CÁC CHUYÊN Đ B I D NG HSG TOÁN THCSỀ Ồ ƯỠ
Chuyên đ 1ề: S CHÍNH PH NGỐ ƯƠ
I- Đ NH NGHĨAỊ: S chính ph ng là s b ng bình ph ng đúng c a m t s nguyên.ố ươ ố ằ ươ ủ ộ ố
II- TÍNH CH TẤ:
1- S chính ph ng ch có th có ch s t n cùng b ng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không th có chố ươ ỉ ể ữ ố ậ ằ ể ữ
t n cùng b ng 2, 3, 7, 8.ậ ằ
2- Khi phân tích ra th a s nguyên t , s chính ph ng ch ch a các th a s nguyên từ ố ố ố ươ ỉ ứ ừ ố ố
v i s mũ ch n.ớ ố ẵ
3- S chính ph ng ch có th có m t trong hai d ng 4n ho c 4n+1. Không có s chínhố ươ ỉ ể ộ ạ ặ ố
ph ng nào có d ng 4n + 2 ho c 4n + 3 (n ươ ạ ặ
∈
N).
4- S chính ph ng ch có th có m t trong hai d ng 3n ho c 3n +1. Không có s chínhố ươ ỉ ể ộ ạ ặ ố
ph ng nào có d ng 3n + 2 ( n ươ ạ
∈
N ).
5- S chính ph ng t n cùng b ng 1, 4 ho c 9 thì ch s hàng ch c là ch s ch n.ố ươ ậ ằ ặ ữ ố ụ ữ ố ẵ
S chính ph ng t n cùng b ng 5 thì ch s hàng ch c là 2.ố ươ ậ ằ ữ ố ụ
S chính ph ng t n cùng b ng 6 thì ch s hàng ch c là ch s l .ố ươ ậ ằ ữ ố ụ ữ ố ẻ
6- S chính ph ng chia h t cho 2 thì chia h t cho 4.ố ươ ế ế
S chính ph ng chia h t cho 3 thì chia h t cho 9ố ươ ế ế
S chính ph ng chia h t cho 5 thì chia h t cho 25ố ươ ế ế
S chính ph ng chia h t cho 8 thì chia h t cho 16.ố ươ ế ế
III- M T S D NG BÀI T P V S CHÍNH PH NGỘ Ố Ạ Ậ Ề Ố ƯƠ .
A- D ng 1ạ: CH NG MINH M T S LÀ S CHÍNH PH NG.Ứ Ộ Ố Ố ƯƠ
Bài 1: Ch ng minh r ng m i s nguyên x, y thì:ứ ằ ọ ố
A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) +
4
y
là s chính ph ng.ố ươ
Gi iả : Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) +
4
y
= (
2 2 2 2 4
5 4 )( 5 6 )x xy y x xy y y+ + + + +
Đ t ặ
2 2
5 5 ( )x xy y t t Z
+ + = ∈
thì
A = (
2 2 4 2 4 4 2 2 2 2
)( ) ( 5 5 )t y t y y t y y t x xy y− + + = − + = = + +
Vì x, y, z
∈
Z nên
2 2 2 2
, 5 , 5 5 5x Z xy Z y Z x xy y Z∈ ∈ ∈ ⇒ + + ∈
V y A là s chính ph ng.ậ ố ươ
Bài 2: Ch ng minh tích c a 4 s t nhiên liên ti p c ng 1 luôn là s chính ph ng.ứ ủ ố ự ế ộ ố ươ
Gi iả : G i 4 s t nhiên, liên ti p đó là n, n+1, n+2, n+3 (n ọ ố ự ế
∈
Z). Ta có:
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
= (
2 2
3 )( 3 2) 1 (*)n n n n
+ + + +
Đ t ặ
2
3 ( )n n t t N+ = ∈
thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n
∈
N nên n2 + 3n + 1
∈
N. V y n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là s chính ph ng.ậ ố ươ
1
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ...+ k(k + 1)(k + 2)
Ch ng minh r ng 4S + 1 là s chính ph ng.ứ ằ ố ươ
Gi iả : Ta có: k(k + 1)(k + 2) =
k (k + 1)(k + 2). 4=
k(k + 1)(k + 2).
