Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Toán lớp 6

Chia sẻ: Tabicani09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên gồm lý thuyết kiến thức về lũy thừa với số mũ tự nhiên và các phép toán giúp các em củng cố kiến thức để giải các bài toán vận dụng. Mời các bạn và các em học sinh cùng tham khảo tài liệu để nắm chi tiết các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên - Toán lớp 6

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019
1 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A. Lý thuyết: 1. Khái niệm: a  a.a.a......a (a  0, n  N ) 2 nthuaso 2. Quy ước: a1 = 1 ; a0 = 1; 0n = 0 ( n thuộc N*) a2 : bình phương của a ( a ≠ 0) ; a3 : lập phương của a ( a ≠ 0) 3. Các tính chất: Với mọi a, b ≠ 0 ; m, n thuộc N am .an  a mn ; a m : an  a mn ;(a m )n  a( m ) ;(a m )n  a m.n ;(a.b)n  a m .a n n B. Bài tập Bài 1: Tính gi{ trị của c{c biểu thức sau 310.10  310.6 11.322.37  915 3610.2515 a. A  2 b. B  (2.314 ) 2 c. C  39.22 308 212.14.126 11.322.37  915 d. D  e. E  355.6 (2.314 ) 2 4 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 ) f. F    4 100.164 100.48 48.100 Lời giải 310.10  310.6 310.(10  6) 310.24 a. A  2  39.24  9 4 3 39.22 3 .2 11.322.37  915 11.329  330 329 (11  3) 3.8 b. B     6 (2.314 )2 4.328 4.328 4 3610.2515 (62 )10 .(52 )15 620.530 c. C  8  8  8 8  612.522 30 (6.5) 6 .5 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74 2 d. D  5  5 5  6 5  2 35 .6 3 .7 .2.3 2.3 .7 3 .7 4 11.322.37  915 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 ) e. E  2 f. F    4 (2.314 ) 2 100.164 100.48 48.100 Bài 2: Viết c{c tích sau dưới dạng lũy thừa a. 3y . 3y . 3y ( y ≠ 0) 1 b. x .x ....x 2 100 ( x  0) 1 4 7 c. z .z .z ....x 100 ( z  0) d. (m1 )2 .(m2 )3.(m3 )4 ....(m99 )100 (m  0) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
2 Website:tailieumontoan.com Lời giải a. 3y . 3y . 3y ( y ≠ 0) = (3y)3 b. x1.x2 ....x100  x12...100  x5050 ( x  0) 1 4 7 c. z .z .z ....x 100 ( z  0)  z147...100  z (1001).34:2  z101.17 1 .99.100.101 1 2 2 3 d. (m ) .(m ) .(m ) ....(m ) 3 4 99 100 (m  0)  m .m ....m 1.2 2.3 99.10 m 3 Bài 3: Tính các tổng sau a. A  1  2  2  ...  2 b. B  1  3  3  ...  3 1 2 2015 1 2 2016 Lời giải a. A  1  2  2  ...  2  2 A  2  22  23  ...  22016  2 A  A  A  22016 1. 1 2 2015 32017  1 b. B  1  3  3  ...  3  3B  3  3  ...  3  2B  3 1  B  1 2 2016 2 2017 2017 2 Bài 4: Tính S = 1 + 2 + 4 + 8 + < + 8192 Lời giải: S  20  21  ...  213  2S  2  22  ...  214  S  214 1  16383 Bài 5: Viết các tổng sau th|nh bình phương của một số tự nhiên a. 13 b. 13 + 23 c. 13 + 23 +33 d. 13 + 23 + 33 +43 e. phát biểu dưới dạng tổng quát ( không cần chứng minh ) Lời giải: a. 13 = 12 ; b. (1+2)2 ; c. (1+2+3)2 ; d. (1+2+3+4)2 e. 13 + 23 + 33 +43 +
