Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 (Noäp laïi ñeà naøy) ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2016 −
=
e π3 i . r 1
ϕi 1
ϕi 2
Caâu 1 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
r 2 ±
k π
2
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. = ⎧ ⎨ = ϕϕ ⎩ 1
ϕ =
ϕm
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
5
zf )(
yxu ,(
)
iv
yx ,(
)
i
3 ze
=
+
+
−
D)
x
x
x
x
,( yxu
)
cos
3
,( yxv
3sin
,( yxu
)
)
3= e
3cos x
y x
,( yxu
1)
3cos
y
Câu 2 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc = laø:
)
3sin
y
,( yxu
)
,( yxv
)
y
y
3+−= 1 e 3+= x e
3= e ) 3= x e
3= e 3+−= 1 e
3sin 3−= e
y ,
y
31 i + 21 i − , yxv ,( y , 3cos
, ,( yxv 3sin A) B) C) D)
Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai?
2
2
yxu ,(
x
3
y
9
y
5
3) =
−
−
+
v
6
xy
9
x
5
=
+
+
A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y) không khaû vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaû vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).
, . Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 4 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
8 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
5
5
z
z
z
z
+
+
dz
5 )58(
e
dz
5 )58(
e
=
2 i π
+
=
2 i π
+
phöùc.
2
2
∫
∫
z
z
−
−
2
6
z
z
6 i =+
2 i =−
8 (
e ) 1
8 (
e ) 1
w
=
D) C)
1 3 z B) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0. D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.
Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là
- 1 -
A) ñöôøng thẳng u = v. C) ñöôøng thẳng u = -v. Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?
n
−
=
)a
)z(f
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
[ a),z(fsRe
]
−= 1a
z(a n
n
4
3
2
z
z
...
thì
3z
2
2
+
+
+
+
=
3z +
2 z
!4.
2 z
= =
Re
0,
dz
iπ2
A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞= 2 ze B) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
2
i
3 ez 5 =
−
2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
n
Re
(
)
cos
,
s
z
i
cos
+
i −
C)
2
n
1 −
1 2
i
z
1 )!2( n
i
1 +
1 z +
i
z
+
⎤ −=⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
1 )
(
2 !3 ⎤ =⎥ ⎦ ∞ −∑ )1( 0 n =
)5
(2 −te
= neân thaëng dö . D) Haøm f(z)=(z+i)
Caâu 8 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY+6Y =
Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e p 5 − p 2 −
+
(3)
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e p 5 − )(2 p
(
p
)6
6
−
+
14 +p
5 e p −
−
+14 (2)
1 8
2
p
p
6
1 −
1 +
6
14 +p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2
t
)5
(6
t
5
−
−
−
te 6−
e
)5
−
−
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
) tu (
1 8
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = +14
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
5
u
)
e
ch
udu 6
5 2
∫
f u du ( )
=
Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
− )5
p −
−
B) L A) L
( pp (
)36
∫
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
0
pt
tf )(
=
9sin
tdt
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi khi
π
t π << t 2 π <<
∫ − p e ππ
0 ⎧ ⎨ t 9sin ⎩
1
1 −− e
te 7−
)( uy
cos
(3 t
) duu
−
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
t ∫ 0
te 7− +10y(t)*cos3t
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 +10 ta laøm nhö sau:
te 72 −
♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
7
7
2 +p
2 +p
9
p 2 +p
2
+10Y Y = + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =
(2 )(1
p p
)9 + p )(9
)7
(
p
−
+
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 9−p
9 t
C 7+p t
7 −
Ce
Be
Ae
+
t
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
+ C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
)( zf
sin
z
)
(
i
−
=
z
i
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) 1 −
2
5
(
)
sin
i
I
z
i
e
z =
=
+
+
∫
i
z
1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ z dz ⎟ ⎠
3
6
z
i
−
=
laäp . Tính tích phaân .
