Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 00-0001-0110-2015-1615-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2
ie 2 −+
e i 31 −
Câu 1 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø:
A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 C) Rez = + cos2, Imz = - sin2
3 2e 10 23e
2e 10 2e
23e 3 2e 10
2e 2e 10
+ cos2, Imz = + sin2 B) Rez = D) Rez = + cos2, Imz = + sin2
Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
không điều hòa trên miền D.
B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì
E
:
z
3
1
z
i
:
z
i 43
=
−−=+−
+−
<
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.
Caâu 3 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
.
{ z
}i ,
=F { z
}6
i−1
i+3
vaø
.
i43 −
baùn kính baèng 6 .
(
)
∅=∩ F
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm B) Taäp F laø hình troøn môû taâm C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung E
.
+= 3 izew
6e .
Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là
3e . B) ñöôøng tròn u2 + v2 = D) ñöôøng thẳng v = 0.
n
1 +
∞
)
R
5
=
⋅
=
A) ñöôøng thẳng u = 0. C) ñöôøng tròn u2 + v2 = Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.
ni )3 n
lim n ∞→
1
52( + n +
n n )52( +
zn ( − 52 +
n
1 =
∞
5
z
3 ≤
− i
coù baùn kính hoäi tuï laø C) Chuoãi ∑
ni )3 n
n
1 =
m
∞=
− )az(
f
= A)z(
coù hình troøn hoäi tuï laø . D) Chuoãi ∑
zn ( − 52 + Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
lim zf )( z a →
lim → z a
≠ A0
∞≠
,
- 1 -
(vôùi ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
z
3= i
(
z
e z 5 2)3 i −
5
z
5
z
s
s
dz
Re
dz
Re
3, i
3, i
ie15
B) laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) =
i 10π D)
2
2
∫
∫
(
(
z
)3 i
z
)3 i
e −
e −
z
z
(
(
e z 5 2)3 i −
e z 5 2)3 i −
6
z
5
i
6
iz =−
+
=
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
π−te
=2 iπ = = 2 iπ C)
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y =
Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − p 1−
(3)
+
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e pπ − )(1 p
(
p
)8
−
−
1 −p
−
+1 (2)
p
8
p
1
8
1 −
1 −
1 −p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(8
t
) − π
t − − π e
−
) π
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
8 e pπ − 7 ) tu (
1 7
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = + t e8
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû
ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
u
6
)
e
3cos
udu
∫
f u du ( )
=
Câu 8 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
6 − 2 )6
p −
+
B) L A) L
( pp (
)9
∫
0
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
π
khi
0
pt
tf )(
=
5sin
tdt
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π
t π << t 2 π <<
∫ − p e
0
t 5sin ⎧ ⎨ 0 ⎩
1
1 −− π e
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
2
t
85 sh t
83 t ch
+
5[
3 et
sh
]3 t
+
+
+
+
=
Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
4
2
3 p 2 p
5 64
+ −
⎡ ⎢ ⎣
5 p
p
p
9
(
)2
!3 −
)( uy
cos
(2
) duut
−
D) L -1 C) L B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) ⎤ =⎥ ⎦ 3 −
t ∫ 0
te 3 +5y(t)*cos2t ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
te 3
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau:
L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
3
3
1 −p
1 −p
4
p 2 +p
2
+5Y Y = + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =
p )(1 p
p
)4
(
p
4 + )(3 −
−
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 3−p
4 t
C 4−p t
Ce
Be
Ae
+
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
3 + t C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
3
t
x
y
e
3' +
=
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
2'
6
x
y
y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
)( zf
(
z
1 3) izei −
=
−
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
z = . i
I
3) ei
1 iz dz −
=
−
Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
∫
z 3
2
z
i
( =
−
Tính tích phaân .
(
z
Im)6 i
iz
z
=
+
+
Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá
)( zf ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù.