3 Website:tailieumontoan.com a. Ta có: 102008 + 125 = 100...0  125  100...0125 , A có tận cùng là 5  A chia hết cho 5. 2008 so 0 2005 so 0 Tổng các chữ số của A là : 1 + 2 + 5 + 1 = 9  A chia hết cho 9, mà ( 5,9) =1 Vậy A chia hết cho 45. b. B = 52006 ( 52 + 51 + 1 ) = 52006.31 chia hết cho 31. c. M = (23)8 + 220 = 224 + 220 = 220 ( 24 + 1) = 17.220 chia hết cho 17. d. H = 3135 . 299 – 3136 . 36 = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 = 3135 ( 299 – 313) - 35. 3136 H = - 14. 3135 – 35. 3136 chia hết cho 7 Bài 9: Cho A = 2  2  2  ...  2 2 3 60 . Chứng minh rằng A 3; A 5; A 7 Lời giải: (2  22 )  (23  24 )  .....  (257  258 )  (259  260 )  2.(1  2)  23 (1  2)  ...  259 (1  2) A=  (1  2).(2  23  ...259 )  3.(...) 3 A  (2  22  23 )  (24  25  26 )  ...  (258  259  260 )  2.(1  2  22 )  24 (1  2  22 )  ...  258 (1  2  2 2 )  (1  2  22 )(2  24  27  ...  258 )  7.(2  24  ...  258 ) 7  A  (2  23 )  (22  24 )  ...  (258  260 )  2(1  22 )  2 2 (1  2 2 )  ...  258 (1  2 2 )  (1  22 )(2  22  ...  257  258 )  5.(2  22  ..  258 ) 5 Bài 10: Tính tổng sau: M = 1 – 2 + 22 – 23 + < + 22008 Lời giải: M  1  2  22  23  ...  22008  2M  2  22  23  24  ...  22009  2 M  M  22009  1 22009  1 M  3 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
4 Website:tailieumontoan.com Bài 2: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP A. Quy tắc so sánh: Ta biến đổi hai lũy thừa cần so s{nh th|nh c{c lũy thừa hoặc cùng cơ số hoặc cùng số mũ để so sánh - Nếu 2 luỹ thừa cùng cơ số ( lớn hơn 1) thì luỹ thừa n|o có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. a m  a n (a >1)  m > n - Nếu 2 luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa n|o có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn . a n  b n (n > 0)  a > b Dạng 1: Biến đổi về cùng cơ số hoặc số mũ Bài 1: Hãy so sánh a. 1287 và 424 c. 536 và 1124 b. 818 và 2711 d. 3260 và 8150 e. 3500 và 7300 Lời giải : 1287  (27 )7  249  a. Có : 24 24   1287  424 4  (2 )  4  2 24 818  332  536  12512  b. 33   818  2711 c. 24 12   536  1124 27  3  11 11  121   3260  2300  8100  3500  243100  d. 50 100   3260  8150 e. 300 100   3500  7300 81  3  9  200 7  343  Bài 2: Hãy so sánh a. 1619 và 825 b. 2711 và 818 b. 6255 và 1257 d. 523 và 6.522 e. 7.213 và 216 f. 5100 và 3500 g. 230  330  430 và 3.2410 Lời giải a. 1619  (24 )19  276 ;825  (23 )25  275  276  275  1619  825 b. 2711  (33 )11;81  (34 ) 8  332  333  332  2711  818 c. 625  (5 )  20 ;125  (5 )  5  125  625 5 4 5 5 3 7 21 7 5 d. 5  5.5  6.5  6.5  5 23 22 22 22 23 e. 7.2  8.2  2 .12  2  2  7.2 13 13 3 13 16 16 13 f. 5300  (53 )100  125100 & 3500  (33 )100  243100  5300  3500 g. 430  (2 2 ) 30  (2.2) 30  230.230  (23 )10 .(2 2 )15  810.315  810.310.3  (8.3)10 .3  2410.3 Vậy 230  330  430  3.2410 Bài 2: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
5 Website:tailieumontoan.com ( n 1)2 a. 32n.(n+2) và 9 (n  N ) b. 256n và 16n+5 với n N Lời giải: 32 n ( n  2)  9n ( n  2)  9n 2 n  2   ( n 1) n  2 n 1 ( n 1)2  9  9n.( n  2)  9( n 1)  32 n ( n  2) (n  N ) 2 2 2 a. Ta có: 9 9 n 2  2n  1  n 2  2n    b. 256n = 162n suy ra bài toán trở thành so sánh 2n và n + 5 +) Nếu 2n > n + 5  n  5 +) Nếu 2n = n + 5  n  5 +) Nếu 2n < n + 5  n  5 Vậy: Nếu 0 ≤ n < 5 thì 256n > 162n Nếu n = 5 thì 256n = 162n ; Nếu n > 5 thì 256n < 162n Bài 3: Chứng minh rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải: 527  1259  263  (29 )7  3127  63 9  5  2 (1); 28 27 63 7 2  528 (2)  527  263  528 2  (2 )  128  63 7 9 5  (5 )  625  4 7 Dạng 2: Đƣa về một tích trong đó có thừa số giống nhau Bài 1: Hãy so sánh a. 2115 và 275 . 498 b. 20152015 – 20152014 và 20152016 – 2015 2015 c. 201510 + 20159 và 201610 - 20152015 d. d. A  7245  7244 ; B  7244  7243 e. 7150 và 3775 Lời giải: a. 21  3 .7 ;27 .49  3 .7  21  27 .49 15 15 15 5 8 15 16 15 5 8 20152015  20152014  20152014 (2015  1)  2014.20152014 b. 20152016  20152015  2014.20152015  .... c. 2015  2015  2015 (2015  1)  2016.2015 ;2016  2016.2016  .... 10 9 9 9 10 9 d. A= 7244 (72  1)  7244.71 và B  7243 (72  1)  7243.71  A  B e. Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 (2) mà 2150. 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
6 Website:tailieumontoan.com Bài 2: Hãy so sánh a. 3210 và 2350 b. 231 và 321 c. 430 và 3.2410 d. 202303 và 303202 Lời giải : a. 3 210  2770 ;2350  3270  3210  2350 b. 2  2.2  2.8 ;3  3.3  3.9  3  2 31 30 10 21 20 10 21 31 c. 4 30  260  230.230 ;3.2410  3.(3.8)10  311.230  430  3.2410 202303  (2.101)303  2303.101303  2303.1013.101  8101.1013.101  8101.101101.1012.101 d. 303202  (3.101)2.101  32.101.101 2.101  9101.1012.101  202303  303202 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua một lũy thừa trung gian - Để so s{n h 2 lũy thừa A và B, ta tìm một lũy thừa M sao cho: A < M < B hoặc: A >M>B Trong đó: A v| M ; M và B có thể so sánh trực tiếp được Bài 1: Hãy so sánh a. 2225 và 3151 b. 19920 ;200315 c. 291 và 536 Lời giải: a. 2  (2 )  8  9  (3 )  3  3 225 3 75 75 75 2 75 150 151 A B M b. Ta có: 199  200  (8.25)  (2 .5 )20  (2 .5 )  2 .5 20 20 20 3 2 3 2 20 60 40 200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545  260.545  260.540  200315  19920 c. 2  2  (2 )  32  25  5 91 90 5 18 18 18 36 A B M Bài 2: So sánh a. 9920 và 910.1130 b. 96142 và 100.2393 Lời giải: 9920  [(99) 2 ]10  980110  (223 )10  2230 ; a. 2230  (2.11)30  230.1130  810.1130  910.1130 96142  100042  10126  100.10124 ; b. 100.2393  100.(233 )31  100.(104 )31  100.10124  96142  100.2393 Bài 3: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
7 Website:tailieumontoan.com a. 199010 + 19909 và 199110 b. 10750 và 7375 c. 3339 ;1121 Lời giải: a. 1990  1990  1990 (1990  1)  1991.1990  1991.1991  1991 10 9 9 9 9 10 b. 107  108  (4.27)  2100.3150 ;7375  7275  (8.9)75  2225.3150  7375  10750 50 50 50 c. Ta có: 3  3  (3 )  81 39 40 4 10 10 1121  1120  (112 )10  12110  12110  1120  1121  339 Bài 4: So sánh a. 9920 và 999910 b. 85 và 3.47 c. 202303 và 303202 d. 1010 và 48.505 Lời giải a. Ta thấy : 99 < 99.101 = 9999 => (99 ) < 9999 hay 99 < 9999 2 2 10 10 20 10 b. Ta có: 8 = 2 = 2.2 < 3.2 = 3.4 => 8 < 3.4 5 15 14 14 7 5 7 c. Ta có: 202 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 d. Ta có : 10 = 2 . 5 = 2. 2 . 5 (*) 10 10 10 9 10 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) Từ (*) v| (**) => 1010 < 48. 505 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải Với b|i n|y , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được c{ch l|m , gi{o viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) v| (2) => 527 < 263 < 52 Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian - Để so s{nh hai lũy thừa A v| B, ta tìm hai lũy thừa X và y sao cho: A < X < Y < B hoặc A > X > Y > B Trong đó c{c lũy thừa A và X ; X và Y ; Y và B có thể so sánh trực tiếp được Bài 1: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
8 Website:tailieumontoan.com a. 1720 và 3115 b. 19920 và 10024 c. 3111 và 1714 Lời giải: a. 17  16  2  2  (2 )  32  31 20 20 80 75 5 15 15 15 A X B Y b. 199 20  20020  220.10020  (23 )7 .10020  107.10020  10024 c. 31  32  2 ;17  16  2  31  17 11 11 55 14 4 56 11 14 Bài 2: So sánh a. 111979 và 371321 b. 10750 và 5175 c. 3201 và 6119 Lời giải: 111979  111980  (113 )660  1331660 ; a. 371321  371320  (372 )660  1369660  1331660  111979 b. 107  150  (3.50)  925.5050  5025.5050  5075  5175 50 50 50 c. 3 201  3200  (35 )40  24340 ;6119  6120  (63 )40  21640  3201  6119 Bài 3: Chứng minh rằng : 21995 < 5863 Lời giải Có 210 =1024, 55 =3025  210 . 3 (211)24 > (211). 26 = 2270  21720.2270 < 21720 . 3172 < 5860 Vậy 21990
9 Website:tailieumontoan.com Bài 1: So sánh a. 2500 và 5200 b. 85 và 3.47 Lời giải: a. 2 500  32100 ;5200  25100  2500  5200 b. 85 = 215 < 3.214 = 3.47 Bài 2: So sánh a. 12580 và 25118 b. 3210 và 2350 c. 23n và 32n ( n thuộc N* ) d. 9367 – 9366 và 9366 - 9365 Lời giải: a. 125  (5 )  5240 ;25118  (52 )118  5236  12580  25118 80 3 80 b. 3 210  2770 ;2350  3270  2350  3210 c. 2 3n  8n ;32n  9n  23n  32n (n  N * ) d. 93 (93  1)  92.93 ;93  93  93 .92  ...... 66 66 66 65 65 Bài 3: So sánh a. 544 và 2112 b. 920 và 2713 c. 19920 và 200315 Lời giải: a. 54  2 .3 ;21  3 .7 ;2  7  54  21 4 4 12 12 12 12 4 12 4 12 b. 9 20  340 ;2713  339  920  2713 c. 19920  20020  220.1040  215.25.1040  215.105.1040  215.1045  215.100015  200015  200315 Bài 4: So sánh a. 339 và 112 1 b. 3111 và 1714 c. 9920 và 999910 Lời giải: a.339  340  920  1120  1121 b.3111  3211  255  256  1614  1714 c.9920  (992 )10  980110  999910 Bài 5: Cho S = 1 + 2 + 22 + < + 29 . Hãy so sánh S với 5.28 Lời giải: S = 210 – 1 < 210 = 22 . 28 = 4.28 < 5.28 Bài 6: Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
10 Website:tailieumontoan.com 20082008  1 20082007  1 100100  1 100101  1 a. So sánh A = A  vàB  ; b.M  vàN= 20082009  1 20082008  1 10099  1 100100  1 Lời giải: a a ac a a ac Chú ý: Với a, b, c thuộc N* , có: ) Nêu 1  ; 1  b b bc b b bc 20082008  1 20082008  1  2007 2008(20082007  1) a. ta có: A < 1    B 20082009  1 20082009  1  2007 2008(20082008  1) 2007 2007 Cách khác: 2008.A = 1 + ; và2008.B  1  BA 20082009  1 20082008  1 100101  1  99 100101  100 100100  1 b. N > 1    N 100100  1  99 100100  100 10099  1 100100  1 10069  1 Bài 7: So sánh: A  ;B  10099  1 10068  1 Lời giải: Quy đồng mẫu số của A v| B ta được: (100100  1)(10068  1) (10069  1)(10099  1) A ;B  (10099  1)(10068  1) (10099  1)(10068  1) Xét hiệu hai tử: (100100  1)(10068  1)  (10069  1)(10099  1)  (100168  10068  100100  1)  (100168  10099  10069 )  100100  10068  10099  10069  (100100  10099 )  (10069  10068 )  10099 (100  1)  10068 (100  1)  99(10099  10068 )  0 Vậy A > B. Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
11 Website:tailieumontoan.com Bài 4: SO SÁNH BIỂU THỨC LỸ THỪA VỚI MỘT SỐ ( SO SÁNH HAI BIỂU THỨC LŨY THỪA ) - Thu gọn biểu thức lũy thừa bằng c{ch vận dụng c{c phép tính lũy thừa, cộng trừ c{c số theo quy luật ...... - Vận dụng phương ph{p so s{nh hai lũy thữa ở phần B. - Nếu biểu thức lũy thừa l| dạng ph}n thức: Đối với từng trường hợp bậc của luỹ thừa ở tử lớn hơn hay bé hơn bậc của luỹ thừa ở mẫu m| ta nh}n với hệ số thích hợp nhằm t{ch phần nguyên rồi so s{nh từng phần tương ứng. *) Với a, n, m, K N* . Ta có: a a a a - Nếu m > n thì K- >K- và K + < K+ m n m n a a a a - Nếu m < n thì K - < K- và K + > K+ m n m n (còn gọi l| phương ph{p so s{nh phần bù) 1 - Với biểu thức l| tổng c{c số (với a ∈ N*) ta có vận dụng so s{nh sau: a2 1 1 1 1 1  < 2 <  a a 1 a a 1 a Bài 1: Cho S =1 + 2 + 2 2 23  ........  29 . So s{nh S với 5.2 8 Lời giải: 2.S = 2  2 2  23  2 4  ........  29  210 2S - S = 210  1 hay S  210 1  210  28.22  4.28  5.28 Bài 2: Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + < + 201271 + 201272 và B = 201273 - 1. So sánh A và B. Lời giải: Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + < + 201271 + 201273 Lấy 2012A – A = 201273 – 1 Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1. 310.11  310.5 210.13  210.65 Bài tập 3: So s{nh hai biểu thức: B  ; C  39.24 28.104 Lời giải: 310.11  310.5 310 (11  5) B  3 39.24 39.16 210.13  210.65 210 (13  65) 22.78 C   3 28.104 28.104 104 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
12 Website:tailieumontoan.com Vậy B = C Bài tập 4: So s{nh 2 biểu thức A v| B trong từng trường hợp: 1015  1 1016  1 a) A = và B = 1016  1 1017  1 2 2008  3 2 2007  3 b) C = và D = 2 2007  1 2 2006  1 Lời giải - Ở c}u a, biểu thức A v| B có chứa luỹ thừa cơ số 10 -> ta so sánh 10A và10B 1 1 - Ở c}u b, biểu thức C v| D có chứa luỹ thừa cơ số 2 nên ta so s{nh C và D 2 2 1015  1  1015  1  1016  10 1016  1  9 9 a) Ta có A = => 10A = 10 .  16  = =  1  16 1016  1  10  1  10  1 10  1 10  1 16 16 1016  1  1016  1  1017  10 1017  1  9 9 B= => 10B = 10 .  17  = =  1  17 1017  1  10  1  10  1 10  1 10  1 17 17 9 9 Vì 1016 + 1 < 1017 + 1 nên  10  1 16 10  1 17 9 9 => 1   1 => 10A > 10B hay A > B 10  1 16 10  1 17 2 2008  3 1 1  2 2008  3  2 2008  3 2 2008  2  1 1 b) Ta có C = => C = .  2007   2008  = 1  2008 2 2007 1 2 2 2 1  2 2 2 2008 2 2 2 2 2007  3 1 1  2 2007  3  2 2007  3 2 2007  2  1 1 D= => D = .  2006   2007  = 1  2007 2 2006 1 2 2 2 1  2 2 2 2007 2 2 2 1 1 Vì 22008 – 2 > 22007 – 2 nên  2 2008 2 2 2007 2 1 1 1 1 => 1  > 1 => C > D hay C > D 2 2008 2 2 2007 2 2 2 3 7 7 3 Bài tập 5: So sánh M = 3  4 và N = 3  4 8 8 8 8 Lời giải: 3 7 3 3 4  3 3 4 Ta có:  4 = 3  4  4 =  3  4  4 8 8  8 3 8 8 8 8 8 7 3 3 4 3  3 3 4  4 = 3  3  4 =  3  4  3 8 8  8 3 8 8 8 8 8 4 4  3 3 4  3 3 4 Vì  3 =>  3  4   4 <  3  4   3 => M < N 8 8  8 8 8  8 4 8 8 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
13 Website:tailieumontoan.com 19 30  5 19 31  5 Bài tập 6: So s{nh M v| N biết: M = ; N = 19 31  5 19 32  5 Lời giải: 19 30  5 19.(19 30  5) 19 31  95 90 M = 31 nên 19M = = = 1 + 19  5 19 31  5 19 31  5 19 31  5 19 31  5 19.(19 31  5) 19 32  95 90 N= nên 19N = = = 1 + 32 19  5 32 19  5 32 19  5 32 19  5 90 90 Vì > 32 19  5 19  5 31 90 90 Suy ra 1 + > 1 + 32 19  5 31 19  5 Hay 19M > 19N => M > N 1 1 1 1 1 1 Bài tập 7: So sánh 2  2  2  2  2 và 2 2 101 102 103 104 105 2 .3.5 .7 Lời giải: 1 1 n  (n  1) n  n  1 1 1 Nếu n l| số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có:      2 n 1 n (n  1).n (n  1).n (n  1)n n 1 1 1 =>   n 2 n 1 n Áp dụng v|o b|i to{n ta được: 1 1 1 2   101 100 101 1 1 1 2   102 101 102 .................................... 1 1 1 2   105 104 103 __________________________________________________________ 1 1 1 1 1 105  100 5 1 2  2  ...  2     2 2  2 2 101 102 105 100 105 100.105 2 .5 .5.3.7 2 .5 .3.7 1 1 1 Vậy 2  ......  2  2 2 102 105 2 .5 .3.7  1 1  1   1  1 Bài tập 8: So sánh A =  2  1 .  2  1 .  2  1 .......  1 và  2  3  4   100  2 2 Lời giải: A l| tích của 99 số }m. Do đó: 1 1 1 1 -A = (1  )(1  )(1  ).........(1  ) 4 9 16 100 2 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
14 Website:tailieumontoan.com 3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.101 -A = 2 . 2 . 2 ....... 2  2 . 2 . 2 ........ 2 3 4 100 2 3 4 100 2 Để dễ rút gọn ta viết tử dưới dạng tích c{c số tự nhiên liên tiếp như sau: 1.2.3.4.5.6..........98.99 3.4.5..........100.101 1 101 101 1 -A = .  .   2.3.4.5.........99.100 2.3.4..........99.100 100 2 200 2 1 Vậy A < - 2 BÀI 5: PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A. Phƣơng pháp +) xn = 0 ( n thuộc N*) khi x = 0 +) xn = an ( n thuộc N*) khi x = a +) ax = 0 ( a ≠ 0)  không tồn tại x  vô nghiệm +) ax = 1 ( a ≠ 1) khi x = 0 +) ax = an ( a ≠ 0 ; a ≠ 1 ) khi x = n +) ax = bx ( a ≠ b ; a, b ≠ 0 ) khi x = 0 B. Bài tập Bài 1: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: a. 6x = 216 c. (x-2)6 = (x-2)8 b. 32x = 81 d. 2.(2x-1)2 = 50 Lời giải: a. 6x = 216  6  6  x  3 x 3 b. 3 2x  81  32 x  92  34  2 x  4  x  2 x  2  ( x  2) 6  0  x  2  0  c. ( x  2)  ( x  2)  ( x  2)[(x-2)  1]  0      x  3 6 8 2      ( x  2) 2  1  x 2 1   x  1 Bài 2: Tìm x , biết: 1 5 x a. (7 x  11)  2 .5  200 3 5 2 b. 7 3 x2  3.73  73.4 c. .3 .3  32 x1 9 Lời giải a. (7 x  11)  2 .5  200  (7 x  11)  1000  10  7 x  11  10  x  3. 3 5 2 3 3 3 x 2 b. 7  3.73  73.4  73 x2  73 (3  4)  73 x2  74  x  2 1 5 x c. .3 .3  32 x 1  33.3x  32 x 1  3x 3  32 x 1  x  3  2 x  1  x  2 9 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
15 Website:tailieumontoan.com Bài 3: Tìm x, biết: x 1 a. 2  2 x  2x2  2x3  480 b. 5 x 1  5x  2.2x  8.2x c. 6  6 x x 1  2 x 2.2x  4.2x Lời giải a. 2x  2x1  2x2  2x3  480  2x (1  2  22  23 )  480  2 x.15  480  2 x  25  x  5 5x 1  5x  2.2 x  8.2 x  5 x (5  1)  2 x (2  8)  22.5 x  2 x 1.5 b. 22.5x 2 x 1.5  2  2  5x 1  2 x 1  x  1  0  x  1 2 .5 2 .5 x 1 c. 6  6  2 x 2.2x  4.2x  7.6x  7.2x  6x  2x  x  0 x Bài 4: Tìm x thuộc N , biết rằng a. x  x b. (2 x  1)  343 c. 3  25  26.2  2.3 15 3 x 3 0 x2 d. 2  2x  96 e. 720 :[41-(2x-5)]=2 .5 3 2 x3 f. 5  2.52  52.3 Lời giải x  0 x15  x  x15  x  0   b. (2 x  1)  343  7  x  3 3 3 x  1 a. c. 3  25  26.2  2.3  3  185(vonghiem) x 3 0 x d. 2x2  2x  96  2x  32  x  5 2 x 3 e. 720 :[41-(2x-5)]=2 .5  x  14 3 f. 5  2.52  52.3  x  3 Bài 5: Tìm x nguyên dương, biết x 1 a. 3  3 x  3x2  3x3  594 b. (2  1)(3  1)  1394 x x Lời giải x 1 a. 3  3 x  3x2  3x3  594  3x (1  3  9  27)  594  x  3 b. (2  1)(3  1)  1394  2.697  2.17.41  17.82 x x Nhận xét: 2x + 1 lẻ nếu x ≥ 1 ; 2x + 1 chẵn nếu x = 0; 3x + 1 luôn chẵn 2  1  17 x  x x4 3  1  82 x 1 Bài 6: Tìm x thuộc N , biết: 3  3 x  3x2  3x3  1080 Lời giải 3x  3x1  3x2  3x3  1080  3x (1  3  9  27)  1080  3x  27  x  3 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
16 Website:tailieumontoan.com Bài 7: Tìm x, biết: x.(6-x)2003 = (6-x)2003 Lời giải: x = 1 hoặc x = 6 Bài 8: Tìm x, biết: ( x-1)x+2 = (x-1)x+4 (1) Lời giải: Đặt x – 1 = y suy ra: x + 2 = y + 3 ; x + 4 = y + 5 x  1  y y 3  0  y  0  (1)  y y 3  y y 5  y y 3 ( y 2  1)  0   2     x  2  x  0;1; 2  y  1  0  y  1    x  2 Bài 9: Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Lời giải : 2m  2n  2mn  2mn  2m  2n  0  2m.2n  2m  2n  1  1  2m (2n 1)  (2n 1)  1  (2m 1)(2n Vì: 2m và 2n ≥ 1 với mọi m, n thuộc N 2m  1  1 2m  2 m  1  n  n  Nên : 2  1  1 2  2 n  1 Vậy m = n = 1. Bài 10: Tìm x thuộc N, biết a. 16 x  128 4 b. 5 x.5 x 1.5 x  2  100 ..........   ...0 : 218  18chuso0 Lời giải a. 16 x  128 4 => (2) 4  18chuso0 53 x3  1018 : 218  53 x3  5183 x3  18  x  5  x  0,1,2,3,4,5 Bài 11: Cho A = 3 + 32 + 33 +
17 Website:tailieumontoan.com Ta có : 2 m  2 n  256  28  2 n (2 mn  1)  28 (1) Dễ thấy m  n Ta xét 2 trường hợp: - Nếu m - n = 1 thì (1) ta có 2n(2-1) = 2 8  n  8; m  9 - Nếu m - n  2  2 mn  1 l| một số lẻ lớn hơn 1 nên vế tr{i của (1) chứa thừa số nguyên tố lẻ khi ph}n t{ch ra thừa số nguyên tố. Còn vế phải của (1) chỉ chứa thừa số nguyên tố 2 => M}u thuẩn. Vậy n = 8 ; m = 9 l| đ{p số duy nhất Bài 13: Tìm số nguyên dương n biết: a. 64 < 2n < 256 b. 243 > 3n  9 Lời giải a) 64 < 2n < 256 => 26 < 2n < 28 => 6 < n < 8 , n nguyên dương . Vậy n = b) 243 > 3n  9 => 35 > 3n  32 => 5 > n  2 , n nguyên dương. Vậy n = 4; 3; 2 Bài 14: Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho: n200 < 6300 Lời giải Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300  (n2)100 < 216100  n2 < 216 và n Z (*) Số nguyên lớn nhất thoã mãn (*) l| n = 14 Bài 15: Tìm c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 Lời giải Ta giải từng bất đẳng thức 364 < n48 và n48 < 572 Ta có : n48 > 364  (n3)16 > (34)16  (n3)16 > 8116  n3 > 81 Vì n  Z nên n > 4 (1) Mặt kh{c n48 < 572  (n2)24 < (53)24  (n2)24 < 12524 n2 < 125 và n  Z => -11  n  11 (2) Từ (1) và (2) => 4 < n  11. Vậy n   5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ bài toán trên có thể thay đổi câu hỏi để đƣợc các bài toán sau: Số1: Tìm tổng c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự trên ta có c{c số nguyên n thoã mãn là 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất cả c{c số nguyên có một chữ số sao cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất cả c{c số nguyên có 2 chữ số sao cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
18 Website:tailieumontoan.com BÀI 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A. PHƢƠNG PHÁP Nội dung bài toán : Tìm x để VT (x) = VP , ta đi đ{nh gi{ như sau : - Nếu x > x0 thì VT(x) > VP - Nếu x < x0 thì VT(x) < VP - Nếu x = x0 thì VT(x) = VP Kết luận x = x0 là giá trị cần tìm Bài 1: Tìm STN x > 0 , thỏa mãn : a. 4x-1 + 4x = 5 b. 3x + 32x-1 = 2268 Lời giải : a. Nhận thấy nếu x > 1 thì 4x-1 > 41-1 = 40 = 1 ; 4x > 41 = 4  4x-1 + 4x > 5 ( loại ) +) Nếu x = 1 thì 4x-1 + 4x = 40 + 41 = 5 = VP ( thỏa mãn ) Vậy x = 1 thỏa mãn bài toán. b. Nhận thấy nếu x = 4 thì : VT = VP +) Nếu x > 4 thì 3x + 32x-1 > 34 + 37 = 2268 ( Loại) +) Nếu ) < x < 4 thì 3x + 32x-1 < 2268 = VP ( Loại ) Bài 2: Tìm STN x , thỏa mãn a. 2x + 5x + 7x = 14 b. 2x + x = 20 c. 2x = 46 – 3x (1) Lời giải : a. Nhận thấy +) Nếu x = 0 thì 2x + 5x + 7x = 3 ≠ 14 ( Loại ) +) Nếu x = 1 thì thỏa mãn +) Nếu x > 1 thì 2x + 5x + 7x > 14 ( Loại ) Vậy x = 1 b. Nhận thấy +) Nếu x = 4 thì 2x + x = 20 ( thỏa mãn ) +) Nếu x > 4 thì 2x + x > 24 + 4 = 20 ( Loại ) +) Nếu 0 < x < 4 thì 2x + x < 24 + 4 = 20 ( Loại ) Vậy x = 4. c. 2x = 46 – 3x  2x + 3x = 46 +) Nếu x ≥ 5  2x ≥ 25 = 32 ; 3x ≥ 3.5 = 15  2x + 3x ≥ 47 > 46 ( Loại ) +) Nếu x ≤ 4  2x ≤ 24 = 16 ; 3x ≤ 3.4 =12  2x + 3x ≤ 28 < 46 ( Loại ) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC
19 Website:tailieumontoan.com Vậy không tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn bài toán. Bài 3: Tìm x thuộc N, biết: 3x + 3x+1 + 2x+2 = 388 (1) Lời giải : Nếu x < 4 , VT(1) < VP (1)  Loại Nếu x > 4 , VT > VP  Loại Nếu x = 4  VT = VP ( thỏa mãn ). Vậy x =4 Bài 4: Tìm x , y , z thuộc N , biết : x ≤ y ≤ z v| : 2x + 3y + 5z = 156 (1) Lời giải : Từ (1)  5z < 165  z ≤ 3  z 0,1, 2,3 +) Nếu z = 3  x ≤ y ≤ 3, thay v|o (1) ta được : 2  3  125  156  2  3  31(2) x y x y Ta có : 3y < 31 v| y ≤ 3 +) Nếu y = 3, thay v|o (2) ta được : 2x = 4 x = 2 ( thỏa mãn) Vậy x = 2 ; y = 3 ; z = 4 Cách khác : Ta có : 5z < 156  z ≤ 3 +) z = 2  x ≤ y ≤ 2, thay v|o (1) : VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại)  z = 3 Thay vào (1) : 2x + 3y + 53 = 156  2x + 3y = 31 (*) ( x ≤ y ≤ 3) Nếu y ≤ 2  x ≤ 2  2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 ( loại) Vậy y = 3  2x + 33 = 31  2x = 4  x = 2. Vậy x = 2 ; y = 3 ; z = 4 x2  2 Bài 5: Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : 2  32 y 1  5z  40(1) Lời giải: 2 x  0  40  x 2  2  5  x 2  3   2 x Nhận thấy 2 x  1 2 y 1 +) Nếu x =0, (1) trở th|nh : 2  3 2  5z  40  32 y 1  5z  36(2) Ta có : VT (2) không chia hết cho 3 ; VP(3) chia hết cho 3  Loại ( Hoặc cứ xét tiếp ) 2 y 1 +) Nếu x = 1 , (1) trở th|nh : 2  3 3  5z  40  32 y 1  5z  32(3) Ta có : 32y+1 < 32  2 y  1  3  y  1 +) y = 1 , (3) trở th|nh : 27 + 5z = 32  z  1 +) y=0 , (3) trở th|nh : 3  5  32  5  29(loai) z z Vậy x = y = z = 1. Bài 6: ( khó ). Tìm c{c STN x, y, z thỏa mãn : 2x + 2y + 2z = 210 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC