Chuyên Đề Phương Trình & Hệ Phương Trình
A. Các loại phương trình và hệ phương trình cơ bản
I.Phương trình bậc nhất
1.1 Dạng : a
x+b=0
1.2 Cách giải:
a0≠ : phương trình có một nghiệm b
xa
=
−
a=0 :
+ : phương trình vô nghiệm
b0≠
+ : phương trình có nghiệm x tùy ý
b0=
1.3 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình
xa xb xc 1 1 1
2( )
bc ac ab a b c
−−−
++=++
(*)
Lấy VT-VP (*) được phân tích thành
111
(x a b c)( ) 0
bc ac ab
−−− + + =
Nếu 111
0
bc ac ab
++≠
thì phương trình có nghiệm là : xabc
=
++
Nếu 111
0
bc ac ab
++=
thì phương trình trên đúng với mọi x
Bài 2:
Giải phương trình
abx acx cbx 4x 1
cbaabc
+− +− +−
+++
++ =
Cộng 3 vào 2 vế của phương trình ta được :
111 abcx
(a b c x)( ) 4
abc abc
++−
++− + + =
+
+
111 4
(a b c x)( ) 0
abcabc
++− ++− =
++
Vậy
xabc=++
II. Phương trình bậc hai
2.1 Dạng :
2
ax bx c 0(a 0)++= ≠
2.2 Cách giải:
a=0 : phương trình suy biến thành bậc 1
a0≠ : lập
2
b4acΔ= −
0Δ< : phương trình vô nghiệm
0Δ= : phương trình có nghiệm kép 12
b
xx 2a
==−
0Δ> : phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1, 2
b
x2a
−
±Δ
=
Chú ý :
Nếu 1
b
x2a
−− Δ
= và 1
b
x2a
−+ Δ
= thì :
khi
1
xx<2
2
a0>
khi
1
xx>a0<
Nếu và ctrái dấu thì nên aac 0<4ac 0
−
< do đó 0
Δ
> phương trình bậc hai có 2
nghiệm phân biệt
2.3 Hệ thức Vi-et
i) Nếu phương trình có 2 nghiệm thì
2
ax bx c 0++= 1
x&x
212 12
bc
xx &xx
aa
+
=− =
ii) Đảo lại cho 2 số bất kỳ ,
α
β
,khi đó chúng là nghiệm của phương trình
2
xSxP0−+=
với S=
β
+ và P
α
β
=
Định lý 1 : Cho tam thức bậc 2 2
f(x)=ax bx c
+
+
i) Nếu tìm được số
α
để af( ) 0
α
≤
thì tam thức có nghiệm ,còn nếu af( ) 0
α
<
thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt
ii) Nếu tìm được số ,
α
β
sao cho f( )f( ) 0
α
β
≤
thì tam thức có nghiệm ,nếu
f( )f( ) 0
α
β
< thì tam thức có 2 nghiệm phân biệt
Định lý 2 : Để phương trình 2
ax bx c 0
+
+= có nghiệm hữu tỷ điều kiện cần và đủ là
biệt số là 1 số chính phương Δ
Định lý 3 : Nếu 0
p
xq
= là nghiệm hữu tỷ của phương trình 2
ax bx c 0
+
+= trong đó
thì q là ước của a và p là ước của
(p,q) 1=c
2.3 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình
22
2x x 3
3x x 1 3x 4x 1 2
+
=
−
+−+
(*)
Tập xác định 1
R\ 1,3
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
x0= : không là nghiệm
x0≠ : (*) 21
11
2
3x 1 3x 4
xx
⇔+
−+ − +
3
=
Đặt 1
y3xx
=+
ta quy về phương trình bậc hai 2
3y 21y 30 0
−
+= giải ra ta được
nghiệm và từ đó tìm được nghiệm
y2=y5=513
x6
±
=
Bài 2:
Giải phương trình
22 2
11 1
x 9x40x 11x30x 13x4218
++
++ + + + +
1
=
111111
x4 x5 x5 x6 x6 x7 18
⇔−+−+−=
++++++
1
3
2
x11x260⇔+ −=
Giải ra ta được nghiệm và
x1=− x2
=
Bài 3:
Giải phương trình
(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1
c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x
−− −− −−
+
+=
−− −− −−
Trong đó a, là 3 số khác nhau và khác 0 b,c
⇔(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1 0
c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c) x
−− −− −−
+
+−
−− −− −− =
Rõ ràng ta thấy là 3 nghiệm phân biệt của phương trình trên . Khi quy đồng mẫu số
(đk ) ,vế trái phương trình sẽ là một đa thức khác 0 do đó phương trình có không
quá 3 nghiệm .Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm
a,b,c
x0≠
123
xa,xb,x c
=
==
Bài 4:
a. Giả sử là hai nghiệm của phương trình .Hãy tính
theo a
12
x,x 2
x ax+1=0 −
7
71 2
Sx x=+
7
b. Tìm đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận số 77
3
53
α
=+
5
2
2
a
là nghiệm
a. Ta có
22 2 2
21 2 12 12
Sx x (xx)2xxa=+=+ − =−
222 22 22
412 12
S(x x)2xx (a2)=+ − =−−
22 3
3121122 2
S(x x)(x xxx)a(S1)a3=+ − + = −=−
3344 33 7 5 3
71212 1212 341
S (x x )(x x ) x x (x x ) S S S a 7a 14a 7a=+ +− += −=−+ −
b. Đặt 77
12
35
x,x
53
==
Theo Vi-et là nghiệm của phương trình
12
x,x 2
xx1
α
0
−
+= mà ta có
77
71 2
Sx x=+ 75 3
a 7a 14a 7a=− + −=35
53
+
75 3
15 105 210 105 34 0
αααα
⇔− + −−=
Vậy đa thức cần tìm là
75 3
15x 105x 210x 105x 34 0−+−−=
III. Phương trình bậc ba
3.1 Dạng
32
ax bx cx d 0+++=
3.2 Cách giải phương trình bậc ba tổng quát của Cardano
Cái này đối với học sinh THCS không quan trọng lắm nên tác giả chỉ xin đưa link để bạn
nào muốn tìm hiểu thì tham khảo http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf
hoặc http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation .
3.3 Hệ thức Vi-et
i) Nếu phương trình bậc ba 32
ax bx cx d 0+++=(a 0)
≠
có ba nghiệm thì :
123
x,x ,x
123
12 2 3 31
123
b
xx x a
c
xx x x x x a
d
xxx a
⎧++=−
⎪
⎪
⎪++=
⎨
⎪
⎪=−
⎪
⎩
ii) Đảo lại nếu 3 số u, thỏa mãn
v, w u v w=m,uv+vw+wu=n,uvw=p
+
+thì là
nghiệm của phương trình
u, v, w
32
tmtntp0−+−=
Định lý Bezout :
Cho 1 đa thức P( ,nếu P( có một nghiệm là
x) x)
α
thì P( chia hết cho (xx) )
α
− có
nghĩa là P(x) (x ).Q(x)
α
=− (bậc Q(x) P(x)
<
là 1 )
3.4 Các phương pháp chung giải phương trình bậc ba
3.4.1 Nếu biết trước một nghiệm 0
xx
=
thì phân tích phương trình
2
0
(x x )(ax bx c) 0−++=
1
1
Đặc biệt nếu :
abcd0+++= thì (*)
0
x=
abcd0−+−= thì (**)
0
x=−
3
dc
()
ab
= thì 0
c
xb
=− (***)
Sau đó để tìm a, ta có thể sử dụng phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ Horner hay
đồng nhất hóa hai vế để tìm
b,c
3.4.1 Biết một hệ thức giữa các nghiệm thì ta dùng Vi-et
3.4.2 Dùng hằng đẳng thức để biến đổi về phương trình tích
3.5 Bài tập
Bài 1:
Giải phương trình
32
x2x4x80
+
−+=
(1)
Gợi ý sử dụng (***) giải ra ta được x2
=
−
Bài 2:
Giải phương trình