Chủ đề 4: Quỹ tích điểm.

I.Kiến thức cơ bản:

Với các bài toán quỹ tích ta cần nhớ rằng:

1. Nếu , với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực

của đoạn AB.

2. , với A, B, C cho trước thì M đường tròn tâm C, bán

kính bằng k.AB

3. Nếu , với A, B, C, cho trước thì:

*Với k R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC

* Với k R+ điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với

BC theo hướng .

* Với k R- điểm M thuộc nữa đường thẳng qua A song song với

BC ngược hướng .

II. Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:

(1) a.

(2) b.

Giải:

a.Gọi I là điểm thoã mãn hệ thức

I là trọng tâm .

Ta được :

(3)

Mặt khác nếu gọi E là trung điểm BC, ta được:

(4)

Thay (3), (4) vào (1) ta được:

M thuộc đường trung trực của đoạn IE.

b. Gọi K là điểm thoã mãn hệ thức :

= tồn tại duy nhất điểm K.

Ta được: = . (5)

Mặt khác: (6)

Thay (5), (6) vào (2), ta được:

M thuộc đường tròn tâm K, bán kính AE.

Bài 2: Cho , tìm tập hợp những điểm M thoã mãn:

(1) a.

(2) b.

Giải:

a. Ta biến đổi (1) về dạng:

M thuộc đường thẳng qua A song song

với BC.

b. Ta biến đổi (2) về dạng:

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được:

M thuộc đường trung bình EF của .

Bài 3:( ĐHMĐC-99):Cho , M là một điểm tuỳ ý trong mặt phẳng.

a.CMR vecto không đổi.

b.Tìm tập hợp những điểm M thoã mãn: .

Giải:

a.Ta có:

b.(Bạn đọc tự giải)

Chủ đề 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau

I.Kiến thức cơ bản:

Muốn chứng minh hai điểm A và B trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai

hướng:

Hướng 1:chứng minh

Hướng 2: chứng minh với O là điểm tuỳ ý.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho . Lấy các điểm M BC, N AC, P AB sao cho:

Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Giải:Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ABC, MNP, ta có:

Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB,

BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng

tâm.

Giải: Gọi G, J theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ANP, CMQ và O là một

điểm tuỳ ý. Ta có:

(1)

Mặt : (2)

(3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra:

Vậy G, J trùng nhau.

Chủ đề 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

I.Kiến thức cơ bản:

Mu ốn ch ứng minh 3 đi ểm th ẳng h àng ta c ần ch ứng minh:

(1)

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

Hướng 1: Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết

Hướng 2:Xác định vectơ và thông qua một số tổ hợp trung gian.

II. Bài tập minh hoạ:

Bài1: Cho , lấy các điểm I,J thoã mãn:

Chứng minh Ị đi qua trọng tâm của .

Giải:

Viết lại (1) dưới dạng: (3)

Biến đổi (2) về dạng: (4)

Trừ theo vế (4) cho (3) ta được:

I, J, G thẳng hàng.

Bài 2: Cho . Đường tròn nội ti ếp tiếp xúc với AB, AC theo thứ

tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Tìm điểm P

thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn:

Gọi P là giao điểm của EF và đường phân giác trong góc B. Ta đi chứng

minh M, N, P thẳng hàng.

Bài 3: Cho . Lấy các điểm M, N, P sao cho:

Chứng minh rằng M, N, G thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC.

(Bạn đọc tự giải)