PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỤ Ạ R
HUY N QU NG X NGỆ Ả ƯƠ
Đ GIAO L U H C SINH GI I L P 8 C P C MỀ Ư Ọ Ỏ Ớ Ấ Ụ
NĂM H C 2012-2013Ọ
Môn: Toán
(Th i gian: 120 phút - không k th i gian giao đ)ờ ể ờ ề
Câu 1 (2 đi m): ểCho bi u th c ể ứ
3 3
2 2
1 1
:
1 1 1 1
x x x x x x
Ax x x x
� �
+ − + −
� �
= − −
� �� �
− + − +
� �
� �
a) Rút g n bi u th c Aọ ể ứ
b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Aị ỏ ấ ủ ể ứ
Câu 2 (2 đi m): ể
1) Cho đa th c: ứ
4 2
( )P x x ax bx c= + + +
chia h t cho đa th c ế ứ
( )
3
1x−
. Hãy
tìm a, b, c.
2) Phân tích các đa th c thành nhân tứ ử
a) (1 + 2x)(1 – 2x) – x (x + 2)(x – 2) b) a4 + 64
Câu 3 (2 đi m): ể
a) Ch ng minh r ng n u: ứ ằ ế
0; 0xyz x y z + +
và x = by + cz; y = ax + cz;
z = ax + by thì:
1 1 1 2
1 1 1abc
+ + =
+ + +
b) So sánh 2 s : ố
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 16
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1A= + + + + +
32
3 1B= −
Câu 4 (3 đi m): ể
1) Cho hình bình hành ABCD. Trên đng chéo BD l y các đi m E, Fườ ấ ể
sao cho DE = BF. Ch ng minh AFCE là hình bình hành.ứ
2) Cho tam giác ABC có ba góc nh n. D ng mi n ngoài tam giác cácọ ự ở ề
hình vuông BCDE, ACFG, BAHK. G i Q là đnh th t c a hình bình hànhọ ỉ ứ ư ủ
KBEQ, P là đnh th t c a hình bình hành FCDP. Ch ng minh r ng:ỉ ứ ư ủ ứ ằ
a)
∆
PFC =
∆
KQB
b)
∆
PAQ là tam giác vuông cân
Câu 5 (1 đi m): ểCh ng minh r ng bi u th c: ứ ằ ể ứ
chia h t cho 27 v iế ớ
n là s t nhiên.ố ự
H tên: ...................................... S báo danh : ................................ọ ố
PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỤ Ạ
HUY N QU NG X NG Ệ Ả ƯƠ H NG D N CH M ƯỚ Ẫ Ấ
GIAO L U H C SINH GI I L P 8 C P C MƯ Ọ Ỏ Ớ Ấ Ụ
NĂM H C 2012-2013 - MÔN: TOÁNỌ
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Câu N i dungộĐi mể
Câu 1
(2đ)
a) Đi u ki n: ề ệ
1; 1x x −
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
3 3 5 3 3 5
2
2 2
1 1
:1
1 1
x x
x x x x x x x x
Ax
x x
� �� �
+ − −
+++−++−
� �
=� �
� �
� � −
− + � �
� �
( )
3 2
2
2
4
1
4 1
x x
x
x x
= = +
+
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
b) Ta có:
2
2
0
1
x
Ax
=
+
(do x2
0 và x2 + 1 > 0)
Suy ra: A
0 => khi x2 = 0 x = 0 không th a mãn đi u ki nỏ ề ệ
Ch ng minh: bi u th c không có giá tr nh nh tứ ể ứ ị ỏ ấ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 2
(2đ)
1) Chia đa th c P(x) cho (x -1) ta đc ứ ượ
3 2
1
( 1) 1P x x a x a b= + + + + + +
và
d là: a + b + c + 1. Theo gi thi t ta có: a + b + c + 1 = 0ư ả ế
Ta l i chia ạ
1
P
cho (x - 1) đc ượ
2
P
= x2 + 2x + (a+3) và d là: 2a + b +ư
4. Theo gi thi t ta có: 2a + b + 4 = 0 vì P chia h t cho (x – 1)ả ế ế
Ta l i chia ạ
2
P
cho (x – 1) ta đc s d là: a + 6. S d này b ng 0 ượ ố ư ố ư ằ
Suy ra: a = -6. T đó: b = -2a – 4 = 8 và c = -a – b – 1 = -3ừ
V y: a = -6; b = 8; c = -3. ậ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2) a. 1 – 4x2 – x(x2 – 4) = 1 – x3 - 4x(x – 1)
= (1 – x)(1 + 5x + x2)
b.
