CHUYÊN Đ Ề
NG D NG Ứ Ụ
C A H TH C VI-ÉTỦ Ệ Ứ
N I DUNG CHUYÊN Đ : Ộ Ề
NG D NG C A H TH C VI-ÉT TRONG GI I TOÁNỨ Ụ Ủ Ệ Ứ Ả
Cho ph ng trình b c hai: ươ ậ ax2 + bx + c = 0 (a0) (*)
Có hai nghi mệ
1
2
b
xa
− − ∆
=
;
2
2
b
xa
− + ∆
=
Suy ra:
1 2
2
2 2
b b b b
x x a a a
− − ∆ − + ∆ − −
+ = = =
2
1 2 2 2 2
( )( ) 4
4 4 4
b b b ac c
x x a a a a
− − ∆ − + ∆ − ∆
= = = =
V y đt :ậ ặ - T ng nghi m là S : ổ ệ S =
1 2
b
x x a
−
+ =
- Tích nghi m là P : ệP =
1 2
c
x x a
=
Nh v y ta th y gi a hai nghi m c a ph ng trình (*) có liên quan ch t ch v iư ậ ấ ữ ệ ủ ươ ặ ẽ ớ
các h s ệ ố a, b, c. Đây chính là n i dung c a Đnh lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hi u m t s ộ ủ ị ể ộ ố
ng d ng c a đnh lí này trong gi i toán.ứ ụ ủ ị ả
I. NH M NGHI M C A PH NG TRÌNH :Ẩ Ệ Ủ ƯƠ
1. D ng đc bi t:ạ ặ ệ
Xét ph ng trình (*) ta th y :ươ ấ
a) N u cho ếx = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a + b + c = 0
Nh vây ph ng trình có m t nghi m ư ươ ộ ệ
1
1x
=
và nghi m còn l i là ệ ạ
2
c
xa
=
b) N u cho ếx =
1 thì ta có (*) a.(
1)2 + b(
1) + c = 0 a
b + c = 0
Nh v y ph ng trình có m t nghi m là ư ậ ươ ộ ệ
1
1x
= −
và nghi m còn l i là ệ ạ
2
c
xa
−
=
Ví d :ụ Dùng h th c VI-ÉT đ nh m nghi m c a các ph ng trình sau:ệ ứ ể ẩ ệ ủ ươ
1)
2
2 5 3 0x x
+ + =
(1) 2)
2
3 8 11 0x x
+ − =
(2)
Ta th y :ấ
Ph ng trình (1) có d ng a ươ ạ
b + c = 0 nên có nghi m ệ
1
1x
= −
và
2
3
2
x−
=
Ph ng trình (2) có d ng a + b + c = 0 nên có nghi m ươ ạ ệ
1
1x
=
và
2
11
3
x
−
=
Bài t p áp d ng:ậ ụ Hãy tìm nhanh nghi m c a các ph ng trình sau:ệ ủ ươ
1.
2
35 37 2 0x x
− + =
2.
2
7 500 507 0x x
+ − =
3.
2
49 50 0x x
− − =
4.
2
4321 21 4300 0x x
+ − =
2. Cho ph ng trình , có m t h s ch a bi t, cho tr c m t nghi mươ ộ ệ ố ư ế ướ ộ ệ tìm nghi m ệ
còn l i và ch ra h s c a ph ng trình :ạ ỉ ệ ố ủ ươ
Víd :ụ a) Ph ng trình ươ
2
2 5 0x px
− + =
. Có m t nghi m b ng 2, tìm ộ ệ ằ p và nghi m th ệ ứ
hai.
