Gv: Nguyn Thanh Dng
Nguyenthanhdung.wordpress.com 1
Vn 1: Mnh toán hc – Các phép toán mnh – ng dng
TÓM TT LÝ THUYT
Ví d: Cho n là s nguyên dng; P(n): “n chia ht cho 6”; Q(n): “n chia ht cho 3”. Khi ó,
• P(10) là mnh sai; Q(6) là mnh úng
•
( )
P n
: “ n không chia ht cho 6”
• Mnh kéo theo P(n) Q(n) là mmh úng.
• “∃n ∈ N*, P(n)” là mnh úng có ph nh là “∀n∈ N*,
”
BÀI TP
Câu 1: Cho A = “∀x∈R : x2+1 > 0” thì ph nh ca A là:
a) A = “ ∀x∈R : x2+1 ≤ 0” b) A = “∃ x∈R: x2+1≠ 0”
c) A = “∃ x∈R: x2+1 < 0” d) A = “ ∃ x∈R: x2+1 ≤ 0”
Câu 2: Xác nh mnh úng:
a) ∃x∈R: x2 ≤ 0 b) ∃x∈R : x2 + x + 3 = 0
c) ∀x ∈R: x2 >x d) ∀x∈ Z : x > - x
Câu 3: Phát biu nào sau ây là úng:
a) x y x2 y2 b) (x +y)2 x2 + y2
c) x + y >0 thì x > 0 hoc y > 0 d) x + y >0 thì x.y > 0
Chuyên 1: MNH - TP HP
1. Mnh toán hc (gi tt là mnh ) là mt câu khng nh ÚNG hoc SAI.
Ví d: +) “Hình bình hành có hai cnh i din song song và bng nhau” là mt
mnh .
+) “My gi ri?” không phi mnh
2. Cho mnh P. Mnh “Không P”, ký hiu
P
, gi là mnh ph nh ca
mnh P.
3. Cho hai mnh P và Q.
Mnh “nu P thì Q”, ký hiu
P Q
, gi là mnh kéo theo. Mnh
P Q
ch sai khi P úng và Q sai.
Trong mnh
P Q
, P gi là iu kin có Q còn Q gi là iu
kin cn có P.
Mnh
Q P
c gi là mnh o ca mnh
P Q
.
Mnh “P khi và ch khi Q”, ký hiu
P Q
⇔
, c gi là mnh tng
ng. Mnh
P Q
⇔
ch úng khi c P và Q u úng.
4. Vi s t nhin n, khng nh P(n) = “n chia ht cho 3” không là mt mnh ,
nhng vi mi n c th thì nó s là mnh . Chng hn, P(6) là mnh úng,
P(4) là mnh sai. Ta gi nhng loi khng nh nh th là mnh ch a bin.
5. Ph nh ca P = “
: ( )
x X P x
∀ ∈
” là
" : ( )"
P x X P x
= ∃ ∈
Ph nh ca P = “
: ( )
x X P x
∃ ∈
” là
" : ( )"
P x X P x
= ∀ ∈
6. nh lý thng là mt mnh ÚNG dng
P Q
Gv: Nguyn Thanh Dng
Nguyenthanhdung.wordpress.com 2
Câu 4:Xác nh mnh úng:
a) ∀x ∈R,∃y∈R: x.y>0 b) ∀x∈ N : x - x
c) ∃x∈N, ∀y∈ N: x chia ht cho y d) ∃x∈N : x2 +4 x + 3 = 0
Câu 5: Cho các mnh sau, mnh nào có mnh o úng :
a) Nu t giác ABCD là hình thoi thì AC ⊥ BD
b) Nu 2 tam giác vuông bng nhau thì 2 cnh huyn bng nhau
c) Nu 2 dây cung ca 1 ng tròn bng nhau thì 2 cung chn bng nhau
d) Nêu s nguyên chia ht cho 6 thì chia ht cho 3
Câu 6: Cho các mnh sau, mnh nào có mnh o úng :
a)Nu t giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc i bù nhau
b)Nu a = b thì a.c = b.c
c)Nu a > b thì a2 > b2
d)Nu s nguyên chia ht cho 6 thì chia ht cho 3 và 2
Câu 7: Xác nh mnh sai :
a) ∃x∈Q: 4x2 – 1 = 0 b) ∃x∈R : x > x2
c) ∀n∈ N: n2 + 1 không chia ht cho 3 d) ∀n∈ N : n2 > n
Câu 8: Cho các mnh sau, mnh nào sai :
a) Mt tam giác vuông khi và ch khi nó có 1 góc bng tng 2 góc kia
b) Mt tam giác u khi và ch khi nó có 2 trung tuyn bng nhau và 1 góc = 600
c) Hai tam gíac bng nhau khi và ch khi chúng ng dang và có 1 cnh bng nhau
d) Mt t giác là hình ch nht khi và ch khi chúng có 3 góc vuông
Câu 9: Cho các mnh sau, mnh nào có mnh o úng :
a) Nu t giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc i bù nhau
b) Nu a = b thì a.c = b.c
c) Nu a > b thì a2 > b2
d) Nu s nguyên chia ht cho 10 thì chia ht cho 5 và 2
Câu 10: Mnh nào sau ây có mnh ph nh úng :
a) ∃x∈ Q: x2 = 2 b) ∃x∈R : x2 - 3x + 1 = 0
c) ∀n ∈N : 2n ≥ n d) ∀x∈ R : x < x + 1
Bài 11: Các câu sau dây, câu nào là mnh , và mnh ó úng hay sai :
a) ây là ni nào ?
b) Phng trình x2 + x – 1 = 0 vô nghim
c) x + 3 = 5
d) 16 không là s nguyên t
Bài 12: Nêu mnh ph nh ca các mnh sau :
a) “Phng trình x2 –x – 4 = 0 vô nghim ”
b) “ 6 là s nguyên t ”
c) “∀n∈N ; n2 – 1 là s l ”
Bài 13: Xác nh tính úng sai ca mnh A, B và tìm ph nh ca nó :
A = “ ∀x∈ R : x3 > x2 ”
B = “ ∃ x∈ N , : x chia ht cho x +1”
Bài 14: Phát biu mnh P Q và xét tính úng sai ca nó sau ó phát biu mnh o
a) P: “ ABCD là hình ch nht ” và Q:“ AC và BD ct nhau ti trung im mi ng”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân ti A” và Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 15: Phát biu mnh P ⇔ Q bng 2 cách và và xét tính úng sai ca nó
a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD ct nhau ti trung im mi ng”
b) P : “9 là s nguyên t ” và Q: “ 92 + 1 là s nguyên t ”
Bài 16:Cho các mnh sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 ng chéo AC vuông góc vi BD”
b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác u”
c) R : “13 chia ht cho 2 nên 13 chia ht cho 10 ”
Gv: Nguyn Thanh Dng
Nguyenthanhdung.wordpress.com 3
Hãy: + Xét tính úng sai ca các mnh và phát biu mnh o :
+ Biu di n các mnh trên di dng A B
Bài 17: Cho mnh cha bin P(x) : “ x > x2” , xét tính úng sai ca các mnh sau
a) P(1)
b) P(
1
3
)
c) ∀x∈N ; P(x)
d) ∃x∈ N ; P(x)
Bài 18: Phát biu mnh A B và A ⇔ B ca các cp mnh sau và xét tính úng sai
a) A : “T giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cnh i din bng nhau”
b) A: “T giác ABCD là hình vuông ”
B: “ t giác có 3 góc vuông”
c) A: “ x > y ”
B: “ x2 > y2” ( Vi x y là s th!c )
d) A: “"im M cách u 2 cnh ca góc xOy ”