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
)(ty
y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
lim ty )( t +∞→
Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian t
)(ti
L
ñuû lôùn. Caâu 13 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân
oE
)( tdi dt
,
+ R = , i(0) = 0
, LREo
)(ti
vôùi laø caùc haèng soá döông.
)(ti
lim ti )( t +∞→ giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh ñeå tìm . Tính
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
- 3 -
Ngaøy 13 thaùng 1 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0001-0014-0001-2016-314116-0001
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 (Noäp laïi ñeà naøy) ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
)5
(2 −te
Caâu 1 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY+6Y =
Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e p 5 − p 2 −
+
(3)
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e p 5 − )(2 p
(
p
)6
6
−
+
14 +p
e p 5 −
−
+14 (2)
p
2
p
6
1 8
1 −
1 +
6
14 +p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2
t
)5
(6
t
5
−
−
−
te 6−
e
)5
−
−
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
) tu (
1 8
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = +14
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
5
u
)
e
ch
udu 6
5 2
∫
f u du ( )
=
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
− )5
p −
−
B) L A) L
( pp (
)36
∫
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
pt
tf )(
=
9sin
tdt
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi khi
t 0 << π t 2 << π π
∫ − p e ππ
0 ⎧ ⎨ t 9sin ⎩
1
1 −− e
2016 −
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
e π3 i . r 1
ϕi 1
ϕi 2
Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
r 2 ±
2
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. = ⎧ ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
ϕ =
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
ϕm
5
zf )(
yxu ,(
)
iv
yx ,(
)
i
3 ze
=
+
+
−
D)
x
x
x
x
,( yxu
)
cos
3
,( yxv
3sin
,( yxu
)
)
3cos x
y x
,( yxu
1)
3cos
y
Câu 4 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc = laø:
)
3sin
y
,( yxu
)
3= e ,( yxv )
y
3
y
3+−= 1 e 3+= x e
3= e ) 3= x e
3= e 3+−= 1 e
3sin 3−= e
y ,
y
i 31 + i 21 − , yxv ,( y , cos
, ,( yxv 3sin A) B) C) D)
Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai?
- 1 -
A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.
2
2
yxu ,(
x
3
y
9
y
5
3) =
−
−
+
v
6
xy
9
x
5
=
+
+
B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y) không khaû vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaû vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).
, . Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 6 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
8 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
z
z
5
5
z
z
+
+
dz
5 )58(
e
dz
5 )58(
e
=
2 i π
+
=
2 i π
+
phöùc.
2
2
∫
∫
z
z
−
−
2
6
z
z
i 6 =+
i 2 =−
8 (
e ) 1
8 (
e ) 1
w
=
D) C)
1 3 z B) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0. D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.
Câu 8 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là
A) ñöôøng thẳng u = v. C) ñöôøng thẳng u = -v.
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
[ a),z(fsRe
]
z(a n
−= 1a
n
3
4
2
2
2
...
z
z
thì
3z
+
+
+
+
3z +
=
!4.
2 z
2 z
= =
Re
0,
dz
iπ2
Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞= 2 ze B) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
2
i
3 ez 5 =
−
2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
n
Re
(
)
cos
,
s
z
i
cos
+
i −
C)
2
n
1 −
1 n )!2(
i
1 2
i
z
1 z +
1 +
z
+
⎡ ⎢ ⎣
⎤ −=⎥ ⎦
1 ) i
(
2 !3 ⎤ =⎥ ⎦ ∞ −∑ )1( n 0 =
te 7−
)( uy
cos
(3 t
) duu
−
= neân thaëng dö . D) Haøm f(z)=(z+i)
t ∫ 0
te 7− +10y(t)*cos3t
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 +10 ta laøm nhö sau:
te 72 −
♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
7
7
2 +p
2 +p
9
p 2 +p
2
+10Y Y = + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =
(2 )(1
p p
)9 + p )(9
)7
(
p
−
+
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 9−p
9 t
C 7+p t
7 −
Ce
Be
Ae
+
t
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
+ C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
)( zf
sin
z
)
(
i
−
=
z
i
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) 1 −
2
5
i
(
)
sin
I
z
i
e
z =
=
+
+
∫
i
z
1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ z dz ⎟ ⎠
z
i
3
6
−
=
laäp . Tính tích phaân .
