ
ươ ệ ả
ặ ằ
ấ ế
ớ
ế ươ
ỏ
ng trình. + =
25 7 ơ ế
(1). Ta có :
ả ế m) V trái l n h n x, v ph i không l n h n x. Ph n) Đi u ki n : x ≥ 1. Bình ph ơ o) Do x ≥ 1 nên v trái l n h n ho c b ng 2, v ph i nh h n ho c b ng 2. Suy ra hai v b ng 2, khi đó x = 1, th a mãn ph p) Đ t ặ
. Suy ra y – z = 1.
+ + + - y ; 2x 2 + = x 2 2x 3 x 2 2 + z + = + = + 2 + - 1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2
ố
T đó ừ
c x. Đáp s : x = 2 (chú ý lo i x = 1). +
ạ =
ươ
ng trình là :
. Bình ph
ế ng hai v
= y ừ x 2 z
ặ q) Đ t 2x
ọ
ượ
ặ
ố
ồ r i rút g n ta đ
c : b = 0 ho c b = a. Đáp s :
ươ 1 2
z + (2). T (1) và (2) tính đ ượ 2 – 9x + 4 = a ≥ 0 ; 2x – 1 ≥ b ≥ 0. Ph + a 15b 3 b a
(
)
.
144. Ta có :
(
)
) + - k 1
2 k 2 = > = = 2 + - k 1 k + ; 5 ( + + + - k 1 ) ( 1 k 2 2 k k + k 1 k 1 k k
ậ V y :
=
+ > + - - 1 + + ... - + 2( 2 1) 2( 3 + 2) 2( 4 + + 3) + - ... 2( n 1 n ) 1 2 1 3 1 n
= 2( n 1 1) i d u căn v d ng các bình ph
ng đúng. M = 2
ư ụ
ể ứ ở ẫ ừ
ạ
ứ ướ ấ m u t ng h ng t
ề ạ ả ử ế . K t qu : A =
(đpcm). ươ n 1.
150. Đ a các bi u th c d 151. Tr c căn th c 1
+ -
.
152. Ta có :
ả
ứ
ằ
ả
= - � + ( a + a 1) = - P + ( 2 + 2n 1) - a + a 1
ứ
153. Ta hãy ch ng minh :
ứ P không ph i là s h u t (ch ng minh b ng ph n ch ng). 1 + n 1
ố ữ ỉ 1 n
= - =� A + 9 10
.
154.
+ + + > = 1 + + ... .n n 1 2 1 3 1 4
ế
ặ
ổ
155. Ta có a + 1 = 17 . Bi n đ i đa th c trong ngo c thành t ng các lũy th a c s a + 1
ừ ơ ố A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 225 17 34 17 1)2000 = 1.
1 + + (n 1) n 1 n ổ n n 1 1 n ứ
ổ
.
ế 156. Bi n đ i :
2
2
1 1 - = - - - a - = a 1 ; a 2 a 3 + - - a a 1 a 3
.
157.
- - - (cid:0) x - + + - 2 x x x + = x x x 0 1 + = x 2 1 4 1 4 1 2 1 � � � + � � � 2 � � �
ể
ấ
ả
ồ
ờ
D u “ = “ không x y ra vì không th có đ ng th i :
2
= và x x 1 2 - + a 2 2 � � � 1 = . 2
ướ ế
168. Tr
2 b )
ứ c h t ta ch ng minh : =
(*) (a + b ≥ 0) =
+ + (cid:0) a b 2(a
ụ
Áp d ng (*) ta có :
- (cid:0) - + x 1 S 2 - + - 2(x 1 y 2) y 2
ụ
ứ
ồ
2 r i áp d ng b t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ
ể * Có th tính S
(cid:0) = x (cid:0) - = - (cid:0) (cid:0) x 1 y 2 (cid:0) max S = �� 2 (cid:0) + = (cid:0) x y 4 (cid:0) = y (cid:0) (cid:0) 3 2 5 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
17
ả
ễ ấ
ứ
ể
. Ta có :
180. Ta ph i có
(cid:0) A (cid:0) ≤ 3 . D th y A > 0. Ta xét bi u th c :
2
2
2
= - B 3 x = - 2 1 A
- - - - - - - � � 0 3 x � � 3 3 3 x � � 0 2 3 � 2 3 x � . 2
2
. Khi đó
(cid:0)
1 = - max A = + 2 3 � � = - min B 2 3 = 3 3 x = x 0 - 2 3
ấ ẳ
ụ
ứ
ể
ể
. Khi đó :
ứ 181. Đ áp d ng b t đ ng th c Cauchy, ta xét bi u th c :
ả
Gi
i (1) : 2x
2 = (1 – x)2 (cid:0)
(cid:0) x 2 (cid:0) = (cid:0) 1 – x (cid:0) . Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x (cid:0)
(cid:0) = = 2 - � � � . Khi đó min A = max B 2 3 x 0 3 = x 1 2 - = + B - 2x 1 x 1 x x - (cid:0) = - (cid:0) (1) = = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) B 2 2 2 . B 2 2 1 x x - 2x 1 x . 1 x x (cid:0) < < (cid:0) 2x 1 x 0 x 1 (2)
x =
.
ư ậ
Nh v y min B = 2
= - (cid:0) 2 1
ờ
ệ
Bây gi
ta xét hi u :
Do đó min A = 2 2 + 3 khi và ch khi x =
x = 2 1. - + 2 2x 1 1 x + x 1 x ỉ 2 1. ả
ệ
ề
ấ ẳ
ộ ổ
ứ
2
- - = + = - - = A B 2 1 3 - - - 1 x 2x + 1 x 1 + 2 1 2 (cid:0) 1 x � = � x � 2 � + � 1 x � � � � � � �
ấ ẳ
ộ ổ
Ở
ứ
ố
đây ta mu n làm tăng m t t ng. Ta dùng b t đ ng th c :
.
2 b )
182. a) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm gi m m t t ng : + a b 2
(cid:0) + ab + (cid:0) a b 2(a
= = - (cid:0) A - + x 1 y 2 2
ấ ẳ
ứ
ồ
- = - x 1 y 2 max A 2 + = 2,5 4 x y - + - 2(x 1 y 3) = x 1,5 � � = y �
� = ��� � Cách khác : Xét A2 r i dùng b t đ ng th c Cauchy.
ấ ẳ
ứ
ề
ệ
ộ
ộ
b) Đi u ki n : x ≥ 1 , y ≥ 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm tr i m t tích :
ứ
ể
Ta xem các bi u th c
là các tích :
(cid:0) ab + a b 2 - 2(y 2) - = - - - x 1 , y 2 - = x 1 1.(x 1) , y 2 2
ấ ẳ
ứ
Theo b t đ ng th c Cauchy :
+ - - - = = (cid:0)
- - 1.(x 1) x 2.(y 2) = = = (cid:0) x 1 x y 2 y y 2 1 2 2
+ 2 2 2 = max B - = x 1 1 - = y 2 2 4 4 1 = + 2 2 4 1 1 x 1 2 2x + - 2 y 2 2y 2 � ��� � 2 4 = x � � = y �
. Ta th y ấ
183.
Nên a < b.
ớ
ớ
v i x = ±
184. a) min A = 5 2 6 v i x = 0. max A =
= = + < + , b a 1997 1996 1998 1997 1 + 1 + 1997 1996 1998 1997
ớ
6 .
b) min B = 0 v i x = 1 ±
1 5 ớ 5 . max B = 5 v i x = 1
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
18
2
.
185. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì
2 x (1 x )
2
2
ấ
ấ
ớ
ớ
2
+ - x = - (cid:0) A 1 2 (cid:0) = - 1 x x = = ��(cid:0) max A x 1 2 (cid:0) x
2 (1 x ) = 2 2 > 2 0 186. A = (cid:0) x – y (cid:0) ≥ 0, do đó A l n nh t khi và chi khi A 2 l n nh t. Theo bđt Bunhiacôpxki : 2 � � � + + 2 1 (x � � � � � �
= 2 = - - (cid:0) (x y) = 2 4y ) .2y A 1 4 1 2 5 4 � 1.x � �
ho c ặ
ị ớ
ừ ả
ế
ấ : T gi
thi
t :
187. a) Tìm giá tr l n nh t
2
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) = - = (cid:0) (cid:0) x (cid:0) 2 5 5 2 5 5 (cid:0) � � max A = 5 2 (cid:0) 1 2 2 + = = = - (cid:0) 2y = -� x � � 2 x 4y 1 x � � � y y (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 5 10 5 10
3
3
2
2
2
3
3
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0 x 1 x + + = � � x y � x y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � 0 y 1 (cid:0) y
3
2
(cid:0) x � y = (cid:0) x x = = = = = ��(cid:0) max A 1 x 0, y 1 V x 1, y 0 = (cid:0) (cid:0) y y
ị
ỏ
ấ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 (cid:0)
x + y ≤
. Do đó :
3
3
(cid:0) 2 1 + x y 2
)
b) Tìm giá tr nh nh t (
) (
3
3
ấ ẳ
ứ . Theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki :
2
2
2
2
2
3
3
3
3
+ x y + x y + (cid:0) x y 2
)
(
)
+ + = + + + (cid:0)
)
)
)
(
(
(
3 x . x
3 y . y
= (x2 + y2) = 1
( �� �� � �
(x y )(x y) x y x y � � � � � �
= � min A = = y x 2 2
188. Đ t ặ
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.
= 1 2 = , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1. x a ; y b
ặ a = 0 ho c b = 0
x = 0 ho c x = 1, y = 0.
2 = -
(cid:0)
Ta có
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 (cid:0) + 1 (a b) � � � � ab 4 4
ặ 1 4
ề
ệ
189. Đi u ki n : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :
= = (cid:0) = ab 1 3ab . min A x y 1 4 1 4 1 4
- - - - - - + 1 x (x 1)(x 2) x 2 3 -
.
(cid:0) - - - - - - + 1 x (x 1)(x 2) = (x 1)(x 2) 1 x = - 3 8
ọ
ậ
ớ
ị
x 1 = x 2 - = � 3 ớ � ươ x ng trình xác đ nh v i
ươ
ặ
ạ
ọ
190. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 v i m i x. V y ph ị ủ m i giá tr c a x. Đ t
ng trình có d ng :
2x
y2 y 2 12 = 0 (cid:0)
(y 3 2 )(y + 2 2 ) = 0 (cid:0)
+ + = y ≥ 0, ph 2x 3 (cid:0) = (cid:0) y 3 2 = - (cid:0) (cid:0) (cid:0) y 2 2 (loai vì y 0
Do đó
x2 + 2x + 3 = 18 (cid:0)
(x – 3)(x + 5) = 0 (cid:0)
x = 3 ; x = 5 .
2x
+ + = 3 2 (cid:0) 2x 3
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
19
191. Ta có :
= = - - k. k 1 + (k 1)k 1 + k 1 1 + k 1 1 + k 1 1 � � k � 1 � � + = k � � k � � 1 �� �� k �� � � �
. Do đó :
=
< + - - 2 1 + k 1 1 + (k 1) k 1 + k 1 k + k 1 � � � 1 � � k � � . � � 1 + (k 1) k �� 1 �� k � � � 1 � �
ậ V y :
< + + - - - + + ... 2 ... 2 1 2 1 4 3 1 + (n 1) n 1 2 1 + n 1 � 2 1 � � � + � � 1 � � n � � � � � 1 � 2 � � 1 + + � 3 �
=
(đpcm).
- 2 � 2 1 � � 1 3 2 1 � < �+ n 1 �
ấ ẳ
ứ
192. Dùng b t đ ng th c Cauchy
ặ
193. Đ t x – y = a ,
Q .
ế
a) N u b = 0 thì x = y = 0, do đó
> 1 ab
ế
b) N u b ≠ 0 thì
Q (2).
x , y (cid:0) - = - � � = y x 2 + (a, b > 0 ; a ≠ 0). a b x + y = b (1) thì a, b (cid:0) Q . a b a b y x y + x
ừ
T (1) và (2) :
.
2
2
2
2
2
= = - � � x Q ; y b Q b 1 2 a � � � � b � �
+ a � � + � � b � � + + 1 2 = -
)
) (
(
. Do đó :
ậ 199. Nh n xét :
2
2
2
2
x a x a x x a
2
+ + + -
)
) (
(
2
2
2
2
x a x x a x + + + + 5 �
)
)
(
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2 x x a (1) 2 x x a 5a + 2 �� x x
Do a ≠ 0 nên :
. Suy ra :
+ + a + = x x a + > x x x + (cid:0) x 0 x a
2
2
2
2
2
2
(cid:0) (cid:0) x x (cid:0) + a + > , (cid:0) x. 0 0 > + (cid:0) (cid:0) x
)
2 x
( (cid:0)+� � + - a x 5
ậ
Vì v y : (1)
2
2
a x 5x 3 x a (cid:0) (cid:0) 0 2 (cid:0) + (cid:0) (cid:0) 25x 9x 9a (cid:0)
.
2
ướ ế
ượ
c h t tính x theo a đ
. Sau đó tính
c ượ
đ
c
.
207. c) Tr
ự
ng t
ố
(cid:0) (cid:0) x 0 (cid:0) x a (cid:0)� (cid:0) 3 4 < (cid:0) x 0 a (cid:0) 3 4 - = x 1 x+ - - 1 2 a(1 a)
2
1 2a 2 a(1 a) ố Đáp s : B = 1. d) Ta có a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). T ươ : b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp s : M = 0.
ọ ế
ứ
ề
ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh.
208. G i v trái là A > 0. Ta có
nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 +
209. Ta có : a + b = 1 , ab =
= A + 2x 4 x
1 4 1 2 3 = . 2
a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 =
; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 1
= - 9 4 1 - = 9 17 8 3 4 7 4
) 1
Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) =
.
2
- - - 7 17 . 4 8 239 64 1 � � ( - = - � � 64 � �
.
210. a)
= = - 2 - - a ( 2 1) = 3 2 2 9 8
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
3
20
ớ
ể
N
ẻ
2 – 2B2 = 1 (2).
thì A
= = 3 - = - + - - a ( 2 1) 49 50 (cid:0) - = . 2 2 6 3 2 1 5 2 7 : (1 2 )n = A B 2 ; (1 + 2 )n = A + B 2 v i A, B
ờ
2
2
ề
ệ
. Đi u ki n
ỏ
2 – 2b2 = 1 (1). N u n l n. Có hai tr ườ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = A B 2 = c th a mãn do (1).
2
2
ẻ
ề
ệ
. Đi u ki n
- 2B A
ỏ
c th a mãn do (2).
ươ
ng trình đã cho : 2
b) Theo khai tri n Newton Suy ra : A2 – 2B2 = (A + B 2 )(A B 2 ) = [(1 + 2 )(1 2 )]n = ( 1)n. ế ẵ ế N u n ch n thì A ợ ng h p : ta xét a Bây gi ẵ ế * N u n ch n thì A2 – 2B2 = 1 đ ượ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = B 2 A = ế * N u n l thì 2B2 – A2 = 1 đ ượ 211. Thay a = 2 vào ph
A- 2B
2 (b + 2) = (2a + c).
ữ ỉ
ả
ươ
Do a, b, c h u t nên ph i có b + 2 = 0 do đó 2a + c = 0. Thay b = 2 , c = 2a vào ph
ng trình đã cho :
x3 + ax2 – 2x – 2a = 0 (cid:0) ệ
ươ
Các nghi m ph
x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = 0 (cid:0) ng trình đã cho là: ±
(x2 – 2)(x + a) = 0. 2 và a.
2 + 2a + b 2 + c = 0 (cid:0)
.
212. Đ t ặ
= + A + + ... 1 3 1 n
> -
ủ
ứ a) Ch ng minh
1 2 A 2 n 3
.
: (
)
= 2 k
ả 2 +
k k
)
: Làm gi m m i s h ng c a A 1 k > A 2
+ + - > ) + - + - k 1 (
ỗ ố ạ 2 + + k 1 ( + 3
( � �
= k ) + + - 4 ... 3 n = n 1 � �
Do đó (
.
+ - + - > = - + 2 ) = + - n 1 > 2 n 1 2 2 2 n 1 3 2 n 3 2 2
-
ủ
ứ b) Ch ng minh
< A 2 n 2
(
)
2 = - - k + - k 1 k k
(
(
.
Do đó :
= - - - - - 2 ) k 1 ) < k ) + + ... n 1 + 2 3 n 2 1 2 n 2 < A 2
ộ ỗ ố ạ : Làm tr i m i s h ng c a A : 2 1 = + k ( � �
ấ
có n d u căn. Ta có :
213. Kí hi u ệ
� �
na
= + + + + 6 6
1
2
1
3
2
100
99
ư ậ
100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.
ự ế
6 ... < 6 + = = < = = < + = = < 6 3 a 6 3 ; a + 6 a 3 ; a + 6 a 6 3 3 ... a + 6 a + = Hi nể 3 6 3
nhiên a100 > 6 > 2. Nh v y 2 < a 2 = (2 + 3 )2 = 7 + 4 3 . ậ
2 ] = 13.
214. a) Cách 1 (tính tr c ti p) : a nên 6 < 4 3 < 7 (cid:0) Ta có 4 3 ặ ế Cách 2 (tính gián ti p) : Đ t x = (2 +
ể
ứ Xét bi u th c y = (2
13 < a2 < 14. V y [ a 3 )2 thì x = 7 + 4 3 . 3 )2 thì y = 7 4 3 . Suy ra x + y = 14.
ễ ấ
ứ
D th y 0 < 2
ứ
ậ
= 48
2 ] = 13.
ố
3 < 1 nên 0 < (2 3 )2 < 1, t c là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14. V y [ x ] = 13 t c là [ a
ố ữ ỉ
ườ
ợ ng h p :
b) Đáp s : [ a ặ 215. Đ t x – y = a ;
+ y b
ế
ố ữ ỉ
ừ
là s h u t (2). T (1) và (2) ta có :
a) N u b ≠ 0 thì
3 ] = 51. x x y + x
- = - � = y x = (1) thì a và b là s h u t . Xét hai tr a b a b y
ố ữ ỉ là s h u t ;
ố ữ ỉ là s h u t .
= = x y 1 2 1 2 a � � +� � b b � � a � � -� � b b � �
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ể
ế
b) N u b = 0 thì x = y = 0, hi n nhiên
ố ữ ỉ x , y là s h u t .
21
216. Ta có
= = - - n 1 + n 1 1 + n 1 1 � � n � 1 � � + = n � � n � � 1 �� �� n �� 1 � = � + n 1 �
ừ
. T đó ta gi
c bài toán.
ả ượ i đ
+ = - -
ố ự
ằ
ố
s trong 25 s t
ứ ấ
ổ
1 � � < 2 � � n � � � � � 1 + (n 1) n � 1 � � 1 + n 1 ả ử 1 + n 1 nhiên đã cho, không có hai s nào b ng nhau.
ạ
ế
(1). Ta l
i có :
a25 ≥ 25. Th thì :
ả ử 1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , … 1 2
2
1
+ + + + + + (cid:0) .... .... 1 25 1 1 1 a n + n(n 1) �� 1 n �� + n n 1 � � ứ ả ằ 217. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi Không m t tính t ng quát, gi s a 1 a 1 a
25 1 1
+ + + + + + + = .... + < 1 .... 2 + 2 + 2 + 24 24 2 2 25 1 25 1 2
) + = 1
+ = + + + < - - - 25 ( + 24 24 + + 23 .... 2 1 25 .... 1 24 2 + 2 + 2 24 24 23 23
(2)
2 = - 2 + ( 1 2 ) + = 1 25 1 9 2
ớ
ả
ế
ậ ồ ạ
ố ằ
ừ
thi
t. V y t n t
i hai s b ng nhau trong 25
T (1) và (2) suy ra :
1
2
25
s aố 1 , a2 , … , a25.
+ + + .... 9 < , trái v i gi 1 a 1 a 1 a
ề
ệ
ặ
.
218. Đi u ki n : 0 ≤ x ≤ 4. Đ t
ươ
, a2 + b2 = 4. Ph
ng trình là :
Ta có : ab = 4 x-
+ - 2 x = (cid:0) a = (cid:0) x 0 ; 2 2 b 0 2 = + 2 - b 2 b (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
ươ
ượ
Bình ph
ng : a
2 + b2 – 2ab = 2 (cid:0)
2ab = 2 (cid:0)
ab = 1 (cid:0)
= 1. Tìm đ
4 x-
(cid:0) a + 2 a a2 2 a2b + b2 2 + ab2 = 2 (2 b 2 + a 2 ab) 2 (a2 + b2 – 2 + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) 2 (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a – b = 2 (do ab + 2 ≠ 0)
ề
ệ
ươ
ế ồ
ọ
ng hai v r i thu g n :
.