B: “"im M nm trên ng phân giác góc xOy”
Bài 19: Hãy xem xét các mnh sau úng hay sai và lp ph nh ca nó
a) ∀x∈N : x2 ≥ 2x
b) ∃x∈ N : x2 + x không chia ht cho 2
c) ∀x∈Z : x2 –x – 1 = 0
Bài 20 : Trong các mnh sau, mnh nào có mnh o úng
a) A : “Mt s t! nhiên tn cùng là 6 thì s ó chia ht cho 2”
b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác u ”
c) C: “ Nu tích 3 s là s dng thì c 3 s ó u là s dng ”
d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 21:Phát biu thành li các mnh ∀x: P(x) và ∃x : P(x) và xét tính úng sai ca chúng
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“
1
x
> x + 1”
c) P(x) : “
2
x 4
x 2
−
−
= x+ 2” x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”
Bài 22: Phát biu các mnh sau vi thut ng “iu kin cn”, “iu kin ”
a) Nu 2 tam giác bng nhau thì chúng có cùng din tích
b) S nguyên dng chia ht cho 6 thì chia ht cho 3
c) Mt hình thang có 2 ng chéo bng nhau là hình thang cân
Bài 23: Phát biu các nh lý sau ây bng cách s# d$ng khái nim “iu kin ”
a) Nu trong mt ph%ng, hai ng th%ng cùng vuông góc vi ng th%ng th 3 thì hai
ng th%ng ó song song vi nhau.
b) Nu 2 tam giác bng nhau thì chúng có din tích bng nhau
c) Nu s nguyên dng a tn cùng bng 5 thì chia ht cho 5
d)Nu t giác là hình thoi thì 2 ng chéo vuông góc vi nhau
Bài 24: Phát biu các nh lý sau ây bang cách s# d$ng khái nim“"iu kin c&n ”
a) Nu trong mt ph%ng, hai ng th%ng cùng song song vi ng th%ng th 3 thì hai
ng th%ng ó song song vi nhau
b) Nu 2 tam giác bng nhau thì chúng có các góc tng ng bng nhau
c) S nguyên dng a chia ht cho 24 thì chia ht cho 4 và 6
d) Nu t giác ABCD là hình vuông thì 4 cnh bng nhau
Bài 25: Cho các inh lý sau, nh lý nào có nh lý o, hãy phát biu :
a) “Nu 1 s t! nhiên chia ht cho 3 và 4 thì chia ht cho 12”
b) “Mt tam giác vuông thì có trung tuyn tng ng bng n#a cnh huyn ”
Gv: Nguyn Thanh Dng
Nguyenthanhdung.wordpress.com 4
c) “Hai tam giác ng dng và có 1 cnh bng nhau thì hai tam giác ó bng nhau”
d) “Nu 1 s t! nhiên n không chia ht cho 3 thì n2 chia 3 d 1”
Bài 26: Dùng phng pháp chng minh phn chng chng minh :
a) Vi n là s nguyên dng, nu n2 chia ht cho 3 thì n chia ht cho 3
b) Vi n là s nguyên dng , nu n2 là s l thì n là s l
c) Chng minh rng
2
là s vô t'
d) Nu a≠b≠c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
Bài 27: Cho
0
abc
≠
. Chng minh rng ít nh(t mt trong ba phng trình sau có nghim
2 2 2
2 0(1); 2 0(2); 2 0(3)
ax bx c bx cx a cx ax b+ + = + + = + + =
