Đ s 3ề ố
Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 – Nâng caoớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Bài 1 (2,5 đi m) Gi i các ph ng trình : ể ả ươ
1) 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 2) cos2x – 3cosx + 2 = 0
3)
x x x
x
2 2
sin 2sin2 5cos 0
2sin 2
− − =
+
Bài 2 (0,75 đi m) Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s :ể ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ố
y x x3sin 3 4cos 3
6 6
π π
� � � �
= + + +
� � � �
� � � �
Bài 3 (1,5 đi m) ể
1) Tìm h s c a s h ng ch a ệ ố ủ ố ạ ứ
x31
trong khai tri n bi u th c ểểứ
x x3 15
(3 )−
.
2) T các ch s 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có th l p đ c bao nhiêu s ch n có b n ch s khác nhau.ừ ữ ố ể ậ ượ ố ẵ ố ữ ố
Bài 4 (1,5 đi m) M t h p ch a 10 qu c u tr ng và 8 qu c u đ , các qu c u ch khác nhau v màu.ể ộ ộ ứ ả ầ ắ ả ầ ỏ ả ầ ỉ ề
L y ng u nhiên 5 qu c u.ấ ẫ ả ầ
1) Có bao nhiêu cách l y đúng 3 qu c u đ .ấ ả ầ ỏ
2) Tìm xác su t đ l y đ c ít nh t 3 qu c u đ .ấ ể ấ ượ ấ ả ầ ỏ
Bài 5 (1,5 đi m) Trong m t ph ng to đ Oxy, cho hai đi m A(– 2; 3) , B(1; – 4); đ ng th ng d:ể ặ ẳ ạ ộ ể ườ ẳ
x y3 5 8 0− + =
; đ ng tròn (C ): ườ
x y
2 2
( 4) ( 1) 4+ + − =
. G i B’, (Cọ′) l n l t là nh c a B, (C)ầ ượ ả ủ
qua phép đ i x ng tâm O. G i d’ là nh c a d qua phép t nh ti n theo vect ố ứ ọ ả ủ ị ế ơ
AB
uuur
.
1) Tìm to đ c a đi m B’, ph ng trình c a d’ và (Cạ ộ ủ ể ươ ủ ′) .
2) Tìm ph ng trình đ ng tròn (Cươ ườ ′′ ) nh c a (C) qua phép v tâm O t s k = –2.ả ủ ị ỉ ố
Bài 6 (2,25 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là m t hình bình hành. G i M, N l n l t làể ộ ọ ầ ượ
trung đi m c a SA, SD và P là m t đi m thu c đo n th ng AB sao cho AP = 2PB .ể ủ ộ ể ộ ạ ẳ
1) Ch ng minh r ng MN song song v i m t ph ng (ABCD).ứ ằ ớ ặ ẳ
2) Tìm giao tuy n c a hai m t ph ng (SBC) và (SAD).ế ủ ặ ẳ
3) Tìm giao đi m Q c a CD v i m t ph ng (MNP). M t ph ng (MNP) c t hình chóp S.ABCDể ủ ớ ặ ẳ ặ ẳ ắ
theo m t thi t di n là hình gì ? .ộ ế ệ
4) G i K là giao đi m c a PQ và BD. Ch ng minh r ng ba đ ng th ng NK, PM và SB đ ng quiọ ể ủ ứ ằ ườ ẳ ồ
t i m t đi m.ạ ộ ể
--------------------H t-------------------ế
H và tên thí sinhọ: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đ s 3ề ố
ĐÁP ÁN Đ THI H C KÌ 1 – Năm h c Ề Ọ ọ
Môn TOÁN L p 11 – Nâng caoớ
Th i gian làm bài 90 phútờ
Bài Câu H ng d nướ ẫ Đi mể
1
12sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 1 ⇔ sin(4x +300) = 1
⇔
x k , k Z
0 0 0
4 30 90 360+ = +
0,5
2
cos2x – 3cosx + 2 = 0
⇔ 2cos2x – 1 – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
⇔
x k
x
, k Z
x k
x
2
cos 1
12
cos 3
2
π
ππ
=
=
� �
= +
=
1
3
x x x
x
2 2
sin 2sin2 5cos 0
2sin 2
− − =
+
(1)
ĐK :
x m
x , m,n Z
x n
2
24
sin 5
22
4
ππ
ππ
− +
−� � �
+
(*)
V i đi u ki n (*) ta có: (1) ớ ề ệ ⇔ sin2x – 4sinx.cosx – 5cos2x = 0
• cosx = 0 không tho mãn ph ng trình (1)ả ươ
• cosx ≠ 0 , chia hai v c a (1) cho ế ủ
x
2
cos
ta đ c:ượ
(1) ⇔ tan2x – 4tanx – 5 = 0 ⇔
x
x
tan 1
tan 5
= −
=
⇔
x k
x k
4
arctan5
ππ
π
= − +
= +
K t h p v i đi u ki n (*), ta đ c nghi m c a ph ng trình đã cho là:ế ợ ớ ề ệ ượ ệ ủ ươ
x k , x k , k Z(2 1) arctan5
4
ππ π
= − + + = +
1
2
y x x3sin(3 ) 4cos(3 )
6 6
π π
= + + +
x5sin 3 6
πα
� �
� �
= + +
� �
� �
� �
� �
v i cosớα =
3
5
và sinα =
4
5
Hàm s có giá tr nh nh t b ng – 5 khi ố ị ỏ ấ ằ
xsin 3 1
6
πα
� �
� �
+ + = −
� �
� �
� �
� �
Hàm s có giá tr l n nh t b ng 5 khi ố ị ớ ấ ằ
xsin 3 1
6
πα
� �
� �
+ + =
� �
� �
� �
� �
0,75
3
1
Tìm h s ch a x ệ ố ứ 31 trong khai tri n bi u th c ( 3x – xểểứ 3 )15 .
S h ng t ng quát c a khai tr n trên là :ố ạ ổ ủ ể
k k k k k k k
T C x x C x
15 3 15 15 2
15 15
.(3 ) .( ) .( 1) .3 .
− − +
= − = −
v i 0 ≤ k ≤ 15 , k ớ∈Z
S h ng c n tìm ch a xố ạ ầ ứ 31 nên 15 + 2k = 31 ⇔ k = 8 ( tho mãn)ả
H s c a s h ng c n tìm là : ệ ố ủ ố ạ ầ
C8 8 7
15.( 1) .3−
=
C8 7
15.3 14073345=
0,75
2S c n tìm có d ng ố ầ ạ
abcd
, trong đó a , b , c , d ∈
{ }
1,2,3,4,5,6,7
và đôi m t khác nhau .ộ
Vì s c n l p là s ch n nên ố ầ ậ ố ẵ
{ }
d 2, 4, 6
0,75
2
Do đó ch s ữ ố d có 3 cách ch n .ọ
Có
A3
6
cách ch n ba ch s a, b, c .ọ ữ ố
V y có ậ
3
6
3.A 360=
s tho yêu câu bài toán .ố ả
4
1 S cách l y đúng 3 qu c u màu đ là ố ấ ả ầ ỏ
C C
3 2
8 10
. 2520=
0,5
2
Không gian m u, (c a phép th ng u nhiên l y 5 qu c u t 18 qu c u khácẫ ủ ử ẫ ấ ả ầ ừ ả ầ
màu ) có s ph n t là : ố ầ ử
C5
18
=8568
G i A là bi n c l y đ c ít nh t 3 qu c u màu đ .ọ ế ố ấ ượ ấ ả ầ ỏ
– S cách l y đ c đúng 3 qu c u màu đ là : 2520ố ấ ượ ả ầ ỏ
– S cách l y đ c 4 qu c u đ là ố ấ ượ ả ầ ỏ
C C
4 1
8 10
. 700=
– S cách l y đ c 5 qu c u đ u màu đ là : ố ấ ượ ả ầ ề ỏ
C5
856=
Xác su t c a bi n c l y đ c ít nh t 3 qu caàu màu đ là :ấ ủ ế ố ấ ượ ấ ả ỏ
P A 2520 700 56
( ) 0,38
8568
+ +
=
1
5
1
Ta có : B’ = (–1; 4), d’: –3x + 5y + 8 = 0
Đ ng tròn (C) có tâm I(–4 ; 1) và bán kính R = 2ườ
Đ ng tròn (C’) có tâm I’(4 ; – 1) và R’ = 2 ườ ⇒ (C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 = 4
0,75
2
G i I’’ là tâm c a đ ng tròn (C’’) , khi đó ọ ủ ườ
OI OI'' 2= −
uuur uur
mà
OI ( 4;1)= −
uur
Suy ra
OI '' (8; 2)= −
uuur
⇒
I'' (8; 2)= −
và R’’ = 2R = 4
V y (C’’) : (x – 8)ậ2 + (y + 2)2 = 16
0,75
6
1
K
Q
I
P
N
M
D
A
B
C
S
MN là đ ng trung bình c a tam giác SAD .ườ ủ
Vì MN n m ngoài m t ph ng (ABCD) và MN // AD nên MN // (ABCD).ằ ặ ẳ
0,75
2 Giao tuy n c a hai m t ph ng (SBC) và (SAD) là đ ng th ng đi qua S vàế ủ ặ ẳ ườ ẳ
song song v i AD .ớ0,25
3
3/ Tìm giao đi m Q c a CD v i m t ph ng (MNP). M t ph ng (MNP) c tể ủ ớ ặ ẳ ặ ẳ ắ
hình chóp S.ABCD theo m t thi t di n là hình gì ? .ộ ế ệ
Ba m t ph ng (MNP), (SAD) và (ABCD) c t nhau theo ba giao tuy n MN,ặ ẳ ắ ế
PQ, AD, đ ng th i MN //AD nên ba đ ng th ng PQ, MN, AD đôi m tồ ờ ườ ẳ ộ
song song .
Trong m t ph ng (ABCD), qua đi m P k đ ng th ng song song v i AD,ặ ẳ ể ẻ ườ ẳ ớ
c t CD t i Q. Đi m Q là giao đi m c n tìm.ắ ạ ể ể ầ
0,75
4
Trong m t ph ng (SAB), hai đ ng th ng SB và PM không song song nênặ ẳ ườ ẳ
chúng c t nhau t i I .ắ ạ
Suy ra I là đi m chung c a hai m t ph ng (MNP) và (SBD) .ể ủ ặ ẳ
L i có (SBD) và (MNP) c t nhau theo giao tuy n KN nên đi m I ph i thu cạ ắ ế ể ả ộ
đ ng th ng NK .ườ ẳ
V y ba đ ng th ng SB, MP, NK đ ng qui t i I .ậ ườ ẳ ồ ạ
0,5
3