Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 Phú Thọ 2015-2016

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số

có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình

 x 3   x 2

 

x m

 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông

y 1 tại O, (O là gốc tọa độ).

Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình

x 3 cos 2 (2sin

 

1) 2cos (2sin

 

x 1) 3sin 2 .

Câu 3 (2,5 điểm). Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.

Câu 4 (2,5 điểm). Tính tích phân





x cos 2 .ln(sin



cos )

x dx .



Câu 5 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a . Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy bằng 60o .

A 

( 5; 2)

(cid:0)

. Tìm

và MB MC

( 1; 2)

 MDC MBC

tan

tọa độ điểm D biết

(cid:0) DAM  .

Câu 6 (2,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có M   là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho (cid:0) 1 2

Trang | 1

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu 7 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình

)



)



  y

 1) 4

(

  y

2) 2

  1





  ( x   

Câu 8 (2,5 điểm). Cho các số

   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x y z thỏa mãn 0 ,

x  y  z



2

---------Hết---------

Trang | 2

 P xy  yz  zx  xyz  . 6

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM

Nội dung

Điểm



Câu 1. Cho hàm số

có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:

x  3   x 2

2,5

 

x m

 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác

y OAB vuông tại O. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

 

x m



0,5

 x 3 x   2 2   ( m x



 

5 0 (1) (



Điều kiện:

( m  2)  4(2 m  5)  m  4 m   16 0

0,5

2( m   2) 2 m   5 0 (*)

( m  2).0 2  m   5 0    2  2    0 

. Vì tam giác OAB vuông tại O nên

 OB

 OA

 

1);



(

;

Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1); và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt không trùng điểm O.  x x m ; ( Ta có 1 1   OA OB .

  ( 1) A x x m ; 1 ;x x và khác 2 2 1   , B x x m ; ( 2

0,5

      1) 0 1)( 0 (

x x m 2 2   x m 1 m (



Theo định lí Viet ta có:

, thay vào (**) được:

)  ( m  1)  0 (**) 1)(    x m 1  x 2 x 1



0,5

x  1  x x  1 2  m ( 5)



(

    m 3.

0,5

 3

x x 1 2 x x 2 1 2  x m 2 

2,5

m 1)( 2(2 1) m   thỏa mãn bài toán. Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy Câu 2. Giải phương trình sau  

1) 2cos (2sin

x 3 cos 2 (2sin

  1) 3sin 2 2

Ta có:

(1)



x 3 cos 2 (2sin

 

1) 2cos (2sin

 

1) 3sin 2



2 3 sin cos 2



3 cos 2



x 4cos sin



2cos



3sin 2





2 3 sin cos 2



x 2sin sin 2



x 4sin cos



3 cos 2



sin 2



2cos



0,5



2sin ( 3 cos 2



sin 2



x 2cos )



( 3 cos 2



sin 2



x 2cos )





sin 2



x 2cos ) 0





(2sin 2sin

x x

 1)( 3 cos 2   1 0 (2)

0,5

Trang | 3

3 cos 2 x  sin 2 x  2cos x  0(3)    

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017





 k

(2)



sin

    

0,5

1 2



 . k

 6  5 6

  x  1 2

0,5

(3)  cos 2 x  sin 2 x  cos x  cos(2 x   cos x  ) 6

2 x    x 2  k x   2  k

  2 x 2    x  k    2 x .  6  6  6  18 3 2            

0,5

(













 ; k

 (cid:0) ).

 6

 5 6

 k 3

 k 3 Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:

2,5

0,5

 18 Câu 3. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào. Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào. Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là:

3125

 

0,25

khả năng xảy ra.

200

1 5

2 2

3 5

0,25

khả năng xảy ra.

C C C P  .

600

3 5

1 5

0,25

khả năng xảy ra.

100

4 C C C  . 5

1 5

0,25

1 5

khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít

C  khả năng xảy ra. 

 

0,5

Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH) sau: TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại 1 C C C C  . . không có khách nào. TH này có 4 TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại 2 . không có khách nào. TH này có 4 TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại 1 không có khách nào. TH này có 4 TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này có  Suy ra có tất cả 200 600 100 5 905 nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”.

P 



Vậy xác suất cần tính là:

0,5

905 3125

181 625

Câu 4. Tính tích phân



2,5



x cos 2 .ln(sin



cos )

x dx



Trang | 4

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017





0,5



I  x cos 2 .ln(sin x  cos ) x dx

2 cos ) .cos 2 .





0,5



ln(1 sin 2 ) cos 2



xdx .



1 2



 ln 1 sin 2



2cos 2 x  x 1 sin 2

Đặt



0,5



 cos 2

xdx

  u   



  1 sin 2 .

      v 

1 2









cos 2

xdx

0,5

  1 sin 2 ln 1 sin 2







   



 ln(sin x  x dx x 1 2

0,5

 1 1  2 2      

 x   ln 2 sin 2  . 1 2 1 2 2 ln 2 1 4

2,5

    Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a . Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 60 .o

. Vì tam giác SAB . Suy ra góc giữa SD

ABCD



(

)

0,5

SH o

  

tan 60



HD (cid:0) HAD

o   60

ABC



120

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH AB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên và mp(ABCD) là (cid:0) SDH SH HD Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên (cid:0) Theo định lí Cô sin:







AH AD .

.cos120







a . .





a 4

a 2

1 2

a 4

0,5

  

  

Suy ra

hay

Trang | 5

a 7 a HD  SH HD 3  2 21 2

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

.



d A SBC

( ,(

))

)

))



AD BC / /

d D SBC ,(

AD SBC / /(

0,5

(

BC HK

0,5

   ,(

BC HK d H SBC (

)   SHI )) .

 ( Ta có Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên BA )) ,( d A SBC ( BH )) d H SBC , ( (  . Vì  HI , BC HK SI    HK BC HK SI ( ,

, BC HI BC SH SBC HK

 

)

hay tam giác HBC vuông tại H.









Kẻ   Vì Vì thấy tam giác ABC đều cạnh a nên CH AB Ta có 1 HI

1 HC

1 HB

0,5









1 HS 4 a 3

4.29 2 a 21

1 HS 4 a 21

d A SBC , ( ))  2 ( d H SBC , ( ))    2 (

Suy ra

. Vậy

1 HI 4 2 a a 609 58

( 5; 2)

A  (cid:0)

và

a HI  d A SBC ,( ( ))  2 ( d H SBC ,( ))  2 HI  609 29

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có M   là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho (cid:0)

( 1; 2)

 MDC MBC

2,5

tan

. Tìm tọa độ điểm D biết

(cid:0) DAM  .

MB MC

1 2

0,5

(cid:0)

0,5



 

 BMC BEC   AMD

hay tứ giác BECM nội tiếp. MEC MBC  (cid:0) o   BEC 180 (cid:0) (cid:0)  AMB BEC

 90o

90 

90 hay AMD 

vuông tại M

(cid:0) DAM

tan



Vì

0,5

Ta có

DM MA 

4 2









1 2 AD MA MD 2

2 2 2

 2









(

Giả sử

D x y ta có

( ; )







(

Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình hành nên (cid:0) (cid:0) .  MEC MDC suy ra (cid:0) Mà (cid:0) MDC MBC  (cid:0) Suy ra (cid:0)  180 Ta có ( . . ) BEC c c c 1   2 MD     

    

0,5

8  Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0). (1;0). Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là:

(  y     ( 3; 4),

Trang | 6

D D

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

Câu 7: Giải hệ phương trình

)



)



  

4 (1)

2,5

  y

2) 2

  1





5 (2)

(

  ( x      y

.

Điều kiện:

0,5

. PT (1) trở thành

  1 0  0)

0,5

t 3



  4

  2 x  ( y t Đặt 2 t  2 4   

t 3



t 2

  2

  ( t

t 2)(





 t 2 2 t

2 

3 t t 3

  1

0,5

  ( t

t 2)(

  2

)



t 3



t 2



  t

  x t

(Vì

)

1 t   2    0 t 0 2 t 3

 y

Với Thay

0,5



) 2

  1



 1

(

x 2 x x (

 t  suy ra 2 2 t 2      . y x   vào (2) ta có:

  2 x   1) 2 x  1( x  2 x  1)  0

  x ( 2 x  1)( x  2 x  1)  0

0,5

  x 2 x    1 0 2 x   1 x

. Vậy hệ đã cho có một nghiệm: (1



2;1



y   1

   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

x y z thỏa mãn 0 ,

0     x 1 2 2 x   1 x  x  

Suy ra Câu 8: Cho các số thức

2,5

x  y  z



2

Vì 0

   nên

x x (



y y )(



) 0

  

(

xy y )(



 ) 0

0,5

2 x z





2 x z



2   x y 2

 2

xyz 2





xyz

   2 x z





xyz



0,5





2 x y



xyz



xyz





xyz  

2 x y  2 

 y x



Theo bất đẳng thức Cô si ta có:

0,5

Trang | 7

 P xy  yz  zx  xyz  6

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017





2 y x (



)(



)

 y x



1 2



(



)



(



)







z 3

y 3

1 2

  

  

  

  

Do đó



0,25





2

 P xy





xyz







y 3

3 2

y 3

  

  

  

  







t 2

t ( )



Đặt

. Ta có





t (

43 t 2

y 3

0,5

t suy ra ( )

   2 t

t '( )





t 6



)

f t ( )



(1)

được

   2     . Lập bảng biến thiên của hàm t 6 (1 3 2

1      2

1 1 2

Ta thấy

   Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là

Max P  khi

0,25

1 2

1 P  khi 2    z 1.

y

--------Hết-------

Trang | 8

www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017

GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU

- Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên

môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.

- Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt

giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.

- Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh

kiến thức và tối ưu kết quả học tập.

CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ

- Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất. - Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung

thời gian tốt nhất để học.

- Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):

+ Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.

+ Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm các dạng toán mới.

HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM

Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.

- Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ

động thời gian học tập của mình.

- Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời

gian ngắn nhất.

- Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề

nhanh hơn - hiệu quả hơn.

- Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán

trên toàn quốc.

- Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá

trình học.

Trang | 9