Nguyễn Tăng Vũ
http://vuptnk.tk
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009
Trường Phổ Thông Năng Khiếu MÔN THI: TOÁN
Lớp 11. Thời gian: 90 phút
(Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)
Câu 1. a)Tính
2
2
2
56
lim 616
x
xx
xx
→
−+
+−
b) Tính
()
()
()
2
41
lim 2 12
x
x
x
x
xx
→−∞
+
+−+
Câu 2. Gọi
(
)
Clà đồ thị của hàm số 31
2
x
yx
−
=
+
. Viết phương trình đường thẳng
(
)
dtiếp xúc với
(
)
Ctại
(
)
;4
M
Mx −
Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số 2
cos
31 2
x
yxx
=+−
+
b) Chứng minh phương trình 3510xx−+= có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Câu 4. Cho hình chóp .SABCD,
(
)
(
)
SAB ABC
. Tam giác
A
BS đều có tâm I,
,2
A
CBCACBCa⊥==.
a) Chứng minh
(
)
SI ABC⊥ và tam giác
A
SC cân.
b) Chứng minh IS IA IB IC===. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng
(
)
A
BC
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và
A
B
d) Tính góc tạo bởi
(
)
SAC và
(
)
A
BC
Hướng dẫn giải
Câu 1.
a) Ta có
(
)
(
)
()()
2
2
22 2
23
56 323 1
lim lim lim
616 2 8 828 10
xx x
xx
xx x
xx x x x
→→ →
−−
−+ − −
====−
+− − + + +
b) Ta có
()
()
()
()( )
()( )
()( )
()
2
2
2
2
241
41
lim 2 lim 12
12
21 21
14 14
24 1
lim lim lim 2
11
111
xx
xx x
xx
x
xxxx
xxx
x
xx xx xx
xx xxx
→−∞ →−∞
→−∞ →−∞ →−∞
++
+
+=−=
−+
−+
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
++ ++
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
++ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
=− =− =− =−
−⎛⎞ ⎛⎞
−−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
Câu 2. 31
2
x
yx
−
=+
Nguyễn Tăng Vũ
http://vuptnk.tk
2
Ta có
(
)
(
)
() ()
22
3231 7
22
xx
yxx
+− −
′==
++
Ta có
()()
31
;4 4 1
2
M
MM
M
x
Mx C x
x
−
−∈ ⇒−= ⇒ =−
+
Ta có
()()
2
7
17
12
y′−= =
−+ .
Vậy phương trình đường thẳng
(
)
d tiếp xúc với
(
)
C tại
(
)
1; 4M
−
− là:
(
)
714yx
=
+−
hay 73yx
=
+
Câu 3.
a) 2
cos
31 2
x
yxx
=+−
+
Ta có
(
)
(
)
() ()
22
22
22
sin 2 2 cos
3 3 sin 2 cos 2sin
23 1 23 1
22
xx x x
x
xxx x
yxx
xx
−+− ++
′=− =+
++
++
b)
(
)
351
f
xx x=−+. Ta có
f
là hàm số liên tục trên \
Ta có
(
)
13f=− và
(
)
313f=
Ta có
(
)
(
)
1. 3 39 0ff=− < , suy ra phương trình
(
)
0fx
=
có nghiệm trong khoảng
(
)
1; 3
Vậy phương trình 3510xx−+= có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.
Bài 4.
Nguyễn Tăng Vũ
http://vuptnk.tk
3
I
ED
B
A
S
C
F
a) Vì tam giác SAB đều và
I
là tâm tam giác đều nên SI AB
⊥
.
Ta có
()( )
()( )
()
SAB ABC
AB SAB ABC
SI AB
SI ABC
⊥⎧
⎪=∩
⎨
⎪⊥
⎩
⇒⊥
Gọi D là giao điểm của SI và
A
B thì D là trung điểm
A
B.
Tam giác ABC vuông cân tại C nên 22AB AC a==
Ta có .3 3
2
AB
SD a== và 1
2
CD AB a==
Ta có
()
SD ABC SD CD⊥⇒⊥
, suy ra
()
2
22 2
32SC DC SD a a a=+= +=
Tam giác SAC có 2SA SC a==
nên cân tại S
b)
Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên 1
2
CD AB DB DA===
Vì D là hình chiếu của
I
trên mặt phẳng
(
)
A
BC và DA DB DC
=
= nên ta có
I
AIBIC==.
Mặt khác
I
là tâm của tam giác đều SAB nên
I
AIBIS
=
=.
Vậy
I
SIAIBIC===
Nguyễn Tăng Vũ
http://vuptnk.tk
4
Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng
(
)
A
BC nên góc giữa SC và mặt phẳng
()
A
BC là
n
SCD .
Ta có
n n
0
33
sin 60
22
SD a
SCD SCD
SC a
== =⇒ =
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng
()
A
BC bằng 0
60
c) Vẽ
()()
1DF SC F SC⊥∈.
Ta có
() ()
2
AB SD AB SCD AB DF
AB CD
⊥
⎧⇒⊥ ⇒⊥
⎨⊥
⎩
Từ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và
A
B.
Ta có
n
03
.sin .sin 60 2
a
DF CD FCD a===
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và
A
B là 3
2
a
d) Gọi
E
là trung điểm
A
C, ta có SE AC⊥ (do tam giác SAC cân tại S)
Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên //DE CB DE AC⇒⊥.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng
()
SAC và
(
)
A
BC là góc giữa hai đường thẳng SE và DE .
Ta có
n
323
tan 6
22
2
SD a
SED DE a
== = =
n
0
67 47SED
′
⇒=
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
()
SAC và
()
ABC là 0
67 47
′