intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đạo hàm - vi phân 1

Chia sẻ: Cao Thi Nhu Kieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST
Báo xấu
365
lượt xem 99
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0 (a,b). Nếu tồn tại f ( x ) f ( x0 ) lim x x0 x x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đạo hàm - vi phân 1

  1. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x0  (a,b). Nếu tồn tại f ( x )  f ( x0 ) lim x  x0 x  x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0. Ký hiệu f’(x0), y’(x0) Đặt x = x – x0, ta có x = x0 + x và đặt y = f(x0 + x) – f(x0) thì y y'  lim Ký hiệu dy/dx, df/dx  x  0 x 1
  2. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN y y'  lim - Đạo hàm bên phải: x 0  x y y'  lim - Đạo hàm bên trái: x 0  x - Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó, - f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx 2
  3. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số: Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì: • u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’ • u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u ' u  u' v  v' u • u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và     v2 v Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x). 3
  4. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm của hàm số ngược: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-1(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x): 1 1 1 ( f )' ( y )   f ' ( x ) f ' [ f 1( y )] Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx 4
  5. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: 1 (loga x )'  (c)’ = 0 x ln a (x)’ = x-1 1 (ln x )'  (ax)’ = axlna x 1 (ex)’ = ex (arcsin x )'  1  x2 (sinx)’ = cosx 1 (arccos x )'   (cosx)’ = -sinx 1  x2 1 ( tgx )'  1 cos2 x (arctgx )'  1  x2 1 1 (cot gx )'   2 (arc cot gx )'   sin x 1 x2 5
  6. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Đạo hàm cấp cao : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x) d2 y d2f , 2 dx 2 dx Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x). dn y dnf , n dxn dx 6
  7. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Ví dụ: Cho y = x (  R, x > 0), y = kex, tìm y(n) Công thức Leibniz: Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có: (u + v)(n) = u(n) + v(n) n (n )   Cku(nk ).vk trong đó u(0) = u, v(0) = v (uv ) n k 0 7
  8. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 2. VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm số f. Vi phân của tổng, tích, thương: d(u + v) = du + dv d(u.v) = vdu + udv  u  vdu  udv d   v2 v 8
  9. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn (d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f. 9
  10. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c) = 0. Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b )  f (a)  f ' (c ) ba Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a). 10
  11. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f (b )  f ( a ) f ' ( c )  g(b)  g(a) g' (c ) Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x. 11
  12. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho: f ' ( x0 ) f " ( x0 ) ( x  x0 )2  ... f ( x )  f ( x0 )  ( x  x0 )  1! 2! f (n ) ( x 0 ) f (n1) (c ) ( x  x 0 )n  ( x  x 0 )n1 ...  n! (n  1)! Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang f (n1) (c ) ( x  x 0 )n1 Rn ( x )  (n  1)! 12
  13. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đa thức Taylor: f k ( x0 ) n k Pn ( x )   ( x  x0 ) k 0 k! Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin f ( n ) (0) n f ( n 1) (c) n 1 f ' (0) f " (0) 2 f ( x )  f ( 0)  x x  ...  x x (n  1)! 1! 2! n! 13
  14. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x  (a,b) f ' ( x) f ' ( x) lim  lim L lim f ( x )  lim g( x )  0 x a g' ( x ) x a g' ( x ) x a x a Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu: lim f ( x )  lim g( x )   lim f ( x )  lim g( x )  0 x a x a x  x  lim f ( x )  lim g( x )   x  x  • Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần. 14
  15. Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN 1. Dạng 0/0, / Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0) x3  27 tgx  x lim lim 2 x 0 x  sin x x 3 x  4 x  3   arctgx x  sin x lim 2 lim x3 1 x 0 x  x Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /) xn ln x ln x lim x lim n lim x   e x 0  cot gx x   x 15
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0