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
)(ty
y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
lim ty )( t +∞→
Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian t
)(ti
L
ñuû lôùn. Caâu 13 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân
oE
)( tdi dt
,
+ R = , i(0) = 0
, LREo
)(ti
vôùi laø caùc haèng soá döông.
)(ti
lim ti )( t +∞→ giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh ñeå tìm . Tính
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
- 3 -
Ngaøy 13 thaùng 1 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010-0014-0001-2016-314116-0010
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 (Noäp laïi ñeà naøy) ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
w
=
1 3 z B) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0. D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.
Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
[ a),z(fsRe
]
z(a n
−= 1a
n
3
4
2
2
2
...
z
z
thì
3z
+
+
+
+
3z +
=
2 z
!4.
2 z
= =
Re
0,
dz
iπ2
A) ñöôøng thẳng u = v. C) ñöôøng thẳng u = -v. Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞= 2 ze B) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
2
i
3 ez 5 =
−
2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
n
Re
(
)
cos
,
s
z
i
+
i −
cos
C)
2
n
1 −
1 )!2( n
i
1 2
i
z
1 z +
1 +
i
z
+
⎡ ⎢⎣
⎤ −=⎥⎦
1 )
(
2 !3 ⎤ =⎥ ⎦ ∞ −∑ )1( 0 n =
)5
(2 −te
= neân thaëng dö . D) Haøm f(z)=(z+i)
Caâu 3 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY+6Y =
Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e p 5 − p 2 −
+
(3)
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e p 5 − )(2 p
(
p
)6
6
−
+
14 +p
e p 5 −
−
+14 (2)
p
2
p
6
1 8
6
1 −
1 +
14 +p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2
t
)5
(6
t
5
−
−
−
te 6−
e
)5
−
−
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
) tu (
1 8
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = +14
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
5
u
)
e
ch
udu 6
5 2
∫
f u du ( )
=
Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
− )5
p −
−
B) L A) L
( pp (
)36
∫
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
- 1 -
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
2π
0
khi
0
pt
9sin
tdt
tf )(
=
khi
t << π t 2 << π
π
∫ − p e ππ
⎧ ⎨ t 9sin ⎩
1
1 −− e
2016 −
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
e π3 i . r 1
ϕi 1
ϕi 2
Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
r 2 ±
2
n
[r(cos
isin
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. = ⎧ ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n)] ϕ =
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
ϕm
5
zf )(
yxu ,(
)
iv
yx ,(
)
i
3 ze
=
+
+
−
D)
x
x
x
x
,( yxu
)
3cos
,( yxv
3sin
,( yxu
)
)
3cos x
y x
,( yxu
1)
3cos
y
Câu 6 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc = laø:
)
3sin
y
,( yxu
)
3= e ,( yxv )
y
y
3+−= 1 e 3+= x e
3= e ) 3= x e
3= e 3+−= 1 e
3sin 3−= e
y ,
y
i 31 + i 21 − , yxv ,( y , 3cos
, ,( yxv 3sin A) B) C) D)
Câu 7 Khẳng định nào sau đây sai?
2
2
yxu ,(
x
3
y
9
y
5
3) =
−
−
+
v
6
xy
9
x
5
=
+
+
A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y) không khaû vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaû vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).
, . Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
8 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
5
5
z
z
z
z
+
+
dz
5 )58(
e
dz
5 )58(
e
=
+
=
+
2 i π
2 i π
phöùc.
2
2
∫
∫
z
z
−
−
2
6
z
z
6 i =+
2 i =−
8 (
e ) 1
8 (
e ) 1
te 7−
)( uy
cos
(3 t
) duu
−
D) C)
t ∫ 0
te 7− +10y(t)*cos3t
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 +10 ta laøm nhö sau:
te 72 −
♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
7
7
2 +p
2 +p
9
p 2 +p
2
+10Y Y = + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =
(2 )(1
)7
(
p p
)9 + )(9 p
p
−
+
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 9−p
9 t
C 7+p t
7 −
Ce
Ae
Be
+
t
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
+ C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
)( zf
sin
z
(
)
i
−
=
z
i
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) 1 −
2
5
i
(
)
sin
I
z
i
e
=
+
+
z =
∫
i
z
1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ z dz ⎟ ⎠
z
i
3
6
−
=
laäp . Tính tích phaân .
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
)(ty
y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
lim ty )( t +∞→
Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian t
)(ti
L
ñuû lôùn. Caâu 13 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân
oE
)( tdi dt
,
+ R = , i(0) = 0
, LREo
)(ti
vôùi laø caùc haèng soá döông.
)(ti
lim ti )( t +∞→ giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh ñeå tìm . Tính
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
- 3 -
Ngaøy 13 thaùng 1 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0014-0001-2016-314116-0011
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 (Noäp laïi ñeà naøy) ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2
2
yxu ,(
x
3
y
9
y
5
3) =
−
−
+
v
6
xy
9
x
5
=
+
+
, . Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
8 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
z
z
5
5
z
z
+
+
dz
5 )58(
e
dz
5 )58(
e
=
2 i π
+
=
2 i π
+
phöùc.
2
2
∫
∫
z
z
−
−
2
6
z
z
i 6 =+
i 2 =−
8 (
e ) 1
8 (
e ) 1
w
=
D) C)
Câu 3 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là
1 3 z B) nöûa ñöôøng thẳng u = v, vôùi v > 0. D) nöûa ñöôøng thẳng u = -v, vôùi v < 0.
)5
(2 −te
A) ñöôøng thẳng u = v. C) ñöôøng thẳng u = -v.
Caâu 4 Cho phöông trình vi phaân: y’+6y = u(t-5) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 14.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY+6Y =
Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e p 5 − p 2 −
+
(3)
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e p 5 − )(2 p
(
p
)6
6
−
+
14 +p
e p 5 −
−
+14 (2)
p
2
p
6
1 8
6
1 −
1 +
14 +p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(2
t
)5
(6
t
5
−
−
−
te 6−
e
)5
−
−
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
) tu (
1 8
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = +14
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
5
u
)
e
ch
udu 6
5 2
∫
f u du ( )
=
Câu 5 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
− )5
p −
−
B) L A) L
( pp (
)36
∫
0
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
- 1 -
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
2π
0
khi
0
pt
9sin
tdt
tf )(
=
khi
t π << t 2 π <<
π
∫ − p e ππ
⎧ ⎨ t 9sin ⎩
1
1 −− e
2016 −
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
e π3 i . r 1
ϕi 1
ϕi 2
Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
r 2 ±
2
n
[r(cos
isin
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. = ⎧ ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n)] ϕ =
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
ϕm
5
zf )(
yxu ,(
)
iv
yx ,(
)
i
3 ze
=
+
+
−
D)
x
x
x
x
3sin
,( yxu
)
)
)
3cos
,( yxv
,( yxu
3cos x
y x
3sin
y
,( yxu
)
3= e ,( yxv )
Câu 7 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm phöùc = laø:
y
y
)
y
1)
3cos
,( yxu
3= e 3+−= 1 e
3sin 3−= e
3= e ) 3= x e
3+−= 1 e 3+= x e
y
i 31 + i 21 − , yxv ,( y , 3cos
y ,
3sin , ,( yxv C) D)
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
[ a),z(fsRe
]
−= 1a
z(a n
n
3
4
2
...
z
z
thì
3z
2
2
+
+
+
+
3z +
=
!4.