Bài 28: Cho các s a, b, c th)a mãn iu kin
0(1)
0(2)
0(3)
a b c
ab bc ca
abc
+ + >
+ + >
>
. Cmr
0, 0, 0
abc
> > >
Bài 29: Cho
, , (0;1)
abc
∈
. Chng minh rng có ít nh(t mt trong các b(t %ng thc sau sai
1 1 1
(1 ) (1); (1 ) (2); (1 ) (3)
4 4 4
a b b c c a− > − > − >
Chú ý: (Phng pháp chng minh phn chng) Gi s! cn ch ng minh
mt khng nh P là úng, bng phng pháp phn ch ng, ta thc hin
nh sau:
+) Gi s! khng nh P sai
+) Bng các l"p lu"n toán hc ta i n mt mâu thu#n
+) V"y khng nh P úng
Gv: Nguyn Thanh Dng
Nguyenthanhdung.wordpress.com 5
Vn 2: Tp hp và các phép toán tp hp
TÓM TT LÝ THUYT
BÀI TP
Câu 1: Cho tp h*p A ={a;{b;c};d}, phát biu nào là sai:
a) a ∈ A b) {a ; d} ⊂ A
c) {b; c} ⊂ A d) {d} ⊂ A
Câu 2: Cho tp h*p A = {x∈ N / (x3 – 9x)(2x2 – 5x + 2 )= 0 }, A *c vit theo kiu lit kê là :
a) A = {0, 2, 3, -3} b) A = {0 , 2 , 3 }
c) A = {0,
2
1, 2 , 3 , -3} d) A = { 2 , 3}
Câu 3: Cho A = {x∈ N / (x4 – 5x2 + 4)(3x2 – 10x + 3 )= 0 }, A *c vit theo kiu lit kê là :
a) A = {1, 4, 3} b) A = {1 , 2 , 3 }
c) A = {1,-1, 2 , -2 ,
3
1} d) A = { -1,1,2 , -2, 3}
Câu 4: Cho tp A = {x∈ N / 3x2 – 10x + 3 = 0 hoc x3- 8x2 + 15x = 0}, A *c vit theo kiu lit kê là :
a) A = { 3} b) A = {0 , 3 }
c) A = {0,
3
1, 5 , 3 } d) A = { 5, 3}
Câu 5:Cho A là tp h*p xác nh câu úng sau ây ( Không c&n gii thích )
a) {∅}⊂ A b) ∅ ∈ A c) A ∩ ∅ = A d) A∪ ∅ = A
Câu 6: Tìm mnh úng trong các mnh sau:
a) R + ∩ R - = {0} b) R \ R - = [ 0 , + ∞ )
c) R*+ ∪ R*- = R d) R \ R + = R –
Câu 7: Cho tp h*p sô’ sau A = ( - 1, 5] ; B = ( 2, 7) . tp h*p A\B nào sau ây là úng:
a) ( -1, 2] b) (2 , 5] c) ( - 1 , 7) d) ( - 1 , 2)
Câu 8: Cho A = {a; b; c ; d ; e}. S tp con ca A có 3 ph&n t# là:
a)10 b)12 c) 32 d) 8
Câu 9: Tp h*p nào là tp h*p rng:
a) {x∈ Z / x<1} b) {x∈ Q / x2 – 4x +2 = 0}
c) {x∈ Z / 6x2 – 7x +1 = 0} d) {x∈ R / x2 – 4x +3 = 0}
Câu 10: Trong các tp h*p sau, tp nào có úng 1 tp con
a) ∅ b){x} c) {∅} d) {∅; 1}
Câu 11: Cho X= {n∈ N/ n là bi s ca 4 và 6} và Y= {n∈ N/ n là bi s ca 12}. Các mnh sau, mnh
nào sai :
a) X⊂Y b) Y ⊂ X c) X = Y d) ∃ n: n∈X và n∉ Y
1. Giao:
{ | }
A B x x A x B
∩ = ∈ ∧ ∈
. Ta có:
x A
x A B
x B
∈
∈ ∩ ⇔
∈
2. H*p:
{ | }
A B x x A x B
∪ = ∈ ∨ ∈
. Ta có:
x A
x A B
x B
∈
∈ ∪ ⇔
∈
3. Hiu:
\ { | }
A B x x A x B
= ∈ ∧ ∉
. Ta có: \
x A
x A B
x B
∈
∈ ⇔
∈
/
"c bit, nu
A X
⊆
thì ta ký hiu
\ ( )
X
X A C A
=
và g+i là ph&n bù ca A trong X.
Tp rng, ký hiu
∅
, là tp không cha phn t nào.