b) Ph ng trình ươ
2
5 0x x q+ + =
có m t nghi m b ng 5, tìm ộ ệ ằ q và nghi m th hai.ệ ứ
c) Cho ph ng trình : ươ
2
7 0x x q
− + =
, bi t hi u 2 nghi m b ng 11. Tìm ế ệ ệ ằ q và hai
nghi m c a ph ng trình.ệ ủ ươ
d) Tìm q và hai nghi m c a ph ng trình : ệ ủ ươ
2
50 0x qx
− + =
, bi t ph ng trình có 2ế ươ
nghi m và có m t nghi m b ng 2 l n nghi m kia. ệ ộ ệ ằ ầ ệ
Bài gi i: ả
a) Thay
1
2x
=
v à ph ng trình ban đ u ta đ c : ươ ầ ư ợ
1
4 4 5 0 4
p p
− + = =
T ừ
1 2
5x x
=
suy ra
2
1
5 5
2
xx
= =
b) Thay
1
5x=
v à ph ng trình ban đ u ta đ cươ ầ ư ợ
25 25 0 50q q
+ + = = −
T ừ
1 2
50x x = −
suy ra
2
1
50 50 10
5
xx
− −
= = = −
c) Vì vai trò c a ủx1 và x2 bình đng nên theo đ bài gi s ẳ ề ả ử
1 2
11x x
− =
và theo VI-ÉT ta có
1 2
7x x
+ =
, ta gi i h sau: ả ệ
1 2 1
1 2 2
11 9
7 2
x x x
x x x
− = =
+ = = −
Suy ra
1 2
18q x x= = −
d) Vì vai trò c a ủx1 và x2 bình đng nên theo đ bài gi s ẳ ề ả ử
1 2
2x x
=
và theo VI-ÉT ta có
1 2
50x x
=
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5 5
x
x x x
= −
= = =
V i ớ
2
5x= −
th ì
1
10x
= −
V i ớ
2
5x
=
th ì
1
10x
=
II. L P PH NG TRÌNH B C HAI Ậ ƯƠ Ậ
1. L p ph ng trình b c hai khi bi t hai nghi m ậ ươ ậ ế ệ
1 2
;x x
Ví d :ụ Cho
1
3x=
;
2
2x
=
l p m t ph ng trình b c hai ch a hai nghi m trênậ ộ ươ ậ ứ ệ
Theo h th c VI-ÉT ta có ệ ứ
1 2
1 2
5
6
S x x
P x x
= + =
= =
v y ậ
1 2
;x x
là nghi m c a ph ng trình có d ng:ệ ủ ươ ạ
2 2
0 5 6 0x Sx P x x
− + = − + =
Bài t p áp d ng: ậ ụ
1. x1 = 8 vµ x2 = -3
2. x1 = 3a vµ x2 = a
3. x1 = 36 vµ x2 = -104
4. x1 =
1 2
+
vµ x2 =
1 2
−
2. L p ph ng trình b c hai có hai nghi m tho mãn bi u th c ch a hai nghi m ậ ươ ậ ệ ả ể ứ ứ ệ
c a m t ph ng trình cho tr c:ủ ộ ươ ướ
V í d :ụ Cho ph ng trình : ươ
2
3 2 0x x
− + =
có 2 nghi m phân bi t ệ ệ
1 2
;x x
. Không gi iả
ph ng trình trên, hãy l p ph ng trình b c 2 có n là ươ ậ ươ ậ ẩ y tho mãn : ả
1 2
1
1
y x x
= +
và
2 1
2
1
y x x
= +
Theo h th c VI- ÉT ta c ó:ệ ứ
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3 2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
+
= + = + + + = + + + = + + = + =
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1 2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
V y ph ng trình c n l p có d ng: ậ ươ ầ ậ ạ
2
0y Sy P
− + =
hay
2 2
9 9 0 2 9 9 0
2 2
y y y y
− + = − + =
Bài t p áp d ng:ậ ụ
1/ Cho ph ng trình ươ
2
3 5 6 0x x
+ − =
có 2 nghi m phân bi t ệ ệ
1 2
;x x
. Không gi i ph ngả ươ
trình, Hãy l p ph ng trình b c hai có các nghi m ậ ươ ậ ệ
1 1
2
1
y x x
= +
và
2 2
1
1
y x x
= +
(Đáp s : ố
2
5 1 0
6 2
y y
+ − =
hay
2
6 5 3 0y y
+ − =
)
2/ Cho ph ng trình : ươ
2
5 1 0x x
− − =
có 2 nghi m ệ
1 2
;x x
. Hãy l p ph ng trình b c 2 cóậ ươ ậ
n y tho mãn ẩ ả