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 2 2 2 2
22
2
2 2
2 2
64 8 2.8a 2.8a
8 4a
8 4a 8 4a
4a 8 4a 8
a a
a
a a
a a
+ = + + −
= + −
= + + + −
= + + − +
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 3
(2đ)
a) Ta có: x + y = 2cz + ax + by = 2cz + z => 2cz = x + y - z
Suy ra: c =
2z
x y z+ −
=>
1 2z
12z 1
x y z
cc x y z
+ +
+ = => =
+ + +
T ng t ta có: ươ ự
1 2x 1 2
;
1 1
y
a x y z b x y z
= =
+ + + + + +
V y: ậ
( )
2
1 1 1 2
1 1 1
x y z
a b c x y z
+ +
+ + = =
+ + + + +
0,25 đ
0,25 đ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
32 16 16 16 8 8
16 8 4 4
16 8 4 2 2
16 8 4 2
16 8 4 2
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 .2
B= − = − + = + + −
= + + + −
= + + + + −
= + + + + + −
= + + + + +
V y: B = 2Aậ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 4
(3đ)
1) G i I là giao đi m c a AC và BD => I là trung đi m c a AC (1)ọ ể ủ ể ủ
Theo gi thi tả ế : DE = BF mà ID = IB (ABCD là hình bình hành) =>
IE = IF => I là trung đi m c a EF (2)ể ủ
T (1) và (2) suy raừ : AFCE là hình bình hành.
I
A
B
D
C
E
F
0,5 đ
0,5 đ
2) a. Ta ch ng minhứ :
∆
PFC =
∆
BCA =
∆
KQB (c.g.c)
Suy ra:
∆
PFC =
∆
KQB (đpcm)
b. Theo câu a) ta có:
PCF =
KBQ do đó:
ACP =
QBA
=>
∆
APC =
∆
QAB (c.g.c)
Suy ra: AP = AQ (1)
M t khác ta có: ặ
QAP =
QAB +
BAC +
CAP
=
CPA +
PCF +
CAP
= 1800 -
ACP +
PCF
= 1800 -
ACF = 1800 – 900 = 900 (2)
T : (1) và (2) suy ra đpcm.ừ
0,5 đ
0,5 đ
0.25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
A
C
B
E
D
K
H
G
F
Q
P
Câu 5
(1 đ)
Ta có:
10 1 99...9
n
− =
(n ch s 9)ữ ố
V y: ậ
10 18 1 10 1 18 99...9 9.2
n n
n n n+ − = − + = +
(n ch s 9)ữ ố
= 9(11…1 + 2n) (n ch s 1)ữ ố
Tích này chia h t cho 9. Ta ch ng minh t ng trong ngo c chia h t ế ứ ổ ặ ế
cho 3.
Ta có: 11…1 + 2n = 11…1 – n + 3n (n ch s 1)ữ ố
S n và s có t ng ch s b ng n có cùng s d trong phép chia cho ố ố ổ ữ ố ằ ố ư
3 (theo đi u ki n chia h t cho 3) nên: 11…1 – n chia h t cho 3ề ệ ế ế
V y: ậ
10 18 1 27
n
n+ − M
(đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
(H c sinh làm cách khác đúng v n cho đi m t i đa)ọ ẫ ể ố