[ ]
( 3) ( 1)k k+ − −
=
k(k + 1)(k + 2)(k + 3) -
k(k + 1)(k + 2)(k - 1)
=> 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
- k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=> 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1
Theo k t qu bài 2 => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 là s chính ph ng.ế ả ố ươ
Bài 4: Cho dãy s 49; 4489; 444889; 44448889; . . .ố
- Dãy s trên đ c xây d ng b ng cách thêm s 48 vào gi a các ch s đ ng tr c vàố ượ ự ằ ố ữ ữ ố ứ ướ
đ ng sau nó. Ch ng minh r ng t t c các s c a dãy trên đ u là s chính ph ng.ứ ứ ằ ấ ả ố ủ ề ố ươ
Ta có 44 ...488...89 = 44...488...8 + 1 = 44...4 . 10n + 8 . 11 ... 1 + 1
n ch s 4 n - 1 ch s 8 n ch s 4 n ch s 8ữ ố ữ ố ữ ố ữ ố n ch s 4ữ ố n ch s 1ữ ố
= 4.
10 1 10 1
.10 8. 1
9 9
n n
n
− −
+ +
=
2 2
4.10 4.10 8.10 8 9 4.10 4.10 1
9 9
n n n n n
− + − + + +
=
=
2
2.10 1
3
n
+
÷
Ta th y 2.10ấn + 1 = 200...01 có t ng các ch s chia h t cho 3 nên nó chia h t cho 3ổ ữ ố ế ế
n - 1 ch s 0 ữ ố
=>
2
2.10 1
3
n
+
÷
∈
Z hay các s có d ng 44 ... 488 ... 89 là s chính ph ng.ố ạ ố ươ
Các bài t ng t :ươ ự
Ch ng minh r ng s sau đây là s chính ph ng.ứ ằ ố ố ươ
A = 11 ... 1 + 44 ... 4 + 1
2n ch s 1 n ch s 4ữ ố ữ ố
B = 11 ... 1 + 11 . . .1 + 66 . . . 6 + 8
2n ch s 1 n+1 ch s 1 n ch s 6ữ ố ữ ố ữ ố
C= 44 . . . 4 + 22 . . . 2 + 88 . . . 8 + 7
2n ch s 4 n+1 ch s 2 n ch s 8ữ ố ữ ố ữ ố
D = 22499 . . .9100 . . . 09
n-2 ch s 9 n ch s 0 ữ ố ữ ố
2
E = 11 . . .155 . . . 56
n ch s 1 n-1 ch s 5 ữ ố ữ ố
K t qu : A= ế ả
2 2 2
10 2 10 8 2.10 7
; ;
3 3 3
n n n
B C
+ + +
= =
÷ ÷ ÷
D = (15.10n - 3)2E =
2
3
210
+
n
Bài 5: Ch ng minh r ng t ng các bình ph ng c a 5 s t nhiên liên ti p không th làứ ằ ổ ươ ủ ố ự ế ể
m t s chính ph ng.ộ ố ươ
G i 5 s t nhiên liên ti p đó là n - 2, n - 1, n +1, n + 2 ( n ọ ố ự ế
∈
N, n >2).