219. Đi u ki n : 0 < x ≤ 1 , a ≥ 0. Bình ph
c x = 3 . a 1 + a 1
ớ
ươ
ế
ố
ượ
V i a ≥ 1, bình ph
ng hai v , cu i cùng đ
c : x =
.
- = 2 - 1 x
ấ ẳ
ứ
ề
ệ
ỏ
Đi u ki n x ≤ 1 th a mãn (theo b t đ ng th c Cauchy).
ế
ệ
ậ
ớ
K t lu n : Nghi m là x =
. V i a ≥ 1.
2 a a 1+
ế
ươ
ể
ng t
220. N u x = 0 thì y = 0, z = 0. T
2 a a 1+ ế
ừ ệ ươ
T h ph
ng trình đã cho ta có :
.
ự ố ớ đ i v i y và z. N u xyz ≠ 0, hi n nhiên x, y, z > 0 2y + 1 y
= = (cid:0) y x 2y 2 y
ươ
ả
ấ
ở
ấ ẳ
ứ
ớ
. Suy ra x = y = z. X y ra d u “ = ”
các b t đ ng th c trên v i x = y = z
ự ng t ế
(cid:0) (cid:0) z ; x
ể ứ
ỉ ầ
ố
và A + B là
ặ 221. a) Đ t A = (8 + 3
y ậ z T ệ = 1. K t lu n : Hai nghi m (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1).
7
ễ ấ
ố ự s t nhiên. ọ Ch n B = (8 3
7 )7. Đ ch ng minh bài toán, ch c n tìm s B sao cho 0 < B < 1 10
7 )7. D th y B > 0 vì 8 > 3 7 . Ta có 8 + 3 7 > 10 suy ra :
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
22
(
) 7 <
7
7
7
(
)
1 < - � 8 3 7 1 10 1 10 + 8 3 7
ạ
ớ
i có : A = (8 + 3
N.
ố ự
nhiên.
ể Theo khai tri n Newton ta l B = (8 3 7 )7 = a b 7 . Suy ra A + B = 2a là s t
(cid:0) 7 )7 = a + b 7 v i a, b
ố ự
ề
ấ
ẩ
ả
Do
và A + B là s t
ữ ố nhiên nên A có b y ch s 9 li n sau d u ph y.
7
ả ươ i t ấ
nh câu a. ố
ươ
ươ
ế
ố
ng thì
nhiên, n u n khác s chính ph
ng thì
< < 0 B 1 10
ớ
ộ ố
ứ
ấ
ằ
ớ
ố n là s vô n nh t.ấ n l n ầ
ấ ằ ậ
ố
ị
ẽ ứ ấ
ẽ ứ
ươ
Chú ý : 10 7 = 0,0000001. ự ư b) Gi ng t ớ 222. Ta th y v i n là s chính ph n không có d ng ạ ỉ t , nên Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … thì a ượ l
ố ự ỗ ố (cid:0) N* có duy nh t m t s nguyên a n g n ầ ....,5 . Do đó ng v i m i s n ằ ằ n b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta s ch ng minh r ng a ng trình :
ố t nh n các giá tr : hai s 1, b n s 2, sáu s 3… Nói cách khác ta s ch ng minh b t ph
ệ
ự
có hai nghi m t
nhiên.
n là s t
ệ
ố
ự
có b n nghi m t
nhiên.
1 < + x 1
ệ
ự
có sáu nghi m t
nhiên.
2 < + x 2
ố ố 1 - < 2 1 - < 2 1 - < 2
ệ
ự
ấ ẳ
ậ ậ
ứ ươ
ươ
ổ
có 2k nghi m t
nhiên. Th t v y, b t đ ng th c t
ng đ
ớ ng v i : k
2 –
T ng quát :
3 < + x 3 1 2 1 2 1 2
ấ
ươ
ệ
ự
k +
< x < k2 + k +
. Rõ ràng b t ph
ng trình này có 2k nghi m t
nhiên là : k
2 – k + 1 ; k2 – k + 2 ;
k < + x k 1 - < 2 1 2
… ; k2 + k. Do đó :
1 4 1 4
.
ng t
ả ươ i t
ậ
n ] = 1.
n ] = 2.
b) 2 ≤ an ≤ 3. V y [ a
2 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116.
ự bài 24. 223. Gi ậ a) 1 < an < 2. V y [ a ấ c) Ta th y : 44
a1 = 1996 = 44 < a1 < 45.
ỏ ớ
v i n ≥ 2 thì 45 < a
n < 46. ớ
n ] = 44, v i n ≥ 2 thì [ a
n ] = 45.
ố ự
ể ượ
ả
ộ
ố ự
nhiên B sao cho B ≤ A < B + 1. Làm gi m và làm tr i A đ đ
c hai s t
nhiên liên
ứ Hãy ch ng t ư ậ ớ Nh v y v i n = 1 thì [ a ầ 224. C n tìm s t ti p.ế
Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 (cid:0)
4n + 1 <
1 + = + + ... + + ... = 2.44 88 1 a 1 1 a 2 a 1980 1 1 1 1 + + + 2 2 2 2 1 44 2 4 43 4 soá � � � � 1 1 � � + + � � � 1 1 { � � � � � � 2 soá � � � � 1 1 1 + + + ... � � 44 44 44 1 4 44 2 4 4 43 � � � � 88 soá � � = � � �
+ < 4n + 2 + 216n 8n 3
4n2 + 4n + 1 < 4n2 +
(cid:0) + < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4
(2n + 1)2 < 4n2 +
ậ
ấ
ậ
ể ứ
ệ
ề
ỉ
(1).
L y căn b c hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. V y [ A ] = 2n + 1. ỏ ố 225. Đ ch ng minh bài toán, ta ch ra s y th a mãn hai đi u ki n : 0 < y < 0,1 ộ ố ự
ằ
ậ
nhiên có t n cùng b ng 2
x + y là m t s t
(2).
(cid:0) + < (2n + 2)2. + 216n 8n 3 + 216n 8n 3
ề
ệ
ượ
ứ
ọ Ta ch n y =
< 0,3 nên 0 < y < 0,1. Đi u ki n (1) đ
c ch ng minh.
. Ta có 0 < 3
ờ
( ứ
ậ
ằ
Bây gi
100
- - 2 3 2
100 +
) 200 ộ ố ự ta ch ng minh x + y là m t s t ) 200 + =
(
nhiên có t n cùng b ng 2. Ta có : ( 200 = +
(
)
)
(
)
.
+ - - x y 2 3 + 5 2 6 2 3 5 2 6
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ể
ứ ổ Xét bi u th c t ng quát S
n = an + bn v i a = 5 + 2 ớ
23
ổ
ằ
ằ
Sn = (5 + 2 6 )n = (5 2 6 )n ệ
ươ
ủ
ứ
ng trình X
2 10X + 1 = 0, t c là : a
2 = 10a
A và b có t ng b ng 10, tích b ng 1 nên chúng là nghi m c a ph – 1 (3) ; b2 = 10b – 1 (4). Nhân (3) v i aớ n , nhân (4) v i bớ n : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn.
Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn),
ứ t c là S
Sn+1 (mod 10)
n+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 (cid:0) Sn+2 (cid:0)
Do đó Sn+4 (cid:0)
Sn (mod 10) (5)
ừ
ứ
ằ
ổ
2 , S3 , … , Sn là s t
nhiên, và S ệ ề
ậ ừ
ượ
ứ
ậ
ề
ả
ằ nhiên có t n cùng b ng 2. Đi u ki n (2) đ
0 , S4 , S8 , … , S100 có t n cùng b ng 2, t c là t ng x c ch ng minh. T (1) và (2) suy ra đi u ph i
ứ
Ta có S0 = (5 + 2 6 )0 + (5 2 6 )0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2 6 ) + (5 2 6 ) = 10. ố ự ứ T công th c (5) ta có S ộ ố ự + y là m t s t ch ng minh.
250
125
6 , b = 5 2 6 .
ữ ố ậ
ủ
ầ
ằ
)
(
)
. Ph n nguyên c a nó có ch s t n cùng b ng 9.
ổ ( ế 226. Bi n đ i
ự
(Gi
ả ươ i t
ng t
bài 36)
227. Ta có :
+ = + 3 2 5 2 6
(
(
)
(
)
)
ư
ố
ố ộ
ố ằ
ằ
ằ
ộ
ố
ố
ố
ộ
ộ
) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ố ố Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm 1 có 3 s , nhóm 2 có 5 s , nhóm 3 có 7 s , nhóm 4 có 9 s . Các s ằ thu c nhóm 1 b ng 1, các s thu c nhóm 2 b ng 2, các s thu c nhóm 3 b ng 3, các s thu c nhóm 4 b ng 4.
ậ
ế
ướ ạ
ấ ẳ
ứ
ụ
t A d
ố .(3 – x). Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s
i d ng : A = 4.
.
228. a) Xét 0 ≤ x ≤ 3. Vi
+ = + + + + 3 A 1 ... + + ... + + ... + + ... 24 16 15 4 8 9
V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 2 2 x x 2 2
ượ
.(3 – x) ≤
.
không âm
,
, (3 – x) ta đ
c :
3 � � � � �
+ + - 3 x = 1 . x 2 x 2 x 2 x 2 3
Do đó A ≤ 4 (1)
� � � � �
= -
3 x
=
maxA 4
��(cid:0)
= x 2
ế
ế
ậ
b) Xét x > 3, khi đó A ≤ 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đ n k t lu n
(cid:0) (cid:0)
x 2 x 0
ụ
ế
ẳ
ượ
ằ ng hai v , áp d ng h ng đ ng th c (a + b)
3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta đ
c :
. 229. a) L p ph
3
ươ + + - +
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
x = 1 ; x = 7 (th a)ỏ
ậ + x 1 7 x 3. (x 1)(7 x).2 8
= = - - + (x 1)(7 x) 0
ứ � + =
ệ
ề
ặ 3 x 2 y ; x 1 z
b) Đi u ki n : x ≥ 1 (1). Đ t
. Khi đó x – 2 = y2 ; x + 1 = z2 + =
- =
2 z
ươ
ượ ư ề ệ
nên z2 – y3 = 3. Ph
ng trình đã cho đ
c đ a v h :
ừ
(2) : z = 3 – y. Thay vào (3) : y
y = 1
3 – y2 + 6y – 6 = 0 (cid:0) ế
(y – 1)(y2 + 6) = 0 (cid:0) ậ
ỏ
ỏ
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) y z 3 (2) = 3 y 3 (3) (cid:0) (cid:0) z 0 (4) (cid:0)
ạ
ẳ
.
230. a) Có, ch ng h n :
Rút z t Suy ra z = 2, th a mãn (4). T đó x = 3, th a mãn (1). K t lu n : x = 3. 1 2
ừ 1 2
4
= + 2
ố ữ ỉ ươ
ươ
ế
ả ử ồ ạ s t n t
i các s h u t d
ng a, b mà
ng hai v :
b) Không. Gi
+ = 2
.
ươ
ế
Bình ph
ng 2 v : 4ab = 2 + (a + b)
+ + b = - a b 2 ab 2 �
. Bình ph a + 2 ab 2 (a b) 2(a + b) 2 = 2 + (a + b)2 – 4ab
= 2 – 2(a + b) 2 (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
ố ữ ỉ ế
ế
ả
ẩ
ỉ
ố V ph i là s h u t , v trái là s vô t (vì a + b ≠ 0), mâu thu n.
ố ố
ả
ứ
ẫ
ả
ằ
s
(phân s t
i gi n). Suy ra 5 =
. Hãy ch ng minh r ng c m l n n
231. a) Gi
ố ữ ỉ ả ử 3 5 là s h u t
3 m 3 n
ế
ả
ế
ố ố
ề đ u chia h t cho 5, trái gi
thi
t
là phân s t
ả i gi n.
ố ố
ả
ả ử 3 s
(phân s t
i gi n). Suy ra :
b) Gi
24
3
3
3
3
2
3
3
3
4+ m n m n m n
ố ữ ỉ là s h u t )
32 ( 3 m 3 n Thay m = 2k (k (cid:0)
4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ra 3n3 chia h t cho 2
n3 chia
= + = + = + M 2 4 6 3. 8. = + 6 � m 6n 6mn (1) m 2 m 2 �� M m n (cid:0) 6m n Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 (cid:0)
ư ậ
ế
ế
ớ
ả
ế
ố ố
ế h t cho 2
n chia h t cho 2. Nh v y m và n cùng chia h t cho 2, trái v i gi
thi
t
là phân s t
ả i gi n.
ế m n
3
(cid:0)
ặ
ứ ầ
ấ ẳ
ứ
ươ
ươ
3 , b = y3 , c = z3. B t đ ng th c c n ch ng minh
t
ng đ
ng
232. Cách 1 : Đ t a = x
3 x
3 z
ứ
ẳ
ằ
v i ớ
x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Ta có h ng đ ng th c :
3 y 3
ậ
x3 + y3 + z3 – 3xyz =
(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2]. (bài t p sbt)
(cid:0) abc + + a b c 3 + + (cid:0) xyz hay
3
1 2
ư ậ
Do a, b, c ≥ 0 nên x, y, z ≥ 0, do đó x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0. Nh v y :
ả
ẳ
X y ra d u đ ng th c khi và ch khi a = b = c.
ướ ế
Cách 2 : Tr
ấ ấ ẳ +
ứ + + +
4
(cid:0) abc + + a b c 3
ỉ ố ố )
(
ứ + a b c d 1 a b c d 2
ứ
ượ
ấ ẳ Trong b t đ ng th c
, đ t ặ
ta đ
c :
ứ c h t ta ch ng minh b t đ ng th c Cauchy cho b n s không âm. Ta có : � � 2 � + + + a b c d 4
= + = + (cid:0) (cid:0) ab. cd ab cd abcd 4 2 � � � 1 2 4 = d abcd + + a b c 3 �(cid:0) � �
.
4 � � �
ố ươ
ườ
ằ
ộ
ợ
ượ
ứ
ế Chia hai v cho s d
ng
(tr
ố ng h p m t trong các s a, b, c b ng 0, bài toán đ
c ch ng minh)
3
.
:
+ + + a b c + + a b c 3 (cid:0) � abc. abc. + + a b c 3 + + a b c 3 + + a b c 3 4 � � � � � � 4 � � � � � � � � � �
3 � � �
ẳ
ả
ứ X y ra đ ng th c : a = b = c =
a = b = c = 1
(cid:0)
abc �۳ abc + + a b c 3 + + a b c 3 + + a b c 3 � � �
+ + a b c 3
ừ ả
ế
ấ ẳ
ứ
ụ
thi
t suy ra :
ố . Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s
233. T gi
+ + = (cid:0) - 1 d + b + a + 1 + a 1 a 1
ươ
ươ
ự
d
ng :
. T
ng t
:
+ (cid:0) (cid:0) 3. 3 c + b 1 c 1 d 1 c + d + 1 + b + + + + a 1 b 1 c 1 d 1 bcd + (b 1)(c 1)(d 1)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
25
(cid:0) 3. 3 + + 1 + b 1 acd + (a 1)(c 1)(d 1)
(cid:0) 3. 3 + + 1 + c 1 abd + (a 1)(b 1)(d 1)
ừ ố
ấ ẳ
ứ
(cid:0) 3. 3 + + 1 + d 1 abc + (a 1)(b 1)(c 1)
Nhân t
b n b t đ ng th c :
.
(cid:0) � 1 81abcd abcd 1 81
ấ ẳ
ứ
ụ
. Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :
234. G i ọ
2 y 2 z
2 z 2 x
2 x 2 y
= + + A
(1)
2 y 2 z
2 z 2 x
2 � x � 2 y �
= + + 3A x y z + + y z x � + + (cid:0) (1 1 1) � �
ấ ẳ
ụ
ứ
ớ
ố
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i ba s không âm :
2 � � � x y z y z x
. . 3. 3 = (2) 3 � � � x y z + + (cid:0) y z x
ừ
ớ
ế Nhân t ng v (1) v i (2) :
2 � � �
3
3
3
3
+ + (cid:0) + + A 3A x y z y z x x y z y z x x y z y z x � � � � � + +� 3 � � � �
ượ
3 – a3 , ta đ
c :
235. Đ t ặ
thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hi u bệ b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y)
Do (1), ta thay 24 b i 4(x
3 + b3), ta có :
ở b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > 0 (vì x > y > 0).
V y bậ
3 > a3 , do đó b > a.
ấ ẳ
ứ
ể
ớ
ớ
236. a) B t đ ng th c đúng v i n = 1. V i n ≥ 2, theo khai tri n Newton, ta có :
n
= + = - x 3 3 ; y 3 3
2 n
- - - - = + + 1 n. . . + + ... . 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 + 3 n n 2! 3! n(n 1)...2.1 1 n n n! 1 � �+ 1 � � n � �
<
+ + + + ... 1 1 1 1 + 2! 3! 1 n! � � �
ễ
ứ D dàng ch ng minh :
= + (cid:0) + + ... + + ... - 1 (n 1)n
=
6
+ 1 1 3 - 1 1 1 - + - + + ... 2 2 3 1 1 + 2! 3! 1 1 - = - < 1 n 1 n
ứ
ớ
)
ậ ậ (1). Th t v y, (1)
32 > 22.
3 3
n1 ) n ) 6 3 3
b) V i n = 2, ta ch ng minh
n
ớ
ứ
ậ ậ
(cid:0) (cid:0) > < ( (1 Do đó ( � � � 1 1 1 n! 1.2 2.3 1 n 2> 2
+ n(n 1)
+ n(n 1)
+ n 1
+ n 1
n
+ (2). Th t v y : n
V i n ≥ 3, ta ch ng minh (
+> n 1 (
(3)
) + n 1
n 1 � � + � � � 1 n � �
< < < < n 1 ) (2) � n � + n (n 1) n � n n + n (n 1) n n
ượ
ứ
Theo câu a ta có
, mà 3 ≤ n nên (3) đ
c ch ng minh.
ượ
n1 � �+ 1 � � n � � c ch ng minh.
Do đó (2) đ
2
2
ứ =
< 3
ớ
2 2 x 1
4 x
+ + + + (cid:0) A x 1 4
)
(
. min A = 2 v i x = 0.
237. Cách 1 :
ứ
ụ
ấ ẳ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy :
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
26
2 4 2 (x
2 x 1)(x
+ + - + + (cid:0) 2 (cid:0) A + 4 4 2 x x 1 2
min A = 2 v i x = 0.
ớ
ứ
ụ
2(x – 2). Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ấ ẳ
ố
ớ 238. V i x < 2 thì A ≥ 0 (1). V i 2 ≤ x ≤ 4, xét A = x ba s không âm :
= x 1) ớ
3 � � �
+ + - x 2 x x 2 2 = - - (cid:0) (cid:0) .(x 2) 8 A 4 x x . 2 2 3
3 � -� � 2x 2 = � � 3 � � �
ớ
A ≤ 32 (cid:0)
A ≥ 32. min A = 32 v i x = 4.
ệ
2 ≤ 9.
ề 239. Đi u ki n : x
� � � � �
2 9 x
2
4
2
2 x 2
2 (9 x ) 4
2 2 x x . 2 2
2 � x � 2 � � � �
3 � � = � � � �
ớ
max A = 6 3 v i x = ±
+ - + = = - - (cid:0) A x (9 x ) 4. 4.27 3
ị ớ
240. a) Tìm giá tr l n nh t : ớ Cách 1 : V i 0 ≤ x <
ấ 6 thì A = x(x2 – 6) ≤ 0.
ớ
6 ≤ x2 ≤ 9 (cid:0)
0 ≤ x2 – 6 ≤ 3.
6 .
V i x ≥ Suy ra x(x2 – 6) ≤ 9. max A = 9 v i x = 3. Cách 2 : A = x(x2 – 9) + 3x. Ta có x ≥ 0, x2 – 9 ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ 9.
ớ
max A = 9 v i x = 3
ỏ
ấ
ị b) Tìm giá tr nh nh t : Cách 1 : A = x3 – 6x = x3 + (2 2 )3 – 6x – (2 2 )3 == (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 8) – 6x 16 2 = (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 2) + (x + 2 2 ).6 – 6x 16 2 = (x + 2 2 )(x 2 )2 4 2 ≥ 4 2 .
ớ
min A = 4 2 v i x =
6 . Ta có 6 ≤ x ≤ 3 (cid:0) ớ
ấ ẳ
ụ
ố
ứ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :
3
ớ x3 + 2 2 + 2 2 ≥ 3.
2 .
x
x
3-2x
x
x
ớ
3 x .2 2.2 2 = 6x. Suy ra x3 – 6x ≥ 4 2 . min A = 4 2 v i x =
2 .
3-2x
ọ
ỏ
ủ
ể
ộ
x
x
ầ
ạ ị ớ
x
x
ấ ẳ
ứ
4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤
= 8 max V = 2 (cid:0)
4x = 3 – 2x (cid:0)
x =
+ -
ủ 241. G i x là c nh c a hình vuông nh , V là th tích c a hình h p. 2. ấ ủ C n tìm giá tr l n nh t c a V = x(3 – 2x) ố ươ ớ ng : Theo b t đ ng th c Cauchy v i ba s d + - 4x 3 2x 3 2x 3
3 � � �
ấ ủ
ể
ớ
ộ
ỏ ằ
ạ
Th tích l n nh t c a hình h p là 2 dm
3 khi c nh hình vuông nh b ng
dm.
1 2 � � �
ố
ố
. Đáp s : 1 ; 2 ; 10.
242. a) Đáp s : 24 ; 11.
b) Đ t ặ 3 2 x a; x 1 b
ươ
ế
ố
ng hai v . Đáp s : 0 ; ±
ậ c) L p ph
1 2 - = - =
ả ệ
ượ
= y. Gi
i h : x
3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đ
c (x – y)(x
2 + xy + y2 + 2) = 0
d) Đ t ặ 3 2x 1-
5 2
ố
x = y. Đáp s : 1 ;
.
2
- (cid:0) 5 1 (cid:0) 2
ế
ượ
c :
ố . Đáp s : x = 4.
- - x 4 x
)
(
ọ e) Rút g n v trái đ
ả ủ
ế
ươ
. Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, do đó v ph i c a ph
ng trình đã
3 7 x a; x 5 b
g) Đ t ặ 3
1 2 - = - =
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
27
ươ
ở
cho là
. Ph
ng trình đã cho tr thành :
.
- - -
3 3 a b 2
3 3 a b 2
3
(a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)
(cid:0)
Do a3 + b3 = 2 nên
3
a b + = a b - -
3 a b a b = 3 a b a b
ừ
ượ
ượ + =
. Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 – b3 = 2 (2).
3 x 1 a; x 1 b
ượ
ừ
ố
ươ
ế
c a = 1. Đáp s : x = 0. ng trình. V i x + 2 ≠ 0, chia hai v cho
3 x 2+ .
+
ệ
ệ
Đ t ặ 3
. Gi
ả ệ 3 + b3 = 2, a + b = 1. H này vô nghi m.
i h a
3
3
ể
ế
ươ
ế
ượ
ậ . L p ph
ng hai v ta đ
c :
Cách 2 : Đ t ặ 3 x 2+ = y. Chuy n v :
6
6
y3 – 1 + y3 + 1 + 3.
y3 = y.
.
= = a; b + Do a + b ≠ 0 nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2). ừ c x = 6. T ab = 0 ta đ c x = 7 ; x = 5. T a = b ta đ - = h) Đ t ặ 3 T (1) và (2) : a – b = 2. Thay b = a – 2 vào (1) ta đ ệ ớ i) Cách 1 : x = 2 nghi m đúng ph + x 3 + x 2 + x 1 + x 2
3 y 1-
6
ệ
ớ
ớ
ươ
V i y = 0, có nghi m x = 2. V i y ≠ 0, có y
2 =
ậ . L p ph
ng : y
6 = y6 – 1. Vô n0.
ệ
ươ
ươ
ệ
3 y 1- ớ
ng trình. V i x < 2, x > 2, ph
ng trình vô nghi m, xem
ướ
Cách 3 : Ta th y x = 2 nghi m đúng ph ả b ng d
ấ i đây :
x
ế V trái
3 x 1+ < 1 > 1
x < 2 x > x
4
4
4
+ = - 3 y 1 y .( y) = y3 (cid:0) - + 3 y 1 3 y 1-
ặ
< 0 > 0 = 3 (2)
3 x 2+ < 0 > 0 k) Đ t 1 + x = a , 1 – x = b. Ta có : a + b = 2 (1),
3 x 3+ < 1 > 1 + a
+ ab b
ấ ẳ
ứ
Theo b t đ ng th c Cauchy
, ta có
(cid:0) mn
ấ - =
+ m n 2 + + + a b b 1 + a 1 + = = + + (cid:0) 3 a. b 1. a 1. b 2 + + = + 1 a 1 b + a + (cid:0) b 1 + = 1 2 + = . 2 3 2 + a b 2 2 ẳ
ả ả Ph i x y ra d u đ ng th c, t c là : a = b = 1. l) Đ t ặ 4
2
4
4
ươ
ừ ậ ố
ế ồ
ọ
ở ng trình đã cho tr thành : m + n =
. Nâng lên lũy th a b c b n hai v r i thu g n : 2mn(2m
Do đó x = 0. thì m4 + n4 = a + b – 2x. 4 m n+
ế
ả ử
ươ
s a ≤ b thì nghi m c a ph
ủ ứ
ệ
ề
Ph + 3mn + 2n2) = 0. 2 + 3mn + 2n2 > 0. ặ Suy ra m = 0 ho c n = 0, còn n u m, n > 0 thì 2m ứ ả ể Do đó x = a , x = b. Ta ph i có x ≤ a , x ≤ b đ các căn th c có nghĩa. ệ Gi ng trình đã cho là x = a. ể ể 243. Đi u ki n đ bi u th c có nghĩa : a
4
2
4
4
4
- = (cid:0) (cid:0) 2 ứ ứ 4 a x m 0 ; b x n 0
ờ ằ 2 2 2x y
Đ t ặ 3
=
3 x ; b
2
2
ồ + y + xy y
2
2
2
2
2
+ - x = = = A a y x x
2 + b2 ≠ 0 (a và b không đ ng th i b ng 0). + + 2 2 2 2x y x y y + + + 2 2 xy y x ( + 2
)
2
2
.
2
2
) ( xy x + + 2 y
3
2
3
2
3
+ + 2 + 2 - - = , ta có : ( x y xy x y = = = + - x y xy (xy) 2 y + x x
) + xy y ậ V y : ể
2 + b2 ≠ 0). ứ ấ ẳ
ụ
ể
ủ
ổ
+ - ab b a
2
2
xy (v i aớ ng nên ta có th áp d ng b t đ ng th c Cauchy : = A ứ ươ 244. Do A là t ng c a hai bi u th c d
=
4 2 (x
4
2
= + + (cid:0) 2 - + 2 - + 2 + + 2 A x - + + x 1 x 1 2 x x 1. x + + = x 1 x x 1)(x x 1)
ẳ
=
ứ ả . Đ ng th c x y ra khi :
42 x
+ x + (cid:0) 2 2
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
2
2
28
ứ ả
ẳ
ậ
.Ta có A ≥ 2, đ ng th c x y ra khi x = 0. V y : min A = 2
x = 0.
4
2
ủ
ệ
ươ
ng trình 3x
3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có :
245. Vì 1 + 3 là nghi m c a ph
ệ
ể
ọ
c bi u th c thu g n :(4a + b + 42) + (2a + b + 18)
ả
ố
(cid:0) + + = - + (cid:0) x x 1 (cid:0) (cid:0) =� x 0 x 1 x + = + (cid:0) (cid:0) x 1 1 x
3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. ứ ượ ế ự ổ Sau khi th c hi n các phép bi n đ i, ta đ Vì a, b(cid:0) Z và q = 2a + b + 18(cid:0) Z nên p = 4a + b + 42 (cid:0) 0.
ế
ừ
N u q ≠ 0 thì
, vô lí. Do đó q = 0 và t
p + q
3 = 0. Z.Ta ph i tìm các s nguyên a, b sao cho p + q 3 =
ủ
ệ
ộ
ậ
ươ
ỉ
V y 1 +
3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và ch khi :
3 = 0 ta suy ra p = 0. 3 =
ng trình 3x + + 4a b 42 0
. Suy ra a = 12 ; b = 6.
3
ố ố
ả
ứ
ả
s
(
là phân s t
i gi n ). Suy ra : 3 =
. Hãy ch ng minh c p và q cùng
246. Gi
ố ữ ỉ ả ử 3 3 là s h u t
3
p q 3 là m t nghi m c a ph = (cid:0) (cid:0) + + = (cid:0) 2a b 18 0
ế
ớ
ả
ế
ố ố
chia h t cho 3, trái v i gi
thi
t
là phân s t
ả i gi n.
p q p q p q
3
6
6
6
p q
.
247. a) Ta có :
(
) 2
2
3
6
6
6
+ = + = + + = + 1 2 1 2 1 2 2 2
Do đó :
.
3
+ - - - 3 2 2 ) 2 ( 1 = 2 . 3 2 2 = + 6 3 2 2 . 3 2 2 3 = 2 2 1
.
b) 6
+ -
2
2
3
3
= - 5 ẳ
3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 248. Áp d ng h ng đ ng th c (a + b) +
3 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a
9 4 5. 2 ằ ụ + + 1 ứ + - - - � = 3 a (14 2) .a
+ 40 3 20 (a – 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 nên (cid:0) a = 4. = a3 – 6a – 40 = 0 (cid:0) ự ả ươ i t
3
3
ừ
. Suy ra x3 = 12 + 3.3x (cid:0)
-
ử ụ
ứ
ằ
ẳ
x3 – 9x – 12 = 0. ế
ả
3 = A3 – B3 – 3AB(A – B). Tính x3. K t qu M = 0
a (cid:0) bài 21. 249. Gi ng t . 250. A = 2 + 3 2 3 = a3 + b3 + 3ab(a + b). ụ 251. Áp d ng : (a + b) T x = 3
3
ượ
, ta đ
c :
(cid:0)
u = v = 2 (cid:0)
x = 1.
3 = -
b) Đ t ặ
3
2
9+ 252. S d ng h ng đ ng th c (A – B) 253. a) x1 = 2 ; x2 = 25. (cid:0) = + (cid:0) u v 6 (cid:0) u x 9 , v = - x 3 = + (cid:0) (cid:0) u 6
ả
c) Đ t : ặ
4 x
3
3
+ v = > . K t qu x = ± 7. ế 32 y 0
ứ ề ạ
ư
ể
ụ
. Áp d ng | A | + | B | ≥ | A + B |
254. Đ a bi u th c v d ng :
min A = 2 (cid:0)
1 ≤ x ≤ 0.
ụ
ứ
2
2
3
3
ấ ẳ =
ầ =
= + - A x + + + 1 1 x 1 1
255. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy hai l n. 3 256. Đ t ặ
2
2 +
= + � x y 2
(
= | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b).
258. Ta có :
= - - y thì x ) ( P 2 x ) x a x b P
ẳ
ấ
ứ ả
ậ a ≤ x ≤ b. V y min P = b – a ừ ứ
ấ ẳ
ặ ố ươ
ng
a ≤ x ≤ b. D u đ ng th c x y ra khi (x – a)(x – b) ≥ 0 ụ 259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho t ng c p s d
(cid:0) (cid:0)
Ề Ồ ƯỠ
Ỏ
Ế
CHUYÊN Đ : B I D
NG HS GI
I VÀ NĂNG KHI U
29
ấ ẳ
ừ
ế
ượ ấ ẳ
ứ
ứ ng. Nhân 3 b t đ ng th c này theo t ng v ta đ
c b t đ ng th c
ế ủ ứ
ỉ
+ + + - (a b c) + - (b c + - (b c a) + - (c + - + - a) = a b) = (cid:0) (cid:0) (a b c)(b c a) + - b (b c + - a)(c a b) c 2 2 + - (c + a b) + - + - (a b c) = (cid:0) (c + - a b)(a b c) a
a = b = c (tam giác đ u).ề
2
2 ứ ề ươ ấ ẳ Các v c a 3 b t d ng th c trên đ u d ứ ả ẳ ầ c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi và ch khi :
.
a + b – c = b + c – a = c + a – b (cid:0) = 4xy
+ = - - - + (x y) 4 4 = x y 2 2
2
2
= 2 260. (x y) 261. 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2. Ta có : c – a = (a – c) = [(a – b) + (b – c)] = ( 2 + 1 + 2 1) = 2 2 . Do đó : 2A = ( 2 + 1)2 + ( 2 1)2 + (2 2 )2 = 14. Suy ra A = 7.
ề ạ
ư
(
(
)
(
)
.
262. Đ a pt v d ng :
) 2 + x 2 1
ế
+ - - - - - - y 3 2 = z 5 3 0
)
263. N u 1 ≤ x ≤ 2 thì y = 2. = y 0. M x 1
.
264. Đ t : ặ
ọ
( ữ ậ
c c a hình ch nh t là x, y. V i m i x, y ta có : x
2 + y2 ≥ 2xy. Nh ng xư
2 + y2 = (8
265. G i các kích th
) ( - + x 1 2 3 ọ ớ x = y = 8.
ướ ủ 2 )2 = 128, nên xy ≤ 64. Do đó : max xy = 64 (cid:0) ư
ớ
ọ
ị
2 + b2 ≥ 2ab. Nh ng a
2 + b2 = c2 (đ nh lí Pytago) nên :
266. V i m i a, b ta luôn có : a
c2 ≥ 2ab (cid:0)
2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab (cid:0)
2c2 ≥ (a + b)2 (cid:0)
c ≥
.
c 2 ≥ a + b (cid:0)
- = (cid:0) - - - x 1 x 1
ẳ
ấ
ứ ả
ỉ
2
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi a = b. 2 +
+ a b 2
ượ
ổ
(
)
(
(
)
c :
ế 267. Bi n đ i ta đ
) 2 + ac '
268. – 2 ≤ x ≤ 1 ; 1 ≤ x ≤ 2.
- - - a 'b ab ' a 'c b 'c = bc ' 0
![Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 [năm học mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2023/20230110/nguyenhong/135x160/1391673316909.jpg)
![23 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9 [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2023/20230110/nguyenhong/135x160/2011673316958.jpg)
![Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 9 [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2019/20191123/mentospurefresh/135x160/7381574489080.jpg)
