Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên
Khoa Vật Lý – Vật Lý Kỹ Thuật
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ – KHÓA 2008B
Môn học: CƠ LƯỢNG TỬ – Năm học: 2009 – 2010
Thời gian làm bài: 90 phút (Không sử dụng tài liệu)
Câu 1: Thí sinh được quyền chọn câu 1a hoặc câu 1b:
1a: Viết ra (không cần dẫn dắt) phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian cho một hạt, từ đó hãy rút ra phương trình liên tục trong cơ học lượng tử cho mật độ xác suất và vecto mật độ dòng xác suất tìm thấy hạt..
1b: Hãy trình bày những vấn đề sau đây về hệ gồm các hạt đồng nhất: Nguyên lý về sự không phân biệt được giữa các hạt đồng nhất, hàm sóng đối xứng và phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt, nguyên lý loại trừ Pauli.
Câu 2: a) Cho toán tử Hamilton của một dao động tử điều hòa tuyến tính:
̂
(với A là hệ số dương và
) là hàm riêng của ̂ và
Hãy chứng minh rằng hàm ( ) hãy cho biết trị riêng E tương ứng của nó.
và các toán tử
b) Ký hiệu ̂
̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂ [
̂ là các toán tử hình chiếu moment động lượng (xung lượng) của một hạt ̂ ̂ Hãy chứng minh các hệ thức giao hoán sau đây: ̂]
̂ ̂ ]
̂ ]
̂ [
̂ [
̂
̂
Câu 3:
Thí sinh được quyền chọn câu 3a hoặc câu 3b:
3a: Một hạt khối lượng m bên trong một giếng thế năng một chiều thành cao (sâu) vô hạn, bề rộng a.
Hạt có các trạng thái riêng ( ) √
và năng lượng riêng tương ứng
(
). Cho biết hạt ở trạng thái với hàm sóng:
)
( )
(
Trong đó A là hệ số dương. Hỏi ở trạng thái này, năng lượng của hạt có thể nhận các giá trị nào? Với xác suất tương ứng bằng bao nhiêu?
3b: Cho biết ( )
( ) và ( ) là hàm riêng và trị
√ ̂ riêng của toán tử hình chiếu moment động lượng Hỏi ở trạng thái ( ) ( ), (A là hệ số dương), có thể nhận những giá trị nào? Với xác suất tương ứng bằng bao nhiêu?
- - - HẾT - - -
More Documents: http://physics.forumvi.com
Câu 1: 1a: * Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian cho 1 hạt:
( ⃗ ) ( ) ( ⃗ ) ( ⃗ )
* Phương trình liên tục trong cơ học lượng tử:
( ) ( ) Xét 2 phương trình: [ ( ) ] ( ) ( )
Trong đó: ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ )
) ( ) ( ) Lấy ( ) ( ) ta được: (
( )
( ) ( ) ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ) ( ⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ )( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ( ) ⃗⃗⃗ * ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ )+ ( )
Theo Cơ học lượng tử: ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗ ⃗⃗
( ) ⃗⃗
1b: ** Nguyên lý về sự không phân biệt được giữa các hạt đồng nhất: Trong cơ học lượng tử, các hạt đồng nhất là các hạt vi mô ( ). Trạng thái của hệ gồm các
hạt đồng nhất trước và sau khi hoán vị 2 hạt bất kỳ hoàn toàn tương đương về phương diện vật lý.
Hệ gồm N hạt đồng nhất: ( ) (a là chỉ số trạng thái của hạt tương ứng)
| ( )|
Xác suất: | ( )| Hoán vị 2 hạt : Trước khi hoán vị: ( ) Sau khi hoán vị: ( ) | ( )| | ( )| Ta có: | ( )| ** Hàm sóng đối xứng và phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt:
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A = Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin nguyên S = 0, 1, 2,…): ( ) là hàm đối xứng. Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: ( ) ( ) ( ). Hoán vị 2 hạt: ( ) ( ). Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S nguyên ( ) là hàm đối xứng ( ) ( ) ( ) ( ) B = A. √
√
( )
,
Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin bán nguyên S = [ ( ) ( ) ( ) ( )] ,…): ( ) là hàm phản xứng.
Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: ( ) ( ) ( ). Hoán vị 2 hạt: ( ) ( ). Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S bán nguyên ( ) là hàm phản xứng ( ) ( ) ( ) ( ) B = –A.
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A = √
√
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
√
| | Hoặc biểu diễn dưới dạng định thức Slater: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
More Documents: http://physics.forumvi.com
** Nguyên lý loại trừ Pauli: Xét hệ gồm N hạt đồng nhất với spin bán nguyên có hàm sóng phản xứng
√
( ) ( ) | | biễu diễn dưới dạng định thức Slater như sau: ( ) ( ) ( )
( )
( )
Khi a1 = a2 2 trạng thái lượng tử khác nhau. Nguyên lý loại trừ Pauli: Ở mỗi trạng thái lượng tử không có quá 1 hạt.
Câu 2: a) Ta có: ( ) ( )
̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
̂ ( ) * ( ) + ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ( )
Vậy: ( ) là hàm riêng của toán tử ̂ và trị riêng E =
̂ ̂ ̂ ;
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ; ̂) ( ̂ ( ̂ ̂( ̂ ̂) ̂ ̂
* ̂ ̂) }
̂) ̂ ( ̂ ̂] ̂ ̂ ̂ ̂. ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂] ( ̂) [ ̂ ] ̂ [ ̂ [ ( ̂ ̂)
* [
b) Ta có: ̂ ̂ ( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂] [ ̂] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ̂ * [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂] ) ̂ [ ̂ ̂ ̂ ̂ ( [ ̂ ̂ ̂] ̂] [ ̂ ̂] [ ̂] ̂ ̂ ( ̂] [ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂) ̂ ̂] ̂ ̂] [
Câu 3: 3a: Ta có: ( ) ( )
) √ ) √ (√ (√
( ) ( ) √ √
| | | |
[ | | | | | | | |
3b: Ta có: ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
( )
) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( √ √ √ √ √
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Trong đó: C1 = C-1 = C2 = C-2 = √ ; C0 = √ .
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | [ | | | | | | | | | |
