Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 – Phòng GD&ĐT Quảng Xương

Chia sẻ: Ha Trung Hieu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi chọn HSG sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các em Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 – Phòng GD&ĐT Quảng Xương. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi học sinh giỏi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2012-2013 – Phòng GD&ĐT Quảng Xương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO R HUYỆN QUẢNG XƯƠNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM NĂM HỌC 20122013 Môn: Toán (Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề) �x + x 3 x − x 3 �� 1+ x 1− x � Câu 1 (2 điểm): Cho biểu thức A = � − : 2 �� − � �1 − x 1 + x �� 1− x 1+ x � 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Câu 2 (2 điểm): 1) Cho đa thức: P( x) = x 4 + ax 2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x − 1) . Hãy 3 tìm a, b, c. 2) Phân tích các đa thức thành nhân tử a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64 Câu 3 (2 điểm): a) Chứng minh rằng nếu: xyz 0; x + y + z 0 và x = by + cz; y = ax + cz; 1 1 1 z = ax + by thì: + + =2 a +1 b +1 c +1 b) So sánh 2 số: A = ( 3 + 1) ( 32 + 1) ( 34 + 1) ( 38 + 1) ( 316 + 1) B = 332 − 1 Câu 4 (3 điểm): 1) Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy các điểm E, F sao cho DE = BF. Chứng minh AFCE là hình bình hành. 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Dựng ở miền ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ACFG, BAHK. Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành KBEQ, P là đỉnh thứ tư của hình bình hành FCDP. Chứng minh rằng: a) ∆ PFC = ∆ KQB b) ∆ PAQ là tam giác vuông cân Câu 5 (1 điểm): Chứng minh rằng biểu thức: 10n + 18n − 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên. Họ tên: ...................................... Số báo danh : ................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN QUẢNG XƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP CỤM NĂM HỌC 20122013 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu Nội dung Điểm a) Điều kiện: x −1; x 1 0,25 đ �x + x 3 + x3 + x5 − x + x3 + x 3 − x 5 ��( 1 + x ) 2 − ( 1 − x ) 2 � Ta có: A = � �: � � 0,5 đ � � ( 1 − x 2 ) ( 1 + x 2 ) �� 1 − x 2 � � 3 2 4x x Câu 1 = = 4 x ( 1 + x2 ) x + 1 2 (2đ) 0,25 đ 2 x b) Ta có: A = 0 (do x2 0 và x2 + 1 > 0) 0,5 đ x +12 Suy ra: A 0 => khi x2 = 0  x = 0 không thỏa mãn điều kiện 0,25 đ Chứng minh: biểu thức không có giá trị nhỏ nhất 0,25 đ 1) Chia đa thức P(x) cho (x 1) ta được P1 = x3 + x 2 + (a + 1) x + a + b + 1 và dư là: a + b + c + 1. Theo giả thiết ta có: a + b + c + 1 = 0 0,25 đ Ta lại chia P1 cho (x 1) được P2 = x2 + 2x + (a+3) và dư là: 2a + b + 4. Theo giả thiết ta có: 2a + b + 4 = 0 vì P chia hết cho (x – 1) 0,25 đ Ta lại chia P2 cho (x – 1) ta được số dư là: a + 6. Số dư này bằng 0 0,25 đ Suy ra: a = 6. Từ đó: b = 2a – 4 = 8 và c = a – b – 1 = 3 Vậy: a = 6; b = 8; c = 3. 0,25 đ Câu 2 2) a. 1 – 4x2 – x(x2 – 4) = 1 – x3 4x(x – 1) 0,25 đ (2đ) = (1 – x)(1 + 5x + x2) 0,25 đ b. a 4 + 64 = ( a 2 ) + 82 + 2.8a 2 − 2.8a 2 2 0,25 đ = ( a 2 + 8 ) − ( 4a ) 2 2 = ( a 2 + 8 + 4a ) ( a 2 + 8 − 4a ) 0,25 đ = ( a 2 + 4a + 8 ) ( a 2 − 4a + 8 ) Câu 3 a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y z (2đ) x+ y−z x+ y+z 1 2z Suy ra: c = => 1 + c = => = 2z 2z 1+ c x + y + z 0,25 đ 1 2x 1 2y Tương tự ta có: = ; = 1+ a x + y + z 1+ b x + y + z 1 1 1 2( x + y + z) Vậy: + + = =2 1+ a 1+ b 1+ c x+ y+ z 0,25 đ
B = 332 − 1 = ( 316 − 1) ( 316 + 1) = ( 316 + 1) ( 38 + 1) ( 38 − 1) = ( 316 + 1) ( 38 + 1) ( 34 + 1) ( 34 − 1) 0,25 đ = ( 3 + 1) ( 3 + 1) ( 3 + 1) ( 3 + 1) ( 3 − 1) 16 8 4 2 2 = ( 316 + 1) ( 38 + 1) ( 34 + 1) ( 32 + 1) ( 3 + 1) ( 3 − 1) 0,25 đ 0,25 đ = ( 316 + 1) ( 38 + 1) ( 34 + 1) ( 32 + 1) ( 3 + 1) .2 Vậy: B = 2A 0,25 đ Câu 4 1) Gọi I là giao điểm của AC và BD => I là trung điểm của AC (1) 0,5 đ (3đ) Theo giả thiết : DE = BF mà ID = IB (ABCD là hình bình hành) => IE = IF => I là trung điểm của EF (2) 0,5 đ Từ (1) và (2) suy ra : AFCE là hình bình hành. A B F I E D C 2) a. Ta chứng minh : ∆ PFC = ∆ BCA = ∆ KQB (c.g.c) 0,5 đ Suy ra: ∆ PFC = ∆ KQB (đpcm) 0,5 đ b. Theo câu a) ta có: PCF = KBQ do đó: ACP = QBA => ∆ APC = ∆ QAB (c.g.c) 0.25 đ Suy ra: AP = AQ (1) 0,25 đ Mặt khác ta có: QAP = QAB + BAC + CAP = CPA + PCF + CAP = 1800 ACP + PCF = 1800 ACF = 1800 – 900 = 900 (2) 0,25 đ Từ: (1) và (2) suy ra đpcm. 0,25 đ
Q K E H B D A C P F G Ta có: 10n − 1 = 99...9 (n chữ số 9) Vậy: 10n + 18n − 1 = 10n − 1 + 18n = 99...9 + 9.2n (n chữ số 9) = 9(11…1 + 2n) (n chữ số 1) 0,5 đ Tích này chia hết cho 9. Ta chứng minh tổng trong ngoặc chia hết Câu 5 cho 3. (1 đ) Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n chữ số 1) Số n và số có tổng chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 0,5 đ 3 (theo điều kiện chia hết cho 3) nên: 11…1 – n chia hết cho 3 Vậy: 10n + 18n − 1M27 (đpcm) (Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)