1
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m
Khoa ®μo t¹o gi¸o viªn mÇm non
NguyÔn ThÞ TuyÕt Mai
§Ò c−¬ng bµi gi¶ng
To¸n c¬ së
Dïng cho sinh viªn chuyªn ngµnh gi¸o dôc mÇm non
Tr×nh ®é ®¹i häc
Th¸i Nguyªn - 2009
2
Môc lôc
Lêi nãi ®Çu
Ch−¬ng 1. C¬ së cña lý thuyÕt tËp hîp
1.1. TËp hîp 4
1.2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp hîp 7
1.3. ¸nh x¹ 10
1.4. Quan hÖ 13
1.5. Gi¶i tÝch tæ hîp 18
Bµi tËp ch−¬ng 1 20
Ch−¬ng 2. CÊu tróc ®¹i sè
2.1. PhÐp to¸n hai ng«i 24
2.2. CÊu tróc nhãm 28
2.3. CÊu tróc vµnh 32
2.4. CÊu tróc tr−êng 35
Bµi tËp ch−¬ng 2 37
Ch−¬ng 3. §Þnh thøc, ma trËn, hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh
3.1. Ma trËn 40
3.2. §Þnh thøc 47
3.3. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 53
Bµi tËp ch−¬ng 3 59
Ch−¬ng 4. Sè tù nhiªn
4.1. HÖ thèng sè tù nhiªn 64
4.2. C¸c phÐp to¸n trªn tËp c¸c sè tù nhiªn 66
4.3. HÖ ®Õm vµ c¸ch ghi sè ®Õm 69
Bµi tËp ch−¬ng 4 78
Ch−¬ng 5. §¹i sè vÐc t¬ vµ h×nh häc gi¶i tÝch
5.1. VÐc t¬ 80
5.2. To¹ ®é trªn ®−êng th¼ng 84
5.3. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trªn mÆt ph¼ng 85
5.4. Ph−¬ng ph¸p to¹ ®é trong kh«ng gian 87
Bµi tËp ch−¬ng 5 95
Tµi liÖu tham kh¶o 96
3
lêi nãi ®Çu
Mét trong nh÷ng nhiÖm vô cña ng−êi gi¸o viªn mÇm non lµ h×nh thµnh cho
trÎ nh÷ng biÓu t−îng to¸n häc s¬ ®¼ng. V× vËy, ng−êi gi¸o viªn mÇm non cÇn
ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc c¬ b¶n, cã kü n¨ng gi¶i to¸n vµ øng
dông nh÷ng kiÕn thøc ®· häc vµo viÖc gi¸o dôc trÎ.
Häc phÇn To¸n c¬ së nh»m trang bÞ cho sinh viªn nh÷ng kiÕn thøc to¸n
häc c¬ b¶n, gióp cho sinh viªn cã vèn kiÕn thøc cÇn thiÕt ®Ó cã thÓ häc häc phÇn
ph−¬ng ph¸p h×nh thµnh biÓu t−îng to¸n häc s¬ ®¼ng cho trÎ mÇm non. §ång
thêi gióp cho sinh viªn cã thÓ häc tèt mét sè häc phÇn: To¸n thèng kª, dinh d-
−ìng, ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu khoa häc, ...
Gi¸o dôc mÇm non nãi chung vµ sù nghiÖp ®µo t¹o gi¸o viªn mÇm non nãi
riªng ®ang trªn con ®−êng x©y dùng vµ ph¸t triÓn. V× vËy tµi liÖu häc tËp cßn rÊt
thiÕu thèn. §Ó gióp cho sinh viªn cã ®−îc mét tµi liÖu häc tËp, ®−îc sù phª duyÖt
cña Ban Gi¸m hiÖu tr−êng §¹i häc S− ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn t«i ®· biªn
so¹n ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng To¸n c¬ së cho sinh viªn chuyªn ngµnh MÇm non, hÖ
®¹i häc. §Ò c−¬ng bµi gi¶ng tËp hîp kiÕn thøc trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña
to¸n häc nh− sè häc, ®¹i sè, h×nh häc vµ ®−îc tham kh¶o tõ nhiÒu tµi liÖu. Néi
dung ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng To¸n c¬ së tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tËp hîp,
quan hÖ, ¸nh x¹, cÊu tróc ®¹i sè, ®¹i sè tuyÕn tÝnh, tËp hîp sè tù nhiªn, h×nh häc
gi¶i tÝch vµ gi¶i tÝch tæ hîp.
T¸c gi¶ mong nhËn ®−îc nh÷ng gãp ý cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp vµ ®éc gi¶
vÒ néi dung còng nh− viÖc tr×nh bµy ®Ó ®Ò c−¬ng bµi gi¶ng nµy ®−îc hoµn thiÖn
h¬n.
4
Ch−¬ng 1: C¬ së cña lý thuyÕt tËp hîp
1.1. TËp hîp
1.1.1. Kh¸i niÖm tËp hîp
TËp hîp lµ mét trong nh÷ng kh¸i niÖm c¬ b¶n nhÊt cña to¸n häc, nã kh«ng
®−îc ®Þnh nghÜa, d−íi ®©y lµ mét h×nh ¶nh trùc quan cña kh¸i niÖm tËp hîp.
Nh÷ng vËt, nh÷ng ®èi t−îng to¸n häc,... ®−îc tô tËp do mét tÝnh chÊt
chung nµo ®ã thµnh lËp nh÷ng tËp hîp.
Ng−êi ta nãi: TËp hîp c¸c häc sinh trong mét líp, tËp hîp c¸c líp trong
mét tr−êng, tËp hîp ฀ c¸c sè tù nhiªn, tËp hîp
฀
c¸c sè nguyªn, tËp hîp
฀
c¸c
sè h÷u tû, tËp hîp ฀ c¸c sè thùc, tËp hîp c¸c nghiÖm cña mét ph−¬ng tr×nh, ...
C¸c vËt trong tËp hîp X ®−îc gäi lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X. KÝ hiÖu
x
X∈ ®äc lµ “ x lµ mét phÇn tö cña tËp X” hoÆc “x thuéc X”. NÕu x kh«ng thuéc
tËp X, kÝ hiÖu
x
X∉.
1.1.2. Ph−¬ng ph¸p biÓu diÔn mét tËp hîp
a) Ph−¬ng ph¸p liÖt kª
Ta liÖt kª ®Çy ®ñ (nÕu cã thÓ) tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp hîp. C¸c phÇn tö
®−îc viÕt trong dÊu ngoÆc { . }, phÇn tö nä c¸ch phÇn tö kia bëi dÊu phÈy (hoÆc
dÊu ;).
VÝ dô: TËp hîp A cã 4 phÇn tö a, b, c, d ®−îc viÕt d−íi d¹ng liÖt kª lµ
{
}
,,,
A
abcd=.
Ph−¬ng ph¸p liÖt kª kh«ng chØ ¸p dông ®èi víi nh÷ng tËp hîp cã kh«ng
nhiÒu phÇn tö mµ cßn cã thÓ ¸p dông ®èi víi c¸c tËp hîp cã v« sè phÇn tö. Trong
tr−êng hîp nµy ta lÞªt kª mét sè phÇn tö ®¹i diÖn võa ®ñ ®Ó ta cã thÓ nhËn biÕt
®−îc mét ®èi t−îng nµo ®ã cã thuéc tËp hîp ®ã hay kh«ng.
VÝ dô: +) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn
{
}
0,1,2,3,...
=
฀.
+) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n:
{
}
2 0,2,4,6,...
฀.
+) TËp hîp c¸cc −íc cña 20:
{
}
2 1,2,4,5,10,20
=
฀.
5
Chó ý: Mét tËp hîp ®−îc x¸c ®Þnh kh«ng phô thuéc vµo thø tù liÖt kª c¸c phÇn tö
cña nã.
b) Ph−¬ng ph¸p nªu tÝnh chÊt ®Æc tr−ng
Mét tËp hîp cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng c¸ch nªu c¸c tÝnh chÊt chung (tÝnh chÊt
®Æc tr−ng) cña c¸c phÇn tö trong tËp hîp mµ nhê vµo c¸c tÝnh chÊt chung Êy ta cã
thÓ x¸c ®Þnh ®−îc mét phÇn tö bÊt kú cã thuéc tËp hîp ®ã hay kh«ng.
NÕu tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña tËp hîp X ®Òu cã tÝnh chÊt P th× ta cã thÓ biÓu
diÔn X nh− sau: {|Xx= x cã tÝnh chÊt P} hoÆc
{
}
|()XxPx
=
.
VÝ dô: +) TËp hîp c¸c sè tù nhiªn ch½n:
{
}
2|2,xx nn
=
=∈
฀
฀.
+) TËp hîp c¸c −íc cña 15:
{
}
|;15Xxx x
=
∈
฀
M.
+) TËp hîp c¸c béi cña 3:
{
}
|3,Xxxnn
=
=∈
฀
.
1.1.3. C¸c tËp hîp ®Æc biÖt
a) TËp hîp rçng
Mét tËp hîp kh«ng chøa phÇn tö nµo ®−îc gäi lµ tËp rçng, ký hiÖu:∅
VÝ dô: +) TËp c¸c nghiÖm thùc cña ph−¬ng tr×nh 210
x
+
= lµ tËp rçng.
+) TËp c¸c ®−êng th¼ng ®i qua 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng lµ tËp rçng.
b) TËp hîp mét, hai phÇn tö
Gi¶ sö x lµ mét vËt hay mét ®èi t−îng nµo ®ã, tËp hîp kÝ hiÖu lµ
{
}
x
chØ
gåm mét phÇn tö x ®−îc gäi lµ tËp hîp mét phÇn tö (tËp ®¬n tö).
Gi¶ sö x, y lµ hai vËt hay hai ®èi t−îng nµo ®ã, tËp hîp kÝ hiÖu lµ
{
}
,
x
y
chØ gåm 2 phÇn tö x, y ®−îc gäi lµ tËp hîp hai phÇn tö.
T−¬ng tù nh− trªn ta cã thÓ ®Þnh nghÜa c¸c tËp hîp ba, bèn, ... phÇn tö, c¸c
tËp hîp ®ã cïng víi tËp hîp rçng ®−îc gäi lµ c¸c tËp h÷u h¹n, cßn c¸c tËp hîp
kh¸c ®−îc gäi lµ c¸c tËp v« h¹n.
VÝ dô: +) TËp c¸c −íc cña 15 lµ tËp h÷u h¹n (v× nã chØ cã 5 phÇn tö).
+) TËp c¸c béi cña 3 lµ tËp v« h¹n.
+) tËp c¸c sè tù nhiªn lµ tËp v« h¹n.
+) TËp c¸c trÎ trong mét líp lµ tËp h÷u h¹n.