Đề thi học kì 2 môn toán

Chia sẻ: Trần Văn Triết | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

743
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi học kì 2 môn toán', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học kì 2 môn toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009 Trường Phổ Thông Năng Khiếu MÔN THI: TOÁN Lớp 11. Thời gian: 90 phút (Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D) x2 − 5x + 6 Câu 1. a)Tính lim x→2 x 2 + 6 x − 16 4x + 1 b) Tính lim ( x + 2 ) x →−∞ ( x − 1) ( x 2 + 2 x ) 3x − 1 Câu 2. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = . Viết phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại x+2 M ( xM ; −4 ) cos x Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số y = 3 x + 1 − x2 + 2 b) Chứng minh phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD , ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABS đều có tâm I , AC ⊥ BC , AC = BC = a 2 . a) Chứng minh SI ⊥ ( ABC ) và tam giác ASC cân. b) Chứng minh IS = IA = IB = IC . Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC ) c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB d) Tính góc tạo bởi ( SAC ) và ( ABC ) Hướng dẫn giải Câu 1. a) Ta có lim x2 − 5x + 6 = lim ( x − 2 )( x − 3) = lim x − 3 = 2 − 3 = − 1 x→2 x + 6 x − 16 x→2 ( x − 2 )( x + 8 ) x→2 x + 8 2 + 8 2 10 b) Ta có ( x + 2 ) ( 4 x + 1) = 2 4x + 1 lim ( x + 2 ) = lim − x →−∞ ( x − 1) ( x 2 + 2 x ) x→−∞ ( x − 1) x ( x + 2 ) ⎛ 2 ⎞⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 1⎞ x 2 ⎜1 + ⎟⎜ 4 + ⎟ ⎜1 + ⎟⎜ 4 + ⎟ = lim − ( x + 2 )( 4 x + 1) = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = −2 x →−∞ x ( x − 1) x →−∞ ⎛ 1⎞ x →−∞ ⎛ 1⎞ x 2 ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 3x − 1 Câu 2. y = x+2 Nguyễn Tăng Vũ 1 http://vuptnk.tk
3 ( x + 2 ) − ( 3 x − 1) 7 Ta có y′ = = ( x + 2) ( x + 2) 2 2 3 xM − 1 Ta có M ( xM ; −4 ) ∈ ( C ) ⇒ −4 = ⇒ xM = −1 xM + 2 7 Ta có y′ ( −1) = = 7. ( −1 + 2 ) 2 Vậy phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại M ( −1; −4 ) là: y = 7 ( x + 1) − 4 hay y = 7 x + 3 Câu 3. cos x a) y = 3 x + 1 − x2 + 2 3 ( − sin x ) ( x 2 + 2 ) − 2 x cos x 3 x 2 sin x + 2 x cos x + 2sin x Ta có y′ = − = + ( x2 + 2) ( x2 + 2) 2 2 2 3x + 1 2 3x + 1 b) f ( x ) = x 3 − 5 x + 1 . Ta có f là hàm số liên tục trên Ta có f (1) = −3 và f ( 3) = 13 Ta có f (1) . f ( 3) = −39 < 0 , suy ra phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;3) Vậy phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1. Bài 4. Nguyễn Tăng Vũ 2 http://vuptnk.tk
S F I C B E D A a) Vì tam giác SAB đều và I là tâm tam giác đều nên SI ⊥ AB . ⎧( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⎪ ⎨ AB = ( SAB ) ∩ ( ABC ) Ta có ⎪ SI ⊥ AB ⎩ ⇒ SI ⊥ ( ABC ) Gọi D là giao điểm của SI và AB thì D là trung điểm AB . Tam giác ABC vuông cân tại C nên AB = AC 2 = 2a AB. 3 1 Ta có SD = = a 3 và CD = AB = a 2 2 (a 3) 2 Ta có SD ⊥ ( ABC ) ⇒ SD ⊥ CD , suy ra SC = DC 2 + SD 2 = + a 2 = 2a Tam giác SAC có SA = SC = 2a nên cân tại S b) 1 Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên CD = AB = DB = DA 2 Vì D là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ABC ) và DA = DB = DC nên ta có IA = IB = IC . Mặt khác I là tâm của tam giác đều SAB nên IA = IB = IS . Vậy IS = IA = IB = IC Nguyễn Tăng Vũ 3 http://vuptnk.tk
Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABC ) nên góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) là SCD . SD a 3 3 Ta có sin SCD = = = ⇒ SCD = 600 SC 2a 2 Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600 c) Vẽ DF ⊥ SC ( F ∈ SC ) (1) . ⎧ AB ⊥ SD Ta có ⎨ ⇒ AB ⊥ ( SCD ) ⇒ AB ⊥ DF ( 2 ) ⎩ AB ⊥ CD Từ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và AB . a 3 Ta có DF = CD.sin FCD = a.sin 600 = 2 a 3 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là 2 d) Gọi E là trung điểm AC , ta có SE ⊥ AC (do tam giác SAC cân tại S ) Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên DE // CB ⇒ DE ⊥ AC . Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là góc giữa hai đường thẳng SE và DE . SD a 3 2 3 Ta có tan SED = = = = 6 ⇒ SED = 670 47′ DE a 2 2 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là 670 47′ Nguyễn Tăng Vũ 4 http://vuptnk.tk