2 z
2 z
= =
Re
0,
dz
iπ2
A) B) Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞= 2 ze B) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
2
i
3 ez 5 =
−
2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
n
Re
s
(
z
i
)
cos
,
+
i −
cos
C)
2
n
1 −
i
z
1 2
1 )!2( n
1 +
i
1 z +
i
z
+
⎡ ⎢⎣
⎤ −=⎥⎦
1 )
(
2 !3 ⎤ =⎥ ⎦ ∞ −∑ )1( 0 n =
= neân thaëng dö . D) Haøm f(z)=(z+i)
Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai?
te 7−
)( uy
cos
(3 t
) duu
−
A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. B) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không khaû vi trên mieàn D thì caùc hàm u(x,y) vaø v(x,y) không khaû vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khaû vi vaø thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo).
t ∫ 0
te 7− +10y(t)*cos3t
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2 +10 ta laøm nhö sau:
te 72 −
♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = 2 ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
7
7
2 +p
2 +p
9
p 2 +p
2
+10Y Y = + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y =
(2 )(1
p p
)9 + p )(9
)7
(
p
−
+
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 9−p
9 t
C 7+p t
7 −
Ce
Ae
Be
+
t
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
+ C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
)( zf
sin
z
(
)
i
=
−
z
i
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) 1 −
2
5
(
)
sin
i
I
z
i
e
z =
=
+
+
∫
i
z
1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ z dz ⎟ ⎠
z
3
i
6
−
=
laäp . Tính tích phaân .
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
)(ty
y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
lim ty )( t +∞→
Tính roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa sau khoaûng thôøi gian t
)(ti
L
ñuû lôùn. Caâu 13 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân
oE
)( tdi dt
,
+ R = , i(0) = 0
, LREo
)(ti
vôùi laø caùc haèng soá döông.
)(ti
lim ti )( t +∞→ giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh ñeå tìm . Tính
sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
- 3 -
Ngaøy 13 thaùng 1 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0100-0014-0001-2016-314116-0100
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (14/1/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 14/1/2016)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Maõ ñeà: 0001-0014-0001-2016-314116-0001
Caâu hoûi 1 2 3 6 7 9 10 4 5 8
Traû lôøi B A C C C D B A C A
Maõ ñeà: 0010-0014-0001-2016-314116-0010
4 5 Caâu hoûi 1 2 3 8 7 9 10 6
A C Traû lôøi A D B C C C B A
Maõ ñeà: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 2 Caâu hoûi 4 5 1 3 8 7 9 10 6
Traû lôøi C C A D B A C C B A
Maõ ñeà: 0100-0014-0001-2016-314116-0100
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 7 8 9 10 6
Traû lôøi A C C A D A C C B B
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
Caâu hoûi
2
n
1 +
(
)
n
∞
∞
n
sin
)1( −
n
1 +
Ñieåm Noäi dung Caâu 11 1 ñieåm
1 z − 2( n
)!1
i
i +
1 z −
2(
n
2)
i
+
−
n
0
n
0
=
=
)1( − z ()!1 n
n
∞
∞
2
2
(
)