4
1 1
y x
=
và
4
2 2
y x=
(có nghi m là lu th a b c 4 c a các nghi m c aệ ỹ ừ ậ ủ ệ ủ
ph ng trình đã cho).ươ
(Đáp s : ố
2
727 1 0y y
− + =
)
3/ Cho ph ng trình b c hai: ươ ậ
2 2
2 0x x m
− − =
có các nghi m ệ
1 2
;x x
. Hãy l p ph ng ậ ươ
trình b c hai có các nghi m ậ ệ
1 2
;y y
sao cho :
a)
1 1
3y x
= −
và
2 2
3y x
= −
b)
1 1
2 1y x
= −
và
2 2
2 1y x= −
(Đáp s ốa)
2 2
4 3 0y y m
− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m
− − − =
)
III. TÌM HAI S BI T T NG VÀ TÍCH C A CHÚNGỐ Ế Ổ Ủ
N u hai s có T ng b ng S và Tích b ng P thì hai s đó là hai nghi m c a ế ố ổ ằ ằ ố ệ ủ
ph ng trình :ươ
2
0x Sx P
− + =
(đi u ki n đ có hai s đó là Sề ệ ể ố 2
4P 0 )
Ví d :ụ Tìm hai s a, b bi t t ng S = a + b = ố ế ổ
3 và tích P = ab =
4
Vì a + b =
3 và ab =
4 n ên a, b là nghi m c a ph ng trình : ệ ủ ươ
2
3 4 0x x
+ − =
gi i ph ng trình trên ta đc ả ươ ượ
1
1x
=
và
2
4x= −
V y ận u a = 1 thì b = ế
4
n u a = ế
4 thì b = 1
Bài t p áp d ng:ậ ụ Tìm 2 s a và b bi t T ng S và Tích P ố ế ổ
1. S = 3 và P = 2
2. S =
3 vàP = 6
3. S = 9 và P = 20
4. S = 2x và P = x2
y2
Bài t p nâng caoậ: Tìm 2 s a và b bi tố ế
1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
2. a
b = 5 và ab = 36
3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
H ng d n:ướ ẫ 1) Theo đ bài đã bi t t ng c a hai s a và b , v y đ áp d ng h th c ề ế ổ ủ ố ậ ể ụ ệ ứ
VI- ÉT thì c n tìm tích c a a v à b.ầ ủ
T ừ
( )
( )
2 2
22 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = + = + + = = =
Suy ra : a, b là nghi m c a ph ng trình có d ng : ệ ủ ươ ạ
1
2
2
4
9 20 0 5
x
x x x
=
− + = =
V y: ậN u a = 4 thì b = 5 ế
n u a = 5 thì b = 4ế
2) Đã bi t tích: ab = 36 do đó c n tìm t ng : a + bế ầ ổ
Cách 1: Đ t c = ặ
b ta có : a + c = 5 và a.c =
36
Suy ra a,c là nghi m c a ph ng trình : ệ ủ ươ
1
2
2
4
5 36 0 9
x
x x x
= −
− − = =
Do đó n u a = ế
4 thì c = 9 nên b =
9
n u a = 9 thì c = ế
4 nên b = 4
Cách 2: T ừ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab
− = + − + = − + =
( )
22
13
13 13
a b
a b a b
+ = −
+ = + =
*) V i ớ
13a b
+ = −
và ab = 36, nên a, b là nghi m c a ph ng trình :ệ ủ ươ
1
2
2
4
13 36 0 9
x
x x x
= −
+ + = = −
V y a =ậ
4
−
thì b =
9−
*) V i ớ
13a b
+ =
và ab = 36, nên a, b là nghi m c a ph ng trình :ệ ủ ươ
1
2
2
4
13 36 0 9
x
x x x
=
− + = =
V y a = 9 thì b = 4ậ
3) Đã bi t ab = 30, do đó c n tìm a + b:ế ầ
T : aừ2 + b2 = 61
( )
22 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab
+ = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ = −
+ =
*) N u ế
11a b
+ = −
và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a ph ng trình:ệ ủ ươ
1
2
2
5
11 30 0 6
x
x x x
= −
+ + = = −
V y n u a =ậ ế
5
−
thì b =
6
−
; n u a =ế
6
−
thì b =
5
−