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015
- 3 -
Tröôûng Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 01-0001-0110-2015-1615-0010 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
t
t
u
6
)
e
3cos
udu
∫
f u du ( )
=
Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
6 − 2 )6
p −
+
B) L A) L
( pp (
)9
∫
0
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
π
khi
0
pt
5sin
tdt
tf )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π
t << π t 2 << π
∫ − p e
0
t 5sin ⎧ ⎨ 0 ⎩
1
1 −− π e
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
t
2
83 t ch
85 sh t
+
5[
3 et
sh
t ]3
+
+
+
+
=
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
4
2
3 p 2 p
5 64
+ −
⎡ ⎢ ⎣
5 p
(
p
)2
p
9
!3 −
)( uy
cos
(2
) duut
−
D) L -1 C) L B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) ⎤ =⎥ ⎦ 3 −
t ∫ 0
te 3 +5y(t)*cos2t ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
te 3
Caâu 3 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau:
L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
3
3
1 −p
1 −p
4
p 2 +p
2
+5Y Y = + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =
p
)4
−
4 + )(3 −
−
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
( A 1−p
p )(1 p B 3−p
p C 4−p t
4 t
Be
Ae
Ce
+
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= + + (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm)
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
3 + t C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. 2
ie 2 −+
e 31 i −
Câu 4 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø:
A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 + cos2, Imz = - sin2 C) Rez =
3 2e 10 23e
2e 10 2e
23e 3 2e 10
2e 2e 10
+ cos2, Imz = + sin2 B) Rez = D) Rez = + cos2, Imz = + sin2
- 1 -
Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
không điều hòa trên miền D.
B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì
E
:
z
3
1
z
i
:
z
i 43
=
−−=+−
+−
<
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.
Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
.
{ z
}i ,
=F { z
}6
i−1
i+3
vaø
.
i43 −
baùn kính baèng 6 .
)
(
∅=∩ F
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm B) Taäp F laø hình troøn môû taâm C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung E
.
+= 3 izew
6e .
Câu 7 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là
3e . B) ñöôøng tròn u2 + v2 = D) ñöôøng thẳng v = 0.
n
1 +
∞
)
R
5
=
⋅
=
A) ñöôøng thẳng u = 0. C) ñöôøng tròn u2 + v2 = Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.
ni )3 n
lim n ∞→
1
52( + n +
zn ( − 52 +
n n )52( +
n
1 =
∞
5
z
3 ≤
− i
coù baùn kính hoäi tuï laø C) Chuoãi ∑
ni )3 n
n
1 =
m
∞=
− )az(
f
= A)z(
coù hình troøn hoäi tuï laø . D) Chuoãi ∑
zn ( − 52 + Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
lim zf )( z a →
lim → z a
≠ A0
∞≠
,
z
3= i
(vôùi ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(
z
e z 5 2)3 i −
5
z
5
z
s
dz
Re
i 3,
dz
Re
i 3,
s
ie15
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = B)
i 10π D)
2
2
∫
∫
z
z
(
i )3
(
i )3
e −
e −
(
(
z
z
e z 5 2)3 i −
e z 5 2)3 i −
6
5
6
z
i
iz =−
+
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
π−te
=2 iπ = = 2 iπ C)
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y =
Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − 1− p
(3)
+
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
p
e pπ − )(1 p
(
)8
−
−
1 −p
−
+1 (2)
p
8
p
1
8 e pπ − 7
8
1 −
1 −
1 −p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
- 2 -
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
(8
t
) − π
t − − π e
−
) π
( e
) tu (
1 7
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = + t e 8
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû
ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
t
3
e
x
y
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
y
= 2'
6
3' + y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
)( zf
(
z
1 3) izei −
=
−
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
z = . i
I
3) ei
1 iz dz −
=
−
Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
∫
z 3
2
z
i
( =
−
Tính tích phaân .
(
z
Im)6 i
iz
z
+
=
+
Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá
)( zf ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù.
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015
- 3 -
Tröôûng Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 10-0011-0111-2015-1615-0011 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2
t
sh t 85
t ch 83
+
5[
3 et
sh
]3 t
+
+
+
+
=
Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
4
2
p 3 2 p
5 64
+ −
⎡ ⎢ ⎣
5 p
(
)2
9
p
p
!3 −
m
∞=
− )az(
f
= A)z(
D) L -1 C) L B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) ⎤ =⎥ ⎦ 3 −
lim zf )( z a →
lim → z a
≠ A0
∞≠
Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø ,
z
3= i
(vôùi ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(
z
e z 5 2)3 i −
5
z
5
z
s
s
dz
Re
dz
Re
3, i
3, i
ie15
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = B)
i 10π D)
2
2
∫
∫
(
(
z
)3 i
z
)3 i
e −
e −
z
z
(
(
e z 5 2)3 i −
e z 5 2)3 i −
6
z
5
i
6
iz =−
+
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
2
ie 2 −+
=2 iπ = = 2 iπ C)
e i 31 −
Câu 3 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø:
A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 + cos2, Imz = - sin2 C) Rez =
3 2e 10 23e
2e 10 2e
23e 3 2e 10
2e 2e 10
+ cos2, Imz = + sin2 B) Rez = D) Rez = + cos2, Imz = + sin2
Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
không điều hòa trên miền D.
B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì
E
:
z
3
1
z
i
:
z
i 43
=
−−=+−
+−
<
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.
Caâu 5 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
.
{ z
}i ,
=F { z
}6
i−1
i+3
vaø
.
i43 −
baùn kính baèng 6 .
(
)
∅=∩ F
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm B) Taäp F laø hình troøn môû taâm C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung E
.
+= 3 izew
- 1 -
Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là
6e .
3e . B) ñöôøng tròn u2 + v2 = D) ñöôøng thẳng v = 0.
n
1 +
∞
)
R
5
=
⋅
=
A) ñöôøng thẳng u = 0. C) ñöôøng tròn u2 + v2 = Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.
ni )3 n
lim n ∞→
1
52( + n +
n n )52( +
zn ( − 52 +
n
1 =
∞
z
5
− i
3 ≤
coù baùn kính hoäi tuï laø C) Chuoãi ∑
ni )3 n
zn ( − 52 +
n
1 =
π−te
coù hình troøn hoäi tuï laø . D) Chuoãi ∑
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y =
Caâu 8 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − p 1−
(3)
+
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e pπ − )(1 p
(
p
)8
−
−
1 −p
−
+1 (2)
1
p
8
p
8
1 −
1 −
1 −p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(8
t
) − π
t − − π e
−
) π
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
( e
8 e pπ − 7 ) tu (
1 7
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = + t e 8
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû
ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
t
u
6
)
e
3cos
udu
∫
f u du ( )
=
Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
6 − 2 )6
p −
+
B) L A) L
( pp (
)9
∫
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
π
khi
0
pt
tf )(
=
5sin
tdt
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π
t π << t 2 π <<
∫ − p e
0
t 5sin ⎧ ⎨ 0 ⎩
1
1 −− π e
)( uy
cos
(2
) duut
−
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
t ∫ 0
te 3 +5y(t)*cos2t ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
te 3
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau:
L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
3
3
1 −p
1 −p
4
p 2 +p
2
+5Y Y = + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =
p )(1 p
p
)4
(
p
4 + )(3 −
−
−
- 2 -
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
A 1−p
B 3−p
4 t
C 4−p t
Ce
Be
Ae
+
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) + +
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
3 + t C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
t
3
x
y
e
3' +
=
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
2'
6
x
y
y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
)( zf
(
z
1 3) izei −
=
−
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
z = . i
I
3) ei
1 iz dz −
=
−
Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
∫
z 3
2
z
i
( =
−
Tính tích phaân .
(
z
Im)6 i
iz
z
+
=
+
Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá
)( zf ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù.
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015
- 3 -
Tröôûng Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 11-0001-0100-2015-1615-0100 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
t
t
u
6
)
e
3cos
udu
∫
f u du ( )
=
Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
6 − 2 )6
p −
+
B) L A) L
( pp (
)9
∫
0
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
−∫Tp e
0
1
1 − − e
π
khi
0
pt
5sin
tdt
tf )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π
t << π t 2 << π
∫ − p e
0
t 5sin ⎧ ⎨ 0 ⎩
1
1 −− π e
)( uy
cos
(2
) duut
−
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
t ∫ 0
te 3 +5y(t)*cos2t ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
te 3
Caâu 2 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau:
L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t]
♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
3
3
1 −p
1 −p
4
p 2 +p
2
Y = +5Y + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =
p
)4
−
4 + )(3 −
−
♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
( A 1−p
p )(1 p B 3−p
p C 4−p t
4
t
Ce
Be
Ae
+
♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= + + (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm)
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
3 + t C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
t
2
85 sh t
83 t ch
+
5[
3 et
sh
t ]3
+
+
+
+
=
Câu 3 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)
4
2
5 64
3 p 2 p
+ −
⎡ ⎢ ⎣
5 p
(
p
)2
p
9
!3 −
2
ie 2 −+
D) L -1 C) L B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) ⎤ =⎥ ⎦ 3 −
e 31 i −
Câu 4 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø:
A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 + cos2, Imz = - sin2 C) Rez =
3 2e 10 23e
2e 10 2e
23e 3 2e 10
2e 2e 10
+ cos2, Imz = + sin2 B) Rez = D) Rez = + cos2, Imz = + sin2
- 1 -
Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
không điều hòa trên miền D.
B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì
E
:
z
3
1
z
i
:
z
i 43
=
−−=+−
+−
<
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.
Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
.
{ z
}i ,
=F { z
}6
i−1
i+3
vaø
.
i43 −
baùn kính baèng 6 .
)
(
∅=∩ F
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm B) Taäp F laø hình troøn môû taâm C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung E
.
+= 3 izew
6e .
Câu 7 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là
3e . B) ñöôøng tròn u2 + v2 = D) ñöôøng thẳng v = 0.
n
1 +
∞
)
R
5
=
⋅
=
A) ñöôøng thẳng u = 0. C) ñöôøng tròn u2 + v2 = Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.
ni )3 n
lim n ∞→
1
52( + n +
zn ( − 52 +
n n )52( +
n
1 =
∞
5
z
3 ≤
− i
coù baùn kính hoäi tuï laø C) Chuoãi ∑
ni )3 n
n
1 =
m
∞=
− )az(
f
= A)z(
coù hình troøn hoäi tuï laø . D) Chuoãi ∑
zn ( − 52 + Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
lim zf )( z a →
lim → z a
≠ A0
∞≠
,
z
3= i
(vôùi ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(
z
e z 5 2)3 i −
5
z
5
z
s
dz
Re
i 3,
dz
Re
i 3,
s
ie15
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = B)
i 10π D)
2
2
∫
∫
z
z
(
i )3
(
i )3
e −
e −
(
(
z
z
e z 5 2)3 i −
e z 5 2)3 i −
6
5
6
z
i
iz =−
+
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
π−te
=2 iπ = = 2 iπ C)
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.
♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y =
Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − p 1−
(3)
+
♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e pπ − )(1 p
(
p
)8
−
−
1 −p
−
+1 (2)
p
8
p
1
8 e pπ − 7
8
1 −
1 −
1 −p
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
- 2 -
♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = +
(8
t
) − π
t − − π e
−
) π
( e
) tu (
1 7
♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = + t e 8
A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû
ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0
3
t
x
y
e
3' +
=
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
2'
6
x
y
y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
)( zf
(
z
1 3) izei −
=
−
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
z = . i
I
3) ei
1 iz dz −
=
−
Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
∫
z 3
z
2
i
( =
−
Tính tích phaân .
(
z
Im)6 i
iz
z
+
=
+
Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá
)( zf ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù.
(cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015
- 3 -
Tröôûng Boä moân Toaùn
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100
Giaùm thò 1 Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Caâu hoûi 1
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Caâu 11, caâu 12
Caâu 13, caâu 14
- 7 -
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 1/6/2015)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Maõ ñeà: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Traû lôøi C A D B D D A D D B
Maõ ñeà: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010 5 Caâu hoûi 4 2 1 3 6 7 8 9 10
Traû lôøi D D B C A D B D D A
Maõ ñeà: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 5 Caâu hoûi 4 2 1 3 6 7 8 9 10
D Traû lôøi D C A B D A D B
D Maõ ñeà: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 5 Caâu hoûi 4 3 2 1 6 7 8 9 10
Traû lôøi D B D C A D B D D A
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
( pY
)
Y =
Ñieåm Noäi dung
])t(yL [
Caâu hoûi Caâu 11 1,5ñ . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát =
13 Y
)0(
)0(
pY
py
y
−
−
+
0.5ñ
)
2
pY (
6
p
)13
+
⇔=
+
+
p
3
y − 1 +
⇔ =Y
+
+
= Ñaët tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc: ]te 3 [ 2 −+L 10 Yp
A p
p
B 3+
+ p
p 11 )[(3
pp (
pC ( ( p
]4
( 6)0(' + 10 p 30 )3 +
+
+ +
D 2)3 + 2 + 4 )3
2 +
=
=)(ty
]
B
C
D
+
+
+
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc
][1 Y−L
1 − [ AL
3 2
2
3
p
1 +
4
(
2
2 )3
p
p
+
+
+
( t
3
3
t
3
t
1 p −
−
−
2sin
cos
A
Ce
t 2
=)(ty
+
+
+
=
p + )3 + t
⇔ Tìm
Be De döïa vaøo ñaúng thöùc:
+
+
0.5ñ 0.5ñ
(*) = =
p
B 3+
pp (
+
=
1 4
]4 30 )30)[(30(
]4
]4
DCBA , , , p 11 30 + 2 + )3 p )[(3 + 0 11 +× +
+
2 +
30 2 +
A
+
1=p
+
=
=A , =B =
B 4
4
D
C
2−=p
B ++
Töø (*) cho ñöôïc:
A p 10 13 41 × 20 4− 5
pC ( D 2)3 + + 2 + p ( 4 )3 + 11 )3( +−× )[(3( )33 − +− C + D 4 2 20 2 + 5
A 2 −
1
Töø (*) cho ñöôïc: = .
=D
−
−
53 52
15 13
Suy ra =C ,
=
=
X
Caâu 12 1.5ñ
[ ] Y,x
[ ]y
L
L
pX
3 Y
+
=
t
3
x
p
1 −
⇔
[ +
Ñaët ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
[ e =
L [ ] x
3 L ] +′
= L [ ] y
[ ] 1
] +′ [ y L
[ ] y 2 L
] 6 L
⎧ ⎨ L ⎩
X
(
p
)2
Y
+
+
=
3 6 p
2
X
=
=
+
+
+
p
p
p
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ A p
pp (
− )(1
)3
1
3
3
p −
+
B −
C −
D +
⇔
Y
=
=
+
+
p
p
p
p
p
(
1
3
3
)3
p 16 54 + p p )(3 − p 6 19 − p )(3 )(1 −
−
E −
F −
G +
+
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
1 −
]
[
C
D
A
B
+
+
+
x
=
L
1 −
x
=
1
3
3
p
p
p
1 p
1 −
1 −
1 +
1 −
y
=
X [ ] L ⇔ − 1 ][ Y L
⎧ ⎨ ⎩
]
[
F
G
E
+
+
L
y
=
1
3
3
p
p
p
1 −
1 +
1 −
3
t
t
t
3 −
x
=
⇔
Ce t 3
De t − 3
+ Ge
+ Ee
+ Fe
Ae y
=
+
+
,
A ,
DCB ,
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc: ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ t Be t
2
=
+
+
+
54 p
pp (
)3
A p
p
3
p
p
3
p 16 + )(3 p −
+
B −
D +
C −
−
−
6
=A
=
=B
−=
=C
=
dựa vào 0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ
1 12 54 )31)(31(1
39 8
32 54 )33)(13(3
5 12
1 +× +
16 − −
3 +× +
16 −
2
54
=D
−=
)33)(13(3
37 24
⎧ ⎨ ⎩ ♦ Tìm p − )(1 − 0 2 0 16 +× )30)(30)(10( − − )3( 16 − − −−−
54 + )3( +−× −−
=
+
+
p
1
6 )(1
p
(
3
, ,
−
+
=F
=
=G
=E
=
−=
dựa vào E −
)3 13 8
1 − 12
37 24
F 3 p − 36 −× )33)(13( −
G p + 19 +
)3(6 −−× )33)(13( −−
19 −−
, , ♦ Tìm GFE , , p 19 − )(3 p p − 16 19 −× )31)(31( − +
n
∞
∞
∞
(
3
3
z
)
(
i
−
)( zf
1 3) izei −
z
(
z
i
)
(
−
=
−
Khai trieån Laurent
3
−
∑
∑
1 ) iz − n !
zn (!
zn (!
ni )
ni )
1 −
1 −
0
n
0
n
0
n
=
=
=
= = =∑
1 iz−
zs [(Re
3 ei )
i ],
−
1 iz dz −
3) ei
I
=
−
Tính tích phaân
∫
1 2 iπ = !4
iπ 12
z 3
z
2
i
( =
−
= 2 iπ = Caâu 13 1 ñieåm 0.5ñ 0.5ñ
2
Caâu 14 1 ñieåm Taäp xaùc ñònh haøm soá laø C
(
(
)
zf )(
z
i Im)6
z
iz
x
iy
yi )6
xi (
iy
=
+
+
=
+
+
+
+
y
y
)
−
+
+
2 +
( ( )6 xy xi y 44 344 2143421
u
v
u
uy ,
1
v
2
y
6
=
x −=
=
=
+
=
' x
' y
' x
,1 ' v y
Caùc ñaïo haøm rieâng , ñeàu lieân tuïc treân R2 neân u, v
' x
⇔
⇔
khaû vi treân R2 = C (1).
' v y v
= −=
y x
x y
y 2 6 = + 1 1 −=−
0 = 6 −=
' x
⎧ ⎨ ⎩
⎧ ⎨ ⎩
⎧ u ⎪ ⎨ ' u ⎪⎩ y
Ñieàu kieän (C-R): (2).
i6−
}.
Haøm soá coù ñaïo haøm khi vaø chæ khi haøm soá khaû vi (3).
6
6
i
f
i +−=+−
u
)6,0(
iv
i − )6('
=
+−
)6,0( −
Töø (1),(2) vaø (3) suy ra taäp taát caû caùc ñieåm haøm soá coù ñaïo haøm laø {
' x
' x
=
0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ *** HEÁT***
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Caâu 11, caâu 12
Caâu 13, caâu 14
3
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
