Chuyªn ®Ò ViiI. Ph¬ng ph¸p to¹ ®é trong mÆt ph¼ng
A. Môc tiªu
- Häc sinh thµnh th¹o c¸ch viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng khi biÕt c¸c yÕu tè x¸c ®Þnh ®êng
th¼ng; biÕt c¸ch t×m to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng, tõ ®ã suy ra vÞ trÝ t¬ng ®èi
gi÷a c¸c ®êng th¼ng; cã kÜ n¨ng tÝnh to¸n c¸c ®¹i lîng nh ®é dµi ®o¹n th¼ng, ®é lín gãc,
diÖn tÝch; biÕt vËn dông c«ng thøc khong c¸ch ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n cã liªn quan; biÕt gi¶i
c¸c bµi to¸n ®èi xøng: t×m to¹ ®é ®iÓm ®èi xøng víi ®iÓm qua ®êng th¼ng, viÕt ph¬ng
tr×nh ®êng th¼ng ®èi xøng víi ®êng th¼ng qua ®iÓm,...
- Häc sinh thµnh th¹o c¸ch viÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn khi biÕt c¸c yÕu tè x¸c ®Þnh ®êng
trßn: t©m, b¸n kÝnh; nhËn ra ®îc ph¬ng tr×nh ®êng trßn, thµnh th¹o x¸c ®Þnh to¹ ®é t©m,
b¸n kÝnh; viÕt ®îc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn trong hai trêng hîp: tiÕp tuyÕn t¹i
®iÓm, ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn thom·n mét ®iÒu kiÖn...; biÕt x¸c ®Þnh giao
®iÓm cña mét ®êng th¼ng víi ®êng trßn, c¸ch x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cña mét ®iÓm víi
®êng trßn.
- BiÕt d¹ng chÝnh t¾c cña c¸c ®êng conic, biÕt ®Þnh nghÜa riªng cña elip, hypebol, parabol
vµ ®Þnh nghÜa nghÜa chung cña ®êng conic, x¸c ®Þnh ®îc c¸c tÝnh chÊt cña conic khi
biÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c; viÕt ®îc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña conic khi biÕt mét sè
yÕu tè.
B. Ph©n bè gi¶ng d¹y
TiÕt 1- 2 - 3: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng.
TiÕt 4: §êng trßn
TiÕt 5 – 6: Ba ®êng conic.
C. Bµi tËp.
I. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng.
Bµi tËp vÝ dô:
Bµi 1. LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c, tæng qu¸t cña ®êng th¼ng ®i qua hai
®iÓm M(3; 6) vµ N
(5; -3).
NguyÔn TiÕn Thïy §¹i Häc S Ph¹m
Hµ Néi
1
Bµi 2. Cho ®êng th¼ng d: 3x+ 4y – 10 = 0, ®iÓm M(1; 2).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng d
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè, ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng th¼ng d1 ®i qua M
vµ song song víi d.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t vµ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c (nÕu cã) cña ®êng th¼ng
d2 ®i qua M vµ vu«ng gãc víi d.
d) T×m to¹ ®é h×nh chiÕu H cña M trªn d.
e) T×m to¹ ®é ®iÓm M' ®èi xøng víi M qua d.
f) T×m kho¶ng c¸ch tõ N(2; -1) ®Õn d.
g) T×m to¹ ®é hai ®iÓm A, B trªn d sao cho tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c ®Òu.
Bµi 3. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®êng th¼ng d:
2
4 2
x t
y t
= −
= +
vµ ®iÓm M(1; 3).
a) §iÓm M cã n»m trªn d hay kh«ng?
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tæng qu¸t, ph¬ng tr×nh tham sè, ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c (nÕu
cã) cña ®êng th¼ng ∆ ®i qua M vµ vu«ng gãc víi d.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d' ®èi xøng víi d qua M.
d) T×m diÖn tÝch tam gi¸c t¹o bëi ®êng th¼ng d vµ c¸c trôc to¹ ®é.
e) TÝnh gãc gi÷a ®êng th¼ng d vµ c¸c trôc to¹ ®é.
f) ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng ®i qua M vµ t¹o víi ®êng th¼ng d mét gãc 600.
Bµi tËp vÒ nhµ:
Bµi 4. Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC, trong ®ã A(4; -1), B(-3; 2), C(1; 6).
a) T×m to¹ ®é trùc t©m cña tam gi¸c ABC.
b) T×m to¹ ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c BCD.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong gãc B cña tam gi¸c ABC.
d) T×m to¹ ®é ®iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
e) TÝnh c¸c c¹nh, c¸c gãc vµ diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh trªn.
f) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c cÆp c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh ABCD.
Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã ®Ønh A(2; 2). ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c biÕt
r»ng 9x - 3y – 4 = 0; x + y – 2 = 0 lÇn lît lµ ph¬ng tr×nh c¸c ®êng cao kÎ tõ B
vµ C.
NguyÔn TiÕn Thïy §¹i Häc S Ph¹m
Hµ Néi
2
Bµi 6. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua ®iÓm A(2;1) vµ t¹o víi ®êng th¼ng 2x + 3y + 4 =
0 mét gãc b»ng 450.
Bµi 7.ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu B(2 ;-1), ®êng cao vµ ph©n gi¸c
trong qua hai ®Ønh A ; C lÇn lît lµ 3x - 4y + 27 = 0 ; x + 2y – 5 = 0.
Bµi 8. Cho h×nh vu«ng cã mét ®Ønh lµ A(0 ;5) vµ mét ®êng chÐo n»m trªn ®êng th¼ng
cã ph¬ng tr×nh : 7x – y + 8=0. ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh vµ ®êng chÐo thø hai cña
h×nh vu«ng ®ã
Bµi 9. Cho tam gi¸c cã M(-1;1) lµ trung ®iÓm cña mét c¹nh, cßn hai c¹nh kia cã ph¬ng
tr×nh lÇn lît lµ: x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é c¸c ®Ønh cña
tam gi¸c.
Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC, biÕt A(2; -1) vµ ph¬ng tr×nh hai ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc B
vµ gãc C lÇn lît lµ : db: x – 2y + 1 = 0 ; dc: x + y + 3 = 0. T×m ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng chøa c¹nh BC.
Bµi 11. LËp ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh C(4; -1), ®êng cao vµ trung
tuyÕn kÎ tõ mét ®Ønh cã ph¬ng tr×nh lµ: 2x – 3y + 12 = 0 vµ 2x + 3y = 0.
Bµi 12. Trong mÆt víi hÖ to¹ ®é Oxy cho hai ®êng th¼ng d1: x – y = 0 vµ d2: 2x + y – 1 = 0.
T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cña h×nh vu«ng ABCD, biÕt r»ng ®Ønh A thuéc d1, ®Ønh C
thuéc d2 vµ c¸c ®Ønh B, D thuéc trôc hoµnh. (§Ò thi
khèi A n¨m 2005)
Bµi 13. Trong mÆt ph¼ng cho ba ®êng th¼ng
1 2 3
: 3 0; : 4 0; : 2 0.d x y d x y d x y+ + = − − = − =
T×m to¹ ®é ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng d3 sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®êng
th¼ng d1 b»ng hai lÇn kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®êng th¼ng d2.(§Ò khèi
A - 2006)
II. §êng trßn.
Bµi tËp vÝ dô
NguyÔn TiÕn Thïy §¹i Häc S Ph¹m
Hµ Néi
3
Bµi 1. Cho ba ®iÓm A(4; 6), B(-3; 5), C(1; 7).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) ®i qua ba ®iÓm A, B, C. T×m to¹ ®é t©m I vµ
b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã.
b) H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cña c¸c ®iÓm sau ®©y víi ®êng trßn (C): D(-2; -2),
E(2; 8), F(0; 2), G(1; -3).
c) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i hai ®iÓm A vµ B. T×m to¹ ®é giao
®iÓm cña hai tiÕp tuyÕn ®ã.
d) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn song song víi trôc hoµnh.
e) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn song song víi ®êng th¼ng OI.
f) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®i qua ®iÓm E(2; 8). T×m gãc gi÷a
hai tiÕp tuyÕn ®ã.
Bµi 2. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy
a) Cho ®iÓm I(2; 3) vµ ®êng th¼ng ∆: x – 3y + 1 = 0. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn
t©m I vµ tiÕp xóc víi ∆.
b) Cho ®êng th¼ng d: x – 7y + 10 = 0. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn cã t©m thuéc ®-
êng th¼ng d': 2x + y = 0 vµ tiÕp xóc víi d t¹i A(4; 2).
Bµi tËp vÒ nhµ
Bµi 3. Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é cho ba ®êng trßn (C1), (C2), (C3) lÇn lît cã ph¬ng tr×nh lµ:
(C1): x2 + y2 – 8x – 10y + 16 = 0; (C2): x2 + y2 – 6x – 8y = 0;
(C3): x2 + y2 – 2x – 12y + 12 = 0.
a) T×m to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña mçi ®êng trßn ®ã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua t©m cña ba ®êng trßn trªn.
Bµi 4. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua ®iÓm A(2; -1) vµ tiÕp xóc víi hai trôc to¹ ®é.
III. Ba ®êng conic
Bµi tËp vÝ dô
Bµi 1. ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) biÕt:
a) §é dµi trôc lín b»ng 8, tiªu cù b»ng 6.
b) Tiªu cù b»ng 4 vµ t©m sai e =
3
5
.
c) Mét tiªu ®iÓm lµ F
( )
3;0−
vµ ®iÓm N
3
1; 2
÷
thuéc (E).
NguyÔn TiÕn Thïy §¹i Häc S Ph¹m
Hµ Néi
4
d) (E) ®i qua hai ®iÓm M(1; 0) vµ N
3;1
2
÷
.
Bµi 2. Cho elip (E) cã ph¬ng tr×nh
2 2
1
12 3
x y
+ =
.
a) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh, to¹ ®é hai tiªu ®iÓm F1, F2, t×m t©m sai cña (E). TÝnh
diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E).
b) Gäi K lµ mét giao ®iÓm cña ®êng th¼ng x – 1 = 0 vµ (E). TÝnh ®é dµi KF1, KF2.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng chuÈn cña (E) vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ mét tiªu ®iÓm
®Õn ®êng chuÈn t¬ng øng.
d) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (E) víi ®êng th¼ng x + y – 1 = 0.
e) M lµ ®iÓm thuéc (E) sao cho tam gi¸c MF1F2 vu«ng t¹i M. TÝnh diÖn tÝch tam
gi¸c MF1F2.
Bµi 3.LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) biÕt:
a) Trôc thùc b»ng 8, tiªu cù b»ng 10.
b) Tiªu cù b»ng
, mét tiÖm cËn lµ
2
3
y x=
.
c) T©m sai e =
5
vµ (H) ®i qua ®iÓm
( )
10;6
.
Bµi 4.Cho hypebol (H) cã ph¬ng tr×nh:
2 2
1
16 9
x y
− =
.
a) T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh, c¸c tiªu ®iÓm vµ tÝnh t©m sai cña (H).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H).
c) Cho ®iÓm M(x; y) n»m trªn (H). Chøng minh r»ng tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn
c¸c ®êng tiÖm cËn cña (H) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.
d) T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm N thuéc (H) sao cho MF1 = 2MF2.
e) ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c ®êng chuÈn cña (H).
Bµi 5. LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol (P) biÕt:
NguyÔn TiÕn Thïy §¹i Häc S Ph¹m
Hµ Néi
5