sin
)( zf
z
i
=
−
(
z
i
)
−
= ∑ = ∑
2
n
n
1 +
1 −
∑
i
z
1 −
)1( − z ()!1
2(
n
i
)
2(
n
)1( − z ()!1
2)
i
+
−
+
−
n
0
0
=
=
2
5
2
5
(
)
sin
(
)
sin
I
z
i
e
z
i
dz
=
+
+
+
z dz
= = ∑
∫
∫
i
z
1 −
z
i
n 1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ z dz ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
z
3
i
z
3
i
6
z
3
i
6
−
e 6 =
−
=
−
=
= + ∫
- 1 -
0,75ñ
5
z dz
0
=
ze 5
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phöùc)
∫
z
e 6 =
− i 3
2
2
(
)
sin
z
i
dz
zs [(Re
i
)
sin
i ],
+
+
iπ2
( vì haøm
∫
i
z
z
i
1 −
1 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
z
3
i
6
−
=
2
2
2
i
)
z
(
z
i )2
(
z
i
)
zi (4
4)
+
=
i +−
=
−
+
i −−
=
n
n
n
∞
∞
∞
2
(
z
i
)
sin
+
n
n
n
1 −
1 +
( Suy ra
z
i
1 −
)1( − z ()!1
n
2)
i
2)
i
2(
n
2(
i )1(4 − ()!1 z +
−
)1(4 −− z ()!1 + −
+
n
0
n
n
0
=
=
2
)
sin
[(Re zs
i
i ],
4 −=−
+
= ∑ +∑ +∑
2) i − 1 − !3
2( 0 = 25 6
i
n 1 −
2
(
)
sin
z
i
dz
+
)
(−
−
iπ2
Nên =
∫
i
z
25 iπ 3
25 6
1 −
z ⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
z
3
i
6
−
=
= +0 = 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ
( pY
)
Y =
])t(yL [
Caâu12 1,5ñ . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính =
2 Yp
py
)0(
y
pY
y
)0(
20
Y
−
−
−
+
Ñaët chaát tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:
( 6)0(' +
)
L
=
[ 50
]te 6 −+
2
pY (
6
p
)20
⇔
+
+
=
+
50 p
p
6
1 +
11
+
⇔ =Y
A p
B 6+p
p 51 )[(6
+ p
]11
pp (
pC ( ( p
)3 )3
11
300 )3 +
2 +
+
+ +
D + 2 +
= +
=)(ty
D
]
B
C
+
+
+
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc
][1 Y−L
1 − AL [
1 p
p
6
1 +
p
p
11
(
11 2 )3
(
11
p 3 + 2 )3 + +
+
+
t
6 −
3 t −
3 t −
A
Be
Ce
cos
11 t
De
sin
11 t
+
+
+
=)(ty
⇔
6
t
e t (3 −
C
cos
11
sin
t 11
)]
A
Dt +
=
B
+
=
lim ty )( t +∞→
lim t +∞→
lim [ +∞→t
lim − e t +∞→
ty )(
=≈ A
+ = A
5 2
, DCBA
,
,
(tính A beân döôùi) Sau khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn thì 0,5ñ 0,5ñ 0,5ñ 0,5ñ
11
+
Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc:
A p
B 6+p
p 51 )[(6
]11
+ p
pp (
)3 )3
11
pC ( ( p
300 )3 +
2 +
+
+ +
D + 2 +
51
=
=
= +
5 2
1 20
)30)[(60(
]11
]11
0 +× +
300 2 +
+
51 )6( +−× 2 )36[(6 +−
300 +
−
- 2 -
=A , =B
D
−
=
+
B 3
147 99
A 3−
11
−
=
+
Cho : 3−=p +
B 4
99 48
11DC + 12
A 2−
11
−
−=D
Cho : 2−=p +
51 20
147 220
Suy ra =C ,
L
R
)(ti
oE
,
Caâu 13 1,5ñ + = , i(0) = 0
)( tdi dt vôùi , LREo
laø caùc haèng soá döông.
] [ )t(i
L
])t('iL = [
L
di dt
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢⎣
)t('i.L
Ñaët I = I(p) = ⇒ = pI-i(0) = pI
E o ⇔ I (Lp +R) = p
LIp +RI = + Ri = Eo . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc E o p
R
E o + Lp(p
)R
L
R − t L
− e1
1 − ⇔ I = ⇔ I = E o R 1 p + p ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
] = I [
-1L
E o R
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝
R − t L
=
− e1
=
lim ti )( t +∞→
lim +∞→t
Eo R
E o R
⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝
Sau khoảng thời gian t đủ lớn
E o≈)( ti R
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc : i(t) =
*** HEÁT***
- 3 -
0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ
