T ng h p lý thuy t hình h c 9ổ ợ ế ọ
A- LÝ THUY T C N NHẾ Ầ Ớ :
Ch ng I: H th c l ng trong tam giác vuôngươ ệ ứ ượ
1- H th c v c nh ệ ứ ề ạ và đng cao trong tam giácườ vuông
1- a2=b2+c2
A2- b2=a.b' ; c2=a.c'
3- h2= b'.c'
4- b.c=a.h
c h
b5- 1
h2 1 1
b2c2
c' ┐ b'
B
H a C
2- T s l ng giác c a góc nh n trong tam giác vuôngỷ ố ượ ủ ọ :
+ Đnh nghĩaị : Xét m t góc nh n ộ ọ trong m t tam giác vuông :ộ
Sin = , cos
=
canh ke
canhhuye
n
, tg = , cotg =
Nh nậ xét : 0 < sin < 1 , 0 < cos < 1
tg và cotg là hai giá tr ngh ch đo c a nhau . Ta có tgị ị ả ủ .cotg = 1
+ T s l ng giác c a hai góc nh n ph nhauỉ ố ượ ủ ọ ụ :
Đnh lý ị: N u hai góc nh n ph nhau thì sin góc này b ng cosin góc kia, tang ế ọ ụ ằ
góc này b ng cotg góc kiaằ
SinB
=
CosC
Cos
B =
SinC
TgB = Cotg
C CotgB =
TgC
+ T s l ng giác c a các góc đc bi t :ỉ ố ượ ủ ặ ệ
300450600
Sin α
Cos α
Tan α
1
Cot α
1
+ Các công th c l ng giác đn gi nứ ượ ơ ả :
sin2 + cos2 = 1 , tg .cotg = 1 , tg = , cotg = 1
+ tg2 = , 1 + cotg2 =
+ Nh n xét : Khi góc ậ tăng t ừ00 đn 90ế0 thì sin và tg tăng còn cos và cotg gi m ả
V i hai góc nh n ớ ọ , thì :
và
4. M t ộs h th c v c nh và góc trong tam giácố ệ ứ ề ạ :
Đnh lýị : Trong m t tam giác vuông, m i c nh góc vuông b ng :ộ ổ ạ ằ
- C nh huy n nhân v i sin góc đi ho c nhân v i cosin góc kạ ề ớ ố ặ ớ ề
b = a sinB = a cosC
c = a sin C = a cosB
- C nh góc vuông kia nhân v i tg góc đi ho c nhân v i cotg góc kạ ớ ố ặ ớ ề
b = c tgB = c cotg C
c = b tgC = b cotg B
Suy ra: a = b/ sinB = b/ cosA
5. Áp d ng gi i ụ ả tam giác vuông :
Trong m t tam giác vuông, n u bi t tr c hai c nh ho c m t c nh và m t góc nh n thì taộ ế ế ướ ạ ặ ộ ạ ộ ọ
s tìm đc t t c các c nh và góc còn l i c a nó. Bài toán đt ra nh th g i là bài toán “ẽ ượ ấ ả ạ ạ ủ ặ ư ế ọ
Gia tam giác vuông ”ỉ
Đ gi i m t tam giác c n bi t : hai c nh ho c m t góc nh n và m t c nhể ả ộ ầ ế ạ ặ ộ ọ ộ ạ
Ch ng II: Đng trònươ ườ
1. Đng trònườ :
+ Đnh nghĩaị : Đng tròn ườ tâm O bán kính R ( v i R > 0 )ớ là hình g m các đi m cách O m tồ ể ộ
kho ng b ng Rả ằ
Đng tròn tâm O bán kính R đc kí hi u là ( O; R), ta cũng có th kí hi u là (O) khi ườ ượ ệ ể ệ
không c n chú ý đn bán kínhầ ế
+L u ý ư: Hình tròn tâm O bán kính R ( v i R > 0 ) là hình g m các đi m có kho ng cách đnớ ồ ể ả ế
O nh h n ho c b ng Rỏ ơ ặ ằ
+ Cách xác đnh m t đng trònị ộ ườ
- M t đng tròn đc xác đnh khi bi t tâm và bán kính c a đng trònộ ườ ượ ị ế ủ ườ đó
- M t ộđng tròn đc xác đnh khi bi t m t đo n th ng là đng kính c a ườ ượ ị ế ộ ạ ẳ ườ ủ
đng tròn đóườ
- Qua ba đi m không th ng hàng, ta v đc m t và ch ể ẳ ẽ ượ ộ ỉ m t ộđngườ tròn
Chú ý : Không v đc đng tròn nào đi qua ba đi m th ngẽ ượ ườ ể ẳ hàng
+ V trí t ng đi c a m t đi m đi v i m t đng tròn :ị ươ ố ủ ộ ể ố ớ ộ ườ
Xét đng tròn (O;R) và đi m M , OM = dườ ể
M thu c đngộ ườ tròn (O;R) M n m trong đngằ ườ tròn (O;R) M n m ằ
ngoài đng trònườ (O;R)
d = R d < R d > R
AA
+ Đng tròn ngo i ti p tam giác ( tam giác n i ti p đng tròn ườ ạ ế ộ ế ườ ) :
- Đng tròn đi qua ba đnh c a tam giác g i là đng tròn ngo i ti p tam giác ( khi ườ ỉ ủ ọ ườ ạ ế
đó tam giác đc g i là tam giác n i ti p đng tròn )ượ ọ ộ ế ườ
- Tâm đng tròn ngo i ti p ườ ạ ế tam giác là giao đi m c a ba đng trung tr c trong tam ể ủ ườ ự
giác
- Tâm đng tròn ngo i ti p ườ ạ ế tam giác nh n n m trong tamọ ằ giác
- Tâm đng tròn ngo i ti p ườ ạ ế tam giác tù n m ngoài tamằ giác
- Tâm đng tròn ngo i ti p ườ ạ ế tam giác vuông là trung đi m c a c nhể ủ ạ huy nề
- Trong tam giác đu, ềm i ỗđng trung tuy n cũng là đng trung tr c, đng phânườ ế ườ ự ườ giác,
đng cao nên tr ng tâm,ườ ọ
- Bán kính đng tròn ngo i ti p tam giác đu có c nh b ng a là ườ ạ ế ề ạ ằ
- N u m t ế ộ tam giác có m t ộc nh là đng kính c aạ ườ ủ đng tròn ngo i ườ ạ ti p ếthì tam giác đó
là tam giác vuông
+ Tâm đi x ng, tr c đi x ng c a m t đng trònố ứ ụ ố ứ ủ ộ ườ :
-Đng tròn là hình có tâm đi x ng. Tâm c a đng tròn là tâm đi x ng c aườ ố ứ ủ ườ ố ứ ủ đngườ
tròn đó
-Đng tròn là hình có tr c đi x ng. B t k đng kính nào cũng là tr c đi x ng ườ ụ ố ứ ấ ỳ ườ ụ ố ứ
c a đng tròn đóủ ườ
2. Đng kính và ườ dây c a đngủ ườ tròn
+ So sánh đ dài c a đng kính và dây:ộ ủ ườ
Đnh lý1ị : Trong các dây c a m t đng tròn, dây l n nh t là đng kínhủ ộ ườ ớ ấ ườ
+ Quan h vuông góc gi a đng kính và dây:ệ ữ ườ
Đnh lý2ị : Trong m t đng tròn, đng kính vuông góc v i m t dây thì đi qua trung ộ ườ ườ ớ ộ
đi m c a dây yể ủ ấ
Đnh lý3ị : Trong m t đng tròn, đng kính đi qua trung đi m c a m t dây không điộ ườ ườ ể ủ ộ
qua tâm thì vuông góc v i dây yớ ấ
CN u ∆ABC vuông t i Aế ạ thì
A, B, C thu c đng tròn đng kính BCộ ườ ườ
(Đnh lý này dùng đ ch ng minh nh ng bài toán yêu c u ch ng minh các ị ể ứ ữ ầ ứ
đi m cùng thu c 1 đng tròn)ể ộ ườ
AB
Ví d : Cho tam giác ABC có đng cao BD, CE. Ch ng minh: B, E, D, C cùng thu c đng tròn. Xácụ ườ ứ ộ ườ
đnh tâm Iị
ATa có: ∆BEC vuông t i E (CE ạ AB)
=> B, E, C thu c đtròn đkính BC (1)ộ
Ta có: ∆BDC vuông t i D (BD ạ AC)
=> B, D, C thu c đtròn đkính BC (2)ộ
T (1) và (2) => B, E, D, C cùng thu c đng tròn đng kính BC. ừ ộ ườ ườ
Tâm I là trung đi m BC.ể
B
C
Đng tròn (O) có:ườ
+∆ABC n iộ ti pếBC
+BC là đng kínhườ
=> ∆ABC vuông t i Aạ
B A A
Đng trònườ (O) có:Đng trònườ (O) có:Đng tròn (O)ườ có:
+AB là đkính, CD là dây +OA là bkính, CD là dây +OH là đo n qua tâm, CD ạlà dây
+AB ^ CD t iạ H +OA ^ CD t iạ H +OH ^ CD t iạ H
=> H là trung đi mể CD => H là trung đi mể CD => H là trung đi mể CD
BA
Đng tròn (O) có:ườ
+AB là đng kính, CD là dâyườ
+AB c t CD t i tđi m H c a CD (gt)ắ ạ ể ủ
=> AB
^
CD t i Hạ
3. Liên h gi a dây và kho ng cánh t tâm đnệ ữ ả ừ ế dây
Đnh lý1 ị : Trong m t ộđng tròn : a) Hai dây b ng nhau thì cách ườ ằ đu ềtâm
b) Hai dây cách đu tâm thì b ngề ằ nhau
Đnh lý2ị : Trong m t đng tròn : a) Dây nào l n h n thì dây đó g n tâm h nộ ườ ớ ơ ầ ơ