CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
a. Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên
a
n
=
43421 aaa ..........
(n ∈ N
*
)
n thừa số
b. Một số tính chất :
Với a, b, m, n
∈
N
a
m
. a
n
= a
m+n
, a
m
. a
n
. a
p
= a
m+n+p
(p ∈ N)
a
m
: a
n
= a
m-n
(a ≠ 0, m > n)
(a.b)
m
= a
m
. b
m
(m ≠ 0)
(a
m
)
n
= a
m.n
(m,n ≠ 0)
Quy ước:
a
1
= a
a
0
= 1 (a ≠ 0)
Với : x, y
∈
Q; m, n
∈
N; a, b
∈
Z
x
n
=
43421 xxx ..........
(x ∈ N
*
)
n thừa số
n
n
n
b
a
b
a=
(b ≠ 0, n ≠ 0)
x
o
= 1
x
m
. x
n
= x
m+n
nm
n
m
x
x
x
−
=
(x
≠ 0)
x
-n
=
n
x
1
(x
≠ 0)
(x
m
)
n
= x
m.n
(x.y)
m
= x
m
. y
m
CHUYÊN ĐỀ:
L
ŨY THỪA
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (01695316875) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
2
n
n
n
y
x
y
x=
(y
≠ 0)
c. Kiến thức bổ sung
* Với mọi x, y, z
∈
Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > 0 thì: x < y <=> x . z < y . z
z < 0 thì: x < y <=> x . z > y . z
* Với x
∈
Q, n
∈
N:
(-x)
2n
= x
2n
(-x)
2n+1
= - x
2n+1
* Với a, b
∈
Q;
a > b > 0 => a
n
> b
n
a > b <=> a
2n +1
> b
2n + 1
a > 1 , m > n > 0 => a
m
> a
n
0 < a < 1 , m > n > 0 => a
m
> a
n
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: Tìm số chưa biết
2.1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa
*Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ
Bài 1: Tìm x biết rằng:
a, x
3
= -27 b, (2x - 1)
3
= 8
c, (x + 2)
2
= 16 d, (2x - 3)
2
= 9
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết : x
2
= x
5
Bài 3 . Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)
10
= (3y - 1)
20
(*)
Bài 3 : Tìm x biết : (x - 5)
2
= (1 - 3x)
2
Bài 4 : Tìm x và y biết : (3x - 5)
100
+ (2y + 1)
200
≤
0 (*)
Bài 5 :Tìm các số nguyên x và y sao cho : (x + 2)
2
+ 2(y – 3)
2
< 4
BT tương tự (BTTT):
1 . Tìm x biết :
a, (2x – 1)
4
= 81 b, (x -2)
2
= 1
c, (x - 1)
5
= - 32 d, (4x - 3)
3
= -125
2 . Tìm y biết :
a, y
200
= y b, y
2008
= y
2010
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (
01695316875
) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
3
c, (2y - 1)
50
= 2y – 1 d, (
3
y
-5 )
2000
= (
3
y
-5 )
2008
3 . Tìm a , b ,c biết :
a, (2a + 1)
2
+ (b + 3)
4
+ (5c - 6)
2
0
b, (a - 7)
2
+ (3b + 2)
2
+ (4c - 5)
6
≤
0
c, (12a - 9)
2
+ (8b + 1)
4
+ (c +19)
6
≤
0
d, (7b -3)
4
+ (21a - 6)
4
+ (18c +5)
6
≤
0
3.1.2 Tìm số mũ , thành phần trong số mũ của lũy thừa.
Phương pháp : Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số
Bài 1 : Tìm n
∈
N biết :
a, 2008
n
= 1 c, 32
-n
. 16
n
= 1024
b, 5
n
+ 5
n+2
= 650 d, 3
-1
.3
n
+ 5.3
n-1
= 162
Bài 2 : Tìm hai số tự nhiên m , n biết :
2
m
+ 2
n
= 2
m+n
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên n sao cho :
a, 3 < 3
n
234
b, 8.16
≥
2
n
≥
4
Bài 4 : Tìm số tự nhiên n biết rằng :
4
15
. 9
15
< 2
n
. 3
n
< 18
16
. 2
16
BTTT:
1. Tìm các số nguyên n sao cho
a. 9 . 27
n
= 3
5
b. (2
3
: 4) . 2
n
= 4
c. 3
-2
. 3
4
. 3
n
= 3
7
d. 2
-1
. 2
n
+ 4. 2
n
= 9. 2
5
2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho :
a. 125.5
≥
5
n
≥
5.25 b. (n
54
)
2
= n
c. 243
≥
3
n
≥
9.27 d. 2
n+3
2
n
=144
3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng
a. 2
x+1
. 3
y
= 12
x
b. 10
x
: 5
y
= 20
y
4. Tìm số tự nhiên n biết rằng
a. 4
11
. 25
11
≤
2
n
. 5
n
≤
20
12
.5
12
b. n
2
2
2
666666
.
3
3
3
4444
55
555555
555
5555
=
+
+++++
+
+
+++
3.1.3. Một số trường hợp khác
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (
01695316875
) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
4
Bài 1: Tìm x biết:
(x-1)
x+2
= (x-1)
x+4
(1)
Bài 2 : Tìm x biết :
x(6-x)
2003
= (6-x)
2003
Bài 3 : Tìm các số tự nhiên a, b biết :
a. 2
a
+ 124 = 5
b
b. 10
a
+ 168 = b
2
a) 2
a
+ 124 = 5
b
(1)
3.2. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
3.2.1 Tìm một chữ số tận cùng
* Phương pháp : cần nắm được một số nhận xét sau :
+) Tất cả các số có chữ số tận cùng là : 0 ; 1 ; 5 ; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0)
cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó .
+) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tận
cùng là một trong các chữ số đó .
+) Lưu ý : những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số
tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4 .
Những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là
1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9
+) Chú ý : 2
4
= 16 7
4
= 2401 3
4
= 81 8
4
=
4096
Bài 1 : Tìm chữ số tận cùng của các số : 2000
2008
, 1111
2008
, 98765
4321
, 2046
81012
.
Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án :
2000
2008
có chữ số tận cùng là chữ số 0
1111
2008
có chữ số tận cùng là chữ số 1
98765
4321
có chữ số tận cùng là chữ số 5
2046
81012
có chữ số tận cùng là chữ số 6.
Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
2007
2008
, 1358
2008
, 2
3456
, 52
35
, 204
208
, 2003
2005
,
9
9
9
, 4
7
6
5
,9
96
, 8
1975
, 2007
2007
,
CHUYÊN ĐỀ TOÁN 7 (
01695316875
) HOÀNG THÁI VIỆT ĐH BK – ĐH SP HÀ NỘI 2
5
1023
1024
.
Bài 3 : Cho A = 17
2008
– 11
2008
– 3
2008
. Tìm chữ số hàng đơn vị của A .
Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng , ta phảI tìm chữ số tận cùng của
tong số hạng , rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại .
Bài 4 : Cho M = 17
25
+ 24
4
– 13
21
. Chứng tỏ rằng : M
M
10
Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng tỏ M
M
10 ta
chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0 .
Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng:
a. A = 2
4n
– 5 (n
∈
N, n ≥ 1)
b. B = 2
4n + 2
+ 1 (n
∈
N)
c. C = 7
4n
– 1 (n
∈
N)
Bài 6 : Chứng tỏ rằng, các số có dạng:
a , A =
1
2
2
−
n
chia hết cho 5 (n
∈
N, n ≥ 2)
b , B =
4
2
4
+
n
chia hết cho 10 (n
∈
N, n ≥ 1)
c , H =
39
2
+
n
chia hết cho 2 (n
∈
N, n ≥ 1)
Bài tập luyện tập :
1, Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
2222
2003
; 2008
2004
; 2005
2005
; 2006
2006
999
2003
;
2004
2004
; 7777
2005
; 111
2006
; 2000
2000
; 2003
2005
2, Chứng tỏ rằng, với mọi số tự nhiên n :
a, 3
4n + 1
+ 2 chia hết cho 5
b, 2
4n + 1
+ 3 chia hết cho 5
c, 9
2n + 1
+ 1 chia hết cho 10
3, Chứng tỏ rằng các số có dạng:
a,
n
2
2
+1 có chữ số tận cùng bằng 7 (n
∈
N, n ≥ 2)
b,
1
2
4
+
n
có chữ số tận cùng bằng 7 (n
∈
N, n ≥ 1)
c,
n
2
3
+4 chia hết cho 5 (n
∈
N, n ≥ 2)
d,
n
4
3
- 1 chia hết cho 10 (n
∈
N, n ≥ 1)
4, Tìm chữ số hàng đơn vị của :
a, A = 6666
1111
+ 1111
1111
- 66
5555
b, B = 10
n
+ 555
n
+ 666
n
c, H = 9999
2n
+999
2n+1
+10
n
( n
∈
N
*
)