Phương trình đường thẳng Hình học 10
1
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG
1 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
1.1 Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng
- Vectơ
( ; )u a b
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu
0u
và giá của
u
song song hoặc trùng
với .
- Nếu
u
là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì
ku
(
0k
) cũng là một vectơ chỉ phương của .
- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
1.2 Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng
d
đi qua
00
( ; )M x y
nhận
( ; )u a b
làm vectơ chỉ phương có dạng:
0
0
( ) : ,
x x at
dt
y y bt
(1)
1.3 Liên hệ giữa vectơ chỉ phƣơng và hệ số góc của đƣờng thẳng
Nếu đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
( ; )u a b
với
0a
thì
d
có hệ số góc
b
ka
.
2. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng
d
đi qua
00
( ; )M x y
nhận
( ; )u a b
làm vectơ chỉ phương có dạng:
00
( ) : x x y y
dab
(điều kiện
)
Chú ý: Khi
thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.
3 Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
3.1 Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng
- Vectơ
( ; )n a b
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu
0n
và giá của
n
vuông góc với .
- Nếu
n
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì
kn
(
0k
) cũng là một vectơ pháp tuyến của .
- Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
3.2 Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
- Phương trình
0ax by c
trong đó
a
và
b
không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của
đường thẳng.
- Phương trình tổng quát của đường thẳng
d
đi qua
00
( ; )M x y
nhận
( ; )n a b
làm vectơ pháp tuyến có dạng:
00
( ) : 0d a x x b y y
(2)
- Nếu
d
có phương trình
0ax by c
thì
d
có:
( ; )
( ; )
( ; )
VTPT n a b
VTCP u b a
VTCP u b a
- Đường thẳng
d
cắt hai trục
Ox
và
Oy
lần lượt tại
( ;0)Aa
và
(0; )Bb
(
.0ab
). Phương trình của
:1
xy
dab
(gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn).
- Đường thẳng
d
đi qua
00
( ; )M x y
và có hệ số góc
k
. Phương trình của
00
: ( )d y y k x x
(gọi là phương trình
đường thẳng theo hệ số góc
k
)
4 Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
:0a x b y c
và
2 2 2 2
:0a x b y c
Phương trình đường thẳng Hình học 10
2
- Tọa độ giao điểm của
1
và
2
là nghiệm của hệ phương trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
(I)
+ Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì
1
cắt
2
.
+ Nếu hệ (I) vô nghiệm thì
1
và
2
song song nhau.
+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì
1
và
2
trùng nhau.
5 Góc giữa hai đƣờng thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
:0a x b y c
có VTPT
1 1 1
( ; )n a b
và đường thẳng
2 2 2 2
:0a x b y c
có
VTPT
2 2 2
( ; )n a b
Khi đó:
0
1 2 1 2
00
12
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , ) 180 ( , ) ( , ) 90
n n khi n n
n n khi n n
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2
12 1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , ) ..
n n a b a b
nn nn a b a b
Chú ý:
+
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0n n n n a a b b
+ Nếu
1 1 1
2 2 2
:
:
y k x m
y k x m
thì
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
,
.1
k k m m
kk
6 Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng :
0ax by c
và điểm
0 0 0
( ; )M x y
.
00
022
( , ) ax by c
dM
ab
- Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng :
0ax by c
và hai điểm
( ; ), ( ; )
M M N N
M x y N x y
.
+ M, N nằm cùng phía đối với
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c
.
+ M, N nằm khác phía đối với
( )( ) 0
M M N N
ax by c ax by c
.
- Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1:
1 1 1 0a x b y c
và 2:
2 2 2 0a x b y c
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP
1. Lập phương trình đường thẳng
- Phương trình tham số: các yếu tố cần có
+ Điểm thuộc
00
( ; )M x y
+ VTCP
( ; )u a b
PTTS:
0
0
( ) : ,
x x at
dt
y y bt
- Phương trình chính tắc: khi
.0ab
- Phương trình tổng quát: các yếu tố cần có
+ Điểm thuộc
00
( ; )M x y
+ VTPT
( ; )n a b
PTTQ:
00
( ) : ( ) ( ) 0d a x x b y y
Phương trình đường thẳng Hình học 10
3
PTCT:
00
( ) : x x y y
dab
2. Tìm hình chiếu H của điểm A trên một đường thẳng d
* Cách 1:
- Viết phương trình đường thẳng
'd
đi qua
A
và vuông góc với
d
.
- Hình chiếu
'H d d
* Cách 2: Dùng điểm có tọa độ tổng quát
-
( ; )H d H
-
H
là hình chiếu của
A
trên
d
.0
dd
AH u AH u H
d
d'
H
A
3. Tìm điểm đối xứng A’ của A qua đường thẳng d
- Tìm điểm
H
là hình chiếu của
A
trên
d
.
-
'A
đối xứng với
A
qua
d
khi và chỉ khi
H
là trung điểm của
'AA
'
'
2
2
AA
H
AA
H
xx
x
yy
y
d
d'
A'
H
A
4. Tìm điểm cố định của họ đường cong (thẳng)
- Gọi
( ; )M x y
là điểm cố định của họ đường cong (thẳng)
( , )y f x m
. Khi đó
( , )y f x m
có nghiệm đúng với mọi
m
hay
( ,( , )) 0g m x y
có nghiệm đúng với mọi
m
.
- Biến đổi phương trình
( , )y f x m
(*) về một trong các dạng phương trình theo ẩn
m
0Am B
(1)
20Am Bm C
- Tọa độ điểm cố định:
+ Nếu (*) biến đổi về (1) thì tọa độ thỏa
0
0
A
B
+ nếu (*) biến đổi về (2) thì tọa độ thỏa
0
0
0
A
B
C
5. Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua điểm I cho trước
* Cách 1:
- Lấy một điểm cụ thể
A
thuộc
d
- Tìm điểm
'A
đối xứng với
A
qua
I
''Ad
- Viết phương trình đường thẳng
'd
đi qua
'A
và song song với
d
* Cách 2:
- Lấy
( ; )M x y
bất kỳ thuộc
d
.
- Gọi
'( '; ')M x y
là điểm đối xứng của
M
qua
I
'2'
2' 2 '
2
II
I
I
xx
xx x x
y y y y y
y
- Thế
,xy
vào phương trình đường thẳng
d
ta được phương trình đường thẳng
'd
d
d'
A'
I
A
Phương trình đường thẳng Hình học 10
4
6. Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua ∆
Đầu tiên, xem xét hai đường thẳng
d
và cắt nhau hay song song.
* Cách 1:
Trường hợp
d
- Lấy
Ad
. Xác định
'A
đối xứng với
A
qua .
- Viết phương trình đường thẳng
'd
qua
'A
và song song với
d
.
Trường hợp
dI
- Tìm tọa độ của
I
.
- Lấy
Ad
(
AI
). Xác định
'A
đối xứng với
A
qua
d
.
- Viết phương trình đường thẳng
'd
đi qua
'A
và
I
.
* Cách 2:
- Lấy hai điểm cụ thể
,A B d
.
- Tìm
', 'AB
đối xứng với
,AB
qua .
- Viết phương trình đường thẳng
'd
đi qua
'A
và
'B
.
d
d'
A'
H
A
d
d'
H
A'
I
A
BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
một điểm và có vectơ chỉ phương
u
trong các trường hợp sau:
a)
(0;0), (1; 3)Ou
b)
( 2;3), (5; 1)Au
c)
(3; 1), ( 2; 5)Bu
d)
(2;0), (3;4)Cu
e)
( 1;2), ( 4;6)Du
f)
(1;1), (1;5)Eu
g)
(2; 3), (4; 1)Fu
h)
( 3;5), (0; 2)Gu
Bài 2. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
một điểm và có vectơ pháp tuyến
n
trong các trường hợp sau:
a)
(0;1), (1;2)An
b)
( 2;3), (5; 1)Bn
c)
(3;4), (4; 3)Cn
d)
(1;3), (3; 4)Dn
e)
(3; 1), ( 2; 5)En
f)
(2;0), ( 1; 1)Fn
g)
(2; 3), (4; 1)Gn
h)
( 3;5), (5;0)Hn
Bài 3. Cho đường thẳng
: 2 3 1 0d x y
a) Hãy tìm một vectơ pháp tuyến và một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
.
b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
d
.
Bài 4. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
điểm
A
và có hệ số góc
k
trong các trường hợp sau:
a)
(2;4), 2Ak
b)
( 3;1), 2Ak
c)
( 5; 8), 3Ak
d)
( 3;4), 3Ak
e)
(5;2), 1Ak
f)
( 3; 5), 1Ak
g)
(2;4), 0Ak
h)
( 4;0), 9Ak
Bài 5. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua
hai điểm
A
và
B
trong các trường hợp sau:
a)
(2;1), ( 4;5)AB
b)
( 2;4), (1;0)AB
c)
(5;3), ( 2; 7)AB
d)
(3;5), (3;8)AB
e)
(3;5), (6;2)AB
f)
(4;0), (3;0)AB
g)
(0;3), (0; 2)AB
h)
(3;0), (0;5)AB
Bài 6. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng
d
đi
qua
A
và song song với đường thẳng trong các trường hợp sau:
a)
(2;3), : 4 10 1 0A x y
b)
(5;7), : 2 6 0A x y
c)
( 1;2), : 5 1 0Ax
d)
( 1; 7), : 2 0Ay
e)
12
(2;3), : 34
xt
Ayt
f)
13
( 5;3), : 35
xt
Ayt
g)
14
(0;3), : 32
xy
A
h)
22
(5;2), : 12
xy
A
Bài 7. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng
d
đi
qua
A
và vuông góc với đường thẳng trong các trường hợp sau:
Phương trình đường thẳng Hình học 10
5
a)
(4; 1), : 3 5 2014 0A x y
b)
(2; 3), : 3 7 0A x y
c)
(4;5), : 5 4 0A x y
d)
(5;5),A Ox
e)
( 4; 1),A Oy
f)
13
(1; 4), : 12
xy
A
g)
23
(4; 6), : 3 10
xy
A
h)
2
(1;0), : 14
xt
Ayt
i)
2
(0;7), : xt
Ayt
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho
ABC
có các đỉnh tương ứng trong các trường hợp sau. Hãy
lập:
a) Phương trình ba cạnh
ABC
.
b) Phương trình các đường cao. Từ đó suy ra trực tâm của
ABC
.
c) Phương trình các đường trung tuyến. Suy ra trọng tâm của
ABC
.
d) Phương trình các đường trung bình trong
ABC
.
e) Phương trình các đường trung trực. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABC
1)
(1; 1), ( 2;1), (3;5)A B C
2)
(2;0), (2; 3), (0; 1)A B C
3)
( 4;5), ( 1;1), (6; 1)A B C
4)
(1;4), (3; 1), (6;2)A B C
5)
( 1; 1), (1;9), (9;1)A B C
6)
(4; 1), ( 3;2), (1;6)A B C
Bài 9. Cho
ABC
, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao
'AA
,
'BB
,
'CC
của
tam giác, biết:
a)
: 2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0AB x y BC x y CA x y
b)
: 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0AB x y BC x y CA x y
Bài 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M
và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn bằng nhau với:
a)
( 4;10)M
b)
(2;1)M
c)
( 3; 2)M
d)
(2; 1)M
Bài 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M
và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm tạo thành một tam giác có
diện tích, biết:
a)
( 4;10), 2MS
b)
(2;1), 4MS
c)
( 3; 2), 3MS
d)
(2; 1), 4MS
Bài 12. Tìm hình chiếu của
M
lên đường thẳng
d
và điểm
M
đối xứng với
M
qua đường thẳng
d
, biết:
a)
(2;1), : 2 3 0M d x y
b)
(3; 1), : 2 5 30 0M d x y
c)
(4;1), : 2 4 0M d x y
d)
( 5;13), : 2 3 3 0M d x y
Bài 13. Lập phương trình đường thẳng
d
đối xứng với đường thẳng
d
qua đường thẳng , biết:
a)
: 2 1 0, : 3 4 2 0d x y x y
b)
: 2 4 0, : 2 2 0d x y x y
c)
: 1 0, : 3 3 0d x y x y
d)
: 2 3 1 0, : 2 3 1 0d x y x y
Bài 14. Cho phương trình
( 2) 0mx m y m
(1)
a) Chứng minh với mọi
m
phương trình (1) là phương trình của một đường thẳng gọi là họ
()
m
d
.
b) Tìm điểm cố định mà họ
()
m
d
luôn đi qua.
Bài 15. Cho họ đường thẳng có phương trình
2
( ) : (2 1) 0
m
d m x y m
. Chứng minh rằng họ đường thẳng
()
m
d
luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Bài 16. Chi hai điểm
(0;2)A
,
( ; 2)Bm
a) Hãy viết phương trình đường trung trực
d
của
AB
.
b) Chứng minh rằng
d
luôn tiếp xúc với một đường cong cố định khi
m
thay đổi.
Bài 17. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường cao
còn lại, biết:
a)
: 4 12 0; ' : 5 4 15 0; ' : 2 2 9 0BC x y BB x y CC x y
b)
: 5 3 2 0; ' : 4 3 1 0; ' : 7 2 22 0AC x y AA x y CC x y
c)
: 2 0; ' : 2 7 6 0; ' : 7 2 1 0AB x y AA x y BB x y
Bài 18. Cho tam giác
ABC
, biết tọa độ một đỉnh và phương trình hai đường cao. Viết phương trình các cạnh của
tam giác đó, biết:
a)
(3;0); ' : 2 2 9 0; ' : 3 12 1 0A BB x y CC x y