Lecture 4 Lecture 4
Nguyen Van Thuy
ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Â
À
Ứng dụng của đạo hàm
e e Review
Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu (cid:132) Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi (
f a ( )
−
f a '( )
=
lim h h 0 0 → →
f a h ) + h h
nếu giới hạn đó tồn tại
(cid:132) Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C):
(a, (a)) y=f(x) tại điểm P(a,f(a)) y
( ) ạ đ
y = f’(a)(x-a) + f(a)
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-2
e e Review
Các công thức đạo hàm cơ bản (cid:132) Các công thức đạo hàm cơ bản
'
u
e
u e u
α u ( (
) ) '
( ', (
) ) '
',
u ) (ln ) ' (
=
1 αα − u u
=
=
u u
u (sin ) '
u
'cos , (cos ) '
u
u
'sin
u
=
u = −
2
2
(tan ) '
u
u
u
), (cot
u
) '
u
u
)
=
'(1 tan +
= −
'(1 cot +
u u
u u
'
'
(arcsin ) '
u
, (arccos ) '
u
=
= −
2
2
u
1
(arctan ) '
u
, (arc cot
u
) '
=
= −
2
2
1 1
1 1
1 − u ' u u + +
u − u ' u u + +
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-3
e e Review
n ( )
(cid:132)
y y
''
( (
y y
) , ') ',
y y
'''
( (
y y
, '') ',..., ) ,
y y
( (
( 1) n y − y
) ) '
=
=
=
(cid:132) Công thức
n ( )
n
n ( )
n ax
=
(
e
)ax
a e
=
(
1 x a +
( 1) n ! − n 1 x a + ) +
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
n ( )
n
n ( )
n
(sin
ax
)
a
sin
=
ax n +
(cos
ax
)
a
cos
=
ax n +
π 2 2
π 2 2
⎛ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠
Công thức Leibniz
n
(
)
(
)
(0)
( ) n
k
n k −
(
fg
)
g
,
f
f C ,
=
=
=
k C f n
k n
∑
!( (
) )!
n ! k n k −
0 0
k = k =
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-4
ảo sát à số Ứng dụng khảo sát hàm số Ư g dụ g
Tìm tiệm cận (cid:132) Tìm tiệm cận
(cid:132) Tìm khoảng tăng, giảm
(cid:132) Tìm cực trị
(cid:132) Tính lồi lõm, điểm uốn (cid:132) Tính lồi lõm điểm uốn
(cid:132) Viết phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-5
osp ta Quy tắc L’Hospital Quy tắc
(cid:132) Định lý. Nếu
Định lý. Nếu có dạng có dạng
khi x→a và tồn tại khi x→a và tồn tại
f x ( ) ( )g x
0 ∞ , , 0 ∞
=
lim a x →
lim a x →
lim a x →
x f ( ) x f '( ) thì g x '( )
( ) f x ( ) f x ( ) g x
f x '( ) f ( ) x '( ) g x
(cid:132) Chú ý. Quá trình x→a có thể thay bởi x→a+, x→a-,
x→∞, x→-∞
x
x
x
=
=
=
=
lim x x 0 0 → →
lim x x 0 0 → →
lim x x 0 0 → →
lim x x 0 0 → →
(cid:132) Ví dụ. (cid:132) Ví dụ sin x − 3 x x
0 0 0
1 cos − 2 x x 3 3
0 0 0
x sin x x 6 6
0 0 0
cos 6 6
1 6 6
⎛ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
⎛ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
⎛ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
3-6
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
osp ta Quy tắc L’Hospital Quy tắc
Ví dụ. (cid:132) Ví dụ.
x
x
−
b L )
=
a L )
=
lim 0 x →
arctan 3 x x
0 0 0
ln x ∞⎛ lim ⎜ 2 x ⎝ x→∞ ∞⎝ x
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
⎛ ⎜ ⎝ ⎝
⎞ ⎟ ⎠ ⎠
x
d L ) ) d L
xe xe
( (
.0) .0)
=
∞
) c L c L )
= =
∞ − ∞ ∞ ∞
( (
) )
lim lim x →−∞
lim lim 1 x →
1 − 1 ln
x
x ⎛ ⎜ ⎜ x −⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
x
2)
−
f L ) ) f
=
e L )
1/(2 x
∞ (1 )
=
x 0 x 0 x lim (0 ) (0 ) li +→ x 0
lim x 1 →
x
x
0
g L )
x
e
1/ )
(
)
=
+
∞
lim( x →∞
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-7
a t ức ay o Đa thức Taylor
(cid:132) Bài toán. Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho (cid:132) Bài toán Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho
f’(0)=P’(0)
f’’(0)=P’’(0)
…
f(n)(0)=P(n)(0)
(cid:132) Kết quả
n ( )
f
f
f
2
n
(cid:34)
P x ( ) ( ) P x
f f
(0) (0)
x x
x x
x x
= =
+ +
+ +
+ +
+ +
''(0) 2!
(0) !
n
(
k
)
n
f f
k k
x
= ∑ ∑
'(0) 1! (0) ( ) !
k
k
0
=
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-8
a t ức ay o Đa thức Taylor
(cid:132) Bài toán. Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho (cid:132) Bài toán. Tìm đa thức P(x) bậc ≤n sao cho
f’(a)=P’(a) f’’( ) P’’( ) f’’(a)=P’’(a) … f(n)(a)=P(n)(a)
(cid:132) Kết quả (cid:132) Kết quả
n ( )
f
2
n
(cid:34)
P x P x ( ) ( )
f a ( ) ( ) f a
( (
) )
( (
) )
( (
) )
= =
+ +
x a x a −
+ +
x a x a −
+ +
+ +
x a x a −
a ( ) !
n
f a ''( ) 2!
(
k
)
n
f f
k k
( (
) )
=
x a −
∑ ∑
f a '( ) 1! ( ) ( ) a !
k
k
0
=
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-9
a t ức ay o Đa thức Taylor
(cid:132) Ví dụ. Viết đa thức sau dưới dạng đa thức (cid:132) Ví dụ Viết đa thức sau dưới dạng đa thức
theo x-1
4
3
2
f f x ( ) ( )
x
3
x
x
7
=
−
+
+
(cid:132) Ví dụ. Tìm đa thức Taylor cấp 3 của hàm (cid:132) Ví dụ Tìm đa thức Taylor cấp 3 của hàm
sau tại x=1
f x ( )
arctan
x
=
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-10
ay o Khai triển Taylor
a t ể
Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo (x a) (cid:132) Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo (x-a)
n ( )
f
n
2
(cid:34)
(
)
(
)
(
)
( ) f x
f
( ) a
=
+
x a −
+
x a −
+
+
x a −
+
( ) R x n
''( ) f a 2! 2!
( ) a ! !
n n
k
(
)
n
f
(
)
=
x a −
+
k R x ( ) n
∑
'( ) f a 1! 1! a ( ) ! !
k
k k 1)
(
n
+
n
1 +
(
Lagrange c
),
x a ( , )
(
)
=
x a −
∈
R x ( ) n
( ) c 1)! 1)!
0 = f +( n ( +
x
a
Peano
R x O ( )
((
n ) )
(
),
i e .
0
=
=
−
n n
lim a x →
( (
R x ( ) n )n n x a ) −
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-11
Khai triển Maclaurin
a t ể
ac au
Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo x (cid:132) Xấp xỉ hàm f(x) bởi 1 đa thức theo x
n ( )
f
f
f
2
(cid:34)
f x ( ) ( ) f x
f f
(0) (0)
x x
x x
x x
= =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
n R x R x ( ) ( ) n
(0) !
n
''(0) 2!
(
)
k
n
f f
k k
x
+ +
=
R x ( ) ( ) R n
∑ ∑
'(0) 1! (0) ( ) !
k
( (
n
k ) 1 ) +
n
1 +
x
(
Lagrange c
),
x ( , 0)
=
∈
R x ( ) n
0 = f f (
c ( ) ( ) c 1)!
n
+
(
x
)n
(
Peano
),
i e .
0
( ) R x O
=
=
n
lim 0 x →
R x ( ) n n x
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-12
Các Các khai triển Maclaurin cơ bản
cơ bả
a t ể
ac au
3
5
2
n
1 −
n
2
n
1 +
(cid:34) sin sin x x ( 1) ( 1) O x ( ( O x ) ) + + x x = − − + + − + +
1)! −
n
x 3! 2 x 5! 4 x n (2 n 2
2 1 n O x + O x ( (
(cid:34) cos cos x x ( 1) ( 1) ) ) + + 1 1 = − = − + − + + +
2 2
3 3
n n
x 2! x 4! x n (2 )!
n n x O x O +
(cid:34) 1 1 x x x ( ( ) ) = + + + + +
n
2
3
n n
n n
1 x 1 −
(cid:34) ln(1 l ( x ) ) O x ( ( ) ) + x = − + − ( ( 1) ) + − +
2
3
n
x
n
x x 2 x x 3 x x+ 1 1 + n
(cid:34) e 1 O x ( ) = + + + + + +
3
5
7
n
n
1 +
x x 1! x x n !
(cid:34) arctan x ( 1) O x ( ) + − x= − + + − +
1nx − 2 x n 1 2 −
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-13
x x 2! x x 3 x x 3! x x 5 x x 7
Áp dụng khai triển cơ bản
a t ể cơ bả
p dụ g
Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm số sau (cid:132) Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm số sau đến cấp 3
(cid:132)
f x f x = ( ) ( )
sin 1
x x−
x
f x ( )
e
arctan
x
=
(cid:132)
12/14/2009
Giai tich-Nguyen Van Thuy
3-14