Ta có (n - 2)2 + ( n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5 . (n2 + 2)
Vì n2 không th t n cùng b i 3 ho c 8 do đó nể ậ ở ặ 2 + 2 không th chia h t cho 5 ể ế
=> 5. (n2 + 2) không là s chính ph ng hay A không là s chính ph ng.ố ươ ố ươ
Bài 6: Ch ng minh r ng s có d ng nứ ằ ố ạ 6 - n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n
∈
N và n >1
không ph i là s chính ph ng.ả ố ươ
n6 - n 4 + 2n3 + 2n2 = n2. (n4 - n2 + 2n +2) = n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]
= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)] = n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
V i nớ
∈
N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
V y (n - 1)ậ2 < n2 - 2n + 2 < n2 => n2 - 2n + 2 không ph i là m t s chính ph ng.ả ộ ố ươ
Bài 7: Cho 5 s chính ph ng b t kỳ có ch s hàng ch c khác nhau còn ch s hàngố ươ ấ ữ ố ụ ữ ố
đ n v đ u là 6. Ch ng minh r ng t ng các ch s hàng ch c c a 5 s chính ph ngơ ị ề ứ ằ ổ ữ ố ụ ủ ố ươ
đó là m t s chính ph ng.ộ ố ươ
Ta bi t m t s chính ph ng có ch s hàng đ n v là 6 thì ch s hàng ch c c a nóế ộ ố ươ ữ ố ơ ị ữ ố ụ ủ
là s l . Vì v y ch s hàng ch c c a 5 s chính ph ng đó là 1,3,5,7,9 khi đó t ng c aố ẻ ậ ữ ố ụ ủ ố ươ ổ ủ
chúng b ng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5ằ2 là s chính ph ng.ố ươ
Bài 8: Ch ng minh r ng t ng bình ph ng c a 2 s l b t kỳ không ph i là s chínhứ ằ ổ ươ ủ ố ẻ ấ ả ố
ph ng.ươ
a và b l nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (V i k, m ẻ ớ
∈
N).
=> a2 + b2 = (2k + 1)2 + ( 2m + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4 (k2 + k + m2 + m) + 2
=> a2 + b2 không th là s chính ph ng.ể ố ươ
Bài 9: Ch ng minh r ng n u p là tích c a n (v i n > 1) s nguyên t đ u tiên ứ ằ ế ủ ớ ố ố ầ
thì p - 1 và p + 1 không th là các s chính ph ng.ể ố ươ
Vì p là tích c a n s nguyên t đ u tiên nên pủ ố ố ầ
M
2 và p không th chia h t cho 4 (1)ể ế
a- Gi s p + 1 là s chính ph ng. Đ t p + 1 = mả ử ố ươ ặ 2 ( m
∈
N).
Vì p ch n nên p + 1 l => mẵ ẻ 2 l => m l .ẻ ẻ
3
Đ t m = 2k + 1 (k ặ
∈
N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 => p + 1 = 4k2 + 4k + 1
=> p = 4k2 + 4k = 4k (k + 1)
M
4 mâu thu n v i (1).ẫ ớ
=> p + 1 không ph i là s chính ph ng.ả ố ươ
b- p = 2.3.5... là s chia h t cho 3 => p - 1 có d ng 3k + 2.ố ế ạ
=> p - 1 không là s chính ph ng.ố ươ
V y n u p là tích n (n >1) s nguyên t đ u tiên thì p - 1 và p + 1 không là s chínhậ ế ố ố ầ ố
ph ng.ươ
Bài 10: Gi s N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011ả ử
Ch ng minh r ng trong 3 s nguyên liên ti p 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có s nào là sứ ằ ố ế ố ố
chính ph ng.ươ
a- 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1
Có 2N
M
3 => 2N - 1 = 3k + 2 (k
∈
N)
=> 2N - 1 không là s chính ph ng.ố ươ
b- 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N ch n.ẵ
=> N l => N không chia h t cho 2 và 2N ẻ ế
M
2 nh ng 2N không chia h t cho 4.ư ế
2N ch n nên 2N không chia cho 4 d 1 ho c d 3 => 2N không là s chính ph ng.ẵ ư ặ ư ố ươ
c- 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1
2N + 1 l nên 2N + 1 không chia h t cho 4ẻ ế
2N không chia h t cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 d 1.ế ư
=> 2N + 1 không là s chính ph ng.ố ươ
Bài 11: Cho a = 11 . . . 1 ; b = 100 . . . 05
2010 ch s 1 2009 ch s 0 ữ ố ữ ố
Ch ng minh ứ
1ab +
là s t nhiên.ố ự
Gi i:ả b = 100 . . . 05 = 100 . . . 0 - 1 + 6 = 99 . . . 9 + 6 = 9a + 6
2009 ch s 0ữ ố 2010 ch s 0ữ ố 2010 ch s 9ữ ố
⇒
ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
⇒
Naaab ∈+=+=+ 13)13(1 2
B. D NG 2: Ạ TÌM GIÁ TR C A BI N Đ BI U TH C LÀ S CHÍNH PH NGỊ Ủ Ế Ể Ể Ứ Ố ƯƠ
Bài 1: Tìm s t nhiên n sao cho các s sau là s chính ph ngố ự ố ố ươ
a) n2 + 2n + 12 b) n(n + 3)
c) 13n + 3 d) n2 + n + 1589
Gi i:ả
a) Vì n2 + 2n + 12 là s chính ph ng nên đ t nố ươ ặ 2 + 2n + 12 = k2 (k
∈
N)
⇒
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2
⇔
k2 – (n + 1)2 = 11
⇔
(k + n + 1)(k – n - 1) = 11
Nh n xét th y k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là nh ng s nguyên d ng, nên ta có th vi t (k +ậ ấ ữ ố ươ ể ế
n + 1) (k - n - 1) = 11.1
⇔
k + n + 1 = 11
⇔
k = 6
k - n – 1 = 1 n = 4
4
b) đ t n(n + 3) = aặ2 (n
∈
N)
⇒
n2 + 3n = a2
⇔
4n2 + 12n = 4a2
⇔
(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
⇔
(2n + 3)2 – 4a2 = 9
⇔
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nh n xét th y 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là nh ng s nguyên d ng, nên ta có thậ ấ ữ ố ươ ể
vi t (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ế
⇔
2n + 3 + 2a = 9
⇔
n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c) Đ t 13n + 3 = yặ2 (y
∈
N)
⇒
13(n - 1) = y2 – 16
⇔
13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒
(y + 4)(y – 4)
M
13 mà 13 là s nguyên t nên y + 4 ố ố
M
13 ho c y – 4 ặ
M
13
⇒
y = 13k
±
4 (v i k ớ
∈
N)
⇒
13(n - 1) = (13k
±
4)2 – 16 = 13k.(13k
±
8)
⇒
13k2
±
8k + 1
V y n = 13kậ2
±
8k + 1 (v i k ớ
∈
N) thì 13n + 3 là s chính ph ngố ươ
d) Đ t nặ2 + n + 1589 = m2 (m
∈
N)
⇒
(4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
⇔
(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355
Nh n xét th y 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là nh ng s l , nên ta có th vi t (2mậ ấ ữ ố ẻ ể ế
+ 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có th có các giá tr sauể ị : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài t ng tươ ự :
Tìm a đ các s sau là nh ng s chính ph ngể ố ữ ố ươ
a) a2 + a + 43
b) a2 + 81
c) a2 + 31a + 1984
K t qu : ế ả a) 2; 42; 13
b) 0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 2 : Tìm s t nhiên n ố ự
≥
1 sao cho t ng 1! + 2! + 3! + … + n! là m t s chínhổ ộ ố
ph ng.ươ
V i n = 1 thì 1! = 1 = 1ớ2 là s chính ph ngố ươ
V i n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là s chính ph ngớ ố ươ
V i n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 3ớ3 là s chính ph ngố ươ
V i n ớ
≥
4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đ u t nề ậ
cùng b i 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có t n cùng b i ch s 3 nên nó không ph i là sở ậ ở ữ ố ả ố
chính ph ng.ươ
V y có 2 s t nhiên n tho mãn đ bài là n = 1; n = 3ậ ố ự ả ề
Bài 3: Có hay không s t nhiên n đ 2010 + nố ự ể 2 là s chính ph ng.ố ươ
5